掌握用一阶导数判别函数单调性的方法会求
判断单调性的5种方法
判断单调性的5种方法在数学中，判断函数的单调性是一个非常重要的问题。
单调性是指函数在定义域内的增减关系，它直接关系到函数图像的形状和性质。
因此，对于一个给定的函数，我们需要掌握一些方法来准确地判断它的单调性。
下面将介绍5种判断单调性的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
1. 导数法。
判断函数的单调性最常用的方法之一就是使用导数。
通过求函数的导数，我们可以得到函数的增减区间，从而判断函数的单调性。
具体来说，如果函数在某个区间上的导数始终大于0（或者始终小于0），那么函数在这个区间上就是单调递增（或者单调递减）的。
这种方法在实际应用中非常方便，特别是对于一些复杂的函数，通过导数法可以比较容易地判断其单调性。
2. 一阶导数和二阶导数的关系。
除了直接使用导数判断单调性外，我们还可以通过一阶导数和二阶导数的关系来判断函数的单调性。
具体来说，如果函数在某个区间上的一阶导数大于0，而二阶导数小于0，那么函数在这个区间上就是单调递增的；反之，如果一阶导数小于0，而二阶导数大于0，那么函数在这个区间上就是单调递减的。
这种方法在一些特殊情况下非常有效，可以帮助我们更快地判断函数的单调性。
3. 利用函数的图像。
对于一些简单的函数，我们可以通过观察函数的图像来判断其单调性。
具体来说，如果函数的图像是上升的，那么函数就是单调递增的；如果函数的图像是下降的，那么函数就是单调递减的。
这种方法虽然不够精确，但在一些直观的情况下非常实用，可以帮助我们快速地判断函数的单调性。
4. 利用零点。
对于一些特殊的函数，我们可以通过求解函数的零点来判断其单调性。
具体来说，如果函数在某个区间上的零点个数为偶数，并且在这个区间的两个相邻零点处函数值的符号相反，那么函数在这个区间上就是单调递增的；反之，如果零点个数为奇数，并且在这个区间的两个相邻零点处函数值的符号相同，那么函数在这个区间上就是单调递减的。
这种方法在一些特殊的函数中非常有用，可以帮助我们更快地判断函数的单调性。
大连交通大学高等数学(E)1应试指南(第1-7章)
第一章 函数、极限与连续知识要点：1、 会求给定函数的自然定义域（用导数研究奇偶性凹凸性的时候要用到）2、 会求反函数（第二换元积分法要用到）3、 会判断一个函数是否有界，掌握奇偶性和单调性的基本概念（这三个性质很多地方要用到）4、 数列极限与函数极限的定义（极限研究的是当自变量发生某种变化时，函数值是否无限接近于某个确定的实数值） 5、 会求左右极限（判断间断点和求左右导数的时候要用到） 6、 有界函数与无穷小的乘积为无穷小 7、 无穷小和无穷大之间互为倒数8、 掌握高阶，同阶，等价，n 阶无穷小的基本概念9、 几个重要的等价无穷小：当0()x x x →∞→时，如果()0g x →，则：sin(())()~tan(())g x g x g x :，211cos(())()2g x g x -:，11~()g x n ，arcsin ()()arctan ()g x g x g x ::，ln(1())~()g x g x +，()1~()g x e g x -，()1~()ln (0)g x a g x a a ->10、 极限的四则运算法则11、 复合函数的极限运算法则：如果()f u 关于变量u 连续，则：lim (())(lim ())f g x f g x =12、准则I （夹逼准则）：如果数列n n y x ,及n z 满足下列条件:（1）),3,2,1(Λ=≤≤n z x y n n n ; （2）,lim ,lim a z a y n n n n ==∞→∞→那末数列n x 的极限存在, 且.lim a x n n =∞→12、 单调递增有上界的数列必有极限，单调减少有下界的数列必有极限13、 两个重要极限：（1）如果x a →时，()0g x →，则：sin ()lim1()x a g x g x →=（2）如果x a →时，()0g x →，则：()1()lim 1()g x x a g x e→+=14、 当求极限的函数是几个无穷小的积和商时可以进行等价无穷小替换，和差的时候不可以 15、 会判断函数在一点是否连续16、 函数的间断点及其分类：第一类间断点：跳跃间断点，可去间断点；第二类间断点：无穷间断点，振荡间断点；会判断是哪种类型的间断点17、 连续函数之间的和差积商都是连续的，两连续函数的复合也是连续的，初等函数在其定义区间内都是连续的18、 闭区间上连续函数的性质：最大最小值定理，有界性定理，零点定理，介值定理19、 会求函数的水平渐近线和垂直渐近线 注意事项：1、 讨论函数连续性的时候，对于分段函数，若在每个小的开区间上为初等函数，则在此开区间上必连续；而在分隔点处，先求在分隔点处的左右极限然后与函数值进行比较，如间断必须判断出是哪种间断点 2、 幂指函数求极限：()()ln ()lim[()ln ()]lim ()lim g x g x f x g x f x f x e e ==3、 做题的时候一定要把求极限符号下自变量的变化趋势给写出来，我不写是为了表示两种不同的变化趋势都适用，你做具体题的时候不可以不写，推导的过程中极限符号不可落掉，避免出现极限等于一个函数的情形第二章 导数与微分知识要点：1、掌握导数的定义：x x f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(limlim)(000002、函数在一点处左右导数的定义3、函数在一点可导⇔左右导数都存在且相等⇒函数在这一点连续4、函数在0x 处导数的几何意义：函数图像过点00(,())x f x 切线的斜率5、求导的四则运算法则6、会求函数过某点的切线方程和法线方程7、复合函数求导法则：()[(())]()()u g x f g x f u g x ='''=⨯8、反函数求导法则：1dy dx dy dx= 9、导数表里的公式都要记住10、掌握隐函数求导法则，会求隐函数的一阶导和二阶导 11、掌握参数方程求导公式：dy dydx dtdtdx = 12、会求函数的微分：()()df x f x dx '=，函数在一点处的微分：0()()x x df x f x x='=∆注意事项：1、 讨论函数可导性的时候，对于分段函数，如果在每个开区间上是初等函数则在开区间内必可导，而在分隔点处要分别求左右导数，如果左右导数存在且相等则可导，否则不可导 2、 左导数不等于左极限：00000()()()limlim ()x x x f x x f x f x f x x---∆→→+∆-'=≠∆， 也不可以对分隔点左侧函数先求导函数再取极限得到 3、 应用隐函数求导法则求在给定点处一、二阶导数的时候，不仅要在结果中把横坐标的值代入，相应纵坐标的值也要代入 4、 幂指函数求导数可以用对数求导法也可以：()()ln ()()ln ()(())()(()ln ())g x g x f x g x f x f x e e g x f x '''==⨯，但不可以令 (),()f x u g x v ==，然后化成v y u =然后用幂函数求导公式，因为这里的v 不是常数，这样的做法从过程到结果都是极其错误的5、 求切线方程和法线方程的时候，要先判断给出的点是否在函数图像上，如果在就是切点，如果不在要先把切点设出来第三章 微分中值定理与导数的应用知识要点：1、 会用罗尔定理和拉格朗日定理来证明一些简单的结论，理解拉格朗日中值定理的证明过程，对柯西中值定理的内容有一定的了解2、 导函数为0的函数必为常值函数3、会用洛比达法则来求未定式的极限：00，∞∞()()limlim ()()f x f x F x F x '='4、 掌握一些化简后可以间接利用洛比达法则来计算的函数的极限5、 掌握利用函数一阶导数符号来判断函数单调性的一般步骤，会求极值点与极值6、 掌握利用函数二阶导数符号来判断函数凹凸性的一般步骤，会求拐点7、 会求函数的最值点与最值8、 如果函数只有有限个驻点与不可导点，则极值点不是驻点就一定是不可导点；最值点不是极值点就一定是端点。
