2015-2016学年河南省天一大联考高三(上)第二次段考数学试卷(理科)(b卷)(解析版)

2015-2016学年河南省天一大联考高三（上）第二次段考数学试卷（理科）（B卷）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）定义集合A﹣B={x|x∈A且x∉B}，若集合A={1，3，4，5}，B={2，3，4}，则集合A﹣B的元素个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）=（）A．B．C．D．3．（5分）若递增等比数列{a n}的前n项和为S n，a2=2，S3=7，则公比q等于（）A．2 B．C．2或D．无法确定4．（5分）已知抛物线y2=12x与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线的一个交点的横坐标为12，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．25．（5分）设函数f（x）=xlnx+2x，若f′（x0）=5，则f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为（）A．y=5x﹣e2B．y=5x﹣e C．y=5x﹣e2ln2 D．y=5x﹣2ln26．（5分）在等差数列{a n}中，a9=a12+6，a2=4，设数列{a n}的前n项和为S n，则数列{}的前10项和为（）A．B．C．D．7．（5分）已知角α的终边经过点P（sin15°，﹣cos15°），则sin2α的值为（）A．+B．﹣C．D．08．（5分）已知三个数a﹣1，a+1，a+5成等比数列，其倒数重新排列后恰好为递增的等比数列{a n}的前三项，则能使不等式a1+a2+…+a n≤++…+成立的自然数n的最大值为（）A．5 B．7 C．8 D．99．（5分）设函数f（x）=sin（2x+φ）（φ∈[0，π]），其导数f'（x）的图象向右平移个单位后关于原点对称，则φ=（）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线y2=16x的焦点F，M是抛物线C上位于第一象限内的一点，O为坐标原点，若△OFM的外接圆D与抛物线C的准线相切，则圆D与直线x﹣y﹣2=0相交得到的弦长为（）A．B．4 C． D．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，BH为AC边上的高，BH=5，若20a+15b+12c=，则H到AB边的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）如图，某时刻点P与坐标原点O重合，将边长为2的等边三角形PAB沿x轴正方向滚动，设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），对任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2[﹣+f（4）+]在区间（t，3）上不是单调函数，则m的取值范围为（）A．（﹣，﹣9）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣，﹣5）D．（﹣9，﹣5）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．（5分）已知向量=（1，2），=（x，﹣1），且⊥，则|﹣2|=．14．（5分）=．15．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个顶点分别为A和B，且与=（1，﹣）共线，若点O，F分别为椭圆C的中心和左焦点，点P为椭圆C上任意一点，且•的最大值为6，则椭圆C的长轴长为．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且nS n+（n+2）a n=4n，则S n=．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成等比数列，且（2a﹣c）cosB=bcosC（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求+．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=1+S n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}为等差数列，且b1=a1，公差为．当n≥3时，比较b n+1与1+b1+b2+…+b n的大小．19．（12分）已知圆C1：x2+y2=9与圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2（r＞0）相外切．（1）若圆C2关于直线l：=1对称，求由点（a，b）向圆C2所作的切线长的最小值；（2）若直线l1过点A（1，0）且与圆C2相交于P，Q两点，求△C2PQ面积的最大值，并求此时直线l1的方程．