高等数学下册 期末试卷+答案
高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)之欧阳理创编
高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为。
7、方程04)4(=-y y 的通解为。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为。
二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ）y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim 2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(xyxf y x yf u +=其中f具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰2020103cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202103cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d 。
高等数学(下册)期末复习试题及答案
一、填空题（共21分 每小题3分）1．曲线⎩⎨⎧=+=012x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ．2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{．4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0．5．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<+≤<-=,0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π+．6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 Cxy =．7．写出微分方程xe y y y =-'+''2的特解的形式xaxe y =*．二、解答题（共18分 每小题6分）1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-02032z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n，则{}3,2,1111121=--=k j i n(4分)所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面)(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域．解： πθ20 ,10 ,2 :2≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(⎰⎰⎰-=221020d ),sin ,cos (d d r rz z r r f r r θθθπ (6分)3．计算二重积分⎰⎰+-=Dy x y x eI d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D解 ⎰⎰-=2020d d 2r r eI r πθ⎰⎰--=-20220)(d d 212r e r πθ⎰-⋅-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分）1．设vue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ．解：)2(232y y x x e y ue x e xv v z x u u z x z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (3分))2(223xy x y e x ue y e yv v z y u u z y z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分)2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z所确定，求yzx z ∂∂∂∂,．解：令xyz e z y x F z-=),,(， (2分)则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F zz -= (5分)xye yzF F x z zz x -=-=∂∂， xy e xz F F y z z z y -=-=∂∂． (7分) 3．计算曲线积分⎰+-Ly x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧段．解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林公式⎰⎰⎰⎰+--=+-OA DL y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分)ππ=-⋅=022 (7分)4．设曲线积分⎰++Lx y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，求)(x f ．解： 由xQ y P ∂∂=∂∂ 得 )()(x f x f e x'=+， 即xe xf x f =-')()( (3分)所以 )d ()(d d )1(C x e e e x f x x x+⋅=⎰⎰---⎰)(C x e x +=， (6分) 代入初始条件，解得1=C ，所以)1()(+=x e x f x ． (7分)5．判断级数∑∞=12)!2()!(n n n 的敛散性．解： 因为 )!2()!()!22(])!1[(lim lim221n n n n u u n nn n ++=∞→+∞→ (3分) )12)(22()1(lim2+++=∞→n n n n 141<= (6分) 故该级数收敛． (7分)四、（7分）计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球面221z y x --=的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分)0d 3-=⎰⎰⎰Ωv (6分)34213π⋅⋅=π2=． (7分)五、（6分）在半径为R 的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形．