单调性的判断方法
单调性的判断方法单调性是数学中常用的一个概念，用于描述函数在定义域上的变化规律。
判断函数的单调性可以帮助我们更好地理解和运用函数，因此具有重要的意义。
下面将结合实例逐步介绍判断函数单调性的方法。
首先，我们需要了解什么是函数的单调性。
一个函数f(x)在定义域内是严格递增的，如果当x1 < x2时，有f(x1) < f(x2)。
相反，如果满足x1 < x2时，有f(x1) > f(x2)，则函数f(x)是严格递减的。
另外，函数可能同时在某一个区间递增和递减，这被称为函数的非单调性。
对于一个给定的函数，我们可以通过函数的导数来判断其单调性。
具体来说，对于函数f(x)在定义域内连续且可导，我们有以下定理：1. 当函数的导数f'(x)在定义域内恒大于0时，函数f(x)在定义域上是严格递增的；2. 当函数的导数f'(x)在定义域内恒小于0时，函数f(x)在定义域上是严格递减的；这个定理的证明可以通过导数的定义和相关定理进行推导，但此处略去。
基于上述定理，我们可以采用以下步骤来判断函数的单调性：步骤一：求出函数f(x)的导数f'(x)。
步骤二：根据函数的导数f'(x)的符号进行分类讨论：- 如果f'(x) > 0，则说明函数在该区间递增；- 如果f'(x) < 0，则说明函数在该区间递减；- 如果f'(x) = 0，则说明函数在该点处取得极值，但不一定是单调的；步骤三：将上述分类讨论的结果归纳到函数f(x)的定义域内。
在实际应用中，我们通常先找出函数的导数的零点，即f'(x) = 0的点。
这些点我们称之为临界点，它们对应于函数f(x)的极值点，可能是函数的拐点。
在求解过程中，我们可以利用一阶导数和二阶导数的性质，来确定极值点的性质和判断拐点的存在与位置。
下面通过具体的例子来说明如何判断函数的单调性。
假设我们要判断函数f(x) = x^2在定义域(-∞, +∞)上的单调性。
高中数学-函数的单调性与导数教学设计学情分析教材分析课后反思
《函数的单调性与导数》教学设汁【教学目标】知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间过程与方法：i.通过本巧的学习，掌握用导数研究单调性的方法2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想、分类讨论思想。
情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。
【教学的重点和难点】教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。
教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。
性问题.内容讲授例题讲解例1 : 求函数f(x) = x3-3x2的单调区间，并画出函数的大致图像.分析：根据上面结论，我们知道函数的单调性与函数导数的符号有关。
因此，可以通过分析导数的符号求出函数的单调区间.解：引导学生回答问题并同时板书.根据单调性的结论画出函数的图像.学生思考回答思路.学生利用导数知识解决函数的单调性问题.明确利用导数是求函数单调区间的最简单的方法.加深对单调性的理解，体会数形结合的思想.加强学生对利用导数求函数单调性的方法进一步熟练掌握，特别是单调区间满足在定义域内.学生总结并回答问题加深记忆.练习1求函数/（x ） = — lnx 的单调区间.函数的导数值大 于零时，其函数为 单调递增；函数的 导数值小于零时， 其函数为单调递 从函数的单调性 和导数的正负关 系的讨论环节中， 不断的比较了函 数和导函数的图 像，因此设置该 题，从熟悉的函数 到该题，题LI 更容 易解决.1求定义域；2求函数/（X ）的导数， 3讨论单调区间，解不等式 广（力＞°,解集为增区间;4解不等式广（切＜°,解集为减区间.山学生共同回答.例2函数图像如下图，导函数图像可能为哪'一木讨论函数单调性的一般步骤 是什么教师根据一个学 生的作图进行讲 解.学生对所学知识 进一步巩固和熟 练掌握.【板书设计】参与课堂的学生为高二年级理科的学生，学生基础参差不齐，差别较大，而单调性的槪念是在髙一第一学期学过的，因此对于单调性槪念的理解不够准确，同时导数是髙中学生新接触的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点.在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留在表而上•本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判左函数的单调性.效果分析本节课教师运用了多种教学手段，创设了丰富的教学情境，成功的激发了学生的学习兴趣：教学目标简明扼要，便于实施，注重数学思想、能力的培养，广度和深度都符合数学课程标准的要求，符合学生的实际情况。
一元函数微分学的应用学习指导
第三章 一元函数微分学的应用学习指导一元函数微分学在经济等领域有着广泛的应用，微分中值定理给出了函数及其导数之间的联系，是微分学的基本定理．本章以导数为工具，以微分中值定理为理论基础，研究函数的单调性、极值、最值，函数的凹向及拐点，并应用导数解决经济中的边际、弹性及最优经济量等问题．一、教学要求1． 了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理，并会应用拉格朗日中值定理证明不等式． 2． 熟练掌握洛必达法则求“00”、“∞∞”、“0⋅∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”、“0∞”七种未定式的极限方法．3．掌握利用导数判定函数的单调性及函数单调区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式． 4．理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最值的方法，并会求简单的几何应用问题． 5．会判定曲线的凹向，会求曲线的拐点及渐进线．6．了解常用经济函数，掌握导数在经济分析中的应用(边际分析、弹性分析最优经济量的求法)． 重点: 利用洛必达法则求未定式的极限；利用导数判定函数的单调性与极值、凹向及拐点；导数的经济应用．难点: 应用拉格朗日中值定理证明不等式；经济应用中的边际分析、弹性分析．二、学习要求1． 牢记中值定理成立的条件，并恰当引入辅助函数．2．应用洛必达法则求极限时应注意使用的条件，每次运用洛必达法则之前一定要检验是否是未定式的极限，然后转化为00或∞∞型再计算． 3．深刻理解驻点只是可导函数取得极值的必要条件，极值点可能是驻点也可能是导数不存在的点． 