组合数的性质与综合应用.
排列组合的综合应用
5
3号盒
3
4号盒
4
5号盒
2C
2 5
十六. 分解与合成策略
例16.30030能被多少个不同的偶数整除？
30030=2×3×5 × 7 ×11×13
C C C C C
1 5 2 5 3 5 4 5
5 5
十七.化归策略
例17.25人排成5×5方阵,现从中选3人,要 求3人不在同一行也不在同一列,不同的选 法有多少种？
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有 多少不同的排法？ 7 3 4
A7/ A3
A7
练习：10人身高各不相等,排成前后排，每 排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有 多少排法？
C
5 10
五.重排问题求幂策略（住店法） 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共 有多少种不同的分法？
7
6
练习：七名学生争夺五项冠军，每项冠军 只能由一人获得，获得冠军的可能的种数?
1 C4
3 A4
1 C3
二.相邻元素捆绑策略
例2. 某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰 好有3枪连在一起的情形的不同种数为 .
A
2 5
三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的 出场顺序有多少种？ 5 4 A5 A6
四.定序问题倍缩空位插入策略
m A 排列数公式 n ＝
性
(1)An n＝
n－m m n！； (1)C0 C 1 ；(2)Cn ＝ n ； n＝
m m－1 C (3)Cm ＋ C ＝ n＋1 n n
质 (2)0！＝ 1 备 注
n，m∈N*且m≤n
一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没 有重复数字五位奇数.
组合数的性质和应用
(1)
例1 计算 198
( 2 )
C C
200
;
2
C
2 200
200 199 21
19900
3 99
C 99;
C
3
3
3
100
2
100 99 98 3 21
161700
( 3 )
2C
3 8
C 9 C 8 .
3 2 2 3
2C 8 (C 8 C 8 ) C 8 C 8 56
4 6 4
变式1. 10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中 任意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况： （1）4只鞋子恰有两双； （2） 4只鞋子没有成双的； （3） 4只鞋子只有一双。
分析:
2 C (1)因为4只鞋来自2双鞋, 所以有 10 45
(2)因为4只鞋来自4双不同的鞋, 而从10双鞋中取4双有 4 C 种 10 方法, 每双鞋中可取左边一只也可取右边一只, 各 4 1 1 1 1 1 有 C2 种取法,所以一共有 C10C2C2C2C2 3360 种取法.
4 12 4 8 4 12 4 8 4 4种
B.3 C C C
4 12
4 8
4 4种
C. C C A
3 3种
4 4 C12 C84 C4 D. 种 3 A3
二、不相邻问题插空法
例4、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节 省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏 灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两 盏灯，可以熄灭的方法共有（ ） 3 3 3 3 A C C11 种 （A） 8 种（B） 8 种 （C） C 9 种 （ D）
组合数常用公式
组合数常用公式摘要：一、组合数定义二、组合数公式1.二项式定理2.阶乘与组合数的关系3.组合数的性质4.组合数公式推导三、组合数的应用1.组合数的计算2.组合数的应用场景四、组合数的递推关系1.递推关系的一般形式2.常见递推关系举例五、组合数的性质与公式总结正文：一、组合数定义组合数（Combination）是离散数学中的一个概念，它表示从n 个元素中取出m 个元素的不同组合方式数量。
用符号表示为C(n, m)，即n 个元素中取m 个元素的组合数。
二、组合数公式1.二项式定理二项式定理是组合数计算的基础，它表示如下：(a + b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1) b^1 + ...+ C(n, n)a^0 b^n其中，C(n, 0), C(n, 1), ..., C(n, n) 即为组合数。
2.阶乘与组合数的关系组合数与阶乘（n!）之间存在如下关系：C(n, m) = n! / [m!(n-m)!]3.组合数的性质组合数具有以下几个性质：- C(n, m) = C(n, n-m)- C(n, 0) = 1- C(n, n) = 1- C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)4.组合数公式推导根据阶乘与组合数的关系，可以推导出组合数的计算公式。
三、组合数的应用1.组合数的计算组合数的计算是组合数学中的基本操作，可以通过递推关系、二项式定理等方法进行计算。
2.组合数的应用场景组合数在实际生活中有很多应用场景，例如概率论、组合优化、密码学等。
四、组合数的递推关系1.递推关系的一般形式根据组合数的性质，可以得到递推关系的一般形式：C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)2.常见递推关系举例常见的组合数递推关系有：- C(n, 0) = 1- C(n, 1) = n- C(n, n) = 1- C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)五、组合数的性质与公式总结组合数是组合数学中的基本概念，它表示从n 个元素中取出m 个元素的不同组合方式数量。
