八年级数学二次根式及其性质
八年级数学上册第2章实数7二次根式第1课时二次根式的概念及其性质预学新版北师大版
D. −
1
2
3
4
5
6
7
8
9
6. 【新考法 逐项代入法】二次根式 中， x 的值不能是
(
D
)
A. π
B. 1
C. 0
D. －1
1
2
3
4
5
6
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8
9
7. 下列二次根式是最简二次根式的是(
A.
C.
B
B.
D. .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
)
8. 下列式子成立的是(
D
)
Hale Waihona Puke A. (−) × (−) ＝ − × −
2. 表示的意义是非负数 a 的
1
2
.
二次根式 ， a 叫
1. 一般地，形如 ( a ≥0)的式子叫做
做被开方数.
1
2
3
4
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9
2. 二次根式的双重非负性：若 有意义，则 a
≥
0.
1
2
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9
≥
0，
3. ＝
·
＝
( a ≥0， b ≥0)，
(a
≥0， b ＞0).即积的算术平方根，等于积中各因式的算术
(1) × ＝
(2) × ＝
笔记：
×
×
＝
＝ 3
2
× 4
.
北京课改版数学八年级上册11.5《二次根式及其性质》说课稿
北京课改版数学八年级上册11.5《二次根式及其性质》说课稿一. 教材分析《二次根式及其性质》是北京课改版数学八年级上册第11.5节的内容。
本节课的主要内容是让学生掌握二次根式的定义、性质以及运算方法。
教材通过实例引入二次根式，使学生了解二次根式在实际问题中的应用。
教材内容由浅入深，逐步引导学生探索二次根式的性质，从而培养学生对数学知识的理解和运用能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，对分数、乘除法、幂运算等运算方法有一定的了解。
但学生对二次根式的认识还为零，对于二次根式在实际问题中的应用可能感到陌生。
因此，在教学过程中，需要关注学生的知识基础，通过实例引入二次根式，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探索二次根式的性质。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握二次根式的定义、性质及运算方法，能够运用二次根式解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过探索二次根式的性质，培养学生对数学知识的理解和运用能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极主动探索问题的习惯。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次根式的定义、性质及运算方法。
2.教学难点：二次根式在实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、实例教学法、小组合作学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题引入二次根式，激发学生的学习兴趣。
2.讲解二次根式的定义：引导学生了解二次根式的概念，明确二次根式的组成。
3.探索二次根式的性质：引导学生分组讨论，总结二次根式的性质。
4.讲解二次根式的运算方法：通过例题，讲解二次根式的加减乘除运算方法。
5.应用练习：布置一些实际问题，让学生运用二次根式解决问题。
6.课堂小结：对本节课的内容进行总结，强化学生对二次根式的理解。
7.布置作业：布置一些有关二次根式的练习题，巩固所学知识。
7.1二次根式及其性质(1)
二次根式及其性质学习目标：1、了解二次根式的意义2、掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值问题3、掌握2)(a =a(a ≥0)和a=2)(a (a ≥0)，并能灵活运用重点：二次根式有意义的条件，二次根式的性质1 难点：2)(a ≥0 （a ≥0）和2)(a = （a ≥0）的综合运用 学习过程：一、温故知新：1.(1)什么叫平方根？ （2）什么叫算术平方根？2.引入：这节课我们探讨的问题就是建立在算术平方根基础上的新知识——二次根式.二、探究活动自主学习1.一中校园有南、北两个正方形操场，已知南操场面积为s 平方米.（1）如果北操场比南操场面积大25平方米，北操场的边长是多少米？（2） 如果北操场是南操场面积2倍，北操场的边长是多少米？（3）如果北操场的面积是南操场面积之比为4:9，北操场的边长是多少米？（4）圆的面积为S ，则圆的半径是观察上面几个题目的结果，你能发现它们有什么特点2、归纳二次根式的定义：.其中a 为整式或分式，a 叫被开方式，如3，51，0，12+x 等，都是二次根式.思考：你对二次根式a 的认识① ②三、巩固提升例1、 说一说，下列各式是二次根式吗？325,1,(),0(12,6,32+≤--x y x xy m m 异号），例2、 a 取何值时，下列二次根式有意义： 1+a ，a -1，12+a ，a 13、二次根式性质的探索：根据算术平方根的意义尝试练习.：计算. 2)15( 2)4.0(- 2)4(，2)21(，2)5.0(根据计算结果，归纳总结出二次根式的性质1： 2)(a = ，其中a ≥0四、跟踪练习1．要使代数式32-x 有意义，则x 的取值范围是（ ）2．下列运算正确的是（ ） A.39±= B.33-=- C. 18)92(2=- D.2)31(=313．已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简2)(1a a +-的结果为（ ）A ．1B ．1-C ．12a -D ．21a -五、课堂小结：这节课我学会了： ； 我的困惑是： 。
2024八年级数学上册第二章实数7二次根式第1课时二次根式及其性质习题课件新版北师大版
5. [2024永州一中期末]化简｜ a －3｜＋( − )2的结果是
(
D
)
A. 0
B. 6
C. 2 a －6
D. 6－2 a
1
2
3
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5
6
7
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9
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11
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13
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15
16
知识点2二次根式的性质
·
6. (1) ＝
(2)
＝
1
2
3
( a ≥0， b ≥0)；
( a ≥0， b ＞0).