解：设三角形各边所对圆心角分别为z y x ,,，则π2=++z y x ，且面积为)sin sin (sin 212z y x R A ++=， 令)2(sin sin sin πλ-+++++=z y x z y x F (3分)由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=πλλλ20cos 0cos 0cos z y x z F y F x F z yx (4分)得32π===z y x ．此时，其边长为R R 3232=⋅． 由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三角形时其面积最大． (6分)六、（8分）求级数∑∞=1n nnx 的收敛域，并求其和函数．解： 1)1(lim lim1=+==∞→+∞→n n a a R n n n n ，故收敛半径为1=R ． (2分) 当1-=x 时，根据莱布尼茨判别法，级数收敛； 当1=x 时， 级数为调和级数，发散．故原级数的收敛域为)1,1[-． (5分)设和为)(x S ，即∑∞==1)(n nnx x S ，求导得∑∞=-='11)(n n x x S x-=11， (6分) 再积分得 ⎰'=xx x S x S 0d )()(x xxd 110⎰-=)1ln(x --=，)11(<≤-x (8分) 七、（5分）设函数)(x f 在正实轴上连续，且等式⎰⎰⎰+=yx x yt t f x t t f y t t f 111d )(d )(d )(对任何0,0>>y x 成立．如果3)1(=f ，求)(x f ． 解：等式两边对y 求偏导得)(d )()(1y f x t t f y x f x x+=⎰ (2分)上式对任何0,0>>y x 仍成立．令1=y ，且因3)1(=f ，故有⎰+=xx t t f x xf 13d )()(． (3分)由于上式右边可导，所以左边也可导．两边求导，得3)()()(+=+'x f x f x f x 即)0(3)(>='x xx f ．故通解为 C x x f +=ln 3)(．当1=x 时，3)1(=f ，故3=C ． 因此所求的函数为 )1(l n 3)(+=x x f ． (5分)八． （5分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程． 解1：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解，xxe 是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为 )(2x f y y y =-'-''将x xe y=代入上式，得x x xe e x f 2)(-=，因此所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''解2：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解，xxe 是非齐次方程的一个特解，故x x x e C e C xe y -++=221是所求微分方程的通解，从而有 x x x x e C e C xe e y --++='2212，x x x x e C e C xe e y -+++=''22142消去21,C C ，得所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''06高数B一、填空题（共30分 每小题3分）1．xoy 坐标面上的双曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为36)(94222=+-z y x ．2．设函数22),,(z yz x z y x f ++=，则=-)1,0,1(grad f )2,1,2(--．3．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π． 4. 设Ω是曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的区域积分，则⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分形式是⎰⎰⎰-22120d ),sin ,cos (d d r rz z r r f r r θθθπ．5. 设L 是圆周22x x y -=，取正向，则曲线积分=+-⎰Ly x x y d dπ2．6. 幂级数∑∞=--11)1(n nn n x 的收敛半径1=R ．7．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0．8．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<-=,0,0,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π．9．全微分方程0d d =+y y x x 的通解为Cxy =．10．写出微分方程xe y y y =-'+''2的特解的形式xaxe y =*．二、解答题（共42分 每小题６分）1．求过点)1,2,1(且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-03202z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,1111121=--=kj i n(4分) 所求平面方程为 032=++z y x (2分)2．函数),(y x z z =由方程z y x z y x 32)32sin(-+=-+所确定，求xz ∂∂． 解：令z y x z y x z y x F 32)32sin(),,(+---+=， (2分)则,1)32cos(--+=z y x F x 3)32cos(3+-+-=z y x F z ． (2分))32c o s (33)32c o s (1z y x z y x F F x z z x -+--+-=-=∂∂ ． (2分) 3．计算⎰⎰Dxy σd ，其中D 是由直线2 ,1==x y 及x y =所围成的闭区域．解法一： 原式⎰⎰=211d ]d [xx y xy (2分)x y x x d ]2[2112⎰⋅=x xx d )22(213⎰-= 811]48[2124=-=x x . (4分)解法二： 原式⎰⎰=212d ]d [y y x xy 811]8[2142=-=y y .(同上类似分)4．计算⎰⎰--Dy x y x d d 122，其中D 是由122=+y x 即坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域．解： 选极坐标系原式⎰⎰-=2012d 1πθr r r d (3分))1(1)21(22102r d r ---⋅=⎰π6π= (3分) 5．计算⎰Γ-+-z x y yz x z y d d 2d )(222，其中Γ是曲线,t x =,2t y =3t z =上由01=t 到12=t 的一段弧．