空间直角坐标系、圆系方程
2021_2022年高中数学第四章圆的方程3
空间两点间的距离公式整体设计教学分析平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣.三维目标1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力.3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神.重点难点教学重点：空间两点间的距离公式.教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容. 思路2.我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x 1-x 2|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式.推进新课新知探究提出问题①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示什么图形？在空间中方程x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形？⑥试根据②③推导两点之间的距离公式.活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.讨论结果：①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.图1②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A 作AB ⊥xOy 平面,垂足为B,过B 分别作BD ⊥x 轴,BE ⊥y 轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO 、BOD 是直角三角形,所以BO 2=BD 2+OD 2,AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2,因此A 到原点的距离是d=222z y x ++.③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方.⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在空间x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推广.图2 ⑥如图2,设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线,垂足是M,N,则M(x 1,y 1,0),N(x 2,y 2,0),于是可以求出|MN|=212212)()(y y x x -+-.再过点P 1作P 1H ⊥P 2N,垂足为H,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|.在Rt △P 1HP 2中,|P 1H|=|MN|=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得|P 1P 2|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-. 于是空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.应用示例例1 已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：(1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A 、B 都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.解:(1)设M(x,y,z)是线段AB 的中点,则根据中点坐标公式得x=213+=2,y=203+=23,z=215+=3.所以AB 的中点坐标为(2,23,3). 根据两点间距离公式,得 d(A,B)=29)15()30()31(222=-+-+-,所以AB 的长度为29.(2)因为点P(x,y,z)到A,B 的距离相等,所以有下面等式： 222222)5()0()1()1()3()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x .化简得4x+6y-8z+7=0,因此,到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=0. 点评:通过本题我们可以得出以下两点：①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.②到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB 的中垂面.变式训练在z 轴上求一点M,使点M 到点A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等.解:设M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB|,2222222)1()30()30()10()2()00()10(-+++++-=++-+-z z ,整理并化简,得z=-3,所以M(0,0,-3).例2 证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC 是一等腰三角形.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC 是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定.