4．边际函数即经济函数的导数()f x '，反映的是当x 产生一个单位的改变时，()f x 改变()f x '个单位；弹性函数Ey Ex 表示当x 产生1%的改变时，y 改变Ey Ex％．在解决实际问题时，应注重结合经济实例，理解所求值的正负的含义．三、典型例题分析例1 设523)(2++=x x x f ，求)(x f 在],[b a 上满足拉格朗日中值定理的ξ值． 解 )(x f 为多项式函数，在],[b a 上满足拉格朗日中值定理的条件，故有 ))((')()(a b f a f b f -=-ξ即 ))(26()523()523(22a b a a b b -+=++-++ξ 由此解得2ab +=ξ, 即此时ξ为区间],[b a 的中点． 例2 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式 (1) 当0a b <<时,ln b a b b ab a a--<<; (2) 当1x >时,xe e x >⋅证明 (1)设()ln f x x =,则()f x 在[],a b 上满足拉格朗日中值定理的条件, 故至少存在一点ξ(),a b ∈,使得()()()f b f a f b aξ-'=-即ln ln 1b a b a ξ-=-,因为111b a ξ<<,所以1ln ln 1b a b b a a-<<-,整理得ln b a b b ab a a--<<,得证. (2)证法一 设()uf u e =,[]1,u x ∈,容易验证()f u 在[]1,x 上满足拉格朗日中值定理的条件. 故存在ξ()1,x ∈,使得()()()11f x f f x ξ-'=-左端()()111x f x f e e x x --=--,右端()f e e ξξ'=>,即1x e e e x ->- 整理得 当1x >时,xe e x >⋅,得证. 证法二 设()lnf u u =, []1,u x ∈容易验证()f u 在[]1,x 上满足拉格朗日中值定理的条件. 故存在ξ()1,x ∈,使得()()()11f x f f x ξ-'=-左端()()1ln 11f x f x x x -=--,右端()11f ξξ'=<,即ln 11x x <-,11ln 1,x x x x x e e e-<-<=, 整理得 当1x >时,xe e x >⋅,得证. 例3 计算下列极限：(1)xe e x x x sin lim 0-→-； (2))1ln(arctan lim 30x xx x +-→；(3)2ln limx x x →+∞； (4)xx xx x sin tan lim0--→． 解 (1) =--→x e e xx x sin lim02cos lim 0=+-→x e e x x x ； (2) =+-→)1ln(arctan lim30x x x x =⋅++-→2320311111lim x x x x 203221lim 13x x x x x →+⋅=+31)1131(lim 230=++⋅→x x x ；(3) 2ln lim x x x →+∞=1lim 2x x x→+∞=21lim 02x x →+∞=； (4) =--→x x x x x sin tan lim 0=--→x x x cos 11sec lim 20=→22021tan lim x x x 2)tan (lim 220=→xx x ．说明: 洛必达法则主要解决00，∞∞型不定式极限，在应用洛必达法则时应注意以下几点： (1) 在使用洛必达法则前，先要判断所求极限是否满足洛必达法则条件，即判断所求极限是否为0，∞∞型未定式，是这两种类型方可使用. (2) 当应用一次洛必达法则之后仍为00，∞∞型未定式时，可以继续使用洛必达法则，直到求出极限值或得出不符合法则条件时为止，使用后所得极限不存在(不包括极限为∞)时，不能肯定原极限不存在，此时洛必达法则失效，应改用其他方法求极限．(3) 使用洛必达法则求极限时，应及时对所求极限进行简化，表达式中有极限存在的因式可以暂时用极限运算法则将其分离出来，只要最终极限存在，这种处理方法就是可行的．(4) 洛必达法则应尽量和其他求极限的方法(四则运算、无穷小性质、重要极限、连续性等)结合使用，才能更好的发挥其作用．例4 计算下列极限 (1)axnx ex -+∞→lim ),0(为自然数n a >； (2))tan (sec lim 2x x x -→π；(3)xx xsin 0lim +→； (4)x x x )arctan 2(lim π+∞→； (5)xxx x 1)2(lim ++∞→．解 (1) =-+∞→axn x ex lim =+∞→ax n x e x lim =-+∞→ax n x ae nx 1lim 22(1)lim n ax x n n x a e-→+∞-=!1li 0m n axx n a e →+∞== ),0(为自然数n a >．(2) 0sin cos lim cos sin 1lim )cos sin cos 1(lim )tan (sec lim 2222=--=-=-=-→→→→x xx x x x x x x x x x x ππππ．(3) 因为xxxe xsin ln sin =，而12sin 00000ln sin lim ln lim sin ln lim lim lim csc csc cot cos xx x x x x x x xx x x x x x x x+++++-→→→→→=⋅===-- 00sin sin lim lim cos x x x x x x++→→=-⋅001=⨯-= 所以=+→xx xsin 0lim sin lim ln 001xx x ee +→==．(4) 因为2ln(arctan )2(arctan )xx xx eππ=，而πππ21arctan 1lim 111arctan 1lim 1arctan ln 2lnlim)arctan 2ln(lim 2222-=+-⋅=-+⋅=+=+∞→+∞→+∞→+∞→x x x xx x xx x x x x x x 所以 )arctan 2ln(lim )arctan 2(lim x x xx x e x ππ+∞→=+∞→＝2eπ-．(5)因为xx x xxex 1)2ln(1)2(+=+，而11ln(2)1lim ln(2)lim ln(2)lim lim (12ln 2)2x x x xxx x x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞++=+==⋅++ 2ln 2ln 2lim 12ln 2x x x →+∞⋅⋅=+⋅2ln )2(ln 2)2(ln 2ln 2lim 22=⋅⋅⋅=+∞→x x x 所以 ()11lim ln 2ln 2lim (2)2xxx x x xx x ee →∞+→+∞+===．说明: 对于∞-∞，0⋅∞型未定式，经过对极限表达式的适当变形可以化为00或∞∞型未定式，对于由)()(x g x f 产生的00，1∞，0∞型未定式，可以通过对)()(x g x f 取对数化为0⋅∞型未定式，然后再转化为00或∞∞型未定式计算． 例5 计算下列极限：(1) x x x x 2220sin cos 1lim -→； (2)xe x x 210lim -→； （3）3sin lim cos 2x x x x x →∞++． 