2020-2021年新高二数学开学摸底考试卷(一)详解

2020-2021年新高二数学开学摸底考试卷（一）一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）1、（2020·﹣y +3＝0的倾斜角是（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．150°【答案】C30y -+=的斜截式方程为3y =+，∴直线的斜率k 60α=︒，故选：C ．2、（2020·河北省石家庄二中高一期末）若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若0a b <<，则11a b < D ．若0a b <<，则b a a b> 【答案】B【解析】对于A 选项，若0c =，则22ac bc =，故A 不成立；对于B 选项，0a b <<Q ，在不等式a b <同时乘以()0a a <，得2a ab >， 另一方面在不等式a b <两边同时乘以b ，得2ab b >，22a ab b ∴>>，故B 成立；对于选项C ，在a b <两边同时除以()0ab ab >，可得11b a<，所以C 不成立； 对于选项D ，令2a =-，1b =-，则有221a b -==-，12b a =，b aa b <，所以D 不成立. 故选B.3、（2020·南京外国语学校高一月考）某地区对当地3000户家庭的2018年所的年收入情况调查统计，年收入的频率分布直方图如图所示，数据（单位：千元）的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，则年收入不超过6万的家庭大约为（ ）A ．900户B ．600户C ．300户D ．150户【答案】A【解析】由频率分布直方图可得,年收入不超过6万的家庭的频率为（0.005+0.010）×20＝0.3.可得年收入不超过6万的家庭大约为3000×0.3＝900户.故选：A. 4、（2020·湖南省湖南师大附中高一期中）已知点(1,2)M ，(5,4)N ，(,3)S p ，(3,)T q -，且向量MN 与ST 相等，则p ，q 的值分别为( ) A ．-7，-5 B ．7，-5C ．-7，5D ．7，5【答案】C【解析】由点(1,2)M ，(5,4)N ，(,3)S p ，(3,)T q -，可知：(4,2),(3,3)MN ST p q ==---，因为向量MN 与ST 相等，所以347325p p q q --==-⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩.故选：C 5、（2020·济南市历城第二中学高一期末）关于x 的不等式230x ax +-<，解集为3,1-（），则不等式230ax x +-<的解集为（ ）A ．1,2（）B ．1,2-（）C ．1(,1)2-D ．()3,12-【答案】D【解析】由题,3,1x x =-=是方程230x ax +-=的两根,可得31a -+=-,即2a =, 所以不等式为2230x x +-<,即()()2310x x +-<,所以312x -<<,故选：D 6、（2020·广东省佛山一中高二期中）曲线22(1)1(0)x y x +-=≤上的点到直线10x y --=的距离最大值为a ，最小值为b ，则-a b 的值是（ ）AB ．2C 1+D 1【答案】C【解析】因为圆心(0,1) 到直线10x y --= 1=> ，所以半圆()()22110x y x +-=≤到直线10x y --= 1+ ，到直线10x y --= 距离最小值为点(0,0)到直线10x y --=，所以112a b -==+ ，选C.7、（2020·重庆巴蜀中学高一期末）若cos()1210x π+=-，511,1212x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则cos()6x π-值为（ ） A ．35B ．45C ．35-D ．45-【答案】A【解析】cos()1210x π+=-，511,1212x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则,122x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，sin 1210x π⎛⎫∴+==⎪⎝⎭， cos()cos cos cos sin sin 6412412412x x x x πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3=2102105⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：A . 8、在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C ：228150x y x +-+=有公共点，则实数k 的最大值为（ ）A ．0B ．43C ．32D ．3【答案】B【解析】圆C ：(x −4)2+y 2=1,若直线y =kx −2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C ：x 2+y 2−8x +15=0有公共点，可转化为C 到l 的距离d ≤2.即√k 2+1≤2，解得k 的范围是0≤k ≤43.