4
5
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7. 下列各式的化简正确的是(
C
)
A. (−) × (−) ＝ − × − ＝(－2)×(－7)＝14
B. ＝ + ＝ × ＝5
C.
＝
＝
＝
D. . ＝
1
2
＝
3
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5
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嘉嘉在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化
成另一个式子的平方，如：
5＋2 ＝(2＋3)＋2 × ＝( )2＋( )2＋2× ×
＝( ＋ )2；
8＋2 ＝(1＋7)＋2 × ＝12＋( )2＋2×1× ＝
(1＋ )2.
1
2
3
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7
二次根式及其性质课件
1 •下列式子一定是二次根式的是( C )
知1－练
2 •(中考·武汉)若代数式 C
•则x的取值范围是( )
在实数范围内有意义，
•A．x≥－2 B．x>－2 C．x≥2 D．x≤2
知识点 2 二次根式的性质
知2－导
做一做
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
4 9 ____, 4 9 _____; 4 _____, 4 _____;
•
的根指数为2，所以
是二次根式．
• (7)是．理由：因为|x|≥0，且 根式．
的根指数为2，所以
是二次
总结
知1－讲
二次根式是在初始的外在情势上定义的，不能从化 简结果上判断，如 是二次根式. 像 （a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式 的式子，不能称为二次根式.
知1－讲
• 例2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意 义？
知识点 1 二次根式的定义
知1－讲
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式． 其中a为整式或分式，a叫做被开方式． 特点：①都是形如 a 的式子，
②a都是非负数.
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
知1－讲
导引： 判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根
式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知3－练
1 (中考·淮安)下列式子为最简二次根式的是( A )
2 在下列根式中，不是最简二次根式的是( D )
1. 当a≥0时， 2. 当a≥0时， •3.
完成教材P43,习题T1-T4
谢谢！
知2－讲
知识点
商的算术平方根再探索 (1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法
初二数学二次根式及其性质(最新整理)
二次根式及其性质（基础）学习目标1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化要点梳理要点梳理要点一、二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，我们把形如(a≥0) 的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.2.代数式：形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.要点二、二次根式的性质 1、； 2.； 3.. 要点诠释： 1.二次根式(a≥0)的值是非负数，一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即. 2.与要注意区别与联系： 1).的取值范围不同，中≥0，中为任意值. 2).≥0时，==；<0时，无意义，=.典型例题类型一、二次根式的概念 1.当为实数时，下列各式，，，属二次根式的有____ 个.【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（） A．2 B.3 C.4 D.52. x取何值时，下列函数在实数范围内有意义？ （1）； （2）y=－；【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 类型二、二次根式的性质 3. 计算下列各式： (1) (2)【变式】（1）=_____________ （2）=_____________ 4. 已知，那么可化简为（ ） A. B. C. D.【变式】若整数满足条件则的值是___________.巩固练习一．选择题 1.若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）. A. B．x≥1 C.x<1 D.全体实数 2. 若,化简 ( ). A. B. C. D. 3.下列说法正确的是（ ） A．是一个无理数 B．函数的自变量x的取值范围是x≥1 C．8的立方根是 D.若点关于x轴对称，则的值为5. 4. 若a不等于0，a、b互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对数是( ).A.与B.与C.与D.与 5.下列根式是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 6. 已知，化简二次根式的正确结果为（ ） A. B. C. D.二. 填空题 7.当x______时，式子在实数范围有意义； 当x_______时，式子在实数范围有意义. 8.=____________. 若，则____________. 9．（1）=_____________ （2）（a>0）=__________________________ 10.若=0，则=_______________ 11.当x≤0时，化简=__________________________ 12.有如下判断： （1） (2）=1 （3） （4） （5） （6）成立的条件是同号.其中正确的有_____个.三综合题 13. 当为何值时，下列式子有意义？ （1） （2） （3）； （4）； 14. 已知实数x，y满足，求代数式的值. 15.若，求的值.。
