4.1 无理数
无理数发展简史
无理数发展简史引言概述：无理数是数学中的一个重要概念，它是指不能用两个整数的比值表示的数。
无理数的发展历史可以追溯到古希腊时期，经过数学家们的不懈努力和探索，无理数的概念逐渐被确立并得到了广泛的应用。
本文将从古希腊时期开始，逐步介绍无理数的发展简史。
一、古希腊时期1.1 古希腊数学家的困惑古希腊数学家发现，有些长度无法用整数比值表示，比如正方形的对角线与边长之间的关系。
1.2 毕达哥拉斯学派的发现毕达哥拉斯学派提出了“一切皆数”的观念，但无法解释对角线与边长之间的关系，这引起了无理数概念的探讨。
1.3 毕达哥拉斯学派的保密措施毕达哥拉斯学派将对角线与边长之间的关系视为绝密，只内部传授，不对外公开。
二、欧几里得时期2.1 欧几里得的《几何原本》欧几里得在其著作中系统地阐述了几何学的基本概念，但对无理数并未有详细的讨论。
2.2 欧几里得的数论研究欧几里得在数论方面有较深的研究，但对于无理数的概念并未有深入的探讨。
2.3 欧几里得对无理数的影响欧几里得的几何学和数论研究对后来无理数的发展产生了一定的影响，为后来的研究奠定了基础。
三、近代数学发展3.1 费马与无理数费马在其著作中对无理数的性质进行了研究，为后来的数学家提供了重要的参考。
3.2 康托尔的无理数理论康托尔提出了无限集合的概念，进一步推动了无理数理论的发展。
3.3 无理数在数学中的应用无理数在数学中的应用日益广泛，涉及到分析、代数、几何等多个领域，为数学的发展做出了重要贡献。
四、现代数学的发展4.1 无理数的推广现代数学对无理数的概念进行了推广，引入了超越数和超限数等新概念。
4.2 无理数的计算现代计算机技术的发展，使得对无理数的计算变得更加便捷和高效。
4.3 无理数在科学研究中的应用无理数在物理学、工程学等科学领域中有着广泛的应用，为科学研究提供了重要的数学工具。
五、结语无理数作为数学中的重要概念，经过数学家们的不懈努力和探索，逐渐得到了广泛的应用。
无理数发展简史
无理数发展简史引言概述：无理数是数学中一个重要的概念，它指的是不能表示为两个整数的比值的实数。
无理数的发展历程可以追溯到古希腊时期，随着数学的发展，无理数的概念逐渐被完善和扩展。
本文将从古希腊时期开始，介绍无理数的发展历史。
一、古希腊时期1.1 毕达哥拉斯学派的发现毕达哥拉斯学派是古希腊数学的重要学派之一。
在公元前5世纪，毕达哥拉斯学派成员发现了无理数的存在。
他们通过对勾股定理的研究，发现了不能表示为整数比值的边长关系，从而确立了无理数的概念。
1.2 伊壁鸠鲁学派的质疑伊壁鸠鲁学派是古希腊哲学的一支。
该学派对毕达哥拉斯学派的无理数概念提出了质疑。
他们认为无理数是不存在的，一切都可以用有理数表示。
这一争论持续了一段时间，直到欧几里得给出了无理数存在的证明，才解决了这一争议。
1.3 欧几里得的证明欧几里得是古希腊数学家，他在《几何原本》中给出了无理数存在的证明。
他通过反证法证明了不能用有理数表示的线段存在，从而证明了无理数的存在。
欧几里得的证明为无理数的研究奠定了基础。
二、中世纪的发展2.1 无理数的被遗忘在中世纪，无理数的概念被遗忘了一段时间。
由于宗教和哲学的影响，数学的发展受到了限制，无理数的研究停滞不前。
2.2 无理数的重新发现到了16世纪，无理数的概念重新被人们关注。
意大利数学家维埃塔在《无理数的存在》一书中重新提出了无理数的概念，并给出了更加严谨的证明。
这使得无理数的研究重新得到了推动。
2.3 无理数的应用随着无理数概念的重新被接受，人们开始发现无理数在数学中的广泛应用。
无理数在几何、代数等领域中起着重要作用，为数学的发展带来了新的动力。
三、无理数的扩展3.1 无理数的无限性无理数的一个重要特点是无限性。
无理数的小数表示无限不循环，这使得无理数的研究更加复杂和有趣。
3.2 无理数的无穷性无理数的无穷性是指无理数的小数位数无限多。
这使得无理数可以无限接近任何有理数，为数学中的近似计算提供了便利。
新教材人教版高中数学必修1 第四章 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
所以
1
x2
1
x2
6，
所以
x2 x2
1
1
4
2.