所以k 的最大值为43二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）9、（2020·首都师范大学附属中学高一期末）下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ） A ．2x y = B ．23y x -=C ．1y x x=- D ．()2ln 1y x =+【答案】AD【解析】对于A 选项，2xy =为偶函数，且当0x <时，122xx y -==为减函数，符合题意. 对于B 选项，23y x -=为偶函数，根据幂函数单调性可知23y x -=在(),0-∞上递增，不符合题意. 对于C 选项，1y x x=-为奇函数，不符合题意. 对于D 选项，()2ln 1y x =+为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，()2ln 1y x =+在区间(),0-∞上单调递减，符合题意.故选：AD.10、（2020·枣庄市第三中学高一月考）如图，在正四棱锥S ABCD -中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论中恒成立的为（ ）.A ．EP ⊥A CB ．EP BD ∥C ．EP ∥面SBD D ．EP ⊥面SAC【答案】AC【解析】如图所示，连接AC ､BD 相交于点O ，连接EM ，EN .由正四棱锥S ABCD -，可得SO ⊥底面ABCD ，AC BD ⊥，所以SO AC ⊥. 因为SO BD O ⋂=，所以AC ⊥平面SBD ， 因为E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点， 所以//EM D ，//MN SD ，而EM MN N ⋂=，所以平面//EMN 平面SBD ，所以AC ⊥平面EMN ，所以AC EP ⊥，故A 正确； 由异面直线的定义可知:EP 与BD 是异面直线，不可能//EP BD ，因此B 不正确； 平面//EMN 平面SBD ，所以//EP 平面SBD ，因此C 正确；EM ⊥平面SAC ，若EP ⊥平面SAC ，则//EP EM ，与EP EM E =相矛盾，因此当P 与M 不重合时，EP 与平面SAC 不垂直，即D 不正确.故选:AC .11、（2020·福建省福州第一中学高一期末）下列关于函数()tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的相关性质的命题，正确的有（ ）A ．()f x 的定义域是,82k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭B ．()f x 的最小正周期是πC ．()f x 的单调递增区间是()3,2828k k k Z ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭ D ．()f x 的对称中心是(),028k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭【答案】AC【解析】对于A 选项，令()242x k k Z πππ+≠+∈，解得()28k x k Z ππ≠+∈， 则函数()y f x =的定义域是,82k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，A 选项正确； 对于B 选项，函数()y f x =的最小正周期为2π，B 选项错误； 对于C 选项，令()2242k x k k Z πππππ-<+<+∈，解得()32828k k x k Z ππππ-<<+∈， 则函数()y f x =的单调递增区间是()3,2828k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，C 选项正确； 对于D 选项，令()242k x k Z ππ+=∈，解得()48k x k Z ππ=-∈，则函数()y f x =的对称中心为(),048k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，D 选项错误.故选：AC. 12、（2020·辽宁省高二期末）若P 是圆C ：()()22331x y ++-=上任一点，则点P 到直线1y kx =-距离的值可以为（ ）A ．4B ．6C ．1D ．8【答案】ABC 【解析】如图，圆C ：()()22331x y ++-=的圆心坐标为()3,3-，半径为1，直线1y kx =-过定点()0,1-，由图可知，圆心C 到直线1y kx =-5=， 则点P 到直线1y kx =-距离的最大值为516+=. ABC 中的值均不大于6，只有D 不符合.故选：ABC.三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分） 13、（2020·福建省福州第一中学高一期末）已知()()sin 2cos 0παπα-++=，则1s i n c o s αα=________.【答案】52【解析】()()sin 2cos 0παπα-++=，sin 2cos 0αα∴-=，tan 2α∴=，因此，22221sin cos tan 1215sin cos sin cos tan 22αααααααα+++====.