20．（12分）已知函数f（x）=是R上的增函数（1）求实数a的取值范围；（2）若g（x）=﹣的最小值为﹣，试比较f（g（x））的大小，并说明理由．21．（12分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），椭圆E的右焦点到直线l：x﹣y+1=0的距离为．椭圆E的右顶点到右焦点与直线x=2的距离之比为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l与椭圆E交于M，N两点，l与x轴，y轴分别交于C，D两点，记MN的中点为G，且C，D两点到直线OG的距离相等，当△OMN的面积最大时，求△OCD的面积．22．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1，g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx．（Ⅰ）求证：当ax＜x时，f（x）＞0恒成立；（Ⅱ）若存在x0＞0，使得f（g（x0））＞f（x0），求a的取值范围．2015-2016学年河南省天一大联考高三（上）第二次段考数学试卷（理科）（B卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2015秋•河南月考）定义集合A﹣B={x|x∈A且x∉B}，若集合A={1，3，4，5}，B={2，3，4}，则集合A﹣B的元素个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据集合A﹣B的定义求出集合A﹣B，即可得到结论．【解答】解：∵集合A﹣B={x|x∈A且x∉B}，A={1，3，4，5}，B={2，3，4}，∴A﹣B={x|x∈A且x∉B}={1，5}，则集合A﹣B的元素个数为2，故选：B．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合A﹣B是解决本题的关键．2．（5分）（2015秋•河南月考）=（）A．B．C．D．【分析】直接利用两角和与差的正弦函数化简求解即可．【解答】解：===．故选：A．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，考查计算能力．3．（5分）（2015秋•河南月考）若递增等比数列{a n}的前n项和为S n，a2=2，S3=7，则公比q等于（）A．2 B．C．2或D．无法确定【分析】由题意可得，由此求得公比q的值（注意等比数列是递增数列）．【解答】解：由题意可得，，化简可得2﹣5q+2q2=0，解得q=2，或q=（舍去），故选A．【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式的应用，属于中档题．4．（5分）（2015秋•河南月考）已知抛物线y2=12x与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线的一个交点的横坐标为12，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．2【分析】由题意，交点坐标为（12，±12），可得一条渐近线的方程为y=x，a=b，c=a，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，交点坐标为（12，±12），∴一条渐近线的方程为y=x，∴a=b，c=a，∴e==，故选：A．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查抛物线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．5．（5分）（2015秋•河南月考）设函数f（x）=xlnx+2x，若f′（x0）=5，则f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为（）A．y=5x﹣e2B．y=5x﹣e C．y=5x﹣e2ln2 D．y=5x﹣2ln2【分析】先求导函数，利用f′（x0）=5，可得x0=e2，进而可得曲线y=xlnx+2x在点（e2，4e2）处的切线方程．【解答】解：求导函数，y′=lnx+3．∵f′（x0）=5，∴lnx0+3=5，∴x0=e2，∴曲线y=xlnx+2x在点（e2，4e2）处的切线方程为y﹣4e2=5（x﹣e2）即y=5x﹣e2．故选：A．【点评】本题考查的重点是曲线在点处的切线方程，解题的关键是利用导数的几何意义，求得切线的斜率．6．（5分）（2015秋•周口期末）在等差数列{a n}中，a9=a12+6，a2=4，设数列{a n}的前n项和为S n，则数列{}的前10项和为（）A．B．C．D．【分析】利用等差数列的通项公式及其“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a9=a12+6，a2=4，∴，解得a1=d=2．