1.3(2)第2课时 组合数的性质和应用
(14 分)
【题后反思】 此类问题属于所谓“多面手”问题，应该按照“多 面手”有没有被选中，选中的“多面手”作何用进行分类．
【变式3】 有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日 语译员，另外两名英、日都精通．从中找出8人，使他们可以 组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另外4人翻译日语， 这两个小组能同时工作，问这样的8人名单共可开出几张？ 解 按“英、日语都会的人”的参与情况，分成三类：
种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，
3 AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共有A 3 种情况，而这A 3 3
种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法， C2 C2 C2 6· 4· 2 故分配方式有 A3 ＝15(种)．
3
(4)有序均匀分组问题．在(3)的基础上再分配给3个人，共有分配
＝
90(种)．
(7)直接分配问题．
1 甲选1本，有C1 6种方法；乙从余下的5本中选1本，有C5种方法； 1 1 4 余下4本留给丙，有C4 种方法，共有分配方式 C C5· C4＝30(种)． 4 6·
(9 分)
1 2 3 0 (3)甲、乙都上场，都作前锋有 C6 C4种，都作后卫有 C6 · C4种，一
2 1 2 1 C C 种，共有 C1C2＋C3C0＋C1C C ＝ 个作前锋一个作后卫有 C1 2 6 4 6 4 6 4 2 6 4
176(种)．故共有 120＋340＋176＝636(种)．
解
3 (1)第一步：选3名男运动员，有C 6 种选法，第二步：选2名女
3 2 运动员，有C2 种选法，故共有 C C4＝120(种)选法． 4 6·
人教B版新教材高中数学选择性必修第二册教案设计-组合数的性质及应用
第2课时 组合数的性质及应用学 习 目 标核 心 素 养1.学会运用组合的概念，分析简单的实际问题．(重点)2.能解决无限制条件的组合问题．(难点)通过组合解决实际问题，提升逻辑推理和数学运算的素养.某国际会议中心有A 、B 、C 、D 和E 共5种不同功能的会议室，且每种功能的会议室又有大、中、小和特小4种型号，总共20个会议室．现在有一个国际学术会议需要选择3种不同功能的6个会议室，并且每种功能的会议室选2个型号．问题：会议中心的工作人员安排会议的方法有多少种？组合数的性质(1)C m n ＝C n －mn ； (2)C m ＋1n ＋C m n ＝C m ＋1n ＋1.1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)C 1m ＋C 2m ＝C 3m ＋1(m ≥2且m ∈N *)．( )(2)从4名男生3名女生中任选2人，至少有1名女生的选法共有C 12C 16种． (3)把4本书分成3堆，每堆至少一本共有C 24种不同分法．( )[答案] (1)× (2)× (3)√2．若C x 6＝C 26，则x 的值为( )A ．2B ．4C ．0D ．2或4D [由C x 6＝C 26可知x ＝2或x ＝6－2＝4.故选D.] 3．C 58＋C 68的值为________． 84 [C 58＋C 68＝C 69＝9！6！×3！＝9×8×73×2×1＝84.]4．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种．96 [甲选修2门，有C 24＝6(种)不同方案． 乙选修3门，有C 34＝4(种)不同选修方案． 丙选修3门，有C 34＝4(种)不同选修方案．由分步乘法计数原理，不同的选修方案共有6×4×4＝96(种)．]组合数的性质81007(2)C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55；(3)C n n ＋1·C n －1n (n ＞0，n ∈N )．[解](1)原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006.(2)原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×⎝⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. (3)原式＝C 1n ＋1·C 1n ＝(n ＋1)n ＝n 2＋n .性质“C m n ＝C n －mn ”的意义及作用[跟进训练]1．(1)化简：C 9m －C 9m ＋1＋C 8m ＝________； (2)已知C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，求n 的值．(1)0 [原式＝(C 9m ＋C 8m )－C 9m ＋1＝C 9m ＋1－C 9m ＋1＝0.] (2)[解] 根据题意，C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，变形可得C7n＝C8n＋C7n，＋1由组合数的性质，可得C7n＋1＝C8n＋1，故8＋7＝n＋1，解得n＝14.有限制条件的组合问题出3名同学参加活动．(1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？