22[1].2二次根式的性质
二次根式知识点
二次根式知识点二次根式是初中数学中的一个重要概念，它在数学的学习和实际应用中都有着广泛的用途。
接下来，咱们就来详细聊聊二次根式的相关知识。
首先，咱们得搞清楚啥是二次根式。
一般地，形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。
这里要特别注意，根号下的数 a 必须是非负数，不然就没有意义啦。
那二次根式有哪些性质呢？这可是重点哟！性质一：（√a）²＝ a（a≥0）。
也就是说，一个非负数开平方再平方，还是它本身。
性质二：√a² ＝｜a|。
当a≥0 时，√a² ＝ a；当 a＜0 时，√a² ＝ a。
这个性质在化简二次根式的时候经常用到。
性质三：√ab ＝√a × √b（a≥0，b≥0）。
性质四：√a/b ＝√a ／√b（a≥0，b＞0）。
了解了这些性质，咱们来看看二次根式的运算。
二次根式的加减法，关键是要把二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式（也就是同类二次根式）进行合并。
比如，√8 ＋√18 ＝2√2 ＋3√2 ＝5√2。
二次根式的乘法，就可以直接运用√ab ＝√a × √b 这个性质。
例如，√2 × √6 ＝√12 ＝2√3 。
二次根式的除法，运用√a/b ＝√a ／√b 进行计算。
比如，√12÷√3＝√4 ＝ 2 。
在进行二次根式的运算时，一定要注意化简，把结果化成最简二次根式。
那啥是最简二次根式呢？满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
比如说，√8 就不是最简二次根式，因为 8 可以分解成 4×2，4 还能开方得 2，所以√8 ＝2√2，2√2 就是最简二次根式。
再来说说二次根式的化简。
化简二次根式的时候，经常要用到分母有理化。
分母有理化就是把分母中的根号去掉。
比如，1 ／√2 ，分母有理化就是给分子分母同乘以√2 ，得到√2 ／ 2 。
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结二次根式是数学中的一种常见的根式表达式，它可以表示为$\sqrt{a}$ 的形式，其中 $a$ 是一个非负实数。
在学习二次根式时，常常会涉及到以下几个方面的知识点。
一、二次根式的性质：1. 非负性：对于任何非负实数 $a$，二次根式 $\sqrt{a}$ 都是非负实数。
2. 平方性：相对应的，对于任何非负实数 $a$，二次根式$\sqrt{a}$ 的平方等于 $a$，即 $(\sqrt{a})^2=a$。
3. 两个二次根式可以相等：如果两个二次根式 $\sqrt{a}$ 和$\sqrt{b}$ 相等，那么 $a$ 和 $b$ 必须相等，即$\sqrt{a}=\sqrt{b}$ 可推出 $a=b$。
二、二次根式的运算：1. 加减运算：两个二次根式可以进行加减运算，只要它们的被开方数相同即可。
即 $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}=\sqrt{a \pm b}$。
2. 乘法运算：两个二次根式相乘，可以将它们的被开方数相乘并开方。
即 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$。
3. 除法运算：两个二次根式相除，可以将它们的被开方数相除并开方。
即 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$。
4. 有理化分母：当二次根式的分母不含二次根式时，可以通过有理化分母的方法将其转化为含有二次根式的形式。
有理化分母的基本方法是将分母有理化，即乘以一个适当的形式为 $\sqrt{x}$ 的分子与分母相等的有理数，从而使得分母成为没有二次根式的有理数。
三、二次根式的化简：1.合并同类项：当二次根式相加或相减时，可以合并同类项，即将其中具有相同被开方数的二次根式相加或相减，并保持其他二次根式不变。
2.分解因式：当一个二次根式的被开方数可以分解成互质因子的乘积时，可以利用分解因式的方法进行化简。
3.化简根式：当二次根式的被开方数可以开方时，可以进行化简，即将其转化为整数、分数或者更简单的二次根式的形式。
二次根式知识点
二次根式知识点二次根式是初中数学中一个重要的知识点。
在学习二次根式之前，我们首先来了解一下根式的定义。
一、根式的概念根式是代表求根运算的一种表示方法。
其中，被开方数叫做被开方数，开方的次数叫做指数，开方的运算叫做根号运算。
开方的基本性质有三个：非负性、唯一性、封闭性。