x2 x 2
ax )(a2x 1 ax ax
a 2x
)
a 2x
1 a 2x
1
2 1
1 1 2 2 1. 2 1
【素养·探】 在指数式的化简求值中,经常利用核心素养中的数学
运算,通过对式子的等价变形,体现了良好的先化简后 求值的数学运算习惯. 将本例中的式子改为 a3x a3x ,试求值.
ax ax
【解析】
(1)底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算. (2)若式子中含有根式,则先化为指数式再进行运算,一 般指数中的根式可以保留.
【习练·破】
计算下列各式:
1( 3 )2 3.
3
2
(m
3
m
6
)12
.
【解析】(1)原式=
(
3
3
2 )2
3
(
3
2 )2
3
3.
(2)原式=
(m
3
6
)12
(m 6 )12
x的指数升高,再代入求值.
【解析】由已知可得:x+x-1=(
x
1 2
x -12 2) 2=(
)2-25 =3.
x2+x-2=(x+x-1)2-2=32-2=7.
原式= 7 6 1 .
35 2
【类题·通】 解决条件求值问题的步骤
【习练·破】
1.已知a+a-1=7(a>1),求
a
1 2
1
a2
所以 3 a b 1 .
鲁教版-数学-七年级上册-4.1 无理数 作业
无理数1.在数0、2.0 、3π、227、0.1010010001中，无理数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2.在实数12，－3，－3.14，0，π中，无理数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列各数：3π，0，4.2121121112A.4个B.3个C.2个D.1个4.下列是有理数的是（）A.0B.5C.πD.1.010010001…（每两个1之间的0的个数依次多1）5.在12，－3，－3.14，0，π，2.61611611161…（每两个6之间依次多一个1）中，无理数有（）A ． 1 个B ．2个C ． 3个D ．4个6.在实数：3.14159，1.010010001…，，π，227中，无理数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个7.下列六种说法正确的个数是（）①无限小数都是无理；②正数、负数统称有理数；③无理数的相反数还是无理数；④无理数与无理数的和一定还是无理数；⑤无理数与有理数的和一定是无理数；⑥有理数和无理数统称实数（）4.21••A．2个 B．3个 C．4个 D．5个8.下列实数是无理数的是（）AB． C． D ．9.实数0，，π，﹣1中，无理数是（）A．0 B． C．π D．﹣110.在数2,3π，-3．14，722，0．2,..32.0，5．1010010001中，其中无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11.有下列说法：①有理数与数轴上的点一一对应；②直角三角形的两边长是5和12，则第三边长是13；③近似数1.5万精确到十分位；④无理数是无限小数.其中错误说法的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个12.已知下列各数：8，3.14，2-，3π，0，14，•13.0，，则无理数有；分数有．参考答案1.A2.B3.D4.A5.A6.B7.B101-8.A9.C10.A11.B12.。
鲁教版(五四制)七年级上册数学课件4.1无理数
0.333 1 3
0.2666 4 15
有限小数和循环小数都可以化为分数，任何 有限小数或无限循环小数都是有理数.
反过来，任何一个有理数都可以写成有限小数或类：
按定义分类：
正整数
有理数
整数
零 负整数
分数
正分数 负分数
按性质符号分类：
正整数
正有理数
有
正分数
速练在当堂
3. 下列关于有理数的说法中，错误的是（ ） A.所有的整数都是有理数 B. 所有的分数都是有理数 C. 所有的有限小数都是有理数 D. 所有的无限小数都是有理数
速练在当堂
4. 下列关于无理数的说法中，正确的是（ ） A.有最小的无理数 B. 有最大的无理数 C. 无理数有有限个 D. 无理数有无限个
理 零 数负有理数
负整数
负分数
有限小数和无限循环小数属于分数．
学习目标
1.理解无理数的概念，会判断一个数是有理数还是无理数. 2.能在数轴上表示某些简单的无理数.
新课导入
把两个边长为1的小正方形拼成一个大正方形
设大正方形的边长为 ，则 满足什么条件？
所以ɑ2=2
则a是有理数吗？
思考探究
因为 12 1, 22 4 ，所以a是大于1而小于2的数．
5.打开课本17页 练一练
小结:
1.什么叫无理数? 2.数的分类? 3.如何判定一个数是无理数还是有理数.