证明：由两点间距离公式得： |AB|=,72)12()31()47(222=-+-+- |BC|=6)23()12()75(222=-+-+-, |CA|=6)31()23()54(222=-+-+-.由于|BC|=|CA|=6,所以△ABC 是一等腰三角形.点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.变式训练三角形△ABC 的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC 是一直角三角形.活动：学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC 是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,利用勾股定理的逆定理来判定.解:因为三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以 |AB|=222)13()12()11(+-++-++=3, |BC|=23)15()10()10(222=+-++++, |CA|=222)53()02()01(+-+--+-=3.又因为|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC 是直角三角形.例3 已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为( ) A.0 B.735 C.75 D.78 活动：学生阅读题目,思考解决问题的方法,教师提示,要求|AB|的最小值,首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|,然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值.解析:|AB|=222)33()23()1(-+-+-x x x =1932142+-x x =73575)78(142≥+-x . 当x=78时,|AB|的最小值为735. 故正确选项为B.答案：B点评:利用空间两点间的距离公式转化为关于x 的二次函数求最值是常用的方法. 知能训练课本本节练习1、2、3、4.拓展提升已知三棱锥P —ABC(如图4),PA ⊥平面ABC,在某个空间直角坐标系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),画出这个空间直角坐标系并求出直线AB 与x 轴所成的较小的角.图3解:根据已知条件,画空间直角坐标系如图3：以射线AC 为y 轴正方向,射线AP 为z 轴正方向,A 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz,过点B 作BE ⊥Ox,垂足为E,∵B(3m,m,0),∴E(3m,0,0).在Rt △AEB 中,∠AEB=90°,|AE|=3m,|EB|=m,∴tan ∠BAE=m m AE EB 3|||| =33.∴∠BAE=30°, 即直线AB 与x 轴所成的较小的角为30°.课堂小结1.空间两点间的距离公式的推导与理解.2.空间两点间的距离公式的应用.3.建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式.作业习题4.3 A 组3,B 组1、2、3.。
空间直角坐标系(104)
空间直角坐标系具有方向性，即坐标 轴的正方向是确定的；同时，它还具 有唯一性，即对于空间中的任意一点 ，其坐标值是唯一的。
坐标系的建立
确定坐标原点
选择一个固定的点作为坐标系的原点， 该点是空间中唯一的一个点。
确定坐标轴方向
单位长度与坐标单位
根据实际需要选择适当的单位长度，如米、 厘米等，并规定x、y、z轴上的单位长度分 别为1、1、1，称为坐标单位。
点与坐标的关系
一个点的位置由其坐标值唯一确定， 而一个坐标值也唯一对应一个点。
02
空间直角坐标系的性质与 定理
点的坐标与向量表示
点的坐标
在空间直角坐标系中，一个点的 位置由三个坐标值$x, y, z$确定。
向量表示
一个点可以表示为一个向量，该 向量从原点出发，指向该点。
向量的加法、数乘及向量的模
向量在解决实际问题中的应用
向量还可以用于解决许多实际问题，如线性代数问题、微积分问题、流体力学问题等。通过空间直角坐 标系，可以更方便地表示和解决这些问题。
04
空间直角坐标系中的曲线 与曲面
曲线在空间直角坐标系中的表示
1 2
参数方程表示法
通过给定参数和参数方程，将曲线的坐标表示为 参数的函数。
直角坐标方程表示法
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空间几何体的运动分析
通过空间直角坐标系，可以分析空间几何体的运动规律，如平移、旋转、缩放等。
向量在解决实际问题中的应用
向量在物理中的应用
向量在物理中有广泛的应用，如力、速度、加速度等都可以用向量表示和计算。通过空间直角坐标系，可以更方便地 表示和计算这些物理量。
向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中有重要的应用，如向量的加法、数乘、向量的模等都可以用于解决实际问题。通过空间直角坐标系 ，可以更方便地表示和计算这些向量运算。
圆的方程及空间直角坐标系(讲义及答案)