1. 非负性：对于任意的实数a，当a≥0时，a的平方根存在且唯一。
2. 唯一性：对于任意的实数a，其平方根是唯一的。
3. 封闭性：平方根的运算封闭在非负实数集合内。
二、二次根式的定义二次根式是指指数为2的根式，也即平方根。
如果a≥0，那么二次根式√a就是等于非负实数b的平方根。
例如，√9 = 3，√16 = 4，√25 = 5等。
三、二次根式的化简在计算二次根式时，有时需要对二次根式进行化简。
化简的目的是为了得到最简形式的二次根式。
二次根式的化简原则如下：1. 提出因式：如果二次根式中有完全平方因子，可以将其提出根号外部。
2. 合并同类项：如果根式中有相同的根号，则可以将其合并并进行运算。
3. 分解质因数：如果根式中的被开方数可以分解为质因数的乘积，那么可以在根号内部进行分解。
化简二次根式的过程需要掌握一定的分解质因数的技巧，并且需要熟练掌握平方数的求法。
四、二次根式的运算规则在二次根式的运算过程中，需要掌握以下几个基本的运算规则。
1. 加减运算：二次根式之间可以进行加减运算，但要求被开方数、指数相同。
2. 乘法运算：二次根式之间可以进行乘法运算，运算后仍然是二次根式。
3. 除法运算：二次根式之间可以进行除法运算，运算后仍然是二次根式。
4. 有理化：如果二次根式中含有分母，可以通过有理化的方法将其变为无理数的形式。
掌握了这些运算规则，我们可以在计算中利用它们进行简化和优化，使得计算更加方便和高效。
五、二次根式的应用二次根式在数学中有广泛应用，在解决实际问题时也经常会用到。
1. 几何应用：在几何中，二次根式常常用来表示长度、距离等概念。
二次根式的性质
二次根式的性质二次根式是数学中的一个重要概念，也是代数学中的一个常见表达式。
它们具有一些特殊的性质，我们来详细探讨一下。
一、定义二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。
这里√称为根号，a称为被开方数。
当然，a可以是一个整数、小数或者分数。
二、性质1. 非负性：二次根式的被开方数a必须是非负实数，即a≥0。
因为√a是要求开方的数是非负的，否则就没有实数解。
2. 唯一性：对于给定的非负实数a，它的二次根式√a是唯一确定的。
这是因为非负实数平方的结果只有一个非负实数。
例如，√9=3，√25=5，√36=6，等等。
3. 运算性质：（1）加法与减法：二次根式可以进行加法和减法运算。
当两个二次根式的被开方数相同时，它们可以相加或相减。
例如，√a + √a = 2√a，√25 - √16 = √9 = 3。
（2）乘法：二次根式可以进行乘法运算。
两个二次根式相乘时，被开方数相乘，根号下的系数可以相乘。
例如，√a × √b = √(ab)，2√3 × 3√5 = 6√15。
（3）除法：二次根式可以进行除法运算。
两个二次根式相除时，被开方数相除，根号下的系数也可以相除。
例如，√a ÷ √b = √(a/b)，6√15 ÷ 3√5 = 2√3。
4. 化简与整理：（1）化简：有时候二次根式可以化简为更简单的形式。
例如，√4 = 2，√9 = 3，等等。
化简的关键是找到被开方数的平方因子，然后将依次提取出来。
（2）整理：有时候需要将二次根式按照一定的规则整理，使得表达式更具可读性。
例如，将√3 × 2√5整理为2√15，将5√a + 3√a整理为8√a，等等。
3. 近似值：对于无理数的二次根式，我们可以用近似值来表示。
这里的近似值可以使用小数形式或者分数形式。
四、应用二次根式是数学中广泛应用的一个概念，它在几何、代数、物理等领域都有重要作用。
1. 几何：二次根式在几何中常常用来表示线段的长度。
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳二次根式是数学中的一个重要概念，也是我们在中学阶段学习的数学知识之一、学好二次根式的知识，不仅可以提高我们的数学实力，还能够帮助我们更好地理解和应用数学。
下面是对二次根式的知识点进行归纳总结。
一、二次根式的定义与性质1.二次根式的定义：如果一个数x的平方等于一个有理数a，那么称x是a的二次根，记作√a=x。
其中，a是被开方数，x是二次根。
2.二次根式的性质：二次根式具有以下基本性质：-非负性：对于所有的a≥0，√a≥0。
-唯一性：对于任意一个正数a，二次根√a是唯一确定的。
-传递性：对于任意的a≥0和b≥0，如果√a=√b，那么a=b。
-加减性：对于任意的a≥0和b≥0，有√a±√b=√(a±b)。
-乘除性：对于任意的a≥0和b≥0，有√(a×b)=√a×√b，√(a/b)=√a/√b（其中，b不为零）。
