《高等数学》同济大学上期——复习

x→1
f ( x) − f (1)
x −1
f ( x) − f (1) 解: lim x →1 x2 − 1 f ( x) − f (1) = lim x →1 ( x − 1)( x + 1)
f ( x) − f (1) 1 = lim ⋅ lim x →1 x →1 x + 1 x −1
1 1 = f ′(1) ⋅ = 2 2
极限 连续
——计算：运算法则、洛必达法则、 计算：运算法则、洛必达法则、 计算 无穷小替换、 无穷小替换、极限存在准则 ——连续函数的定义、间断点分类 连续函数的定义 连续函数的定义、
计算： 定义、 计算 函数可导的定义 导数几何意义、 导数 ——计算：函数可导的定义、导数几何意义、 高 求导法则、高阶导数、 求导法则、高阶导数、 数 隐函数求导、参数方程求导、 隐函数求导、参数方程求导、微分 应用：函数单调性、 应用：函数单调性、凹凸性等判断
7. 0 0
极限计算中常用的等价无穷小替换 5、极限计算中常用的等价无穷小替换
x～ sin x ～
～ arcsin x ～
1 x2 ; 1− cos x ～ 2
～
它们的反函数） ～ e −1 （它们的反函数）
x
～
µ −1 (1+ x)
说明： 说明：
～ µ x;
sin 3x ~ 3x ( x → 0)
dy ′ 2 dx ( t ) d y = 2 dx x '(t )
dy y '(t ) = dx x '(t )
7.微分 7.微分 df ( x) = f '( x)dx
1-6
f ( x) − f (1) 设 f '(1) = 1 ，求 lim x →1 x2 − 1
分析: 分析 f ′(1) = lim
1 − cos x 0 = lim “ 型” 无穷小替换 2 x →0 3x 0
= lim
x →0
1 2
x2
2
3x
1 = 6
e −1 2-1 求极限 lim x →0 x (1 − cos x )
sin 3 x
.
分析: 1.判断极限 分析 1.判断极限类型 判断极限类型 2.洛必达法则 2.洛必达法则
(1) yn ≤ xn ≤ zn ( n = 1, 2, L)
(2) lim yn = lim zn = a
n→∞ n→∞
lim xn = a
n→∞
关键： 关键： 构造的左、右数列必须具有相同的极限 相同的极限！ 构造的左、右数列必须具有相同的极限！
4、计算
sin x lim =1 （1）无穷小 × 有界函数 = 无穷小 x→0 x sin x lim =0 x →∞ （2）四则运算法则 x
n2 1 lim 2 = lim 1 =1 n→∞ n + n n →∞ 1 + n
n2 1 lim 2 =1 = lim 1 n→∞ n +1 n→∞ 1+ n2
由夹挤定理，得证。 由夹挤定理，得证。
二、连续性
函数连续的定义 1、函数连续的定义 f (x) ∈C[a,b]
f (x) ∈C{x0}
x = 2为无穷间断点
x1 1 e− 2-9 求函数 f ( x) = ln(1 + x) 并指出类型。 并指出类型。
解: 间断点： x = 1, x = 0 间断点：
x>0 −1 < x ≤ 0
的间断点， 的间断点，
1 ∞ lim e x −1 = +∞ 1 x →1+ x −1 = 1. lim f ( x) = lim e 1 x →1 x →1 lim e x −1 =0 x →1− x = 1为无穷间断点
n 阶导函数：y(n) = ( y(n−1) )′ = f (n) (x)
4.导数的四则运算 4.导数的四则运算 导数的
u ′ u′v − uv′ ( )= 2 v v [ f ( g ( x))]′ = f ′ ( g ( x)) ⋅g ′ ( x)
5.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数求导 5.隐函数求导
F ( x, y ( x ) ) = 0
f (x)在x0 连续
x → x0
lim f ( x) = f ( x0 )
x→x0
x→x0
lim f (x) = f (x0 ) = lim f (x) − +
左连续 右连续
在点
第一类间断点
间断的类型
可去间断点 左右极限都存在 跳跃间断点 无穷间断点 左右极限至少有一 振荡间断点 个不存在
第二类间断点
2 1-9 利用夹挤定理证明 lim = 0 . n→∞ n ! n − 3项 证明: 证明
n