(2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？(3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？(4)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？(5)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？[思路点拨]可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼，使用两个计数原理解决．[解](1)从余下的34名学生中选取2名，有C234＝561(种)．∴不同的选法有561种．(2)从34名可选学生中选取3名，有C334种．或者C335－C234＝C334＝5 984种．∴不同的选法有5 984种．(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有C120C215＝2 100种．∴不同的选法有2 100种．(4)选取2名女生有C120C215种，选取3名女生有C315种，共有选取方法N＝C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555种．∴不同的选法有2 555种．(5)选取3名的总数有C335，至多有2名女生在内的选取方式共有N＝C335－C315＝6 545－455＝6 090种．∴不同的选法有6 090种．常见的限制条件及解题方法1．特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据．2．含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解．3．分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解．[跟进训练]2．“抗击疫情，众志成城”，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴抗击疫情前线，其中这10名医疗专家中有4名是内科专家．问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是内科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名内科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名内科专家的抽调方法有多少种？[解](1)分步：首先从4名内科专家中任选2名，有C24种选法，再从除内科专家的6人中选取4人，有C46种选法，所以共有C24·C46＝90(种)抽调方法．(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法．法一：按选取的内科专家的人数分类：①选2名内科专家，共有C24·C46种选法；②选3名内科专家，共有C34·C36种选法；③选4名内科专家，共有C44·C26种选法．根据分类加法计数原理，共有C24·C46＋C34·C36＋C44·C26＝185(种)抽调方法．法二：不考虑是否有内科专家，共有C610种选法，考虑选取1名内科专家参加，有C14·C56种选法；没有内科专家参加，有C66种选法，所以共有：C610－C14·C56－C66＝185(种)抽调方法．(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答．①没有内科专家参加，有C66种选法；②有1名内科专家参加，有C14·C56种选法；③有2名内科专家参加，有C24·C46种选法．所以共有C66＋C14·C56＋C24·C46＝115(种)抽调方法.分组分配问题1．把3个苹果平均分成三堆共有几种分法？为什么？[提示]共1种分法．因为三堆无差异．2．若把3个不同的苹果分给三个人，共有几种方法？[提示]共有A33＝3×2×1＝6种分法．【例3】(教材P20例5改编)6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．[思路点拨](1)是平均分组问题，与顺序无关，相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来取，(2)是“均匀分组问题”，(3)是分组问题，分三步进行，(4)分组后再分配，(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”．[解](1)根据分步乘法计数原理得到：C26C24C22＝90种．(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有C26C24C22种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A33种方法．根据分步乘法计数原理可得：C26C24C22＝x A33，所以x＝C26C24C22A33＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法．(3)这是“不均匀分组”问题，一共有C16C25C33＝60种方法．(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有C16C25C33A33＝360种方法．(5)可以分为三类情况：①“2、2、2型”即(1)中的分配情况，有C26C24C22＝90种方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有C16C25C33A33＝360种方法；③“1、1、4型”，有C46A33＝90种方法．所以一共有90＋360＋90＝540种方法．分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种1．