∴S n==n2+n．∴==．则数列{}的前10项和=+…+=1﹣=．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）（2015秋•河南月考）已知角α的终边经过点P（sin15°，﹣cos15°），则sin2α的值为（）A．+B．﹣C．D．0【分析】由三角函数的定义可先求sinα，然后代入求解．【解答】解：角α的终边经过点P（sin15°，﹣cos15°），即P（cos（﹣75°），sin（﹣75°））由三角函数的定义可得，sin2α=sin2（﹣75°）=[sin（45°+30°）]2==．故选：A．【点评】本题主要考查了三角函数的定义，两角和与差的三角函数，属于中档题．8．（5分）（2016秋•红旗区校级月考）已知三个数a﹣1，a+1，a+5成等比数列，其倒数重新排列后恰好为递增的等比数列{a n}的前三项，则能使不等式a1+a2+…+a n≤++…+成立的自然数n的最大值为（）A．5 B．7 C．8 D．9【分析】求出数列的前n项和，根据不等式之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵三个数a﹣1，a+1，a+5成等比数列，∴（a+1）2=（a﹣1）（a+5），∴a=3，倒数重新排列后恰好为递增的等比数列{a n}的前三项，为，，，公比为2数列{}是以8为首项，为公比的等比数列．则不等式a1+a2+…+a n≤++…+等价为≤整理，得2n≤27，∴1≤n≤7，n∈N+．故选：B．【点评】本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和的应用，考查数列与不等式的应用，综合性较强，运算量较大．9．（5分）（2015秋•河南月考）设函数f（x）=sin（2x+φ）（φ∈[0，π]），其导数f'（x）的图象向右平移个单位后关于原点对称，则φ=（）A．B．C．D．【分析】根据题意求f'（x），根据三角函数的平移变化后，关于原点对称进行求解．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ），那么：f'（x）=2cos（2x+φ），向右平移个单位后可得：2cos[2（x﹣）+φ]=2cos（2x﹣φ），∵y=2cos（2x﹣φ）关于原点对称，则有：﹣φ=kπ（k∈Z）又∵φ∈[0，π]，∴当k=﹣1时，φ=，满足题意．故选：C．【点评】本题考查了三角函数的导函数的求法，平移计算能力以及图象性质的运用！属于中档题．10．（5分）（2015秋•河南月考）已知抛物线y2=16x的焦点F，M是抛物线C上位于第一象限内的一点，O为坐标原点，若△OFM的外接圆D与抛物线C的准线相切，则圆D与直线x﹣y﹣2=0相交得到的弦长为（）A．B．4 C． D．【分析】先求出圆D的圆心与半径，再求出圆心到直线的距离，即可求出圆D与直线x﹣y﹣2=0相交得到的弦长．【解答】解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|==4，∴圆的半径为6，圆心的横坐标为2，∴圆心的纵坐标为±=±4，∴圆心到直线的距离d==2，∴圆D与直线x﹣y﹣2=0相交得到的弦长为2=4，故选：D．【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于中档题．11．（5分）（2016秋•红旗区校级月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，BH为AC边上的高，BH=5，若20a+15b+12c=，则H到AB边的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据便可得到，从而由平面向量基本定理便可得出，从而有a2+b2=c2，这便说明BC⊥AC，从而C和H重合，这便得到a=5，根据面积公式即可求出H到AB边的距离．【解答】解：根据条件，=；不共线；∴；∴；∴；即a2+b2=c2；∴如图，AC⊥BC，H和C重合，BH=5；∴a=5，设H到AB边的距离为h，则：；∴．故选：D．【点评】考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算，以及平面向量基本定理，直角三角形边的关系，三角形的面积公式．12．（5分）（2015秋•东莞市期末）如图，某时刻点P与坐标原点O重合，将边长为2的等边三角形PAB 沿x轴正方向滚动，设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），对任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2[﹣+f（4）+]在区间（t，3）上不是单调函数，则m的取值范围为（）A．（﹣，﹣9）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣，﹣5）D．（﹣9，﹣5）【分析】确定f（4）=2，可得g（x），求导g′（x）=3x2+（m+4）x﹣2，从而转化为零点的存在性问题．