圆周率π =3.14159265…也是一个无限不循环小数， 另外，0.5858858885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1) 也是一个无限不循环小数， 它们都是无理数.
结论总结
2.有理数与无理数的主要区别:
(1)无理数是无限不循环小数， 有理数是有限小数或无限循环小数.
4.1无理数教案
三、精讲点拨
四、反思拓展
五．系统总结教师指导
1.易错点:
(1)“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别.
(2)圆周率π=3.141 592 65…也是一个无限不循环小数,故π是无
理数.
2.归纳小结:
(1)任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
(2)无限不循环小数叫做无理数.
3.方法规律:
1.下列各数是无理数的是( )
(A)(B)(C)16
2.在数,中,无理数是.
3.按要求将下列数字分类:,,0,3.14,-,7.151 551…(每相邻两
个“1”之间依次多一个“5”),
整数集合{ ,…},
分数集合{ ,…},
无理数集合{ ,…}.
你学到了哪些知识点？
你学到了哪些方法？
教师引导，
点拨
教师讲解
教师引导，
点拨
学生认真
听讲
学生回答
学生讨论
回答。
数学七上4.1《无理数》课件(1)
4、作者写从早到晚的吆喝声，具体写 了哪些叫卖声？重点又写了什么？
作者从早写到晚。写早晨吆喝卖早点的： 大米粥、油炸果的；和新鲜蔬菜的：卖青菜和 卖花儿的。写白天卖日用百货和修理各种家具 的，这就更热闹了。
然而重点是写晚上。北京胡同的晚上好 不热闹：卖夜宵的，唱话匣子的，用凄厉动人 的叫喊讨饭的，真是应有尽有。这一层作者重 在写出北京胡同里小贩的叫卖声持续时间之长， 种类之多。
本文介绍了旧北京街大街小巷各种吆 喝声。围绕吆喝声，介绍了吆喝声所代表 的经营品种、介绍了各种吆喝声的具体内 容、表现方式以及音韵节奏
课文讲解
1、作者围绕北京的吆喝声介绍了什么?他对 北京的吆喝声怀有怎样的感情?
在作者看来，北京小贩货郎的叫卖声简直就 是一种“戏剧性”的艺术。作者介绍了从白天的 叫卖声到夜晚的叫卖声，从卖吃食的、放留声机 的，到乞讨的，还有富有四季特色的叫卖声等等， 从中流露出作者对北京的吆喝声怀有一种特殊的 感情，那就是愉悦和怀想。
4、仿句练习。
在下面这段话的横线上填上恰当的语句，要 求仿用前面一句的句式及运用的修辞手法，内容 要前后照应。
我们用友谊写一本书，一本厚厚的书。在书 里，友谊如珍珠，我们穿缀，联成一串璀璨的项 链；友谊如__彩__绸___，我们___彩__绸__共__同__剪裁 ， _缝__制__成__一__件__件绚丽的衣衫；友谊如_花__种____，我们 _共__同__播__种___，培_育__出__一__个__个__五彩的花坛 。
小小的胡同，一座座四合院，似乎每一扇破 旧的、刻着已无法辨认的对联的木门都是一部古 老的历史，给人一种神秘感。人们每每在门前摆 一张小桌，或扯闲白儿，或对弈下棋，或二胡悠 扬，或京剧清唱，自有一番人间的乐趣。我有一 次经过揽杆市，一家生活并不富裕的小屋主人的 雅兴叫我吃惊。门前青砖上放着几十盆花卉—— 月季、米兰、朱顶红，低矮的屋檐下一溜排开竟 有六七只竹丝鸟笼，雕以花纹，曲线弯得那么有 神韵的青铜鸟笼钩，仿佛音乐的滑音一般，给人 一种和谐的美。黄雀、画眉、红蓝靛颏吟唱其间， 不知忧愁为何事。
七年级无理数的概念与运算
七年级无理数的概念与运算无理数是指既不能表示为两个整数的比值，也不能表示为有限小数或循环小数的实数。
它们是无限不循环小数的一种特殊形式。
在七年级数学中，我们将学习无理数的概念和运算。
一、无理数的概念无理数是指不能写成两个整数的比值的实数，也不是有限小数或循环小数的实数。
无理数的表示一般用根号形式表示，如√2，√5等。
无理数可以是正数也可以是负数。
二、无理数的运算2.1 无理数的加减运算无理数的加减运算与有理数的加减运算类似，只需要将无理数的根号部分进行合并即可。
例如，√2 + √2 = 2√2。
2.2 无理数的乘法运算无理数的乘法运算也是将根号部分进行合并。
例如，√2 × √3 = √6。
2.3 无理数的除法运算无理数的除法运算需要用到有理化的方法，将无理数分母的根号部分有理化。
例如，√2 ÷ √3 = (√2 × √3) ÷ (√3 × √3) = √6/3 = (√6)/3。
三、无理数的应用无理数在数学和实际生活中都有广泛的应用。
在几何中，无理数常用于描述无法精确表示的长度，如正方形的对角线长度等。
在物理学中，无理数也常用于科学计算中，例如计算圆的面积、体积等。
四、无理数的性质4.1 无理数与有理数的关系无理数和有理数是实数的两个主要子集，它们之间没有交集。
无理数和有理数的并集构成了实数的全体。
4.2 无理数的无穷性和稀疏性无理数存在无限多个，并且无理数的任意两个数之间都存在有理数。
这个性质被称为无理数的无穷性和稀疏性。
4.3 无理数的数轴表示无理数可以在数轴上表示，位于有理数之间。