X的方程及空间直角坐标系(讲义) >知识点睛一、圆的方程1. 圆的标准方程： ______________________ ,圆心： ________, 半径：________.2. 圆的一般方程：圆心： 二、位置关系的判断(1) 点与圆由两点间的距离公式计算点到圆心的距离"，比较"，r 大小. ① 已知点Vo)与圆的标准方程(x-a}\(y'-b)-=r,则计算矿二 _________________ ，比较沪，尸大小. ② 已知点P(xo, yo)与圆的一般方程X- + y- +Dx + Ey + F = 0 ,则计算 _____________________ ,与0比较大小.(2) 直线与圆① 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离"，比较 ",r 大小.② 联立直线与圆方程，得到一元二次方程，根△判断： 'A <O ,直线与圆相离.A = 0,直线与圆相切.△ >0,直线与圆相交(3)圆与圆利用两点间的距离公式求圆心距d,结合两圆半径和〃的关系 判断.三、常见思考角度1. 直线与圆位置关系常见考査角度(1)过定点求圆的切线方程① 判断该点与圆的位置关系(若点在圆内，则无切线). ② 根据切线的性质求切线方程.若点在圆上，则利用切线垂直于过切点的半径求切线方程： 若点在圆外，则分别讨论 ___________________ ,设点斜式 利用〃二r 建方程求解.[gl（2）直线与圆相交求弦长结合垂径定理和勾股定理，半径长厂圆心到直线的距离丛 弦长/满足关系式：厂2=〃2+（_厂22. 圆与圆位置关系常见考査角度（1） 两圆相交求公共弦所在直线方程设圆G ：x2+y2 + DrV + Ej + F| = 0,C2：x2+b+0x + E* + F2 = O,则公共弦所在直线的方程为 （0 — D? ）x + （E] — £*2） y + F[—尸2 = 0 -（2） 两圆相交求公共弦长求出公共弦所在直线方程及其中一圆圆心到公共弦的距离， 垂径定理、勾股定理结合求弦长.四、轨迹方程在平面直角坐标系中，点M 的轨迹方程是指点M 的坐标 （X, y ）满足的关系式.五、空间直角坐标系Ovvz （右手直角坐标系）如图1, 0点叫做坐标原点，牙轴、y 轴、2轴叫做坐标 轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.zn六、空间直角坐标系中点的坐标如图2,过点M 分别作垂直于X 轴，y 轴和Z 轴的平面，依 次交X 轴，y 轴和Z 轴于点P, e 和设点P, Q 和R 在牙 轴，y 轴和Z 轴上的坐标分别是X, y 和Z,那么点M 对应唯 —确定的有序实数组U ，y,刀.有序实数组馆）* 201做点M 在此空间直角坐标系中的坐标， 记作MS ，y, z ）.其中X 叫做点M 的 __________ , y 叫做点 M 的 __________ , Z 叫做点M 的 __________ .-1 -- B»1 "Z C'A' BC>1 \ >1 0 X七、空间两点间的距离公式如图3,设空间直角坐标系中点P 的坐标是（兀，y, Z ）,则 IOPI = ____________________ .如图4,设点£（易，y,, Z,）, RC E ，＞'2»空）是空间中任意两点, 则 IA A1= ___________________ .A/ P 、 Pl精讲精练写出下列圆的标准方程：(I)圆心在C(-3,4” 半径长为^/J•(2)圆心在C(8,-3),且经过点M(5J)・2 . 下列方程：①W+y2-6x=0 ；②-2%+4 V-6=0 ；③W+y，二。
学圆与方程空间直角坐标系
《学圆与方程空间直角坐标系》xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•空间直角坐标系概述•圆的方程与性质•空间直角坐标系与圆的关系•圆的方程与空间直角坐标系的实例01空间直角坐标系概述空间直角坐标系是三维空间的坐标体系，它用三个互相垂直的坐标轴（x轴、y轴、z轴）来表示空间中点的位置。
定义空间直角坐标系是描述空间中点与点之间的位置关系，以及描述空间中图形形状和大小的重要工具。
作用什么是空间直角坐标系原点：坐标系的起点，用O表示坐标平面：与三个坐标轴分别平行的三个平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面三个互相垂直的坐标轴：x轴、y轴、z轴描述空间中点与点之间的位置关系描述空间中图形形状和大小建立空间直角坐标系是解决三维问题的关键步骤之一解决三维空间中的几何问题02圆的方程与性质圆的一般方程：$x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0$，其中D、E、F为常数，且E不等于0。
圆心的坐标：$(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})$(由上式化简得)。
圆的方程中，当D、E、F的值变化时，圆心和半径也会随之变化，因此可以表示不同位置和大小的圆。
圆的半径：$\sqrt{- \frac{D^{2} + E^{2} -4F}{4}}$(由上式化简得)。
圆的方程定义1圆的方程性质23当圆的方程中的D、E、F满足特定条件时，可以得到不同的特殊圆，如圆心在原点的圆、直径为特定长度的圆等。
通过圆的方程可以得知圆的位置和大小，以及圆心和半径的对应关系。
当圆的方程中的D、E、F满足特定条件时，可以得到与圆相关的其他曲线方程，如椭圆、双曲线等。
03在工程学中，圆的方程被广泛应用于机械制造、建筑设计等领域，如机械零件的加工、桥梁和建筑物的设计等。
圆的方程的应用01在几何学中，圆的方程被广泛应用于确定圆的位置、大小和形状，以及研究与圆相关的性质。
02在物理学中，圆的方程也被用于研究质点在圆周上的运动问题，如匀速圆周运动等。
人教版高中数学必修二第四章圆与方程_空间直角坐标系
z
z
•
1
P3
• P
1
x
x
•
1
• o
y •P 2
y
P1
方法二：过P点作xOy面的垂线，垂足为P0
点。 点 P0在坐标系xOy中的坐标x、y依次是P点的横 坐标、纵坐标。再过P点作z轴的垂线，垂足P1在 z轴上的坐标z就是P点的竖坐标。 z
z P1 P
1
•
y
1
x
x M
1
• o
•P
N
y
0
P点坐标为(x,y,z)
(-1,-3,0) C1 • (2,-2,0) B1
1
O
•
• B•
x
1
1
• A(1,4,1) y •
A1(1,4,0)
(2,-2,-1)
练习：
点M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点，写出 满足下列条件的点的坐标.