【解答】解：根据题意画出顶点P（x，y）的轨迹，如图所示．轨迹是一段一段的圆弧组成的图形．从图形中可以看出，f（4）=2，∴g（x）=x3+x2[﹣+f（4）+]=g（x）=x3+（2+）x2﹣2x，∴g′（x）=3x2+（m+4）x﹣2；∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2；∴g′（t）＜0，g′（3）＞0；由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，∴．∴﹣＜m＜﹣9，故选：A．【点评】本题考查轨迹问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定函数的解析式是关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．（5分）（2015秋•河南月考）已知向量=（1，2），=（x，﹣1），且⊥，则|﹣2|=5．【分析】由⊥，可得=0，解得x．再利用数量积运算性质即可得出．【解答】解：∵⊥，∴=x﹣2=0，解得x=2．∴=（﹣3，4），∴|﹣2|==5．故答案为：5．【点评】本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）（2015秋•南安市校级期末）=π+2．【分析】由和的积分等于积分的和展开，然后由定积分的几何意义求得，再求得，作和得答案．【解答】解：=，令y=，得x2+y2=4（y≥0），则圆x2+y2=4的面积为4π，由定积分的几何意义可得，，又，∴=π+2．故答案为：π+2．【点评】本题考查定积分，考查定积分的几何意义，考查微积分基本定理的应用，是基础题．15．（5分）（2015秋•河南月考）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个顶点分别为A和B，且与=（1，﹣）共线，若点O，F分别为椭圆C的中心和左焦点，点P为椭圆C上任意一点，且•的最大值为6，则椭圆C的长轴长为4．【分析】通过与=（1，﹣）共线可知b=a，从而可知F（﹣，0），通过设P（x，y），进而化简可知•=（x+a）2+，利用﹣a≤x≤a可知（a+a）2+=6，计算即得结论．【解答】解：依题意，A（0，b），B（a，0），O（0，0），∴=（a，﹣b），又∵与=（1，﹣）共线，∴﹣a=﹣b，即b=a，∴椭圆方程可化为：+=1，∴F（﹣，0），设P（x，y），则•=（x，y）•（x+，y）=x+x2+y2=x+x2+（a2﹣x2）=x2+x+a2=（x+a）2+，∵﹣a≤x≤a，∴当x=a时，•取最大值为6，∴（a+a）2+=6，解得：a=2或a=﹣2（舍），∴长轴长2a=4，故答案为：4．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．注：本题亦可通过两向量同向时数量积最大从而直接确定点P为右端点．16．（5分）（2015秋•河南月考）设数列{a n}的前n项和为S n，且nS n+（n+2）a n=4n，则S n=4﹣．【分析】nS n+（n+2）a n=4n，可得S n+a n=4，当n=1时，解得a1=1．当n≥2时，S n﹣1+=4，可得：a n=，即=，利用“累乘求积”可得a n，代入nS n+（n+2）a n=4n，即可得出．【解答】解：∵nS n+（n+2）a n=4n，∴S n+a n=4，∴当n=1时，a1+3a1=4，解得a1=1．当n≥2时，S n﹣1+=4，化为：a n=，∴=，∴a n=•…••a1=•…•×1=．代入nS n+（n+2）a n=4n，∴nS n+=4n，∴S n=4﹣．故答案为：4﹣．【点评】本题考查了递推关系的应用、“累乘求积”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）（2015秋•河南月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成等比数列，且（2a﹣c）cosB=bcosC（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求+．【分析】（Ⅰ）由余弦定理化简已知等式可得：（2a﹣c）=b，整理可得：a2+c2﹣b2=ac，由余弦定理可求cosB，结合B的范围即可得解B的值．（Ⅱ）由b2=ac，利用正弦定理可得：sin2B=sinAsinC，利用同角三角函数关系式及两角和的正弦函数公式化简可得+=，结合（Ⅰ）的结论即可得解．【解答】解：（Ⅰ）∵（2a﹣c）cosB=bcosC，∴由余弦定理可得：（2a﹣c）=b，整理可得：a2+c2﹣b2=ac，∴cosB===，∴由B∈（0，π），可得B=．（Ⅱ）∵内角A，B，C的对边a，b，c成等比数列，可得：b2=ac，∴由正弦定理可得：sin2B=sinAsinC，∴+======．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数关系式，等差数列与等比数列的性质等知识的应用，熟练掌握和灵活应用相关公式及定理是解题的关键，属于中档题．