第6章 弯曲变形
第6章 弯曲变形(土木)
w x 0 0, w x l 0 A, B
M Fs
x 0 x 0 x 0
0,
xபைடு நூலகம்l
0 B, D 0 B, D 0 A, B, C , D
0, M 0, Fs
x l x l
例题 画挠曲线大致形状
依据 1. 约束条件； 2. 荷载情况； 3. 凹凸情况——由w″即M的正负号决定； 4. 光滑连续特性。
~
A
~
A
~
~~
~
A
~
~
~
A
AA
wA = 0
wA 0
A 0
wA
弹簧变形 －
挠曲线必受边界约 束限制。
AA
~ ~
AA
~ ~
光滑连续条件
在挠曲线的任意点处要 保持光滑和连续。
w AL = w AR
w AL = w AR
AL AR
~
A A
A A A
边界条件 A A
A
A
A A
~
~
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 梁的EI已知。
解
1）由梁的整体平衡分析可得：
L
F
FAx 0, FAy F (), M A Fl (
2）写出x 截面的弯矩方程
)
y
M ( x ) F (l x ) F ( x l )
3）列挠曲线近似微分方程并积分 d 2w EI 2 M ( x) F ( x l ) dx dw 1 积分一次 EI EI F ( x l )2 C dx 2 1 再积分一次 EIw F ( x l )3 Cx D 6
材料力学(理工科课件)第六章 弯曲变形)
§6-1 基本概念及工程实例 （Basic concepts and example problems）
一、工程实例（Example problem）
(Deflection of Beams)
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受
M 0 w 0
x
O
M 0 w 0
M
(Deflection of Beams)
w (1 w )
2 3 2
M ( x) EI
2 w 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
w"
M ( x) EI
(6.5)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve） 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项; （3） tan w w( x )
x Cx D
4
(Deflection of Beams)
边界条件x=0 和 x=l时, w 0
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为 q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx 2 3 3 w (2lx x l ) 24 EI 最大转角和最大挠度分别为 在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
A a l D B
b
(Deflection of Beams)
解: 梁的两个支反力为
FRA F FRB F b l a l
x
l x
F FRA
A 1 a D b 2
材料力学第六章 弯曲变形
4
2
C
B
)
=
A
( A)q C
l q
( B )q
(b)
B
( wC )q
l
θ B ( θ B )q ( θ B ) M e
+
Me
(c)
Mel ql 24 EI 6 EI
3
A
B
( B ) M e
( A ) MC ( wC ) M
e
e
l
例题3
AB梁的EI为已知,求梁中间C截面挠度.
F1l 2 F2 la 0.4 400 200 B ( ) 16 EI 3 EI 210 1880 16 3 +0.423 10-4 （rad）
F1l a F2a F2a l wC 5.19 106 m 16 EI 3 EI 3 EI wmax w （3）校核刚度: l l
x A
dx
F
x
C' dω
B
d tg dx
二、挠曲线的微分方程
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
1
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1 M ( x) ( x) EI
2.由数学得到平面曲线的曲率
F
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w )
q
A x B
w w F wq
+
w wF wq
例1 已知：EI, F,q .求C点挠度 F q
A
C a a
B
Fa 3 ( wC )F 6 EI
材料力学习题册答案-第6章 弯曲变形
第六章弯曲变形一、是非判断题1．梁的挠曲线近似微分方程为EIy’’=M（x）。