完全均匀分组，每组的元素个数均相等．2．部分均匀分组，应注意不要重复，有n 组均匀，最后必须除以n ！. 3．完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．[跟进训练]3．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．36 [分两步完成：第一步，将4名大学生按2,1,1分成三组，其分法有C 24·C 12·C 11A 22种；第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A 33种．所以满足条件的分配方案有C 24·C 12·C 11A 22·A 33＝36(种)．]1．在组合数的计数中，恰当利用组合数的性质解题可以使问题简化． 2．对于含有限制条件的组合问题，要合理分类，必要时可用间接法． 3．对于分组问题应注意避免计数的重复或遗漏，对于分配问题解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关．1．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为( )A ．120种B ．84种C ．52种D ．48种C [间接法：C 38－C 34＝52种．]2．5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有( )A ．A 45种B ．45种C ．54种D ．C 45种D [由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，从5个代表中选4个即可满足，故有C 45种．]3．方程C x 14＝C 2x －414的解为________．4或6[由题意知⎩⎨⎧x ＝2x －4，2x －4≤14，x ≤14或⎩⎨⎧x ＝14－(2x －4)，2x －4≤14，x ≤14，解得x ＝4或6.]4．C 03＋C 14＋C 25＋…＋C 1821的值等于________．7 315 [原式＝C 04＋C 14＋C 25＋…＋C 1821＝C 15＋C 25＋…＋C 1821＝C 1721＋C 1821＝C 1822＝C 422＝7 315.]5．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．[解] (1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有C 35C 23＋C 45C 13种，后排有A 55种，共(C 35C 23＋C 45C 13)·A 55＝5 400种． (2)除去该女生后，先选后排，有C 47·A 44＝840种． (3)先选后排，但先安排该男生，有C 47·C 14·A 44＝3 360种．(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C 36种，再安排该男生有C 13种，其余3人全排有A 33种，共C 36·C 13·A 33＝360种．。
组合和组合数公式
组合和组合数公式组合是组合数学中的一个重要概念，用来计算从n个元素中选取r个元素的方式数。
组合数公式是用来计算组合数的公式。
本文将详细介绍组合和组合数公式，并说明其应用和性质。
1.组合的定义组合由n个元素中选取r个元素所组成的集合，称为从n个元素中选取r个元素的组合。
组合中的元素是无序的，即选取的元素的顺序对组合没有影响。
2.组合的表示方法组合通常用C(n,r)来表示，其中n是总的元素个数，r是选取的元素个数。
例如，从4个元素中选取2个元素的组合可以表示为C(4,2)。
组合数公式用于计算从n个元素中选取r个元素的方式数。
常用的组合数公式有以下几种：3.1乘法法则根据乘法法则，从n个元素中选取r个元素的方式数等于从n中选择1个元素的方式数乘以从n-1个元素中选取r-1个元素的方式数。
这一公式可以表示为：C(n,r)=C(n-1,r-1)*n/r3.2递推公式根据递推关系，可以通过前一项的组合数计算后一项的组合数。
递推公式可以表示为：C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r)3.3组合公式组合公式是计算组合数的一种常用方法。
组合公式可以表示为：C(n,r)=n!/(r!(n-r)!)其中n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)*(n-2)*...*14.组合的性质组合具有以下几个重要的性质：4.1对称性组合数具有对称性，即C(n,r)=C(n,n-r)。
这是因为从n个元素中选取r个元素的方式数与从n个元素中选取n-r个元素的方式数是一样的。
4.2递推性组合数具有递推性，即可以通过递推公式计算组合数。
这使得计算大规模组合数变得更加高效。
4.3性质的递推公式组合数的性质也可以通过递推公式计算。
例如，根据乘法法则和递推公式可以推导出组合数的对称性。
5.组合数的应用组合数在组合数学、概率论和统计学等领域具有广泛的应用。
以下是几个常见的应用：5.1排列组合组合数可以用于计算排列组合的方式数。
排列是组合的一种特殊情况，它要求选取的元素有序。
高中数学 组合数及其运算性质
复习
组合数公式
m An m Am
m Cn
=
=
n(n-1)(n-2) …(n-m+1) m﹗
组合数公式的另一形式
m An m Am n(n-1)(n-2) …(n-m+1) m﹗
m Cn
=
=
n(n-1)(n-2) …(n-m+1)(n-m) …3∙2∙1 = m﹗ (n-m) …3∙2∙1
=
n﹗ m﹗(n-m)﹗
例3求证： 2 cn cn cn cn 2
m 1
m 1
m
m 1
思考
求:
17-n
2n 3n 13+n
C
+ C
的值.