解 (1) 此题用洛必达法则求解，比较繁琐．利用等价无穷小量代换x x ~sin ．再用洛必达法则更为简便．=-→x x x x 2220sin cos 1lim =-→420cos 1lim x x x =→3204sin 2lim xx x x 21sin lim 21220=→x x x ． (2) 此题若按照00型未定式，用洛必达法则计算会越算越复杂，不能解决问题．如果令11,t x x t==即，代入后将分式化为∞∞型，再用洛必达法则计算就简便得多． =-→x ex x 210lim 2t lim 1t e t -→∞=2t lim t t e →∞=2t 1lim 02t te→∞=． （3）此题虽为∞∞型，但不能用洛必达法则3sin lim cos 2x x x x x →∞++ 1x t = 0113sin l m co 2i 1s t t t t t →++013sin 1cos 21lim t t t t t→+=+12= 若用洛必达法则3sin lim cos 2x x x x x →∞++3cos 1limsin 2x x x →∞+=-+，极限不存在. 例6 设xxx f sin 1sin 1)(-+=，问(1))(lim 0x f x →是否存在？(2)能否由洛必达法则求上述极限，为什么？解 (1) =→)(lim 0x f x 10101)sin 1(lim )sin 1(lim sin 1sin 1lim 00=-+=-+=-+→→→x x x x x x x ．(2) 不能．因为此极限非00，∞∞型未定式，，不能满足洛必达法则条件． 例7 判别函数32)(x x f =的增减性． 解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，()1323f x x -'==当0=x 时，)('x f 不存在．点0=x 将定义域),(+∞-∞分成两个区间．列表如下：所以函数)(x f 在]0,(-∞内单调减少，在),0[+∞单调增加．说明: 使导数不存在的点往往也是增减区间的分界点． 例8 当0>x 时，证明)1ln(1x xx+<+． 证明 令)1ln(1)(x xxx f +-+=)0(>x 显然)(x f 在),0(+∞内连续，且22)1(11)1(1)('x xx x x f +-=+-+=当0>x 时，0)('<x f ，即)(x f 在),0(+∞内单调减少， 此时，0)0()(=<f x f ,即0)1ln(1<+-+x x x ，故)1ln(1x xx +<+． 说明: 单调性证明不等式的方法是：(1) 构造辅助函数)(x f ，即将不等式的右端(或左端)全部移到一端，再令左端(或右端)为函数)(x f ； (2) 在区间内讨论)(x f 的连续性及)('x f 符号，得到)(x f 的单调性；(3) 利用单调性定义，将)(x f 与区间内一特定点函数值(通常为区间的端点)进行比较构成所要证明的不等式．例9 证明方程1sin 21=-x x 只有一个正根． 证明 令1sin 21)(--=x x x f ，则)(x f 在),(+∞-∞内连续，且，01)(,01)0(>-=<-=ππf f根据零点存在定理知，至少存在一个),0(πξ∈，使得0)(=ξf ， 即 方程0)(=x f 在区间),0(π内至少存在一个正根． 又因为0cos 211)('>-=x x f ，所以)(x f 在区间),(+∞-∞上是单调递增的，于是断定)(x f 在区间),0(π内的根是唯一的．从而得证，方程1sin 21=-x x 只有一个正根． 例10 求函数33)(23+-=x x x f 的极值．解法一 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，)3)(1(3963)('2-+=--=x x x x x f ，令0)('=x f ，解得驻点3,121=-=x x ，用驻点21,x x 将函数的定义域划分为3个部分区间，列表讨论由上表可知，当1-=x 时，函数取得极大值()1f -=-１； 当3=x 时，函数取得极小值(3)3f =． 解法二 由题设可得)3)(1(3963)('2-+=--=x x x x x f ，66)("-=x x f 令0)('=x f ，解得驻点3,121=-=x x ，又因为 012)1("<-=-f ，012)3(">=f所以，当1-=x 时，函数取得极大值()1f -=1-；当3=x 时，函数取得极小值(3)3f =． 例11 当a 为何值时，x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值，并求此极值． 解 函数)(x f 在定义域内处处可导，且x x a x f 3cos cos )('+=， 由于)(x f 在3π=x 处取得极值，所以有0)3('=πf ，即0121)33cos(3cos)3('=-=⋅+=a a f πππ，得2=a ，且3)33sin(313sin 2)3(=⋅+=πππf ．例12 求32)5()(x x x f ⋅-=在区间]3,2[-上的最值．解 函数)(x f 在闭区间]3,2[-上连续，因而)(x f 在]3,2[-上必有最大值和最小值．33323)2(51)5(32)('xx x x x x f ⋅-=-+=，令0)('=x f ，得驻点2=x ，)('x f 不存在点为0=x ，比较函数值(2)(0)0,(2)(3)f f f f -=-==-=-知函数]3,2[)(-在x f 上最大值为0)0(=f ，最小值为347)2(-=-f ． 例13 求曲线21xxy -=的凹凸区间与拐点． 解 函数21xxy -=的定义域为(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞，222222)1(1)1()2()1('x x x x x x y -+=--⋅--= 322422222)1()3(2)1()1)(2()1(2)1(2"x x x x x x x x x y -+=-+-⋅---= 令0"=y ，得0=x ，用点1,0,1x =-将函数的定义域划分为４个部分区间，列表讨论由表可见，在区间)1,(--∞，)1,0(内曲线为凹的，在区间)0,1(-，),1(+∞内曲线为凸的，点)0,0(为拐点．例14 已知曲线cx bx ax y ++=23上点)2,1(处有水平切线，且原点为该曲线的拐点，求出该曲线方程．解 由cx bx ax y ++=23，得c bx ax y ++=23'2，b ax y 26"+= 根据题意得 2|1=++==c b a y x 023|'1=++==c b a y x 02|"0===b y x 解得3,0,1==-=c b a所以，该曲线方程为x x y 33+-=． 例15 求下列曲线的渐近线(1)2312+--=x x x y ； (2)2x y e -=； (3)34)1(x x y +=．解 (1) 因为0231lim2=+--∞→x x x x ，所以，0=y 为水平渐近线，又因 ∞=+--→231lim 22x x x x ，所以，曲线有垂直渐近线2=x ． (2) 因为2lim 0x x e →∞=，所以，0y =为曲线的水平渐近线．