（√）2．梁上弯矩最大的截面，挠度也最大，弯矩为零的截面，转角为零。
（×）3．两根几何尺寸、支撑条件完全相同的静定梁，只要所受载荷相同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是否相同无关。
（×）4．等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。
（×）5．若梁上中间铰链处无集中力偶作用，则中间铰链左右两侧截面的挠度相等，转角不等。
（√）6．简支梁的抗弯刚度EI相同，在梁中间受载荷F相同，当梁的跨度增大一倍后，其最大挠度增加四倍。
（×）7．当一个梁同时受几个力作用时，某截面的挠度和转角就等于每一个单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。
（√）8．弯矩突变的截面转角也有突变。
（×）二、选择题1. 梁的挠度是（D）A 横截面上任一点沿梁轴线方向的位移B 横截面形心沿梁轴方向的位移C横截面形心沿梁轴方向的线位移D 横截面形心的位移2. 在下列关于挠度、转角正负号的概念中，（B）是正确的。
A 转角的正负号与坐标系有关，挠度的正负号与坐标系无关B 转角的正负号与坐标系无关，挠度的正负号与坐标系有关C 转角和挠度的正负号均与坐标系有关D 转角和挠度的正负号均与坐标系无关3. 挠曲线近似微分方程在（D）条件下成立。
A 梁的变形属于小变形B 材料服从胡克定律C 挠曲线在xoy平面内D 同时满足A、B、C4. 等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的最大曲率发生在（D）处。
A 挠度最大B 转角最大C 剪力最大D 弯矩最大5. 两简支梁，一根为刚，一根为铜，已知它们的抗弯刚度相同。
跨中作用有相同的力F，二者的（B）不同。
A支反力 B 最大正应力 C 最大挠度D最大转角6. 某悬臂梁其刚度为EI，跨度为l，自由端作用有力F。
为减小最大挠度，则下列方案中最佳方案是（B）A 梁长改为l /2，惯性矩改为I/8B 梁长改为3 l /4，惯性矩改为I/2C 梁长改为5 l /4，惯性矩改为3I/2D 梁长改为3 l /2，惯性矩改为I/47. 已知等截面直梁在某一段上的挠曲线方程为：y(x)=Ax²(4lx - 6l²-x²)，则该段梁上（B）A 无分布载荷作用B 有均布载荷作用C 分布载荷是x 的一次函数D 分布载荷是x 的二次函数 8. 图1所示结构的变形谐条件为：（D ） A f A=f BB f A+△l=fBCfA +fB =△l DfA-fB=△l三、填空题1. 用积分法求简支梁的挠曲线方程时， 若积分需分成两段，则会出现 4 个积分常数，这些积分常数需要用梁的 边界 条件和 光滑连续 条件来确定。
材料力学第6章弯曲变形
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
材料力学_陈振中_习题第六章弯曲变形
第六章 弯曲变形6．1 写出图示各梁的边界条件。
(a)0=A v 0=B v 0=A v 0=B v0=A v l v B ∆= 0=A v cql v c B 2=∆= 6.4用积分法求图示各梁的挠曲线方程、端截面转角A θ和B θ、跨度中点的挠度和最大挠度。
设EI ＝常量。
(a) 解：求出A 、B 处的约束反力为：l m R A =lm R B = 以A 点为坐标原点，则弯矩方程为：x lm x M =)( 梁AB 的挠曲线微分方程为：x lm EI x M EI v 1)(1''== 由积分法求梁的转角及挠度方程：C x EIlm v +==2'2θ D Cx x EILm v ++=36梁的边界条件：0=A v 、 0=B v ，由此求出积分常数：l EImC 6-= D ＝0 则梁AB 的挠曲线方程为：)(623x l x EIl m v -=;转角方程为:)3(622l x EIlm -=θ x=0:EI ml A 6-=θ; x=l: EI ml B 3=θ ; x=l/2:EIm l f l x 1622/-==由0'==v θ求出：3l x =处为挠度的极值点：EIml f 392max -=b)解：求出A 、B 处的约束反力为：qa R R B A ==以A 点为坐标原点，则弯矩方程分别为AC 段：)0()(a x qax x M ≤≤= CD 段：)3()(21)(2a x a a x q qax x M ≤≤--= DB 段：)43)(4()(a x a x a qa x M ≤≤-= 梁的挠曲线微分方程分别AC 段为：qax EIv 1''= CD 段：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2'')(211a x q qax EI v DB 段： )4(1''x a qa EI v -= 