18．（12分）（2015•西城区二模）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=1+S n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}为等差数列，且b1=a1，公差为．当n≥3时，比较b n+1与1+b1+b2+…+b n的大小．【分析】（I）由a n+1=1+S n（n∈N*），当n≥2时可得a n+1=2a n，当n=1时，=2，利用等比数列即可得出；（II）利用等差数列的通项公式可得：b n=2n﹣1．当n≥3时，b n+1=2n+1.1+b1+b2+…+b n=n2+1．通过作差即可比较出大小．【解答】解：（I）∵a n+1=1+S n（n∈N*），∴当n≥2时，a n=1+S n﹣1，∴a n+1﹣a n=a n，即a n+1=2a n，当n=1时，a2=1+a1=2，∴=2，综上可得：a n+1=2a n（n∈N*），∴数列{a n}是等比数列，公比为2，∴．（II）数列{b n}为等差数列，且b1=a1=1，公差为=2．∴b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．当n≥3时，b n+1=2n+1．1+b1+b2+…+b n=1+=n2+1．∴n2+1﹣（2n+1）=n（n﹣2）＞0，∴b n+1＜1+b1+b2+…+b n．【点评】本题考查了递推式的应用、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、“作差法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2015秋•河南月考）已知圆C1：x2+y2=9与圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2（r＞0）相外切．（1）若圆C2关于直线l：=1对称，求由点（a，b）向圆C2所作的切线长的最小值；（2）若直线l1过点A（1，0）且与圆C2相交于P，Q两点，求△C2PQ面积的最大值，并求此时直线l1的方程．【分析】（1）由于两圆相外切，可得|C1C2|=3+r=5，解得r．由圆C2关于直线l：=1对称，可得﹣=1，化为：a=b+3．由点（a，b）向圆C2所作的切线长==．利用二次函数的单调性即可得出切线长取得最小值．（2）由题意可知：直线l1的斜率存在且不为0，可设方程为：y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．圆心C2到直线l 1的距离d=．|PQ|=2，可得=d|PQ|=d，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）圆C1的圆心C1（0，0），半径为3．圆C2的圆心C2（3，4），半径r．|C1C2|==5．∵两圆相外切，∴|C1C2|=3+r=5，解得r=2．∵圆C2关于直线l：=1对称，∴﹣=1，化为：a=b+3．由点（a，b）向圆C2所作的切线长===．∴当b=2时，切线长取得最小值2．（2）由题意可知：直线l1的斜率存在且不为0，可设方程为：y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．圆心C2（3，4）到直线l1的距离d==．|PQ|=2=2，∴=d|PQ|=d≤=2，当且仅当d=时取等号，取得最大值2．∴=，化为：k2﹣8k+7=0，解得k=1，7．∴直线l1的方程为：x﹣y﹣1=0，或7x﹣y﹣7=0．【点评】本题考查了两圆外切的性质、直线与圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（12分）（2015秋•河南月考）已知函数f（x）=是R上的增函数（1）求实数a的取值范围；（2）若g（x）=﹣的最小值为﹣，试比较f（g（x））的大小，并说明理由．【分析】（1）运用指数函数和一次函数的单调性，可得2﹣a＞0，a+2＞1，再由单调性的定义可得7（2﹣a）﹣12≤a+2，解不等式即可得到所求范围；（2）求得g（x）的导数，求得极值点，判断最小值点，解得a=2，再求最大值，由单调性即可得到所求大小．【解答】解：（1）由题意可得，当x≤7时，有2﹣a＞0，解得a＜2；当x＞7时，有a+2＞1，解得a＞﹣1；又7（2﹣a）﹣12≤a+2，解得a≥0．综上可得0≤a＜2；（2）g（x）=﹣x3+x2+2ax的导数为g′（x）=﹣x2+x+2a，由g′（x）=0，可得x=（舍去）或x=，由0≤a＜2，可得∈[1，4]，且为最大值点，若g（1）为最小值，即有+2a=﹣，解得a=﹣（舍去）：若g（4）为最小值，即有8a﹣=﹣，解得a=1，检验成立．此时g（x）的最大值为g（2）=﹣+2+4=，即有g（x）≤，由f（x）在R上递增，可得f（g（x））≤f（）．