(1)与点M关于x轴对称的点 (2)与点M关于y轴对称的点 (x,-y,-z) (-x,y,-z)
Ⅲ
z
yz 面
Ⅳ
zx 面
Ⅱ
xy 面
Ⅶ Ⅷ
•
O
y
Ⅰ
Ⅵ
x
Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
设B`为空间的一个定点，过B`分别作垂直于x 轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于 点A,C,D`．
z
设点A,C,D`在x轴、 y轴、z轴上的坐标 分别为x、y、z， 那么点B`就对应惟 一确定的有序实数 组(x,y,z)．
在空间，我们是否可以建立一个坐标系， 使空间中的任意一点都可用对应的有序实数 组表示出来呢？
1.建立了一个空间直角坐标系O-xyz．其中 (1)点O叫做坐标原点； (2)x轴、y轴、z轴叫做坐标轴； (3)以线段OA的长为单位长度． 2.通过每两个坐标轴的平面 叫做坐标平面，分别称为： xOy平面、yOz平面、zOx平面． 称这个坐标系为右手直角坐标 系．如无特别说明，本书建立 的坐标系都是右手直角坐标系．
圆的方程;空间两点的距离公式
圆的方程;空间两点的距离公式【同步教育信息】一. 本周教学内容:圆的方程;空间两点的距离公式教学目的:1. 理解并掌握圆的标准方程，会根据不同条件求得圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练求出它的圆心和半径;能够运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题;探索并掌握圆的一般方程，会用待定系数法求圆的标准方程和一般方程。
2. 能够根据给定直线、圆的方程，会用代数方法讨论直线与圆的三种位置关系;能够根据给定的圆的方程，判断圆与圆的位置关系。
3. 掌握空间直角坐标系的有关概念，会根据坐标找相应的点，会写一些简单几何题的有关坐标;掌握空间两点的距离公式，会应用距离公式解决有关问题。
二. 重点、难点重点:1. 圆的标准方程以及会根据不同条件求得圆的标准方程;圆的一般方程和如何由圆的一般方程求圆的圆心坐标和半径长，理解关于二元二次方程表示圆的条件。
2. 直线和圆的位置关系的判断和应用;两圆位置关系的判断。
3. 空间直角坐标系和点在空间直角坐标系中的坐标;空间两点距离公式。
难点:1. 圆的标准方程的探寻过程和对圆的一般方程的认识。
2. 通过圆心到直线的距离与半径的大小关系判断直线与圆的位置关系;通过两圆方程联立方程组的解来研究两圆位置关系。
3. 确定点在空间直角坐标系中的坐标;空间距离公式的推导。
知识分析:(一)圆的标准方程1. 圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。
定点叫圆的圆心，定长叫做圆的半径。
222()()xaybr,，,, 2. 圆的标准方程:已知圆心为(a，b)，半径为r，则圆的方程为。
说明:(1)上式称为圆的标准方程。
222xyr，, (2)如果圆心在坐标原点，这时a,0，b,0，圆的方程就是。
(3)圆的标准方程显示了圆心为(a，b)，半径为r这一几何性质，即222()()xaybr,，,,,圆心为(a，b)，半径为r。
(4)确定圆的条件由圆的标准方程知有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定(因此，确定圆的方程，需三个独立的条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定型条件。
圆的标准方程
第四章圆与方程教材分析本章在“第三章直线与方程”的基础上，在直角坐标系中建立圆的方程，并通过圆的方程，研究直线与圆、圆与圆的位置关系在直角坐标系中，建立几何对象的方程，并通过方程研究几何对象，这是研究几何问题的重要方法通过坐标系，把点与坐标、曲线与方程联系起来，实现空间形式与数量关系的结合一、内容与课程学习目标本章主要内容是在直角坐标系中建立圆的方程，并通过圆的方程，研究直线与圆、圆与圆的位置关系通过本章学习，要使学生达到如下学习目标：1．回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系3．