二、二次根式的化简1.因式分解法：将二次根式的被开方数进行因式分解，然后利用乘除性质化简。
2.合并同类项法：将二次根式中相同的根号项合并，然后根据加减性质化简。
三、二次根式的比较大小1.当被开方数相同时，二次根式相等，即√a=√b，当且仅当a=b。
2.当被开方数不同时，可以通过平方的方式来比较大小。
即对于a≥b≥0，有√a≥√b。
四、二次根式的运算1.加减运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的加减运算。
-加法：√a+√b=√(a+b)。
-减法：√a-√b=√(a-b)（需要满足a≥b）。
2.乘法运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的乘法运算。
-乘法：√a×√b=√(a×b)。
3.除法运算：对于任意的a≥0和b>0，可以进行二次根式的除法运算。
-除法：√a/√b=√(a/b)（需要满足b≠0）。
五、二次根式的应用二次根式在实际问题中的应用非常广泛1.几何问题：二次根式可以用来表示长度、面积、体积等物理量，例如计算一个正方形的对角线长度、一个圆的半径等等。
二次根式的概念和性质
基础知识1、二次根式的定义：
我们已经知道：每一个正实数有且只有两个平方根，一个记作a，称为a的算术平方根；另 。
一个是a
我们把形如a的式子叫作二次根式，根号下的数a叫作被开方数.
由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义．
2、二次根式的性质
3、二次根式的积的算数平方根的性质
4、最后的计算结果，具有以下特点：
（1）被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；
（2）被开方数不含分母.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.
注意：①化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.
②化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.
③今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）.
题型一、二次根式的概念和条件
【例1】
【例2】
【例3】
【例4】
【例5】
【例6】
题型二、二次根式的性质【例7】计算
【例8】
【例9】
【练一练】
4、
5、
6、
7、
题型三积的算数平方根的性质
【例10】
【例11】
【例12】
【例13】
【例14】
题型四二次根式的化简
【例题精析】
【例15】
【例16】
【例17】
【例18】
【练一练】
4、
5、6、6、
7、。
二次根式的两个性质
二次根式的两个性质：1）)0(2≥=a a a ；2）)0()(2≥=a a a 即⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a1）12-x ； 2）x -2； 3）x1； 4）21x + 1）2)3(π- 2）122+-x x ，其中3-=x .化简下列二次根式：1） 被开方数中各因式的指数都为1；2） 被开方数不含分母.同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.举例说明：如ab 3、y x +231、)(622b a m +等都是最简二次根式.1）35a 2）a 42 3）324x 4）)1()12(32-≥++a a a1）)0(423>y y x 2）)0())((22≥≥+-b a b a b a3）)0(>>-+n m n m n mbabbabbbbaba36)3(63332322==∙∙=.把分母中的根号化去，叫做分母有理化.分母有理化的方法，一般是把分子和分母乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号.（1）122⨯（2）baa+÷（3）)0(22322>>+÷-bababa例题7如图所示，在面积为2a的正方形ABCD中，截得直角三角形ABE的面积为a33，求BE的长.例题8解下列方程和不等式：（1）22623-=-x（2）xx53365>+（3）xx3262>+（注意判断0)32(<-，不等号方向要变）如图，将一个正方形分割成面积为s（平方单位）和2s（平方单位）的两个小正方形和两个长方形，求图中每个长方形（阴影部分）的面积.B CE（1）3224⨯ （2）b ab 4∙ （3）22abc abc ∙二次根式除法法则：两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变.