解：原式⎰⋅-⋅+-=122564d ]322)[(t t t t t t t (3分)⎰-=146d )23(t t t 1057]5273[t t -=351= (3分)6．判断级数∑∞=-1212n n n 的敛散性． 解： 因为 n n n nn n n n u u 2122)12(lim lim11-+=+∞→+∞→ (3分) 121<=， (2分) 故该级数收敛． (1分) 7．求微分方程043=-'-''y y y 满足初始条件,00==x y 50-='=x y 的特解． 解：特征方程 0432=--r r ，特征根 1,421-==r r通解为 x xe C e C y -+=241， (3分)x xe C e C y --='2414，代入初始条件得 1,121=-=C C ，所以特解x x e e y -+-=4．(3分)三、（8分）计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球面221z y x --=的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的 空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x ⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分)0d 3-=⎰⎰⎰Ωv (2分)34213π⋅⋅=π2=． (2分) 四、（8分）设曲线积分⎰-+Ly x x xf x x yf d ])(2[d )(2在右半平面)0(>x 内与路径无关，其中)(x f 可导，且满足1)1(=f ，求)(x f ．解：由xQy P ∂∂=∂∂， 得x x f x x f x f 2)(2)(2)(-'+=，即1)(21)(=+'x f xx f ， (3分) 所以)d ()(d 21d 21C xeex f x x x x +=⎰⎰-⎰)(2121C dx x x+=⎰-)32(2321C x x+=-， (3分)代入初始条件，解得31=C ，所以xx x f 3132)(+=． (2分)五、（6分）求函数xy y x y x f 3),(33-+=的极值． 解：⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=033),(033),(22x y y x f y x y x f y x 得驻点 )1,1(),0,0( (3分),6),(x y x f xx = ,3),(-=y x f xy y y x f yy 6),(=在点)0,0(处，,092>=-AC B 故)0,0(f 非极值；在点)1,1(处，,0272<-=-AC B 故1)1,1(-=f 是极小值． (3分)六、（6分）试证：曲面)(xyxf z =上任一点处的切平面都过原点．证：因),()(xyf x y x y f x z '-=∂∂ )(1)(x y f x x y f x y z '=⋅'=∂∂ (3分) 则取任意点),,(0000z y x M ，有)(0000x y f x z =，得切平面方程为))(())](()([)(00000000000000y y x yf x x x y f x y x y f x y f x z -'+-'-=- 即 0)()]()([0000000=-'+'-z y x y f x x y f x y x y f 故切平面过原点． (3分)07A一、 填空题（每小题3分，共21分）.1．设向量}5,1,{},1,3,2{-==λb a ，已知a 与b垂直，则=λ1-2．设3),(,2,3π===b a b a ，则=-b a 6-3．yoz 坐标面上的曲线12222=+bz a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222=++bz a y x4．过点)0,4,2(且与直线⎩⎨⎧=--=-+023012z y z x 垂直的平面方程0832=+--z y x5．二元函数)ln(y x x z +=的定义域为}0,0,({>+≥=y x x y x D6．函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=，则=)1,0,1(gradf }1,0,1{7．设xy e z=，则=dz )(xdy ydx e xy +8．设),(x y x xf u =，f 具有连续偏导数，则=∂∂x u21f xyxf f -+ 9．曲线32,,t z t y t x ===上点)1,1,1(处的切向量=T}3,2,1{10．交换积分顺序：⎰⎰=ydx y x f dy 010),(⎰⎰110),(xdyy x f dx11．闭区域Ω由曲面222y x z+=及平面1=z 所围成，将三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰πθθθ20101),sin ,cos (r dz z r r f rdr d12．设L 为下半圆周21x y--=，则=+⎰ds y xL )(22π13．设L 为取正向圆周922=+y x，则=-+-⎰dy x x dx y xy L )4()22(2π18-14．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧<≤≤<-=ππx xx x f 000)(则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π15．若0lim ≠∞→nn u ，则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散16．级数∑∞=1!2n n n nn 的敛散性是 收敛17．设一般项级数∑∞=1n n u ，已知∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n u 的敛散性是 绝对收敛18．微分方程05)(23=+'-''xy y y x 是 2 阶微分方程19．微分方程044=+'+''y y y 的通解=y xx xe C e C 2221--+20．