由积分法求梁的转角及挠度方程： AC 段：12'21C qax EI v +==θ 11361D x C qax EIv ++= CD 段: 232')(61211C a x q qax EI v +⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==θ ()2243241611D x C a x q qax EI v ++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=DB 段: ()32'421C x a qa EI v +-==θ ()333461D x C x a qa EIv ++-= 梁的边界条件：x=0: 0=A v ;x = a:右左右左＝＝v v ,θθ;x = 3a:右左右左＝＝v v ,θθ; x = 4a: 0=B v由此求出积分常数：4333232131322,611,0,6110611qa EID qa EI C D qa EI C D aq EI C -===-＝－，＝，＝ 则梁AC 段的转角方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32611211qa qax EI θ 挠曲线方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x qa qax EI v 33611611梁CD 段的转角方程为：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=32261161211qa a x q qax EI θ 挠曲线方程为： ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=x qa a x q qax EI v 343611241611梁DB 段的转角方程为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=32611)4(211qa x a qa EI θ 挠曲线方程为： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=433322611)4(611qa x qa x a qa EI v x=0:3611qa EI A -=θ; x=4a: 3611qa EIB =θ ; 由0'==v θ求出：x=2a 处为挠度的极值点： 4max 2819qa EIf f a x -=== 6.5求图示悬臂梁的挠曲线方程及自由端的挠度和转角。
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第六章弯曲变形判断弯曲变形1、“平面弯曲梁的挠曲线必定是一条与外力作用面重合或平行的平面曲线”2、“由于挠曲线的曲率与弯矩成正比，因此横截面的挠度与转角也与横截面的弯矩成正比”3、“只要满足线弹性条件，就可以应用挠曲线的近似微分方程”4、“两梁的抗弯刚度相同、弯矩方程相同，则两梁的挠曲线形状相同”5、“梁的挠曲线方程随弯矩方程的分段而分段，只要梁不具有中间铰，梁的挠曲线仍然是一条光滑、连续的曲线。
”6、“最大挠度处的截面转角一定为0”7、“最大弯矩处的挠度也一定是最大”8、“梁的最大挠度不一定是发生在梁的最大弯矩处。
”9、“只要材料服从虎克定律，则构件弯曲时其弯矩、转角、挠度都可以用叠加方法来求”10、“两根几何尺寸、支撑条件完全相同的静定梁，只要所受的载荷相同，则两梁所对应的截面的挠度和转角相同，而与梁的材料是否相同无关”11、“一铸铁简支梁在均布载荷的作用下，当其横截面相同且分别按图示两种情况放置时，梁同一截面的应力和变形均相同”选择弯曲变形1、圆截面的悬臂梁在自由端受集中力的作用，当梁的直径减少一半而其他条件不变时，最大正应力是原来的倍；最大挠度是原来的倍。
若梁的长度增大一倍，其他条件不变，最大弯曲正应力是原来的倍，最大挠度是原来的倍。
A：2； B：16 C：8 D：4；2、y’’=M(x)/EI在条件下成立。
A：小变形； B：材料服从虎克定律；C：挠曲线在xoy面内； D：同时满足A、B、C；3、等直梁在弯曲变形时，挠曲线最大曲率发生在处。
A：挠度最大； B：转角最大 C：剪力最大； D：弯矩最大；4、在简支梁中，对于减少弯曲变形效果最明显。
A：减小集中力P； B：减小梁的跨度；C：采用优质钢； D：提高截面的惯性矩5、板条弯成1/4圆，设梁始终处于线弹性范围内：①σ=My/I Z,②y’’=M(x)/EI Z哪一个会得到正确的计算结果？A：①正确、②正确；B：①正确、②错误； C:①错误、②正确； D：①错误、②错误；6、应用叠加原理求横截面的挠度、转角时，需要满足的条件是。
工程力学c材料力学部分第六章 弯曲变形
A l/2
C l
B