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题4．进一步体会用代数方法处理几何问题的思想5．通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置6．通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式二、内容安排本章内容共分三节，约需9课时，具体课时分配如下（仅供参考）：4．1 圆的方程约2课时4．2 直线、圆的位置关系约4课时4．3 空间直角坐标系约2课时小结约1课时1．“直线与方程”一章研究了直线方程的各种形式、直线之间的位置关系以及直线之间位置关系的简单应用本章在第三章的基础上，学习圆的有关知识——圆的标准方程、圆的一般方程；继续运用“坐标法”研究直线与圆、圆与圆的位置关系等几何问题；学习空间直角坐标系的有关知识，用坐标表示简单的空间的几何对象2．“圆的方程”一节包括圆的标准方程、圆的一般方程两部分首先提出确定圆的几何要素这个问题，指出圆心和半径是确定一个圆最基本的要素，然后引导学生用代数的语言（方程）描述圆，进而得到圆心为C（a,b），半径为r的圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2＝r2对圆的标准方程进行变形，可以得出圆的一般方程，它们是表示圆的方程的两种形式3．“直线、圆的位置关系”中，先从几何角度指出它们之间的直线与直线、直线与圆的位置关系，然后用方程去描述它们，通过方程研究直线、圆的位置关系最后安排了直线与圆的方程在解决实际问题和平面几何问题方面的应用通过方程，研究直线与圆、圆与圆的位置关系是本章的主要内容之一判断直线与圆、圆与圆的位置关系可以从两个方面入手：（1）曲线C1与C2有无公共点，等价于由它们的方程组成的方程组有无实数解．方程组有几组实数解，曲线C1与C2就有几个公共点；方程组没有实数解，C1与C2就没有公共点（2）运用平面几何知识，把直线与圆、圆与圆的位置关系的结论转化为相应的代数问题在本节的最后，进一步指出用坐标方法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论4．“空间直角坐标系”包括空间直角坐标系的概念，用坐标表示空间中简单的几何对象，以及空间中两点间的距离公式5．为了使学生更好地了解“坐标法”，认识信息技术在探求轨迹方面的作用，本章安排了“阅读与思考坐标法与机器证明”和“探究与发现用《几何画板》探求点的轨迹（圆）”“阅读与思考坐标法与机器证明”介绍了坐标法、笛卡儿、坐标法与机器证明之间的关系、机器证明的思想，以及在机器证明方面作出重大贡献的的我国著名数学家吴文俊先生目的是拓广学生的知识面，了解我国数学家作出的重大贡献，激发学生进一步深入学习数学的兴趣“探究与发现用《几何画板》探求点的轨迹（圆）”介绍了《几何画板》在探求点的轨迹，帮助学生猜想、发现方面的作用三、几个问题1．始终贯穿“坐标法”的思想解析几何的特点是用代数的方法研究几何图形对于义务教育阶段中判断圆与直线、圆与圆之间的位置关系的方法，学生并不陌生这里研究问题的方法与以前不同，这就是坐标法．在建立圆的标准方程时，首先帮助学生回顾确定圆的要素，然后利用坐标法来刻画圆，建立了圆的标准方程；判断圆与直线、圆与圆的位置关系时，首先回顾义务教育阶段如何判断圆与直线、圆与圆的位置关系，然后利用坐标法研究它们从另一个角度看，既然圆、直线都可以用方程来刻画，那么就可以通过对方程的研究来研究直线与圆、圆与圆的位置关系，这就是两曲线是否有公共点的问题，即它们的方程组成的方程组有没有实数解的问题本章在进行圆与直线、圆与圆的位置关系判断时，常常采用这两种方法．2．从一个或几个数学问题展开知识内容问题是数学的心脏引入知识内容时，常设置一个或几个问题，创设一种情境，一方面引起学生的兴趣，另一方面引起学生解决问题的求知欲望比如“4. 1.2圆的一般方程”，提出了两个思考题思考：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么图形？实际上，对方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方，得（x－1）2＋（y－2）2＝－1，这个方程不表示任何图形紧接着，教科书又提出一个让学生探究的问题探究：形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程在什么条件下表示圆？