微分方程x xe y y y 223=+'-''的特解形式为xe b ax x 2)(+二、（共5分）设xy v y x u v u z ===,,ln 2，求yz x z ∂∂∂∂,解：]1)ln(2[1ln 2222+=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xy y x y v u y v u x v v z x u u z x z]1)ln(2[)(ln 23222--=⋅+-⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xy yx x v u y x v u y v v z y u u z y z 三、（共5分） 设022=-++xyz z y x ，求xz∂∂ 解：令xyz z y x z y x F 22),,(-++=x y zyzxyz F x -=xyzxyxyz F z -=xyxyz xyz yz F F x zz x --=-=∂∂ 四、（共5分）计算⎰⎰⎰Ωxdxdydz ，其中Ω为三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域解：y x z x y x --≤≤-≤≤≤≤Ω10,10,10:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----Ω--==xyx xdy y x x dx xdz dy dx xdxdydz 1010101010)1(241)2(21)1(213102102=+-=-=⎰⎰dx x x x dx x x 五、（共6分）计算⎰-+-Lx x dy y e dx y y e )1cos ()sin (，其中L 为由点)0,(a A 到点)0,0(O 的上半圆周ax y x =+22解：添加有向辅助线段OA ,则有向辅助线段OA 和有向弧段OA 围成闭区域记为D ，根据格林 公式⎰-+-Lxx dy y e dx y y e )1cos ()sin ( ⎰⎰⎰-+--=DOAx x dy y e dx y y e dxdy )1cos ()sin (0)2(212-=a π 381a π= 六、（共6分）求幂级数∑∞=-13)3(n nn n x 的收敛域 解：对绝对值级数，用比值判敛法3313131lim 333)1(3lim lim 111-=-⋅+=-+-=∞→++∞→+∞→x x n n n x n x u u n n nn n n n n n 当1331<-x 时，即60<<x ，原级数绝对收敛 当1331>-x 时，即60><x x 或，原级数发散 当0=x 时，根据莱布尼兹判别法，级数∑∞=-1)1(n nn收敛当6=x时，级数∑∞=11n n发散，故收敛域为)6,0[七、（共5分） 计算dxdy z⎰⎰∑2，其中∑为球面1222=++z y x 在第一卦限的外侧解：∑在xoy 面的投影xy D ：0,0,122≥≥≤+y x y xdxdy z ⎰⎰∑2dxdy y x xyD )1(22--+=⎰⎰rdr r d )1(20102⎰⎰-=πθ412⋅=π8π=八、（共7分）设0)1(=f ，求)(x f 使dy x f ydx x f x x )()](1[ln ++为某二元函数),(y x u 的全微分，并求),(y x u解：由x Q y P ∂∂=∂∂，得)()(1ln x f x f x x '=+，即x x f xx f ln )(1)(=-' 所以)ln 21()1ln ()ln ()(211C x x C dx x x x C ex ex f dxx dxx+=+⋅=+=⎰⎰⎰⎰---带入初始条件，解得0=C,所以x x x f 2ln 21)(=⎰++=),()0,0(22ln 21)ln 21(ln ),(y x xdy x ydx x x y x u⎰⎰+=xyxdy x 002ln 210x xy 2ln 21=07高数B一、（共60分 每题3分）1. 设向量}4 ,2 ,6{-=a ，}2 ,1 ,{-=λb ，已知a 与b平行,则=λ3-．2. yoz 坐标面上的曲线12222=-c z a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222=-+bz a y x ． 3.设3),(,1,2π===∧b a b a ,则a b -=3．4. 设一平面经过点)1,1,1(，且与直线⎩⎨⎧=+=--03042z y y x 垂直，则此平面方程为032=-+z y x ．5. 二元函数12ln2+-=x y z 的定义域为{}012|),(2>+-x y y x ．6. 设xye z =，则=z d )d d (y x x y e xy +．7. 函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=，则=)1,0,1(grad f )1,0,1(．8.设(,)y u xf x x =，f 具有连续导数，则u x ∂=∂12yf xf f x''+-．9. 曲面1222=++z y x 在点)2,0,1(-处的法向量=n{}4,0,2-． 10. 交换积分顺序：⎰⎰=1d ),(d x y y x f x ⎰⎰101d ),(d yx y x f y ．11.闭区域Ω由曲面22y x z +=及平面1=z 所围成，将三重积⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰11202d ),sin ,cos (d d rz z r r f r r θθθπ．12. 设∑是闭区域Ω的整个边界曲面的外侧,V 是Ω的体积，则 ⎰⎰∑++y x z x z y x y x d d d d d d =V 3．13. 设L 为上半圆周21x y -=，则=+⎰Ls y x d )(22π．14. 设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<-=,0,0,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π．15. 若lim 0n n u →∞≠，则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散 ． 16. 级数∑∞=1!5n n nn n 的敛散性是 收敛 ．17.级数∑∞=12sin n nn的敛散性是 收敛 ． 18. 微分方程06)(542=+'+''y y y x 是 2 阶微分方程． 19. 微分方程02=+'-''y y y 的通解为)(21x C C e x +．20.微分方程x xe y y y 2365-=+'+''的特解的形式xe bx ax y 22*)(-+=．三、（共5分）函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定，求xz∂∂． 解：令=),,(z y x F z z y x 4222-++， (1分)则 ,2x F x = ,42-=z F z (2分)zxF F x z z x -=-=∂∂2 (2分) 五、（共6分）计算曲线积分⎰+--Ly y x x y x d )sin (d )2(22，其中L 为由点)0,2(A 到点)0,0(O 的上半圆周x y x 222=+．解：添加有向辅助线段，它与上半圆周围成的闭区域记为D ，根据格林公式⎰+--Ly y x x y x d )sin (d )2(22⎰⎰⎰+---+-=OADy y x x y x y x d )sin (d )2(d d )21(22 (3分)⎰⎰=Dy x d d ⎰-22d x x 3823212132-=-⋅⋅=ππ (3分)七、（共6设0)1(=f ，确定)(x f 使y x f x xyx f x d )(d )]([sin +-为某二元函数(,)u x y 的全微分．