小节
1 知识点：组合数的两个性质
性质1 。 cn cn
m
nm
m m 1
性质2。c
m
cn cn n 1
2 能力训练要求（1）计算能力 （2）从特殊到一般的猜想推理能力
作业
P104 习题10.3
1,2， 5, 9
198 7
m
nm
例1。计算 (1) c200 , (2) c8 c9 c10 c11
小经验：当m超过n/2时计算组合数时常常 利用性质1简化计算
8
9
9
组合数的性质及应用
问题：一个口袋里装有8个白球1个黑球
（1）从口袋里取出6个球，共有多少种取法？
（2）从口袋里取出6个球，使其中1个是黑球 共有多少种取法？
巩固练习
5 ; 练1. 计算: C8
C3
8
C2
5
c
3 5
练2。计算 c2 c3 c4 c5 c6
组合与组合数公式及组合数的两个性质 课件
[例3] (10分)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过 了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下， 有多少种不同的选法？
(1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必需参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
[思路点拨] 本题属于组合问题中的最基本的问题， 可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正 确分析和判断．
(7 分)
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，可分两步：先从甲、
乙、丙中选 1 人，有 C13＝3 种选法；再从另外 9 人中选 4 人，
有 C49种选法．共有 C13C49＝378 种不同的选法．
(10 分)
[一点通] 解简单的组合应用题时，要先判断它是 不是组合问题，只有当该问题能构成组合模型时，才能运 用组合数公式求解．解题时还应注意两个计数原理的运用， 在分类和分步时，应注意有无重复或遗漏．
组合数公式
组合 数公
式 性质 备注
乘积形式 Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1
阶乘形式
Cmn ＝
n！ m！n－m！
Cmn ＝ Cnn－m ；Cnm＋1＝ Cmn ＋Cmn －1
①n，m∈N＋，m≤n；②规定 C0n＝ 1 .Cnn＝ 1
1．组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是 不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． 2．组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即 元素没有位置的要求． 3．相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同， 不管顺序如何，就是相同的组合．
107C7m＝7×71－0×m7！！m！，
∴m！55！－m！－m！6－6×m5！5－m！ ＝7×m！170－×m7×66－×m5！5－m！， ∴1－6－6 m＝7－m606－m， 即 m2－23m＋42＝0，解得 m＝2 或 21. 而 0≤m≤5，∴m＝2. ∴C8m＋C58－m＝C28＋C38＝C93＝84.
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n m n m n
例 证明
1、 C
m n1
C
n n1
m 1 n
C
m n1
C
m 1 n1
n1 n m 1
2、 C C
n n
C
n n m
C
补充例题：
（）计算 1 C C C C ； （2）计算C C C C ；
0 4 2 2 1 5 2 3 2 6 2 4 9 13 2 10
（3）求证：C C C
n n n n1
n n2
C
n n＋m
C
n1 nm1
.
例１
(1)
计算：
C
3 100
C
3 99
C 99; 100 9 9 9 8
3
2
( 2)
2C
3 8
3 2 1
2
161700
C 9C 8 .
3 8 3 8 2 8 2 8 3 8
2 C ( C C ) C C 56
例2 求证: m m 1 m m 1 ( 1 ) C n 1 C n C n 1 C n 1 ;
2C C . m 1 m 1 m (2) C n C n 2C n m m 1 m 1 m m m 1 m 1 ( 1 ) (C n C nC n(1C nC C n C 1 n ) n) m 1 m m 1 m C n CC n n 1 1 Cn m m 1 C n C n1 . 2.
5 5
2!
4．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自 行决定，共有多少种不同的去法？ 解：有6类办法，第1类去1人，第2类去2人，第3类去3 人，第4类去4人，第5类去5人，第6类去6人，所以共 有不同的去法
C C C C C C 63
1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6
由分类计数原理，得
组合数性质2
Cn1 Cn Cn
m m
m 1
性质2
证明:
m n
n! n! m! ( n m )! ( m 1)![ n ( m 1)]! n! ( n m 1) n! m ( n m 1 m ) n! m! ( n m 1)! m! ( n 1 m )! ( n 1)! m C n 1 . m![( n 1) m ]!
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多 少种? 从2件次品中抽出1件次品的抽法有 从98件合格品中抽出2件的抽法有
C C
1 2 2 98
C C 9506
1 2 2 98
例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件 (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多 少种? 法1
A C C 解法一：先组队后分校（先分堆后分配）
6 4
2
2
3 3
540
解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医 生和护士.
1 3 2 6 1 2 2 4
( C C ) ( C C ) 1 540
四、分类组合,隔板处理
例6、 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每 校至少有1人,这样有几种选法?
C C
c n 1 c n c n
m 1 n
m
m
m 1
组合数性质2：
Cn1 Cn Cn
m m
m 1
说明： 1、公式特征：下标相同而上标差1的两个组合 数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合 数上标较大的相同的一个组合数 2、此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今 后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主 要应用．
分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒 子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理. 5 解:采用“隔板法” 得: C29 4095
练习： 1、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级， 每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？
C 35
4 7
2、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走 一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有 多少种不同的走法？
1
复习巩固：
1、组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一 组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2、组合数: 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 m C n 表示. 3、组合数公式:
m n! A n(n 1)(n 2) (n m 1) m m n Cn Cn m Am m! m !(n m)!