故答案为：52.14、（2020·巴蜀中学高一期末）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3, 0.9]内，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）直方图中的a =_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5, 0.9]内的购物者的人数为_________． 【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000．【解析】由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1+0.8×0.1+1.5×0.1+2×0.1+2.5×0.1+a ×0.1=1，解之得a =3．于是消费金额在区间[0.5, 0.9]内频率为0.2×0.1+0.8×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6，所以消费金额在区间[0.5, 0.9]内的购物者的人数为：0.6×10000=6000，故应填3；6000．15、（2020·湖南省雅礼中学高一期末）将底边长为2的等腰直角三角形ABC 沿高线AD 折起，使∠BDC ＝60°，若折起后A 、B 、C 、D 四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为_____． 【答案】73π【解析】如图,在BCD ∆中,1BD =,1CD =,60BDC ∠=︒,设底面BCD ∆外接圆的圆心为M ,半径为r ,则12sin 60r =,所以r =因为AD 是球的弦,1AD =,因为A 、B 、C 、D 四点都在球O 的表面上,所以1122OM AD ==, 所以球O的半径R OD ===所以球O 的表面积2743S R ππ==.16、（2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测）已知函数()22xf x x =-+，则不等式()()222f x x f x +<+的解集为______.【答案】()1,1-；【解析】因为()1,222,24x x f x x x x x≥⎧⎪==⎨-+<⎪-⎩ 当2x <时，()4144x f x x x ==----，在(),2-∞上单调递增， 因为()()222f x x f x +<+所以22222x x x x x ⎧+<⎨+<+⎩，解得11x -<<，即()1,1x ∈-故答案为：()1,1-四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）17、（2020·河北省石家庄二中高一期末）已知全集U =R ，集合{}2|450A x x x =--≤，{}|24B x x =≤≤.（1）求()U A C B ⋂；（2）若集合{}|4,0C x a x a a =≤≤>，满足C A A =U ，CB B =，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(){|12U A C B x x ⋂=-≤<或}45x <≤；（2）5|14a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【解析】（1）由题{}|15A x x =-≤≤，{|2U C B x x =<或}4x >，，(){|12U A CBx x ⋂=-≤<或}45x <≤；（2）由C A A =U 得C A ⊆，则145a a ≥-⎧⎨≤⎩，解得514a -≤≤，由CB B =得BC ⊆，则244a a ≤⎧⎨≥⎩，解得12a ≤≤，∴实数a 的取值范围为5|14a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭． 18、（2020·新疆生产建设兵团二中高一期末）已知函数()2()33xf x a a a =-+是指数函数．(1)求()f x 的表达式；(2)判断()()()F x f x f x =--的奇偶性，并加以证明 (3)解不等式：log (1)log (2)a a x x ->+．【答案】（1）()2x f x =（2）见证明；（3）1{|2}2x x -<<-【解析】（1）∵函数()2()33x f x a a a =-+是指数函数，0a >且1a ≠，∴2331a a -+=，可得2a =或1a =（舍去），∴()2x f x =； （2）由（1）得()22x x F x -=-，∴()22x x F x --=-，∴()()F x F x -=-，∴()F x 是奇函数；（3）不等式：22log (1)log (2)x x ->+，以2为底单调递增， 即120x x ->+>， ∴122x -<<-，解集为1{|2}2x x -<<-．19、（2020·海南省海南中学高一期末）已知设函数11()cos 2cos 22f x x x x =+ (1)求函数()f x 最小正周期和值域.(2)求函数(),[2,2]f x x ππ∈-的单调递增区间.