解： 由xQy P ∂∂=∂∂ 得 )()(sin x f x x f x '=-， 即 xxx f x x f s i n )(1)(=+' (2分) 所以 )d sin ()(d x 1d 1C xe xx ex f x x x+⋅=⎰⎰⎰-)d sin (ln ln C x e xx e xx +⋅=⎰- (2分) )cos (1C x x+-=， (1分) 代入初始条件，解得1cos =C ，所以)cos 1(cos 1)(x xx f -=． (1分) 八、(共6分) 计算⎰⎰∑y x z d d 2，其中∑是球面1222=++z y x 外侧在,0≥x 0≥y 的部分．解：⎰⎰∑y x z d d ⎰⎰∑=1d d y x z ⎰⎰∑+2d d y x (2分)⎰⎰--=xyD y x y x d d )1(22⎰⎰----xyD y x y x d )d 1()1(22 (2分) ⎰⎰--=xyD y x y x d )d 1(222r r r d )1(d 21220⋅-=⎰⎰πθ 4π=(2分)08高数A一、选择题（共24分 每小题3分）1．设{}1111,,p n m s =，{}2221,,p n m s =分别为直线1L ，2L 的方向向量，则1L 与2L 垂直的充要条件是 （A ）（A ）0212121=++p p n n m m （B ）212121p p n n m m ==（C ）1212121=++p p n n m m （D ）1212121=++p pn n m m 2．Yoz 平面上曲线12+=y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 ( C )（A ）12+=y z （B ）22x y z +=（C ）122++=x y z （D ）x y z +=23．二元函数12ln2+-=x y z 的定义域为 （B ）（A ）{}02|),(2>-x y y x （B ）{}012|),(2>+-x y y x （C ）{}012|),(2≤+-x y y x （D ）{}0,0|),(≥>y x y x4．交换积分顺序：1d (,)d yy f x y x =⎰⎰ （ A ）（A ）dy y x f dx x ⎰⎰110),(（B ）dx y x f dy y ⎰⎰110),(（C ）dx y x f dy y⎰⎰110),(（D ）dy y x f dx x⎰⎰110),(5．空间闭区域Ω由曲面1=r 所围成，则三重积分⎰⎰⎰Ωv d 2= （ C ） （A ）2 （B ）2π （C ）38π （D ）34π 6．函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定，则xz∂∂= （ D ） （A ）zy -2 （B ）y x-2 （C ）zz-2 （D ）zx-27．幂级数∑∞=13n n nn x 的收敛域是 （ C ）（A ）][3,3- （B ）](3,0（C ） [)3,3- （D ）()3,3-8．已知微分方程xe y y y =-'+''2的一个特解为x xe y =*，则它的通解是（ B ）（A ）x xe x C x C ++221（B ）x x x xe e C e C ++-221（C ）x e x C x C ++221（D ）x x x xe e C e C ++-21二、填空题（共15分 每小题3分）1．曲面z y x =+22在点)1,0,1(处的切平面的方程是012=--z x ． 2．若lim 0n n u →∞≠，则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散 ． 3．级数∑∞=12cos n nn的敛散性是 绝对收敛 ． 4．二元函数2221sin)(),(xy x y x f +=，当()()0,0,→y x 时的极限等于 0 。
高等数学(同济)下册期末专业考试题及内容标准答案(5套)
高等数学（下册） 考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x的符号为 。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为 。
7、方程04)4(=-y y的通解为 。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ； （C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ20213cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d 。
高等数学同济(下册)期末考试题与答案5套
高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为 。
7、方程04)4(=-y y 的通解为 。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰22013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2020103cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d 。
高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)之欧阳体创编
高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为。
7、方程04)4(=-y y 的通解为。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为。
二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ）y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim 2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(xyxf y x yf u +=其中f具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰2020103cos sin ππϕϕϕθdr rd d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2020103cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ200103cos sin dr r d d 。