(3) 因为∞=+-→341)1(lim x x x ，所以，曲线有垂直渐近线1-=x ；又因为 1)1(lim 34=⋅+∞→xx x x=-+∞→])1([lim 34x x x x =++-∞→334)1()1(lim x x x x x 2324)1()331(lim x x x x x x x ++++-∞→ 3)1(33lim 323-=+---=∞→x x x x x 所以，3-=x y 为曲线的斜渐近线． 说明: 曲线)(x f y =渐近线的确定：(1) 水平渐近线 若c x f x =∞→)(lim ，则直线c y =是曲线)(x f y =的水平渐近线．(2) 垂直渐近线 若∞=→)(lim 0x f x x ，则直线0x x =是曲线)(x f y =的垂直渐近线．(3) 斜渐近线 若a xx f x =∞→)(lim ，b ax x f x =-∞→])([lim 存在，则直线b ax y +=是直线)(x f y =的斜渐近线．例16 描绘函数2211)(xxx f -+=的图形． 解 依据描绘函数图形的六个步骤进行． 第一步 函数2211)(xxx f -+=的定义域为),0()0,(+∞⋃-∞， 经验证不具备奇偶性与周期性．第二步 求出一阶导数3)1(2)('x x x f -=，令0)('=x f 得驻点,11=x 求出二阶导数4)23(2)("xx x f -=，令0)("=x f 得,232=x 第三步 用点,11=x ,232=x 将函数的定义域划分为4个部分区间，列表分析函数)(x f 的单调性、极值、凹凸性和拐点．第四步 因+∞==→∞→)(lim ,1)(lim 0x f x f x x ，所以该曲线有水平渐近线1=y 和垂直渐近线0=x ．第五步 点)0,1()91,23(121==，4|1=-=x y ，4|2=-=x y ，以利图形描绘．第六步 根据以上信息做出函数的图形．说明: 作函数图形的基本步骤：(1) (2) 求)('x f ，)("x f ，讨论函数单调性、凹凸性及极值点、拐点； (3) 确定曲线的渐近线；(4) 补充适当点(与坐标轴相交的点)的坐标，描点画图．例17 有一块宽为a 2的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折起相同的高度，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，高为x ，问高x 取何值时水槽的流量最大(流量与横截面积成正比)．解 根据题意得该水槽的横截面积为 )(2)(x a x x s -= (a x <<0)，由于,42)('x a x s -=所以令,0)('=x s 得)(x s 的唯一驻点2a x =． 又因为铁皮的两边折得过大或过小，都会使横截面积变小，这说明该问题一定存在着最大值，所以，2ax =就是我们要求得使流量最大的高． 例18 已知某商品的成本函数为4100)(2q q C +=，求出产量10=q 时的总成本、平均成本、边际成本并解释其经济意义．解 4100)(2q q C +=总成本 125410100)10(2=+=C 平均成本函数 4100)()(qq q q C q C +== 平均成本 5.1241010100)10(=+=C边际成本 2)'4100()('2q q q C MC =+== 当10=q 时，边际成本5210)10(==MC 即当产量为10个单位时，每多生产1个单位产品需要增加5个单位成本．因为)10()10(MC C >，应继续提高产量．例19 某商品需求函数为122Q p=-)240(<<p ，求 (1) 需求弹性函数；(2) p 为何值时，需求为高弹性或低弹性？ (3) 当6=p 时的需求弹性，并解释其经济意义． (4) 当6=p 时，价格上涨1%，总收益如何变化？解 (1) 因为122Q p=-，所以12d Q dp =-， 1()1212224P p d p pE Q Q dp p p =⋅=-⋅-=- (2) 令1P E <，即241pp -<，即12<p ,故 当120<<p 时，为低弹性．令1P E >，即241pp ->，即12>p , 故 当2412<<p 时，为高弹性．(3) 当6=p 时的需求弹性为 666||0.338241P p p p p E =====--- 说明: 当6=p 时，需求变动幅度小于价格变动的幅度，即6=p 时，价格上涨1%， 需求减少0．33%，或者说当价格下降1%时，需求将增加0．33%．(4) 当6=p 时，由于1183|6<==p P E ，故当价格上涨1%，其总收益会增加． 另外，由于总收益22112p p pD R T -==，于是总收益的弹性函数是pp p p p p R pdp dR E TT P R T --=-⋅-=⋅=24)12(22112)12(2从而当6=p 时，总收益的弹性是 67.032|24)12(2|66≈=--===p p P R p p E T ，说明当6=p 时，价格上涨1%，总收益将增加0．67%．例20 某个体户以每条10元的进价购一批牛仔裤，假设此牛仔裤的需求函数为P Q 240-=，问该个体户获得最大利润的销售价是多少？解 将总利润函数L 表示为p 的函数400602)240(10)240(10)()()(2-+-=---=-=-=p p p p p q pq p C p R p L604)('+-=p p L 令 0)('=p L ，得15=p 驻点唯一,且 04)("<-=p L , 故 15=p 为唯一极大值点． 因此当销售价为15元/条时获得最大利润．例21 某厂生产摄影机，年产量1000台，每台成本800元，每一季度每台摄影机的库存费是成本的5%，工厂分批生产，每次生产准备费为5000元，市场对产品一致需求，不许缺货，试确定一年最小费用开支时的生产批量及最小费用．分析: 此问题是经济批量及存货总费用最小问题，属于“成批到货，一致需求，不许缺货”的库存模型．所谓“成批到货”就是工厂生产的每批产品，先整批存入仓库；“一致需求”，就是市场对这种产品的需求在单位时间内数量相同，因而产品由仓库均匀提取投放市场；“不许缺货”就是当前一批产品由仓库提取完后，下一批产品立刻进入仓库．在这种假设下，规定仓库的平均库存量为每批产量的一半．设在一个计划期内 (1) 工厂生产总量为D ；(2) 分批投产，每次投产数量，即批量为Q ； (3) 每批生产准备费为1C ；(4) 每批产品的库存费为2C ，且按批量的一半即2Q收取库存费； (5) 存货总费用是生产准备费与库存费之和，记为E ．依题设，库存费=每件产品的库存费×批量的一半=22QC ⋅生产准备费=每批生产准备费×生产批数=QD C ⋅1 于是，总费用函数为212)(C Q C Q D Q E E +== 02)('212=+-=C C Q DQ E 变形221QC QD C = (使库存费与生产准备费相等的批量是经济批量)解得 经济批量2102C DC Q =02)("31>=Q D C Q E 故此时总费用最小，其值为210201022C DC Q C Q D C E =+=. 解 由题设知台1000=D ，元50001=C ，每年每台库存费用 1604%58002=⋅⋅=C (元)库存总费用E 与每批生产台数Q 的关系 Q Q E E E 21605000100021+⋅=+=一年最小费用开支时的生产批量是经济批量2501605000100022210=⋅⋅==C DC Q (台)一年最小库存总费用40000250500010002250160202010=⋅+⋅=+=Q C Q D C E (元) 或400001605000100022210=⋅⋅⋅==C DC E (元)四、复习题三1． 