解：此梁上的荷载可视为 正对称和反对称荷载的叠加， 正对称和反对称荷载的叠加， 如图所示。 如图所示。 正对称荷载作用下：
q/2
5(q / 2)l 4 5ql 4 wC1 = − =− 384 EI 768 EI
B
(q / 2)l 3 ql 3 θ A1 = −θ B1 = =− 24 EI 48EI
w P A a D
a
A C a H a B
EI
Pl 3 wB = − 3 EI
P
B
l
Pl 2 θB = − 2 EI
P A a 2a 2a C B
P/2
P/2 B
P/2
=
A
+
P/2
力分解为关于中截面的对称和反对称力( )之和的形式。 解：将P力分解为关于中截面的对称和反对称力(P/2)之和的形式。 力分解为关于中截面的对称和反对称力 显然，在反对称力( / )作用下， 显然，在反对称力(P/2)作用下，wc=0 对称力作用的简支梁， 对称力作用的简支梁，可以等效为悬臂梁受到两个力的作用 的问题。 的问题。
wA=0 θA=0
B
②、变形连续条件 变形连续条件： 连续条件
P A C θC左 wC左= wC右， =θ C右 B
的悬臂梁， 例1：图示一弯曲刚度为 的悬臂梁，在自由端受一集中力 作 ：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁 在自由端受一集中力F 试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 用，试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 解：① 建立坐标系并写出弯矩方程 ①
在小变形情况下， 曲线弯曲平缓， 在小变形情况下，挠曲线弯曲平缓，
∴ w′ ≪ 1
2
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x0
A 1 x 0
Fb( L2 b 2 ) 6 LEI z
Fab( L a) 6 LEI z
Fb w1 ( x) [ x 3 ( L2 b 2 ) x] 6 LEI z
BC段 (a x L)
2 Fb F ( x a ) 2 ( x) [3x 2 ( L2 b2 )] 6LEIz 2
总的近似微分方程：EIz w M
分别计算出每一载荷单独引起的变形，将所得的变形叠 加即为载荷共同作用下引起的变形 ——叠加原理
§6-4 用叠加法求梁的变形
二、叠加原理的限制条件
w
M x EI z
叠加原理仅适用于线性函数，要求挠度、转角是载荷的 线性函数。
(1) 弯矩与载荷成线性关系，梁发生小变形，忽略各载荷引 起梁的水平位移；
EI z w( x) M ( x)
计算弯矩时，使用变形前的位置
——原始尺寸原理 弯矩M(x)与载荷之间的关系是线性的，对应于几种不同的 载荷，弯矩可以叠加，近似微分方程的解也可以叠加
§6-4 用叠加法求梁的变形
设弯矩 M ( x) M F M q
分别满足各自的近似微分方程 挠曲线 w
适用范围：线弹性、小变形
抗弯刚度
dw M ( x) 转角方程： w' dx C 积分一次 dx EI z M ( x) dx)dx Cx D 积分二次 挠曲线方程： w ( EI z
积分常数，由梁的约束条件决定
§6-3 用积分法求梁的变形
2、梁的边界条件——约束
例：已知简支梁长 l，抗弯刚度 EIz，受均布载荷q， 集中力ql，集中外力偶 ql 2 ，求：yC ，B
z
§6-4 用叠加法求梁的变形
wC , B (1) 载荷分解
ql
z
q
ql 2
§6-4 用叠加法求梁的变形
(2) 查表P172：单独载荷作用下梁的变形 P174：9号 5ql4 ql3 wC1 B1 , 384EI 24EI P174：7号
Fb 3 x C1 x D1 6L Fb 2 F EI z 2 x ( x a ) 2 C2 2L 2
EI z w2
Fb 3 F x ( x a)3 C2 x D2 6L 6
§6-3 用积分法求梁的变形
6、挠曲线方程 AC段 (0 x a) Fb 1 ( x) [3x 2 ( L2 b 2 )] 6 LEI z 7、求转角
M x EIqz wF w w
EIz w F MF
两个微分方程叠加
M q EIz wq
EIz w F EIz wq M F M q M
EIz (w F wq ) EI z (wF wq )
EIz (wF wq ) M
例：一简支梁受力如图 所示。试求(x),w(x) 和A,wmax。
w A
x
FA
x
F B
Fa M A 0 FB L Fb Fy 0 FA L 2、分段列出梁的弯矩方程
AC段 (0 x a) BC段 (a x L)
1、求支座反力
a L
C
b
x
FB
Fb M 1 ( x) FA x x L Fb M 2 ( x) FB L x x F ( x a) L
根据梁变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确定的挠 度和转角；