（1）b a 32÷ （2）v u u 32106÷(u>0)（3）c b c a b a 22-÷+（a>b>0）下列二次根式，那些是同类二次根式：12 ，24，271，b a 4， )0(23>a b a ，)0(3>-a ab1）323132122++-； 2）xy b xy a xy +-3 16.3二次根式的加法和减法合并同类二次根式. 二次根式的相加减的一般过程是：先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并.a aa a a a 22250832+-+ 248753+)7581()3125.0(--- m m m 21643932-+x x x x 12463621-+ q p q p -+-8)(50（先判断出(p-q)大于零）27582723++=x 954452->+x x。
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结二次根式是数学中的一个重要概念，也是初中数学中常见的一种代数表达形式。
在实际应用中，二次根式经常用于解决问题，特别是涉及到面积、体积和距离等概念的计算中。
本文将从定义、性质、常见运算和应用等方面对二次根式进行总结和讨论。
一、定义与性质1. 二次根式的定义：二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数。
我们可以将二次根式理解为一个具有非负平方根的数。
2. 二次根式的两个基本性质：（1）非负性：二次根式的值永远大于等于0，即√a≥0；（2）乘方性：二次根式的平方等于其本身，即(√a)^2=a。
3. 二次根式的化简：化简二次根式的基本思想是将其分解为因式的乘积。
通过因式分解，可以将根号下的被开方数分解为因子的乘积，并将它们的平方根与根号外的有理数相乘。
二、常见运算1. 二次根式的加减运算：对于同类项的二次根式，可以对其根号下的有理数进行加减运算，并保持根号内的被开方数不变。
2. 二次根式的乘法运算：对于二次根式的乘法，可以利用乘法公式将二次根式展开，并进行整理和化简。
3. 二次根式的除法运算：对于二次根式的除法，可以将分子与分母都乘以分母的共轭复数，并进行整理和化简。
三、应用领域1. 几何中的应用：二次根式在计算面积和体积时经常出现。
例如，计算一个正方形的对角线长度或一个球体的体积等。
2. 物理学中的应用：二次根式在计算速度、加速度、力和功等物理量时经常出现。
例如，计算物体自由落体运动的加速度或弹簧振动的周期等。
3. 金融和经济学中的应用：二次根式在计算利率、贷款、投资回报率等金融和经济问题中常常出现。
例如，计算贷款的月还款额或计算利润的增长率等。
四、解题方法1. 合理化因式：在化简二次根式的过程中，可以通过合理化因式的方法，将根号下的因子分解为平方数相乘的形式。
2. 分离因式：对于二次根式的加减运算，可以利用分离因式的方法，将根号内的因子进行合理分组，以方便进行计算和化简。
3. 引入新的变量：在解决复杂的二次根式问题时，可以适当引入新的变量，以简化计算和推导的过程。
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3已知 a , b , c 为△ ABC 的三边长 , 化简 (a b c)
2
(b a c )
2
4 实数p在数轴上的位置如图所示， 化简
解:
(1 p )
2
2 p
2
1 p (2 p ) p 1 2 p 1
5、 化简
25 x y
3
0 . 1 0.1
2
2 3
2
2 3
2
( 5)
2
=5
一般地，根据算术平方根的意义，
►
a
2
a
a (a≥0)Βιβλιοθήκη -a (a≤0)例3：化简
(1) 8 (2) ( 5) (3) (4) 5
2
(5)
2
2
练习 1： 计算 :
1 .
0 .3
2
1 2 . 7
2 3 3
3
6
2
x y
( a) 与
2
a 有区别吗
2
?
1:从运算顺序来看,
a 先开方,后平方
2
a
2
先平方,后开方
2.从取值范围来看,
a
2
2
a≥0
a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a
a
2
=a
a (a≥ 0)
=∣a∣= -a (a＜0)
4 意义不同： a 表示 非负数a的算术平方根 的平方，a 表示数a的平方的算术平方根
4
解：由二次根式的意义可知：
25 x y 0 , y 0 , x 0 .