函数)1ln(x y +=在)1,0(上是否满足拉格朗日中值定理的条件，若满足试求出定理中的ξ值． 2． 求出下列极限(1)8421612lim 2332+--+-→x x x x x x ； (2)xx x 1arctan 2lim -+∞→π； (3)xx ex 201lim -+→；(4)x x x )11(lim 0++→； (5))111(lim 0--→x x e x ； (6)xx xx x sin tan lim 20-→；(7)3sin 0lim x e e x x x -→； (8))tan (sec lim 2x x x -→π； (9)21lim (1)x xx e x-→+∞+； (10))1(sin lim20--→xx e x xx ． 3． 证明：当0x >时，有不等式(ln x +>4． 证明：方程x x -=1tan 在)1,0(内的根是唯一的．5． 要造一个容积为V 的圆柱形密闭容器,问底半径r 和高h 为何值时,使表面积最小. 6． 求下列函数的单调区间及极值:(1)32)1()(x x x f -=； (2)2156)(23+--=x x x x f ．7． 求下列函数的凹凸区间及拐点:(1)23)1(-=x x y ； (2)xxe y -=． 8． 设曲线123+++=cx bx ax y 在1=x 处有极小值-1，且有拐点)1,0(，试确定常数c b a ,,的值． 9． 一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金每套定为2000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加100元时，就会有一套公寓租不出去，而租出去的公寓每套每月需花费200元的维修费，试问租金定为多少时可获最大利润，最大利润是多少？10． 某公司生产成本的一个合理而实际的模型由短期库柏—道格拉斯成本曲线252)(21+-=q q C 给出．假设当平均成本等于边际成本时，平均成本取极小值，求q 取何值时，平均成本取得极小值？11． 设某商品的需求函数为p e Q 43-= ，求(1)需求弹性函数． (2)当4,34,1=p 时的需求弹性，并解释其经济意义． 五、复习题三答案1． 11ln 2ξ=- 2．(1)23； (2)1； (3)12-; (4) 1; (5)21；(6)31(提示 利用无穷小量代换x x ~sin )； (7)61(提示 =-+-→3sin sin sin 0lim x e e x x x x x =--→3sin sin 0)1(lim x e e x x x x 2sin 03)cos 1(lim x e x x x x -→-)； (8)0；(9)21-e (提示 =⋅+-+∞→x x x e x2)11(lim −−→−=-++∞→xt x x x x e1)11ln(lim 2令20)1ln(lim t t t t e -+→)；(10)61 (提示 利用无穷小量代换x e x~1-， 原式==-→203cos 1limx x x 616sin lim 0=→x x x )．3．提示: 方法一利用拉格朗日中值定理证明．设()(ln f x x =，()f x 在()0,+∞上连续可导，任取0x >，()f x 在()0,x 上满足拉格朗日中值定理的条件，()()00,f f x '==+=，存在()0,,x ξ∈使()ln 00x x -=-，由0x ξ<<，得(ln x +>方法二利用函数单调性证明.作辅助函数()(ln F x x =+，在[0,)+∞上连续可导，()()32221F x x x -⎡⎤'=-+⎥⎦＝()232201x x >+为单调增加函数，当0x >时，()()0F x F >=0,即(ln x >4．提示：由零点定理证得x x -=1tan 在)1,0(内有根，01sec )'1(tan )('2>+=+-=x x x x F ，故)(x F 在)1,0(内严格单调增加，故方程x x -=1tan 在)1,0(内的根是唯一的．5．设表面积为A,则222,A r rh ππ=+又2V r h π=,即2V h r π=,222V A r rπ=+ ()0,r ∈+∞ ,因为3222424V r VA r r rππ-'=-=令0A '=,得唯一驻点r =所以当r =2V h r π==,表面积最小. 6．(1)单调增加区间),52[]0,(+∞⋃-∞；单调递减区间]52,0[；极大值0)0(=f ； 极小值325453)52(-=f ．(2)单调增加区间),5[]1,(+∞⋃--∞；单调递减区间]5,1[-；极大值10)1(=-f ；极小值98)5(-=f ．7．(1)凹区间),1()1,0(+∞⋃；凸区间)0,(-∞；拐点)0,0( (2)凹区间),2(+∞；凸区间)2,(-∞；拐点)2,2(2-e8．3,0,1-===c b a ；9．提示：设每套租金为x ，总利润为y总利润)14000007200(1001)200)(100200050(2-+-=---=x x x x y )72002(1001'+-=x y 令0'=y ，得3500=x 且0501"<-=y即 3500=x 是y 达到最大值的点，最大利润112000=y 元．10．提示:平均成本12()252C q q q q-=-+； 边际成本21)('--=q q C 由)(')(q C qq C = 得625=q 11．34p EQ E P Ep P Q =-=当1=p 时,314p E =<，需求为低弹性; 当34=p 时,1p E =，需求为单位弹性； 当4=p 时,31p E =>，需求为高弹性．六、自测题三(一)填空题(每小题2分，共20分)1．32)(2--=x x x f 在]23,1[-上满足罗尔中值定理的=ξ ； 2．函数)1ln()(+=x x f 在]1,0[上满足拉格朗日中值定理的=ξ ； 3． 函数x x x f cos 2)(-=在区间 内是单调增加的; 4．曲线35)2(-=x y 的凸区间为__________________________________; 5．曲线3352x x y -+=的拐点是______________________________________;6． 曲线122-=x x y 有水平渐近线 ，垂直渐近线___________________;7． 函数)(x f =12+x 在[0，4]上的最大值是 ，最小值是______________; 8． 当4=x 时，函数q px x y ++=2取得极值，则p = ; 9． 若点(1，3)是曲线23bx ax y +=的拐点，则a = ，b = ; 10．总成本函数,10001001.0)(2++=x x x C 则边际成本为 ______.(二)单选题(每小题3分，共15分)1．函数)(x f 有连续二阶导数且2)0(",1)0(',0)0(-===f f f ，则2)(limx xx f x -→= ( ) A ．不存在； B ．0 ； C ．-1 ； D ．-2．2． 设函数)(x f 在),(b a 内连续，),(0b a x ∈，0)(")('00==x f x f ，则)(x f 在0=x 处 ( )A ．取得极大值；B ．取得极小值 ；C ．