专题13 一次函数、正比例函数、反比例函数的图像和性质(解析版)

专题13 一次函数、正比例函数、反比例函数的图像和性质
一、知识点精讲
（一）平面直角坐标系
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。

水平的数轴叫做x 轴或横轴，铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，x 轴与y 轴统称坐标轴，他们的公共原点O 称为直角坐标系的原点。

（二） 图形的对称
（1）轴对称图形：
①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。

（2）中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。

②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

（3）平面直角坐标系内的对称点：
设11(,)M x y ，22(,)M x y '是直角坐标系内的两点，
①若M 和'M 关于y 轴对称，则有1212
x x y y =-⎧⎨=⎩。

②若M 和'M 关于x 轴对称，则有1212
x x y y =⎧⎨=-⎩。

③若M 和'M 关于原点对称，则有1212
x x y y =-⎧⎨=-⎩。

④若M 和'M 关于直线y x =对称，则有1212
x y y x =⎧⎨=⎩。

⑤若M 和'M 关于直线y x =-对称，则有1212
x y y x =-⎧⎨=-⎩。

⑥若M 和'M 关于直线x a =对称，则有12122x a x y y =-⎧⎨=⎩或2112
2x a x y y =-⎧⎨=⎩ （三）函数的图像和性质
（1）变量：因变量，自变量。

在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点表示自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。

（2）一次函数：
①若两个变量y ,x 间的关系式可以表示成y kx b =+（b 为常数，k 不等于0）的形式，则称y 是x 的一次函数。

②当b =0时，称y 是x 的正比例函数。

（3）一次函数的图象及性质
①把一个函数的自变量x 与对应的因变量y 的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。

②正比例函数y =kx 的图象是经过原点的一条直线。

③在一次函数中，
当k <0， b <O 时，则经2、3、4象限；
当k <0，b >0时，则经1、2、4象限；
当k >0， b <0时，则经1、3、4象限；
当k >0， b >0时，则经1、2、3象限。

④当k >0时，y 的值随x 值的增大而增大，当k <0时，y 的值随x 值的增大而减少。

（4）正比例函数的图象及性质
函数y =kx (k 是常数，k ≠0)的图象是过原点的一条直线，当k >0时，图象过原点及第一、第三象限，y 随x 的增大而增大；当k <0时，图象过原点及第二、第四象限，y 随x 的增大而减小。

（5）反比例函数的图象及性质 函数k y x
=
(k ≠0)是双曲线，当k >0时，图象在第一、第三象限，在每个象限中，y 随x 的增大而减小；当k <0时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y 随x 的增大而增大．双曲线是轴对称图形，对称轴是直线y x =与y x =-；又是中心对称图形，对称中心是原点。

二、典例精析
【典例1】 已知()12,A y 、()2,3B x -，根据下列条件，求出A 、B 点坐标．
(1) A 、B 关于x 轴对称；(2) A 、B 关于y 轴对称；(3) A 、B 关于原点对称．
【答案】见解析
【解析】
(1)因为A 、B 关于x 轴对称，它们横坐标相同，纵坐标互为相反数，
所以22x =，13y =，则()2,3A 、()2,3B -．
(2)因为A 、B 关于y 轴对称，它们横坐标互为相反数，纵坐标相同，
所以，22x =-，13y =-，则()2,3A -、()2,3B --．
(3)因为A 、B 关于原点对称，它们的横纵坐标都互为相反数，
所以22x =-，13y =，则()2,3A 、()2,3B --．
【典例2】已知一次函数y ＝kx ＋2的图象过第一、二、三象限且与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，O 为原点，若ΔAOB 的面积为2，求此一次函数的表达式。

【答案】见解析
【分析】 ：
因为直线过第一、三象限，所以可知k>0，又因为b ＝2，所以直线与y 轴交于（0，2），即可知OB ＝2，而ΔAOB 的面积为2，由此可推算出OA ＝2，而直线过第二象限，所以A 点坐标为（－2，0），由A 、B 两点坐标可求出此一次函数的表达式。

【解析】
∵B 是直线y ＝kx ＋2与y 轴交点，∴B （0，2），∴OB ＝2，1222
AOB S AO BO AO ∆=⋅=∴=Q 又， 2y kx =+Q 又，过第二象限，(20)A ∴-，112021
2x y y kx k y x =-==+=∴=+把，代入中得， 【典例3】如图，反比例函数k y x =
的图象与一次函数y mx b =+的图象交于(13)A ，，(1)B n -，两点．
图（12）
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象回答：当x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．
【答案】见解析
【解析】
（1）(13)A Q ，在k y x =的图象上，3k ∴=，3y x
∴= 又(1)B n -Q ，在3y x =的图象上，3n ∴=-，即
(31)B --， ，313m b m b =+⎧⎨-=-+⎩，
解得：1m =，2b =， 反比例函数的解析式为3y x =，一次函数的解析式为2y x =+
，
（2）从图象上可知，当3x <-或01x <<时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，所以反比例函数的值大于一次函数的值。

三、对点精练 1．函数y kx m =+与(0)m y m x =
≠在同一坐标系内的图象可以是（ ）
x y O
A ． x y O
B ． x y O
C ． x y O
D ．
【答案】B
【解析】对于答案（A ）验证：y kx m =+中,m<0, (0)m y m x =
≠,m>0,矛盾 对于答案（C ）验证：y kx m =+中,m>0, (0)m y m x
=≠,m<0,矛盾 对于答案（D ）验证：y kx m =+中,m=0, (0)m y m x
=≠,m<0,矛盾 对于答案（B ）验证：y kx m =+中,m>0, (0)m y m x
=≠,m>0,一致符合要求。

故选B. 2．如图，平行四边形ABCD 中，A 在坐标原点，D 在第一象限角平分线上，又知6AB =，22AD =，求,,B C D 点的坐标．
【答案】见解析
【解析】据题意(6,0),(8,2),(2,2)B C D
3．如图，已知直线12y x =
与双曲线(0)k y k x
=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；
（2）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k y k x
=>于C ，D 两点（P 点在第一象限,且在A 点的左边），若由点B A C 、、D 、为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．
【答案】见解析
【解析】（1）在
中，当x=4时，y=2，∴点A 的坐标是（4，2）．
∵点A （4，2）在双曲线上，∴k=4×2=8．
（2）∵反比例函数的图象是关于原点O的中心对称图形，∴OA=OB，OC=OD．∴四边形ACBD是平行四边形．
∴．
设点C的横坐标为m（0＜m＜4），则C（）．过点C、A分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F．
则．
∵S△COE+S梯形CEFA=S△COA+S△AO F，
∴S梯形CEFA=S△COA=6．
∴，解得m1=2，m2=-8（不合，舍去），
∴点C的坐标为（2，4）．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数
中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．。