高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)之欧阳文创编
高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为。
7、方程04)4(=-y y 的通解为。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为。
二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ）y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim 2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(xyxf y x yf u +=其中f具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰2020103cos sin ππϕϕϕθdr rd d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ； （C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2020103cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ200103cos sin dr r d d 。
高等数学（同济）下册期末考试题及答案（5套）
大学高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。
2、二重积分òò£++1||||22)ln(y x dxdy y x的符号为的符号为。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(b a y j ££îíì==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++òòåds y x )122（ 。
6、微分方程xyx ydx dytan+=的通解为的通解为 。
7、方程04)4(=-y y的通解为的通解为。
8、级数å¥=+1)1(1n n n 的和为的和为 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；处连续；（B ）),(y x f x¢，),(y x f y¢在),(00y x 的某邻域内存在；的某邻域内存在；（C ） yy x f x y x f z yxD ¢-D ¢-D ),(),(0当0)()(22®D +D y x 时，是无穷小；时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim22000000=D +D D¢-D ¢-D ®D ®D y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y xyf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yu y x u x ¶¶+¶¶等于（等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。
(完整word版)高等数学下册期末考试试题及答案,推荐文档
高数高等数学A（下册）期末考试试题、填空题：（本题共5小题，每小题4分,满分20分，把答案直接填在题中横线上）r r r r r r r r r1、已知向量a、b满足a b 0, a 2, b 2,则ab .32、设z xln（xy）,贝U ---- 2x y2 23、曲面x y z 9在点（1,2, 4）处的切平面万程为 .4、设f（x）是周期为2的周期函数，它在［,）上的表达式为f（x） x,则f（x）的傅里叶级数在x 3处收敛于,在x 处收敛于.5、设L为连接（1,0）与（0,1）两点的直线段，则L（x y）ds .※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级.・1!■■■■■・ MM ■・・・・・■■■■■ ■ ■・・・■:■»■■■■■、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）C 2 c 2 2 c... 2x 3y z 9» j ....... .. ..1、求曲线2 2 2在点M0 （1, 1,2）处的切线及法平面方程.z 3x y.. 2 2 一 2 2 一2、求由曲面z 2x 2y及z 6 x y所围成的立体体积.n 1 一3、判定级数（1）n ln --- 是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛?n 1 n2x .......... z z4、设z f （xy,—） sin y ,其中f具有二阶连续偏导数，求一, ------- -y x x ydS 2 2 2 25、计算曲面积分——，其中是球面x y z a被平面z h （0 h a）截出的顶部.z、（本题满分9分）抛物面z x2 y2被平面x y z 1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值.(本题满分10分)计算曲线积分Je x siny m)dx (e x cosy mx)dy ,其中m为常数，L为由点A(a,0)至原点O(0,0)的上半圆周x2 y2 ax (a 0).四、(本题满分10分)n求哥级数4—的收敛域及和函数.n i 3 n五、(本题满分10分)计算曲面积分| 2x3dydz 2y3dzdx 3(z2 1)dxdy,2 2其中为曲面z 1 x y (z 0)的上侧.六、(本题满分6分)设f(x)为连续函数，f (0) a, F(t) [z f(x2 y2 z2)]dv,其中t是由曲面z xx y2t与z t2x2y2所围成的闭区域，求lim F(t ) t3备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面不得带走试卷。
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B. (ax b) xe
x
C. (ax b) ce
x
三、计算题（每题 8 分，共 48 分） x 1 y 2 z 3 x 2 y 1 z L L 1 1 的平面方程 0 1 且平行于直线 2 ： 2 1、 求过直线 1 : 1 z z 2 2 2、 已知 z f ( xy , x y) ，求 x ， y
（3）交换积分次序，
e 1
dx
ln x 0
f ( x, y )dy
2
＝
) 间的一段弧，则 ) 点 B( 1 , 1 （ 4 ） 已 知 L 是 抛 物 线 y x 上 点 O( 0 , 0与 之
L
yds
； .