教科书环环相扣，把学生引入一个又一个“愤”与“悱”的境地，使得学生通过问题的解决学习新的知识3．关注结论形成的过程，通过思考、探究，得出结论本章在编写时注意呈现方式，不直接给出结论，让学生证明而是把结论放在学生经过一系列数学活动之后，通过思考、探究，得出结论比如，用“坐标法”解决问题的“三部曲”就是通过解决一系列问题后得出在例题的呈现时，增加了分析的过程，重点分析解题的思路在探求点的轨迹时，提倡先用信息技术工具探究轨迹的形状，对问题有一个直观的了解，然后再分析轨迹形成的原因，找出解决问题的方法，使得学生抓住问题的本质，理清思路，制订合理的解题策略4．充分利用教科书边空，提出具有一定思考价值的问题，强调重要的数学思想方法利用教科书边空不失时机地提出一些具有一定思考价值的问题，例如：（1）当一个问题解决之后，询问“还有其他不同的解法吗？”或者是“有更好的解法吗？”（2）当同一个问题有两种解法时，要求比较它们的优劣如“请同学们比较这两种证明方法，并指出各自的特点？”在比较中加深理解，促使学生养成解题后反思的良好习惯．（3）当同一个问题有多种解法时，要求学生在教科书已经给出一种或两种解法的基础上再给出一种归纳、抽象是重要的数学思想方法在问题解决之后，要求学生进行一些简单的归纳例如，“4. 1.1圆的标准方程”，在学习了例2与例3之后，提出“比较例2和例3，你能归纳出求任意三角形外接圆的标准方程的两种方法吗？”通过问题的开放性，触类旁通地提出问题比如，研究圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0的关系时，把它们的方程相减，得到x＋2y－1＝0在边空处要求“画出圆C1与C2以及方程x＋2y－1＝0表示的直线，你发现了什么？你能说明为什么吗？”更进一步，能否说，要研究圆C1与圆C2的关系只要研究直线x＋2y－1＝0与C1（或C2）的关系就可以了呢？这一问题，不仅体现了“化归”的思想，而且是颇具思考价值的．5．注意加强与实际问题、其他学科的联系本章内容的选择尽可能加强与学生的生活、生产实际的联系比如，为说明研究直线与圆的位置关系的必要性，设置了一个渔船能否避开台风的问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域. 已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？在直线与圆的方程的应用部分，设置了与圆拱桥有关的计算题学习空间直角坐标系时，要求写出食盐晶胞中钠原子在空间直角坐标系中的位置（坐标）等等6．介绍科技成果，渗透数学文化本章通过设置“阅读与思考坐标法与机器证明”栏目，介绍科学家、数学史、数学在现代生活中的应用等，机器证明几何定理是坐标法的精彩应用，我国数学家吴文俊先生在这方面有着重要的贡献，较为详细地介绍了机器证明几何定理研究的历史四、对教学的几个建议1．认真把握教学要求教学中，注意控制教学的难度，避免进行综合性强、难度较大的数学题的训练，避免在解题技巧上做文章比如，义务教育阶段“空间与图形”部分涉及的许多结论都可以用坐标法来加以证明，而义务教育阶段的教学要求已经有所改变因此，用坐标法证明平面几何题要求不宜过高，适可而止再如，教科书不介绍圆的切线方程x0x+y0y＝r2，这并不是说不涉及圆与直线相切这一位置关系与直线相切这一位置关系的判断可以有两种方法，一种是利用圆心到直线的距离等于半径长；另一种是利用它们的方程组成的方程组只有一组实数解2．关注重要数学思想方法的教学重要的数学思想方法不怕重复《普通高中数学课程标准（实验）》要求“坐标法”应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法在教学中应自始至终强化这一思想方法，这是解析几何的特点教学中注意“数”与“形”的结合，在通过代数方法研究几何对象的位置关系以后，还可以画出其图形，验证代数结果；同时，通过观察几何图形得到的数学结论，对结论进行代数证明，不应割断它们之间的联系，只强调其一方面3．