跟踪练习 2．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子 内． (1)共有几种放法？ (2)恰有1个空盒，有几种放法？
解析：(1)44＝256(种)． (2)先从 4 个小球中取 2 个放在一起， 有 C2 4种不同的取法， 再把取出的两个小球与另外 2 个小球看作三堆， 并分别放入 4 个盒子中的 3 个盒子里，有 A3 4种不同的放法．根据分步乘法 3 计数原理，不同的放法共有 C2 4A4＝144(种)．
(5)分成3堆，有2堆各1本，另一堆4本，有多少种不同的 分堆方法？
(6)摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？
解析：(1)在 6 本书中，先取 2 本给甲，再从剩下 4 本书 2 2 中取 2 本给乙，最后 2 本给丙，共有 C2 · C C2＝90(种)． 6 4· (2)6 本书平均分 3 堆，用上述方法重复了 A3 3倍，故共有 2 2 C2 · C C2 6 4· ＝15(种)． A3 3 (3)从 6 本书中，先取 1 本作一堆，再在剩下的 5 本中取 2 3 2 本作一堆，最后 3 本作一堆，共有 C1 · C C3＝60(种)． 6 5· (4) 在 (3) 的分堆中，甲、乙、丙 3 人各取 1 堆，共有 2 3 3 C1 · C C3· A3＝360(种)． 6 5· (5)平均分堆要除以堆数的全排列数， 不平均分堆则不除， 1 1 4 C6· C5· C4 故共有 ＝15(种)． A2 2 (6)本题即为 6 本书放在 6 个位置上，共有 A6 6＝720(种)．
97 98 96 98 95 98
2
4、求C2+C3+C4+C5+C6+…+C100的值
2
2
2
2
2
小结
1.组合数公式:
A n(n 1)(n 2) (n m 1) C A m!
m n m n m m
n! C m !(n m)!
mபைடு நூலகம்n
2.组合数性质:
m n m n1
⑴ C C m1 ⑵ C C Cn
m 出m个元素的组合数是Cn 1， 这些组合可分成两类：一类含有a1，一类不含有a1，
含有a1的组合是从a2 , a3 ,
, an1这n个元素中取出
m 1 m 1个元素与a1组成的，共有C n 个；
不含a1的组合是从a2 , a3 ,
, an1这n个元素中取出
m m个元素组成的，共有Cn 个
二、不相邻问题插空法
例4、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节 省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏 灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两 盏灯，可以熄灭的方法共有（ ） 3 3 3 3 A C C11 种 （A） 8 种（B） 8 种 （C） C 9 种 （ D）
本题使用插空法，先将亮的9盏灯排成一排， 由题意，两端的灯不能熄灭，则有8个符合条件的 空位， 进而在8个空位中，任取3个插入熄灭的3盏灯， 有C83种方法， 故选A．
10 9 8 7 210 4!
巩固练习
1．方程 C C
x 28
3 x 8 28 的解集为（
D
）
A ． 4
B ． 9 D ． 4,9
8 n ，则
C ．
2．若 C
10 n
C
C 的值为
n 20
190
巩固练习 3．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法 5 4 3 2 的种数是 10 C C 10
17-11=6 有6个2步的， 17次中挑6次走2步C（6，17）=12376种
课堂练习： 3、在如图7x4的方格纸上（每小方格均为正方形） （1）其中有多少个矩形？ （2）其中有多少个正方形？
（1）矩形的话用C（7,2）*C（4,2）在两边任意取两点 即可 （2）正方形的话,首先,只由一个小正方形组成的有7*4 由2*2小正方形组成的有6*3 由3*3小正方形组成的有5*2 由4*4小正方形组成的有4*1 所以7*4＋6*3＋5*2＋4*1=60
三、混合问题，先“组”后“排 1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和 1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有 1人参加， 则有不同参赛方法______种.
解：采用先组后排方法:
C C C A 1080
3 5 1 3 2 4 3 3
2、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生 体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方 法共有多少种?
从引例中可以发现一个结论：C 3
8
C7 C7
2
3
对上面的发现(等式)作怎样解释？
C
3 8
C C
2 7
3 7
我们可以这样解释：从口袋内的 8个球中所取出的3个球，可以分为 两类：一类含有1个黑球，一类不含 有黑球．因此根据分类计数原理， 上述等式成立．
一般地，从a1 , a2 ,
, an1这n 1个不同的元素中取