3 4 4
25 x y
3
4
25 y x
4
3
5y x
2
x
5 xy
2
x
巩固练习
1、当 x 1 y 3 0 时，
x （ ）， y （ ） -1 3
2、已知 x 5 求 xyz 的值。 6 3 y z 2 0
2
(-5)×2×(-2)=20
3.若１＜Ｘ＜４，则化简
( x 4)
2
( x 1)
2
的结果是＿＿＿＿＿ 3
4.设a,b,c为△ ABC的三边，化简
( a b c ) ( a b c ) (b a c ) ( c b a )
(2) (4)
x3
x2
8 x
2 x
(3 ) (5 )
1 2x 5
2
x 2x 1
2 2
2 若a.b为实数,且
2 2
2a
b2 0
b2 0
求 a b 2 b 1 的值
解:
2 a 0，
而
2 a
b2 0
2a0 ，
b20
2
a
2， b 2
2
原式 a b 1
2 2 1
2
2
2 1 3
2
2
3 .
4 .
10
2
练习2:
1
1
2
2
2
2 1
2 x 1
(x>0 )
x 1
2
3
x 2 xy y (x﹤y)
2
x y
2
yx
练习3 计算：
8
2
8
2
3
2
3
2
2 3
12
x
xy
x≥2 ∴x=2, y=5
?
1
2
1
( 4)
2
4
0
(
0 . 01 )
2
0.01
(
1 3
)
2
3
(
0)
2
4 是 4的算术平方根，根据算 4 是一个平方等于
术平方根的意义， 4） 4
2
4的非负数，因此有（
a
2
a
(a≥0)
归纳
一般地，
►
（a≥0） ( a) a
2
例2：计算
2
2
5 读法不同：
a
2
a
2
联系： a≥0时，两式相等。
►
代数式
归纳
形如 5， a , a b , ab , 的式子，它们都是用基 运算包括加、减、乘、 把数和表示数的字母连 我们称这样的式子为 s t ,x ,
2
3,
a ( a≥ 0 )
本运算符号（基本 除、乘方和开方） 接起来的式子，
21.1二次根式
第二课时 性质
复习回忆
二次根式的定义:
a ( a 0 ) 的式子叫做二次根式
形如
.
思考
当 a＞0 时， a 表示 a 的算术平方根，因此 当 a 0 时， a 表示 0 的算术平方根，因此 这就是说 a a≥ 0）是一个非负数 （ . a＞ ; 0 a 0
2 2
∴ a + 2 = 0 , 3 b -9 = 0 ,4 -c= 0 。 ∴ a = -2 , b = 3 ,c= 4 。 ∴ 2 a -b + c= 2 × (-2 ) -3 + 4 = -3 。
已知 y 则 y x
2-X≥0 X-2≥0
2x
5
x 2 5,
____ 2
x ≤2
2 2 2 2
2a+2b+2c
5.若
a
2
( a ) ,则a的取值范围是（ ）
2
Ａ．a≥0 Ｃ．a≤0 6.计算：
(1 ) (
Ｂ．a≠0 Ｄ．a为任意数
2
3)
( 2 ) ( 3)
2
2
(3 ) ( x 1 )
( 4 ) ( x 1)
2
7.要使下列式子有意义，x需要满足什么 条件？
(1 ) 3 x
(1)( 1 .5 ) ( 2 )( 2 5 )
2
2
(3)( 3 3 )
2
综合
计算： ( 10 ) ( 3 3 )
2
2
解： ( 10 ) 2 ( 3 3 ) 2
10 ( 3 ) ( 3 )
2
2
10 27 17
探究
2
0
2
2
0
二次根式的性质（１）
非负数的算术平方根仍然是非负数。 性 质 1： a ≥ 0 (a ≥ 0 ) （ 双 重 非 负 性 ）
2
引 例 ： |a -1 |+ (b + 2 ) = 0 , 则 a =
b=
已知 a+2 +|3b-9|+(4-c)2=0, 求 2a-b+c 的值。
解：∵ 又∵ a + 2 ≥ 0 、 |3 b -9 |≥ 0 、 (4 -c) ≥ 0 ， a + 2 + |3 b -9 |+ (4 -c) = 0 ,
代数式 .
（1）二次根式的概念
（2）根号内字母的取值范围
（3）二次根式的性质
小结
二次根式
2
被开方数a≥0；
根指数为2.
（a≥0） ( a) a
a
2
（a≥0） a
拓展练习
1 化简下列各式:
(1)( 3 2 ) ( 2 3 )
2
2
(2) ( 5) ( 5 )
2 2
2
( 3 ) m 16 m 64 ( m 8 ) (4) a b (a 0, b 0)