关注学生的动手操作和主动参与学习方式的转变是课程改革的重要目标之一教学中，注意提供充分的数学活动和交流的机会，引导他们在自主探索的过程中获得知识、增强技能、掌握基本的数学思想方法例如，判断直线与圆、圆与圆的位置关系以及它们的简单应用，探究点的轨迹等内容，可以先让学生画一画、想一想，然后进行代数论证“观察”“思考”“探究”等栏目设置目的之一就是想让学生参与到数学活动中来采取启发、引导、讨论，先学后教.4．关注信息技术的应用平面解析几何是一门典型的数与形结合的学科，信息技术在加强几何直观，促使数与形结合方面有着特殊的作用借助信息技术，可以形象、直观地帮助学生认识所研究的曲线在动态演示中，观察曲线的性质，在直观了解的基础上，寻求形成这些性质的原因以及代数表示通过对方程的研究，了解曲线与曲线的关系时，运用信息技术，可以进一步验证得到的结果，为抽象的认识增添了形象的支持在探究点的轨迹时，可以借助信息技术，探究轨迹的形状等等4.1.1 圆的标准方程教学目标：1．掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程2．会用待定系数法求圆的标准方程3．进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力4．通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣 教学重点：圆的标准方程教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程教学方式：启发、引导、讨论，先学后教.教学过程：1.情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究：2.探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r （其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件r = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ② 引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程3、知识应用与解题研究例1.写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上 分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例2. ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）例3.已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB （教师板书解题过程 ）总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例3可得出ABC ∆外接圆的标准方程的两种求法：根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程.根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.练习：课本127p 第1、3、4题提炼小结：1、 圆的标准方程2、 点与圆的位置关系的判断方法3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法作业：课本130p 习题4.1第2、3、4题。
学圆与方程空间直角坐标系pptx
圆的参数方程在解决某些问题时非常方便。例如，在 物理学和工程学中，经常需要研究物体的运动轨迹， 而物体的运动轨迹往往可以表示为一个或多个圆的参 数方程。此外，在计算机图形学中，圆的参数方程也 被广泛用于绘制圆形或球体等形状。
圆的极坐标方程
圆的极坐标方程是描述圆的另一种数学表达式。在极坐 标系中，以点O为极点，以r为半径的圆的极坐标方程 是rho=r*cos(theta)+sqrt(r^2-x^2)，其中rho为极径 ，theta为极角，x为任意一点到极点的连线与极轴之间 的夹角。通过极坐标方程，我们可以方便地表示圆的任 意一条直径和一个完整的圆周。
圆的标准方程是圆的最基本的数学表示形式，它对于圆的研究和应用都非常重要。在解析几何中，通过标准方程，我们可以很 方便地研究圆的性质和特点，例如圆的直径、面积、周长等。同时，圆的标准方程也为解决实际问题提供了重要的数学工具。