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2L 2 ⋅ 2 ⋅ 2 2n = 0 ≤ n! 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4L (n − 2) ⋅ ( n − 1) ⋅ n
n − 3项
保留， 保留，使得放 大后的数列 ——极限为零 极限为零
两边对 两边对 x 求导
(uv)′ = u′v + uv′
′ ln(1 + x )
2
=
1 ⋅ (1 + x 2 )′ 1 + x2
2x = 1 + x2
e x+ y )′ = e x+ y ⋅(1 + y ') (
含导数y′( x)的方程
d F ( x, y ( x ) ) = 0 dx
2
x → x0
f ( x)
x = 1, x = 2
x −1 ( x − 1)( x + 1) 1. lim 2 = lim = −2 x →1 x − 3 x + 2 x →1 ( x − 1)( x − 2)
x = 1为可去间断点
x2 − 1 2. lim 2 =∞ x →2 x − 3 x + 2
计算：凑微分法、 计算 不定积分 ——计算：凑微分法、 换元法、 换元法、分部积分法
积分
计算： 计算 牛顿定积分 ——计算：牛顿-莱布尼兹公式 应用： 应用：几何应用
一、一元函数y=f(x)极限 一元函数 = ( )
1、数列极限
lim xn = a
n→∞
∀ ε > 0, ∃ N ∈ Ν + , 当 n > N 时, 总有 xn − a < ε
sin x ~ x ( x → 0)
1 sin x 1-1 求极限 lim 2 − 3 x →0 x x
分析: 1.判断极限 分析 1.判断极限类型 判断极限类型 2.通分处理 2.通分处理
.
“ ∞ − ∞型” 0 “ 型” 洛必达 0
x − sin x 1 sin x 解: lim 2 − 3 = lim x →0 x x x →0 x 3
x −1 的间断点， 1-7 求函数 f ( x) = 2 的间断点，并指出类型 x − 3x + 2
2
分析: 1.寻找函数没意义的点 寻找函数没意义的点——间断点 x0 分析 1.寻找函数没意义的点 间断点 2. 分析间断点 0的类型，需分析极限！lim 分析间断点x 的类型， 分析极限！ 解: 间断点：x 2 − 3 x + 2 = 0 间断点：
通分 无穷小替换
x − ex + 1 = lim x →0 x ⋅x 1 − ex = lim x →0 2 x
0 “ 型” 0
洛必达
0 “ 型” 0
2
无穷小替换
−x = − 1 = lim
x →0
2x
tan x − sin x x−x . 2-3 求极限 lim 原式 = lim 3 3 x →0 x→0 x x 0 tan x − sin x “ 型” 洛必达 解: lim 3 x →0 0 x
（3）复合函数求极限
x → x0
lim g ( x) = u0
u →u0
lim f (u ) = A
x → x0
lim f [ g ( x) ] = A
（4）求极限——洛必达法则 lim f (x) = lim f ′( x) 求极限 洛必达法则 x→a F( x) x → a F ′( x )
0 1. 0 ∞ 2. ∞
切线方程: 切线方程: y − y0 = f ′( x0 )( x − x0 )
1 ( x − x0 ) 法线方程: 法线方程: y − y0 = − f ′( x 0 )
o
T
α
x0
x
( f ′(x0 ) ≠ 0)
3.高阶导数 3.高阶导数
y = f (x)
导函数：y′ = f ′(x)
二阶导函数：y′′ = ( y′)′ = f ′′(x)
sec 2 x − cos x = lim x →0 3x 2 0 “ 型” 0
1 1 − cos3 x ) 2 ( = lim cos x 2 x →0 3x
1 1 − cos3 x = lim ⋅ lim 2 x →0 cos x x →0 3x 2
计算有非零极限因子
0 “ 型” 0
洛必达
1 − 3cos 2 x ⋅ (− sin x) = = 1 ⋅ lim x →0 2 6x
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) = lim ∆ x→0 ∆x
= lim
h→0
x0 不可导. 不可导
f ( x0 + h) − f ( x0 )
h
x0 x0 + ∆x
∆y
2.导数的几何意义 2.导数的几何意义