一定有拐点))(,(00x f x ；D ．可能取得极值，也可能有拐点． 3． 函数)(x f 在0x 处取得极值，则必有 ( ) A ． 0)('=x f ； B ． 0)("<x f ；C ． 0)('=x f ，0)("<x f ；D ． 0)('=x f 或)('x f 不存在．4．曲线32)2(2-+=x x y 的渐近线有 ( )A ．一条；B ．2条 ；C ．3条 ；D ．0条． 5．方程0133=+-x x 在区间),(+∞-∞内有 ( ) A ．无实根； B ．有唯一实根； C ．有两个实根； D ．有三个实根．(三)求下列极限(每小题6分，共24分) 1．)1ln(arctan lim31x x x x +-→； 2． x x x ln lim 50+→； 3． )]1ln(11[lim 20x xx x -+→； 4． x x x ln 10)(cot lim +→．(四)证明题(11分)1．证明不等式)0(1>+>x x e x；(5分) 2．证明方程015=-+x x 只有一个正根．(6分) (五)应用题(每小题10分，共30分)1．求函数123+--=x x x y 的单调区间、极值及凹凸区间、拐点． 2．在周长为定值l 的所有扇形中，当扇形的半径取何值时所得扇形面积最大？ 3．某商品的需求函数为275)(p p Q -=(p 为价格) （1） 求4=p 的边际需求．（2） 求4=p 时需求价格的弹性，并说明经济意义． （3） 当p 为多少时，总收益最大？最大值时多少？七、自测题三答案(一)1．41； 2．12ln 1-； 3．),(+∞-∞； 4． )2,(-∞ 5．)2,0(； 6．1,1±==x y ； 7．3，1； 8．-8； 9．29,23-； 10．1002.0)('+=x x C ． (二)1．C ； 2．D ； 3．D ； 4．B ； 5．D ．(三)1．14ln 2π-2．0； 3．21-； 4． e 1．(四)1．证：设x e x f x--=1)(，在),0(+∞内连续，且01)('>-=xe xf ，)(x f 在),0(+∞内单调增加，0)0()(=>f x f ，即01>--x e x ，得证．2．提示：设()51f x x x =+-由零点定理证得()f x 在)1,0(内至少存在一点ξ，使得()510f ξξξ=+-=，再由4()510f x x '=+>，()f x 在()0,+∞内严格单调增加，故方程015=-+x x 只有一个正根．(五)1．单调递增区间为),1()31,(+∞⋃--∞；单调递减区间为)1,31(-； 极大值1332|27x y =-=；极小值0|1==x y ；凹区间为),31(+∞；凸区间为)31,(-∞；拐点)2716,31(． 2．设扇形半径为x ，弧长为x l 2-，扇形面积1(2)2y x l x =-，1'22y x l =-+， 令0'=y ，得驻点4l x =，唯一驻点 ，且"20y =-<，故4lx =为极大值点，所以，当4lx =时，扇形面积最大，最大面积为216l y =．3．(1)8|2|44-=-===p p p dpdQ(2)75222-=⋅=p p dp dQ Q p Ep EQ ， 54.0|4-≈=p Ep EQ 说明若价格由4=p 上涨1%，则需求量减少0．54%．(3)375R pQ p p ==-，2375'p R -= ，令0'=R ，得5=p ，030|6"5<-=-==p p R ，所以 5=p 时总收益最大，最大值为250|5==p R ．。
高等数学（同济大学教材第五版）复习提纲
⾼等数学（同济⼤学教材第五版）复习提纲⾼等数学（同济⼤学教材第五版）复习提纲第⼀章函数与极限：正确理解、熟练掌握本章内容，求各类函数的极限，尤其是未定式与幂指函数求极限第⼆章导数与微分：正确理解、熟练掌握本章内容，各类函数的求导与微分的基本计算第三章微分中值定理与导数的应⽤：熟练掌握本章的实际应⽤，研究函数的性态，证明相关不等式第四章不定积分：正确理解概念，会多种积分⽅法，尤其要⽤凑微分以及⼀些需⽤⼀定技巧的函数类型第五章定积分：正确理解概念，会多种积分⽅法，有变限函数参与的各种运算第六章定积分的应⽤：掌握定积分的实际应⽤第七章空间解析⼏何和向量代数：熟练掌握本章的实际应⽤⾼等数学（1）期末复习要求第⼀章函数、极限与连续函数概念理解函数概念，了解分段函数，熟练掌握函数的定义域和函数值的求法。
2．函数的性质知道函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，掌握判断函数奇偶性的⽅法。
3．初等函数了解复合函数、初等函数的概念；掌握六类基本初等函数的主要性质和图形。
4．建⽴函数关系会列简单应⽤问题的函数关系式。
5．极限：数列极限、函数极限知道数列极限、函数极限的概念。
6．极限四则运算掌握⽤极限的四则运算法则求极限. 7．⽆穷⼩量与⽆穷⼤量了解⽆穷⼩量的概念、⽆穷⼩量与⽆穷⼤量之间的关系，⽆穷⼩量的性质。
8．两个重要极限了解两个重要极限，会⽤两个重要极限求函数极限。
9．函数的连续性了解函数连续性的定义、函数间断点的概念；会求函数的连续区间和间断点，并判别函数间断点的类型；知道初等函数的连续性，知道闭区间上的连续函数的⼏个性质（最⼤值、最⼩值定理和介值定理）。
第⼆章导数与微分1．导数概念：导数定义、导数⼏何意义、函数连续与可导的关系、⾼阶导数。
理解导数概念；了解导数的⼏何意义，会求曲线的切线和法线⽅程；知道可导与连续的关系，会求⾼阶导数概念。
2．导数运算熟记导数基本公式，熟练掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导的链式法则。
课程教学大纲(高等数学一)
《高等数学一》课程教学大纲一、课程基本信息课程名称：高等数学一英文名称：Advanced Mathematics 1课程性质：专业基础课周学时/学分：5/4适用专业：使用教材：《高等数学》由济大学数学系编，高等数学同济第七版是普通高等教育“十二五”GJJ规划教材，在第6版基础上作了进一步修订。
二、课程简介《高等数学》是高等学校中经济类和理工类专业必修的重要基础理论课。
高等数学是高校不可或缺的一门基础课，为学生学习专业课奠定了基础，对对培养学生严密的思维能力和创新能力起着不可替代的作用。
旨在通过高等数学得学习，进行逻辑思维能力的训练，为其他课程奠定一个坚实的基础。
三、教学基本要求将社会主义核心价值观贯穿始终，使学生树立正确的价值观，培养学生敬业、精益、专注、创新、追求卓越的工匠精神；培养学生将实际问题转化为数学问题以及所学知识去解决实际问题的能力，力求使学生在原有初等数学的基础上，学习与掌握高等数学的思想与方法，并能用高等数学的思想与方法去分析、解决实际问题，让数学成为学生解决实际问题的工具，更好的服务于学生后续专业课程的学习与素质的全面提高，培养面向基层、面向生产、面向管理与服务的一线高技能应用型人才；理解函数极限、连续、导数、微分、不定积分和定积分的概念；熟练掌握函数的极限、导数、积分的计算；能对函数进行连续性的判断，会求最值、切线、平面图形的面积以及旋转体的体积等；在教学过程中结合学校“三考一创”特色，着重对学生考研知识框架内进行学习与指导。
五、考核方式和成绩评定方法1、考核方式：闭卷考2、成绩评定方法：平时、期中、期末成绩分别为20%、20%、60%（平时成绩由作业成绩、课堂讨论成绩、考勤成绩构成）六、教学内容提要第一章函数1、教学目的：1.理解函数、复合函数、分段函数、基本初等函数、初等函数的概念。
