高中数学2.1数列的概念与简单表示法第2课时教案新人教A版必修5

课题：2.1.2数列的概念与简单表示法（2）
高二数学（必修5） 教·学案
【学习目标】1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；
2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项.
【学习重点】根据数列的递推公式写出数列的前几项. 【学习难点】理解递推公式与通项公式的关系. 【授课类型】新授课
【教 具】多媒体电脑、实物投影仪、电子白板 【学习方法】诱思探究法
【学习过程】 一、复习引入： 师 同学们，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一谈什么叫数列的通项公式？
生 如果数列{a n }的第n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 师 你能举例说明吗？
生 如数列0，1，2，3，…的通项公式为a n =n -1(n ∈N *
);
1,1,1的通项公式为a n =1(n ∈N *
,1≤n ≤3); 1,
21 ,31 ,41 ,…的通项公式为a n =n
1 (n ∈N *
). ［合作探究］ 数列的表示方法
师 通项公式是表示数列的很好的方法，同学们想一想还有哪些方法可以表示数列？
生 图象法，我们可仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数n 为横坐标，相应的项a n 为纵坐标，即以(n ,a n )为坐标在平面直角坐标系中作出点(以前面提到的数列1,
21,31,4
1
,…为例，作出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势. 师 说得很好，还有其他的方法吗？ 生 ……
师 下面我们来介绍数列的另一种表示方法：递推公式法
知识都来源于实践，同时还要应用于生活，用其来解决一些实际问题.下面同学们来看右下图：钢管堆放示意图(投影片).观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型. 生 模型一：自上而下
第1层钢管数为4,即14＝1+3; 第2层钢管数为5,即25＝2+3; 第3层钢管数为6,即36＝3+3; 第4层钢管数为7,即47＝4+3; 第5层钢管数为8,即58＝5+3; 第6层钢管数为9,即69＝6+3; 第7层钢管数为10,即710＝7+3.
若用a n 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且a n =n +3(1≤n ≤7).
师 同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？(启发学生寻找规律) 生 模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1, 即a 1=4；a 2=5=4+1=a 1+1；a 3=6=5+1=a 2+1. 依此类推：a n =a n -1+1(2≤n ≤7). 师
对于上述所求关系，同学们有什么样的理解?
生 若知其第1项，就可以求出第二项，以此类推，即可求出其他项. 师 看来，这一关系也较为重要，我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式.
二、新课学习： 1.递推公式定义：
如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n -1(或前n 项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
注意：递推公式也是给出数列的一种方法.
如下列数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89. 递推公式为：a 1=3,a 2=5,a n =a n -1+a n -2(3≤n ≤8).
2.数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，函数的表示法有：列表法、图象法、解析式法.相对于数列来说也有相应的这几种表示方法：即列表法、图象法、解析式法.
三、 特例示范 【例1】 设数列{a n }满足1,111
11＞n a a a n n
⎪⎩
⎪
⎨
⎧+==-.写出这个数列的前五项.
师 分析：题中已给出{a n }的第1项即a 1=1，题目要求写出这个数列的前
五项，因而只要再求出二到五项即可.这个递推公式：a n =1+
1
1
n a 我们将如何应用呢?
生 这要将n 的值2和a 1=1代入这个递推公式计算就可求出第二项，然后依次这样进行就可以了.
师 掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系，同学们要注意探究和发现递推公式中的前项与后项，或前后几项之间的关系. 【例2】 已知a 1=2，a n +1=2a n ，写出前5项，并猜想a n . 师 由例1的经验我们先求前5项. 生 前5项分别为2，4，8，16，32. 师 对，下面来猜想第n 项.
生 由a 1=2，a 2=2×2=22，a 3=2×22=23观察可得，我猜想a n =2n
. ［教师精讲］
(1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的.
例如，由数列{a n }中的递推公式a n +1=2a n +1无法写出数列{a n }中的任何一项，若又知a 1=1，则可以依次地写出a 2=3,a 3=7,a 4=15,….
(2)递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式.
四、当堂练习： 学案2.1.2
五、 本节小结：
通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系.对于通项公式，只要将公式中的n 依次取1，2，3…,即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前n 项)，才可求得其他的项.
六、作业布置: 课时作业3.1.2 课后反思：。