例如，√2位于1和2之间，√3位于1和2之间。
五、无理数的近似值无理数通常无法精确表示，但可以使用有理数来近似表示。
例如，我们通常将√2近似为1.414，将√3近似为1.732。
六、总结无理数是既不能表示为两个整数的比值，也不能表示为有限小数或循环小数的实数。
我们学习了无理数的概念和运算方法，包括加减运算、乘法运算和除法运算。
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4.1 无理数导学案（1）
学习目标：
1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.
2. 探索无理数的定义，以及无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练大家的思维判断能力.
3.借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力.
4.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神.
学习重点：
1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数. 无理数概念的探索过程.
2.会判断一个数为有理数还是无理数.
学习难点：
1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.
2.了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断.
教具准备
有两个边长为1的正方形，剪刀.
学习过程：
Ⅰ.创设问题情境,引入新课：
同学们,我们上了好多年的学,学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢?在小学学了，后来引入了，即把从小学学过的正数、零扩充到范围，有理数包括和。
下列各数中，哪些是整数？哪些是分数？哪些是有理数？
第1 页共
2 ；0.4583，
7.3，π，－
7
1
，18.
那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题.
Ⅱ.讲授新课
1.做一做：
请大家小组为单位，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，试一试能否设法得到一个大的正方形吗？并画出你拼剪的图形：
思考：1、拼成大正方形的面积是，根据面积公式，你是否能在我们所学的有理数中找个适合这个大正方形的边长的数？为什么？
2、则a应满足什么条件呢？
3、那么a是整数吗？a是分数吗？请大家分组讨论后回答.
4、那么a是有理数吗？
总结：用我们目前所学的有理数能否满足我们实际生活的需要？生活中是否还会遇到过这样的情况？
做一做：
(1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？(2)设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件？
(3)b是整数吗？是分数吗？是有理数吗？
像上面讨论的数a，b都不是有理数，而是另一类数—
— .
无理数的发现：
第2 页共
第 3 页 共 关于无理数的发现是发现者付出了昂贵的代价的.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a 2=2中的a 不是有理数.
我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神.
想一想：
那么面积为2的正方形的边长a 究竟是多少呢？
（1） 你能确定a 的整数范围吗？
（2） 十分位呢？
（3） 百分位呢？千分位呢？
总结：它是 小数。
称为 无理数 。
想一想： 如果把11
2,458,95,54化成小数，它与a 的值是否属于同一种类呢？ 3.有理数与无理数的主要区别： 想一想：现在你 认为π应该属于哪个阵营中的呢？
练一练：
第 4 页 共 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.14，－3
4，∙∙75.0，0.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加1).
课堂练习
(一) 随堂练习下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
0.4583，∙
7.3，－π，－
7
1，18. (二) 补充练习： ①、判断题
(1)有理数与无理数的差都是有理数.
(2)无限小数都是无理数.
(3)无理数都是无限小数.
(4)两个无理数的和不一定是无理数.
②、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
0.351，－∙
∙69.4,3
2，3.14159，－5.232 333 2…， 小结：
课后作业：习题4.2
教学反思：
第5 页共。