（5）已知微分方程 y 2 y y 0 ，则其通解为
二．选择题（每空 3 分，共 15 分） x y 3z 0 （1） 设直线 L 为 x y z 0 ， 平面 为 x y z 1 0 ， 则 L 与 的夹角为 （
4
2 0
d r 3dr 5 dz
0 2 r
2
5
D. ，则其收敛半径 B. 1
x
0
d r 2 dr dz
0 0
2
5
（4）已知幂级数 n 1 A. 2
2
n
n
xn
（ ）
1 C. 2
D. ）
2
（5）微分方程 y 3 y 2 y 3x 2e 的特解 y 的形式为 y （ 得分 阅卷人 A. D. (ax b) cxe
. .
4、定积分
sin x dx 1 1 x 2 =
1
5、函数 y 3x 4 x 1 的凸区间是
4 3
.
二．选择题（每空 3 分，共 15 分） x2 1 y x 1 的 1、 x 1 是函数 间断点
（A）可去 （C）无穷 2、若 (A)1 (C)-1 （B）跳跃 （D）振荡
，其中
L 为沿上半圆周 ( x a) y a , y 0 、从 A(2a,0) 到 O(0, 0) 的弧段.
3 y y ( x 1) 2 x 1 6、求微分方程 的通解. 四．解答题（共 22 分）
1、 （1） （ 6 ）判别级数 n 1 敛；
(1)
n 1
）.
A. 2 得分 阅卷人
B. 1
1 2
D.
2
三．计算题（每题 8 分，共 48 分）
5、 求过 A(0, 2, 4) 且与两平面 1 : x 2 z 1 和 2 : y 3z 2 平行的直线方程 . 6、 已知 z f (sin x cos y, e
2 2
x y
z z ) ，求 x ， y
（2）求所围图形绕 x 轴旋转一周所得的体积。 (6)
高等数学（下）模拟试卷四
一． 填空题（每空 3 分，共 15 分） 1 y 1 x2 x 1、 函数 的定义域为
. .
2、
0
e ax dx, a 0
5/22
=
3、已知 y sin(2 x 1) ，在 x 0.5 处的微分 dy
1 0
x 1 x2
dx
= .
(B) (D) 1
3、函数 y e x 1 在 (, 0] 内的单调性是 （A）单调增加； （B）单调减少； （C）单调增加且单调减少； (D)可能增加;可能减少。
x
。
4、
1 x
sin tdt
的一阶导数为 （B） sin x （D） cos x
f ( x0 ) 为极值， y e ，则 5、已知函数 f ( x) 可导，且 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) （A） e （B） （C）0 （D）
f ( x)
dy dx
x x0
.