2.了解几类特殊的函数。
3.掌握函数的表示方法及求函数的定义域和函数值的方法。
4.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
上海大学大一秋季学期理工《微积分1》教学要求
《微积分》教学要求说明：从2013学年起《微积分》课程教学内容分为三个学期完成，课时数分别为60，60，40.（课时总数没有变化，但时间跨度从四学期变为三学期）第一学期（60学时）第一章 函数与极限（14学时）1 了解极限的概念，了解分段函数的极限的计算。
2 掌握极限四则运算法则，会用变量代换求某些简单复合函数的极限。
3 了解极限的性质（惟一性、有界性和保号性）和两个极限存在准则（夹逼准则与单调有界准则），会用两个重要极限求极限。
4 了解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。
5 理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。
6 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质。
说明1：本章原来教学时数是16，现改为14，建议第一节（常用符号介绍）、第二节（函数的概念）作为自学内容。
说明2：用,N X εεδε---，定义证明极限不作要求。
第二章 导数与微分（12学时）1 理解导数（包括左、右导数）的概念，了解导数的几何意义，了解函数的可导性与连续性之间关系。
2 掌握导数的四则运算法则、反函数与复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。
会求分段函数的导数。
3 了解高阶导数的概念。
掌握初等函数的二阶导数的计算。
会求简单函数的n 阶导数。
4 掌握求隐函数、参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数。
会解一些简单实际问题中的相关变化率问题。
5 了解微分的概念与四则运算。
说明：建议导数的经济意义作为自学内容。
高阶导数以二阶为主。
第三章 微分中值定理及导数的应用（12学时）1 理解并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理。
2 掌握洛必达法则求不定式极限的方法。
3 理解函数的极值概念，掌握用导数判别函数的单调性和求函数极值的方法。
会用单调性证明不等式。
4 会求最大值、最小值问题，会解决简单的实际应用问题。
5 会用导数判别函数图形的凹凸性，会求拐点。
说明1：建议第六节（函数图形的描绘）、第七节（曲率）、第八节（方程的近似解）作为自学内容。
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三、知道导数作为变化率在经济分析中的简单应用， 知道导数作为变化率在经济分析中的简单应用， 掌握求边际成本、边际平均成本、 掌握求边际成本、边际平均成本、边际收入和边际 利润的方法。会求需求弹性。 利润的方法。会求需求弹性。熟练掌握经济分析中 的平均成本最低、 的平均成本最低、收入最大和利润最大等应用问题 的解法。 的解法。 1. 边际的概念 在经济学中， 在经济学中，习惯上用边际来描述一个经济变 量对于另一个经济变量的瞬时变化率， 边际” 量对于另一个经济变量的瞬时变化率，即“边际”是 导数在经济问题中的代名词。常用的有：边际成本、 导数在经济问题中的代名词。常用的有：边际成本、 边际收益、边际利润。 边际收益、边际利润。
（2）最小平均成本。 ）最小平均成本。
(2)最小平均成本为 最小平均成本为: 最小平均成本为
C(200) = 0.005 × 2002 − 2 × 200 + 300 = 100
例4. 某厂每生产一批产品的固定成本为2000元，而每 某厂每生产一批产品的固定成本为2000元 吨产品的成本为60元 生产 1 吨产品的成本为60元，市场对此产品的需求规 律为q=1000-10p 为需求量， 为价格) 试求： 律为q=1000-10p ( q为需求量，p为价格)，试求： 成本函数，收入函数。 （1）成本函数，收入函数。 产量为多少时利润最大。 （2）产量为多少时利润最大。 利润最大时的价格的需求弹性。 （3）利润最大时的价格的需求弹性。
2. 重要结论 设 f (x) 在 [a,b] 上连续，在（a,b）内可导， 上连续， a,b）内可导， 且 x0 是 f (x) 在（a,b）内的唯一驻点，则 x0 一 a,b）内的唯一驻点， 定是 f (x) 在 [a,b] 上的最大值点（或最小值点）。 上的最大值点（或最小值点）。
1− p 1.设某产品的需求函数为 求需求弹性。 例1.设某产品的需求函数为 q = ，求需求弹性。 p 1 的值。 如果销售价格 P0 = ，试确定 E 的值。 p 2
第 三 章 导数应用
本章重点： 本章重点： 函数的极值及其应用——最值问题 最值问题。 函数的极值及其应用——最值问题。 本章难点： 本章难点： 极值点与驻点、不可导点的关系。 极值点与驻点、不可导点的关系。 一、掌握用一阶导数判别函数单调性的方法。会求 掌握用一阶导数判别函数单调性的方法。 函数的单调区间。 函数的单调区间。 （1）若在（a，b）内 若在（ 单调上升； 单调上升； （2）若在（a，b）内 若在（ 单调下降。 单调下降。 则 在[a，b]上 [a，b]上 则 在[a，b]上 [a，b]上
2. 求函数极值的方法（定理3.2~3.3） 求函数极值的方法（定理3.2~3.3） (1) 求出使 的点 （驻点）和导数不存在的点 驻点） ；
(2) 判别 f ′(x)在点 x i 、x j 两侧的符号，若符号相同， 两侧的符号，若符号相同， 则不是极值点；若符号“左负右正” 则是极小值点； 则不是极值点；若符号“左负右正”，则是极小值点； 若符号 “左正右负”，则是极大值点。 左正右负” 则是极大值点。 (3) 求出 f (x) 在极大(小)值点的值，即为 f (x) 的极大 在极大( 值点的值， (小 )值 。
[ -1, 0) U (0 ,1]
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二、了解函数极值的概念，掌握极值存在的必要条件 了解函数极值的概念， 和极值点的判别方法。 和极值点的判别方法。分清函数的极值点与驻点的区 别与联系，会求函数的极值。 别与联系，会求函数的极值。
可导 → 一定是驻点(定理3.2) 1. 极值点 不可导
这说明极值点不一定是驻点。反之驻点和不可导 这说明极值点不一定是驻点。 点不一定是极值点，只是“可能极值点”。 点不一定是极值点，只是“可能极值点”
例2.已知生产 q 台某种彩电的总成本函数为 2.已知生产 7 (单位：元) 单位： C(q) = 2200q + 8 ×10 该彩电的需求函数为 q = 310000 − 50 p , 其中 P (单位：元) 是彩电售价，q (单位：台) 是 (单位 单位： 是彩电售价， (单位 单位： 需求量。 需求量。求： （1）利润函数 L(q)及边际利润函数 L' (q) ; 时的产量。 （2）边际利润为 0 时的产量。
因此由实际问题知，当产量为200吨时，可使 吨时， 因此由实际问题知，当产量为200吨时 利润达到最大。 利润达到最大。