【答案】（1）最小正周期为2π，值域为[]4,4-；（2）52,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）()2cos 4sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭()f x 的最小正周期2T π=，值域为[]4,4-（2）令22262k x k ππππ-≤+≤π+，k Z ∈，解得：22233k x k πππ-≤≤π+，k Z ∈ ()f x ∴单调递增区间为22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 令1k =-，则28233k πππ-=-，5233k πππ+=- 52,3ππ⎡⎤∴--⎢⎥⎣⎦为单调递增区间 令0k =，则22233k πππ-=-，233k πππ+= 2,33ππ⎡⎤∴-⎢⎥⎣⎦为单调递增区间 令1k =，则24233k πππ-=，7233k πππ+=4,23ππ⎡⎤∴⎢⎥⎣⎦为单调递增区间 综上所述：函数()[],2,2f x x ππ∈-的单调递增区间为52,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦20、（2020·山东省滕州市第一中学新校高一月考）如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，点E 、F 分别是棱PC 和PD 的中点.（1）求证：EF 平面PAB ；（2）若AP AD =，且平面PAD ⊥平面ABCD ，证明AF ⊥平面PCD .【答案】(1)见证明；(2)见证明【解析】（1）证明：因为点E 、F 分别是棱PC 和PD 的中点，所以EF CD ∥，又在矩形ABCD 中，AB CD ∥，所以EF AB ∥，又AB Ì面PAB ，EF ⊄面PAB ，所以EF 平面PAB（2）证明：在矩形ABCD 中，AD CD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，CD ⊂面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ，又AF ⊂面PAD ，所以CD AF ⊥①因为PA AD =且F 是PD 的中点，所以AF PD ⊥，②由①②及PD ⊂面PCD ，CD ⊂面PCD ，PD CD D ⋂=，所以AF ⊥平面 PCD .21、（2020·陕西省西安中学高一期中）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)[)[]20,30,30,40,,80,90⋅⋅⋅，并整理得到频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)40,50内的人数．（Ⅱ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．【答案】（Ⅰ）20人（Ⅱ）3:2．【解析】（Ⅰ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.010.020.040.02)100.9+++⨯=，分数在区间[40,50)内的人数为1001000.955-⨯-=．所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为540020100⨯=． （Ⅱ）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.020.04)1010060+⨯⨯=，所以样本中分数不小于70的男生人数为160302⨯=． 所以样本中的男生人数为30260⨯=，女生人数为1006040-=，男生和女生人数的比例为60:403:2=．所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3:2．22、（苏州高一下学期期末）如图，在直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2+y 2＝4与x 轴负半轴交于点A ，过点A 的直线AM ，AN 分别与圆O 交于M ，N 两点．（1）若k AM ＝2，k AN =−12，求△AMN 的面积；（2）过点P （3√3，﹣5）作圆O 的两条切线，切点分别记为E ，F ，求PE →•PF →；（3）若k AM •k AN ＝﹣2，求证：直线MN 过定点．【解析】（1）解：由题知，得直线AM 的方程为y ＝2x +4，直线AN 的方程为y =−12x ﹣1，…（2分）所以，圆心到直线AM 的距离d =|4|√5，所以AM ＝2√4−165=4√55，由中位线定理知，AN =8√55，…由题知k AM •k AN ＝﹣1，所以AN ⊥AM ，S =12×4√55×8√55=165．…（6分） （2）解：|PE →|=√(3√3)2+(−5)2−4=4√3，PO =√(3√3)2+(−5)2=2√13，所以cos ∠OPE =4√32√13=2√3√13．… 所以cos ∠FPE ＝2cos 2∠OPE ﹣1＝2（√3√13）2﹣1=1113， 所以PE →⋅PF →=|PE →|⋅|PF →|cos∠EPF =(4√3)2×1113=52813．… （3）证明：由题知直线AM 和直线AN 的斜率都存在，且都不为0，不妨设直线AM 的方程y ＝k （x +2），则直线AN 的方程为y =−2k （x +2），所以，联立方程{y =k(x +2)x 2+y 2=4，得（x +2）[（1+k 2）x +2k 2﹣2]＝0， 得x ＝﹣2或x =2−2k 21+k 2， 所以M （2−2k 21+k 2，4k1+k 2），同理N （2k 2−84+k 2，−8k 4+k 2），…（13分） 因为x 轴上存在一点D （−23，0），所以k DM =−4k 1+k 22−2k 21+k 2+6=−4k 4k 2+8=−k k 2+2，同理k DN =−k k 2+2，…（15分）所以k DN ＝k DM ，所以直线MN 过定点（−23，0）。