三．计算题（3 小题，每题 6 分，共 18 分） 1、求极限 x 0
lim(1- kx)
2x
xy D. z xy
2
） ；
2/22
A. (ax b)e
2x
B. (ax b) xe
2 2
2x
C. (ax b) ce
2
2x
D. (ax b) cxe
2x
（4）已知 是由球面 x y z a 所围成的闭区域, 将 三次积分为（ ） ；
2
dv
2 0
2 x 2 dx
4 2
五．觧答题（3 小题，共 28 分） 1、 (8) 求函数 y 3x 4 x 1 的凹凸区间及拐点。
1 x0 1 x f ( x) 2 1 x0 f ( x 1)dx x 1 1 e 2、 (8 ) 设 求 0 2 2 3、 （1）求由 y x 及 y x 所围图形的面积； (6)
， 为 抛 物 面
高等数学（下）模拟试卷三
一． 填空题（每空 3 分，共 15 分） 1、 函数 y arcsin( x 3) 的定义域为
3/22
.
(n 2) 2 2 2、 n 3n 3n 2 = lim
2
. . . .
3、已知 y ln(1 x ) ，在 x 1 处的微分 dy
高等数学（下）试卷一
一、 填空题（每空 3 分，共 15 分） 1 1 z x y x y 的定义域为 （1）函数
（2）已知函数
z arctan
y z x ，则 x
2y y2
（3）交换积分次序，
2 0
dy
f ( x, y)dx
＝
（4）已知 L 是连接 (0,1) ,(1,0) 两点的直线段，则
.
7、 设 得分
D {( x, y) x y 1,0 y x} ，利用极坐标计算
2 2
arctan x dxdy
D
y
.
8、 求函数 f ( x, y) x 5 y 6 x 10 y 6 的极值. 9、 利用格林公式计算
2 2 2
(e
L
x
sin y 2 y)dx (e x cos y 2)dy
2 y
x y x 1 1 的特解 6、求微分方程 xy y xe 满足
四.解答题（共 22 分）
1、利用高斯公式计算 半球面 z
Байду номын сангаас
2 xzdydz yzdzdx z dxdy
2
，其中 由圆锥面 z
x 2 y 2 与上
2 x 2 y 2 所围成的立体表面的外侧 ( 1 0 ) n (1) n 1 n 1 3 的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛； 2、 （1）判别级数 n 1 （ 6 ）
A. L 平行于 B. L 在 上 C. L 垂直于 （ 2 ）设 （ ） A. dx dy
2
D. L 与 斜交
）
是由方程 xyz
x 2 y 2 z 2 2 确定，则在点 (1, 0, 1) 处的 dz
C. 2dx 2dy D. dx 2dy
B. dx 2dy
y
x 0
。
3、计算积分
0
sin 3 x sin 5 xdx
3a
3a x 4、计算积分 五．觧答题（3 小题，共 28 分）
0 2 2
x
dx, a 0
6/22
3at x 1 t2 2 y 3at 1 t 2 ，求在 t 2 处的切线方程和法线方程。 1、 (8) 已知 1 ln a ln b 1 (8 ) a b b 2、 求证当 a b 0 时， a
（2）在 x (1,1) 求幂级数 n 1
nx
n
的和函数（ 6 ）
高等数学（下）试卷二
一．填空题（每空 3 分，共 15 分）
4x y2 z ln(1 x 2 y 2 ) 的定义域为 （1）函数
（2）已知函数 z e ，则在 (2,1) 处的全微分 dz
xy
； ； ；
2 2
（3）已知 是由曲面 4 z 25( x y ) 及平面 z 5 所围成的闭区域，将 在柱面坐标系下化成三次积分为（ ） A. C.
( x
5 0
2
y 2 )dv
2 0
d r 3 dr dz
0 0
2
5
B.
2 0
d r 3dr dz
0 2
2n sin
3n 的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收
xn （2） （ 4 ）在区间 (1,1) 内求幂级数 n 1 n 的和函数 .
2 、 (12 ) 利 用 高 斯 公 式 计 算 z x 2 y 2 (0 z 1) 的下侧
2 xdydz ydzdx zdxdy
( x y)ds
L
（5）已知微分方程 y 2 y 3 y 0 ，则其通解为
二、选择题（每空 3 分，共 15 分） x 3y 2z 1 0 （1）设直线 L 为 2 x y 10 z 3 0 ，平面 为 4 x 2 y z 2 0 ，则（
在球面坐标系下化成
a
A
2 0
d sin d r dr
2 0 2 0
a
B.