【点评】本题考查函数的单调性的运用，考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题．21．（12分）（2015秋•河南月考）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），椭圆E的右焦点到直线l：x﹣y+1=0的距离为．椭圆E的右顶点到右焦点与直线x=2的距离之比为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l与椭圆E交于M，N两点，l与x轴，y轴分别交于C，D两点，记MN的中点为G，且C，D两点到直线OG的距离相等，当△OMN的面积最大时，求△OCD的面积．【分析】（1）由题意得到关于a，c的方程，求出a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）设出直线l的方程y=kx+t，和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系得到M，N的横坐标的和与积，再由点到直线的距离公式求出O到直线的距离，代入三角形面积公式，结合MN的中点为G，且C，D两点到直线OG的距离相等可得k的值，把三角形面积转化为含有t的关系式，则求出使三角形OMN的面积最大时的k与t的值，进一步求得△OCD的面积．【解答】解：（1）由题意，得，解得，∴b2=a2﹣c2=2﹣1=1，则椭圆E的标准方程为；（2）如图，设直线l的方程为y=kx+t，联立，得（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2=0，△=16k2t2﹣4（1+2k2）（2t2﹣2）=16k2﹣8t2+8＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，由C，D两点到直线OG的距离相等，可知G为CD的中点，由直线方程为y=kx+t，得C（﹣），D（0，t），∴G（），又G为MN的中点，∴，解得，代入△=16k2﹣8t2+8＞0，可得t2＜2．∴|MN|===2．原点O到直线y=kx+t的距离d=．∴=．代入，可得=．由t2＜2知，当t2=1时，S△OMN取得最大值，等于．此时，，=．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆方程的求法，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常联立直线方程和圆锥曲线方程，化为关于x的一元二次方程后，利用根与系数的关系求解，是压轴题．22．（12分）（2015秋•河南月考）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1，g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx．（Ⅰ）求证：当ax＜x时，f（x）＞0恒成立；（Ⅱ）若存在x0＞0，使得f（g（x0））＞f（x0），求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出导数，讨论a≤0时，a＞0时，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间，再由ax＜x，讨论x＞0，x＜0，即可得证；（Ⅱ）当x＞0时，e x﹣1＞x，故对∀x＞0，g（x）＞0；构造函数H（x）=xe x﹣e x+1（x＞0），则H′（x）=xe x＞0；从而由导数求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）证明∵f（x）=e x﹣ax﹣1，∴f′（x）=e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0；函数f（x）在R上是增函数；当a＞0时，当x＞lna时，f′（x）＞0，当x＜lna时，f′（x）＜0；函数f（x）的单调增区间为（lna，+∞），单调减区间为（﹣∞，lna）；当ax＜x时，即有x＞0，a＜1，即有f′（x）＞0，f（x）递增，即f（x）＞f（0）=0；x＜0，a＞1，即有f′（x）＜0，f（x）递减，即f（x）＞f（0）=0．综上可得，当ax＜x时，f（x）＞0恒成立；（Ⅱ）e x﹣x﹣1的导数为e x﹣1，当x＞0时，y=e x﹣x﹣1递增，即有e x﹣1＞x，故对∀x＞0，g（x）＞0；构造函数H（x）=xe x﹣e x+1（x＞0），则H′（x）=xe x＞0；故函数H（x）在（0，+∞）上单调递增，则H（x）＞H（0）=0，则∀x＞0，xe x﹣e x+1＞0成立，即g（x）＜x在x＞0时恒成立，当a＞1时，e x﹣ax﹣1的导数为e x﹣a，f（x）在（lna，+∞）上单调递增，在（0，lna）上单调递减，当0＜x＜lna时，0＜g（x）＜x＜lna，所以f（g（x））＞f（x），所以满足题意的a的取值范围是（1，+∞）．【点评】本题考查了导数的综合应用：求单调区间，考查单调性的运用和存在性问题的解法，属于中档题．。