在中间铰两侧转角不同，但挠度是唯一的。
§6-3 用积分法求梁的变形
例：悬臂梁受力如图所示。求wA和A。
解：建坐标系
1、列写弯矩方程 w q
w
M x EI z
1 2 M ( x) qx (0 x L) 2
3、变形叠加
z
B B1 B 2 B3
ql3 ql3 ql3 11ql3 24EI z 16EI z 3EI z 48EI z
4 3
5ql 11ql 3ql (ql)l wC wC1 wC 2 wC 3 384EIz 48EI z 48EI z 384EI z
悬臂梁： w
L
x
x 0 : w 0, 0
固定端不能动 不能产生线位移 不能产生角位移
§6-3 用积分法求梁的变形
2、梁的边界条件
转 角 简支梁：
w
x
L
水平、铅垂方向均不许位移
转 角
x 0: w 0 x L: w 0
固定铰和可动铰都可动
都限制线位移，不限制角位移
水平方向微小位移，铅垂不许位移
wC 2 (ql)l 3 48EI
(ql) l ql , 16EI 16EI
2 3
q
wC1
ql
B1
B2
wC2
B2
P174：5号
wC 3 3ql 4 48EI
ql2
wC3
B3
B3
(ql 2 ) l ql3 , 3EI 3EI
§6-4 用叠加法求梁的变形
§6-3 用积分法求梁的变形
5、确定积分常数 边界条件： x 0, w1 0 w A
EI z1
EI z w1
F a L C
B
x
x L, w2 0
连续条件：
Fb 2 x C1 2L
w1 w2 x a: 1 2
Fb 2 C1 ( L b 2 ) C2 6L D1 D2 0
§6-3 用积分法求梁的变形
例：写出梁的边界条件、连续性条件。 边界条件：
w
A a L
P B
x 0:w 0 FBy x L:w k
光滑连续性条件：
C
k
x
x a:
wC wC
C C
§6-3 用积分法求梁的变形
例：写出梁的边界条件、连续性条件。 边界条件：
xL
B 2 xL
Fb L 3 2 2 w2 ( x) [ x ( L b ) x ( x a) 3 ] 6LEI z 6
§6-4 用叠加法求梁的变形
一、叠加原理
分方程是线性的
w
M x EI z
在小变形，材料服从胡克定律的情况下，挠曲线的近似微
4
4 3 l q l 2 q l 2 l wC 2 wB 2 B 2 2 8EI z 6EI z 2
§6-4 用叠加法求梁的变形
w
z
wC wC1 wC 2
4 ql 2 ql 2 l ql 41 ql 8EI z 6EI z 2 8EI z 384EI z
1 1 4 qL qL w qx x EI z 6 8 24
3
4
小结：积分法描述了梁内各个 截面的变化规律，是基本 方法，但是繁杂。
4、计算A截面的挠度和转角
x0
qL3 A 6 EI
qL4 wA,max 8EI
§6-3 用积分法求梁的变形
§6-3 用积分法求梁的变形
3、连续性条件
控制界面：3个； 梁分成：2段； 弯矩方程：2个； 挠曲线：2个
边界条件； x 0 : w 0; 光滑、连续性条件： w P B a L 例：简支梁上作用有集中力 A
C
x
x L:w 0
x a : wC wC C C
4
4
§6-4 用叠加法求梁的变形
例：抗弯刚度EI为常量，用叠加法确定C 和yC 。
q A L/ 2 B L/ 2 C
1、载荷分解
q
q
q
§6-4 用叠加法求梁的变形
q
C1
C1
刚体
ql4 wC1 8EI z
ql3 C1 6EIz
刚性的角位移
C2
B2
B2
q
C2
ql 2 wB 2 8EI z 3 ql 2 C 2 B2 6EIz
广州塔
北 京 理 工 大 学 研 制
山西 应县木塔
赵州桥
1
作业
习题：P191 6-2(d),3(c)
思考：P186 6-5,6,7,8
复习：第六章
2
上次课内容
弯曲变形的力学描述
逆时针为正
转角
w f ( x)
挠曲线
w
挠度
w向上为正
x
F
截面形心在力方向上有位移，垂直于x方向上有纵向线位移 截面绕中性轴转过的角度
挠曲线的连续性
光滑性
§6-3 用积分法求梁的变形
4、静定多跨梁
边界条件： w A
a
中间铰处连续、不光滑
C M
x 0 : w 0, 0
x a L: w 0
连续性条件：x a :
B
x
C L C
连续 不光滑
M
wC wC C C
特别强调：中间铰两侧转角不同，挠度是唯一的
2、代入挠曲线近似微分方程中
A
x L
B x
M ( x) w EI z
EI z w
1 qx 2 2
1 3 积分一次：EI z w' EI z qx C 6
1 4 积分二次： EI z w qx Cx D 24
转角方程 挠曲线方程
§6-3 用积分法求梁的变形
荷单独作用下引起的同一截面挠度、转角的向量和。
1、载荷叠加法：查表法——教材P172 (1) 载荷分解：均布载荷，集中力，集中外力偶 (2) 查表P172：求单独载荷作用下梁的变形