人教版 八年级下册数学第十六章 二次根式 二次根式的概念和性质教案
二次根式的概念与性质 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： ● 理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：0(0)a a ≥≥，()2(0)a a a =≥，2(0)a a a =≥，并利用它们进行计算和化简．重点难点：● 重点：0(0)a a ≥≥；()2(0)a a a =≥，2(0)a a a =≥及其运用． ● 难点：利用0(0)a a ≥≥，()2(0)a a a =≥，2(0)a a a =≥解决具体问题． 学习策略： 对于本节的学习，要着重从理解二次根式的概念入手，逐步深入，处理好以下三个方面：● 把握二次根式有意义的条件及其性质．● 理解二次根式与算术平方根的联系与区别．● 逐步感受数系的变化，注重知识体系的纵横联系，养成严密的数学思想．二、学习与应用（一）平方根的概念：如果2x a =，那么 平方根．（二）算术平方根的概念：一个正数的 叫做这个数的算术平方根．（三）平方根的性质：一个正数有 个平方根，且它们是互为 ；0的平方根是 ；在实数范围内，负数 平方根．“凡事预则立，不预则废”。
科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？知识点一：二次根式的概念一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，“”称为 ．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为 ；②被开方数为 数． 知识点二：二次根式的性质（一）............................(0)a a ≥≥；（二）()2............................(0)a a =≥；（三）............................2............................(0)||(0)a a a a ≥⎧==⎨<⎩； （四）积的算术平方根的性质：............................(00)ab a b =≥≥，；（五）商的算术平方根的性质：............................(00)a a b b =≥>，． 要点诠释：二次根式a (a≥0)的值是非负数，其性质()2(0)a a a =≥可以正用亦可逆用，正用时去掉根号起到化简的作用；逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式，有利于在实数范围内进行因式分解．知识点三：代数式形如5，a ，a+b ，ab ，st，x 3，(0)a a ≥这些式子，用基本的 （基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方）把 连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression)．类型一：二次根式的概念知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。
2022秋八年级数学上册 第5章 二次根式5.1 二次根式1二次根式及其性质授课课件湘教版
感悟新知
要点精析：
知2－讲
(1)如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意义的条件
是：各个二次根式中根式又含有分式，那么它有意
义的条件是：二次根式中的被开方数(式)是非负散，分式
的分母不等于0.
(3)如果一个式子含有零指数幂或负整散指数幂，那么它有
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You made my day!
之间存在如下关系：v2=gR，其中重力加速度常数 g=9.8 m/s2.若已知地球半径R，则第一宇宙速度 是多少？
感悟新知
知1－导
我们已经知道：每一个正实数a有且只有两个平方
根，一个记作 a ，称为a的算术平方根；另一个是 a－ .
感悟新知
结论
知1－讲
我们把形如 a 的式子叫作二次根式，根号下的
①
13；②
－3；③－
3
x2＋1；④ 8；⑤
132；⑥ x2－2.
A．2 B．3 C．4 D．5
感悟新知
知识点 2 二次根式的“双重”非负性(a≥0， a 0 )
(1)式子 a 只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是 a 知2－导
为二次根式的前提条件.式子 就 2不是二次根式，但式 子 ( 2却) 2 又是二次根式．
数叫作被开方数.
感悟新知
1.定义：形如 a (a≥0)的式子叫作二次根式；
知1－讲
其中“ ”称为二次根号，a称为被开方数(式).
要点精析：(1)二次根式的定义是从代数式的结构形式上界
定的，必须含有二次根号“ ”；
“ ”的根指数为2，即 2 ，“2”一般省略不写.
(2)被开方数a可以是一个数，也可以是一个含有字母的式
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八年级数学二次根式及其性质
12.5
二次根式及其性质
要点、考点聚焦
课前热身
典型例题解析
课时训练
要点、考点聚焦
6.满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式.
(2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式.
(3)化简时应注意把被开方数分解因式或分解因数.
7.几个二次根式化成最简二次根式以后，若被开方数
相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.
如果最简二次根式与
是同类根式，那幺使有意义的x 的取值范围是( )
A.x ≤10
B. x ≥10
C. x 10
课前热身A2. 计算：的结果是。
3.若，则的取值范围是。
12x≤2C
4.在函数中，自变量x 的取值范围是( )
A.x ≥4
B. x ≤4
C. x >4
D. x <45.化简课前热身
6.直接写出下列各题的计算结果：。