圆的参数方程
圆的参数方程是另一种描述圆的位置和大小的数学表 达式。在极坐标系中，以点O为极点，以r为半径的圆 的参数方程是x=a+r*cos(theta)，y=b+r*sin(theta) ，其中(a,b)为圆心的极坐标，r为圆的半径，theta为 参数。通过参数方程，我们可以方便地表示圆的任意 一条直径和一个完整的圆周。
一般形式为$Ax + By + C = 0$，其中A、B、C为常数，且B不等于0。
直线在空间直角坐标系中的表示示例
对于直线$3x + 4y - 12 = 0$，它在空间直角坐标系中的表示方法也是$3x + 4y - 12 = 0$。
直线在空间直角坐标系中的性质
直线在空间直角坐标系中的方向
直线的方向与A、B的符号有关，如果A、B同号，则直线与x轴夹角为锐角；如果A、B异 号，则直线与x轴夹角为钝角。
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空间直角坐标系、圆系方程
二. 重点、难点：
1. 右手直角坐标系
2. 空间两点间距离公式
3. 圆系方程
圆C1：
（相交）
圆C2：
过圆C1、C2的交点的圆系方程
当时，方程表示两圆公共弦所在直线方程。
【典型例题】
[例1] 已知A（）在轴上求一点B，使，则B点坐标为。
解：设点B（0，y，0）∴
∴∴
∴
[例2] 已知A（3，3，1），B（1，0，5），C（）
（1）求线段AB中点，D的坐标；
（2）求证：；
（3）求到A、B两点距离相等的点P（）的坐标的所满足的条件。
解：（1）D（）∴D（）
（2）
∴
（3）点P（）到AB距离相等∴
∴
此方程表示空间直角坐标系中的一个平面
[例3] 在坐标平面上，求与三个已知点A（3，1，2），B（），C（0，5，1）等距的D点坐标。
解：设D（）∴
∴
∴
[例4] 正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动。
若CM=BN=（），求MN最小值。
解：如图建立空间直角坐标系∴ N（）
∴时，
[例5] 圆（）恒过两定点A、B，求A、B坐标。
解：
或
∴
[例6] 圆心在直线上，且过两圆C1：，
C2：的交点的圆的方程。
解：
∴
即：
圆心（）∴
∴
[例7] 求圆C1：，C2：的公共弦的长度。
解：
时，为公共弦所在直线
：
圆心M（）
∴弦长
∴公共弦长为
[例8] 求与一系列圆（）均相切的直线方程。
解：圆心为（）半径为
∴圆心在上（）半径在变化
设切线为
（1）时，与平行等距，不可能与所有圆相切
（2）时，相交时，交点为原点
时，交点为某圆圆心
∴切线∴或
∴或
[例9] ，，方程：表示一系列圆，试判断其中任意两个圆的位置关系。
解：任取
∴圆：圆心C1（）
圆：圆心C2（）
∴时，相内切
时，相内切其余相外切
[例10] 满足，求的最值。
解：（1）设
∴
∴
（2）设P（）在圆上Q（0，0）
与圆相切
∴∴
[例11] 过圆外一点P（）作圆的两条切线，切点为A、B，求的方程。
解：设A（），B（）
切线PA：切线PB：过P
∴
显然（），（）为方程的解
∴：
[例12] P为曲线上一点，Q（1，0），求的最小值。
解：
曲线为两条相交直线
（1）∴
（2）：
∴
【模拟试题】
1. 已知A（4，1，3），B（），C（3，7，），若，则。
2. 顶点为A（），B（4，2，3），C（6，，4），则为。
3. P（6，5，1），：平面内的直线，求过P到的距离。
4. 求过直线和圆交点且面积最小的圆。
5. 点P在直线上，由P向圆引两条切线，若，求的取值范围。
6. 满足方程，求最值。
7. 如果（），（4，1），（5，），（6，3）四点共面，则。
8. 圆与圆关于直线对称，则的方程为。
9. 求过原点且与直线相切的圆的方程。
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【试题答案】
1. ∴
∴∴
2. ∴为
3. 设A（）
∴∴距离为
4. 圆心C（）
∴
所求圆半径为
∴圆
5. 点P在上∴ P切圆于A、B
又∵∴正方形OAPB ∴
∴即可
6. 圆心C（3，2）半径
P（）在圆上∴
7. 3 8.
9. 设圆：即：
∴
∴∴或
∴圆：或。