专业数学建模实验[2]

《数学建模与数学实验》实验报告
实验2 水道测量
专业、班级 信息1002班 学号
201010010215
姓名 李云燕 课程编号 81010240
实验类型 验证性
学时
2
实验（上机）地点 教七楼数学实验中心 完成时间 2012年5月31日
任课教师
谷根代
评分
一、实验目的及要求
1．掌握数学软件Matlab 的基本用法和一些常用的规则，能用该软件进行编程； 2．能够借助数学软件进行二维和三维网格化数据绘图； 3．理解数据生成的基本方法。

二、借助数学软件，研究、解答以下问题
（一）依题“水道测量”所给数据和要求，讨论在下面假设情况下的模型。

假设：（1）海底光滑，无暗礁（因浅水海域）；（2）每个给定的数据点对未知点的影响与它们之间距离的平方成反比。

【解】：根据假设条件海底无暗礁，所以很自然地想到绘制海底地形图，进一步处理得到比较光滑的海底地形曲面图。

根据海底地形的海拔高低以及不同船只的吃水深度，找到不同吨位船只的危险海域，达到很好的警示效果。

（1）、首先绘制出监测点在矩形区域对应的海域位置 （2）、根据水道水深的测量数据，绘制出海底地形图 （3）、对数据进行插值处理： 构造插值曲面
构造散乱数据插值曲面是指对散乱数据点作三角剖分，在网格的每个三角形上构造基于三角顶点插值的三角曲面片，并使各曲面片之间满足一定的连续性要求（工程中要求达到C 1连续）。

构造基于给定散乱数据点插值的曲面的方法有很多，文献[2]给出了一种简单快速且曲面片之间满足 C 1连续的局部三角五次多项式插值曲面片的方法。

根据实际需要，这里采用局部三角三次多项式插值曲面片的方法。

⑴ 三角三次插值曲面片
在如图2所示的三角形ABC 上定义三次多项式曲面：
j i j i ij
y x a
y x F ∑≤+=
3
),(
其中ij a 为待定系数，共10个。

⑵ 边界条件
为确定待定系数ij a ，需10个条件。

条件 1 三角形 ABC 的每个顶点坐标已知。

条件 2 显然，与三角形 ABC 的顶点 A 相连的点有 5 个，由这6个点可确定一个二次多项式插值曲面：
j
i j i ij
y
x b y x G ∑≤+=
2
),(
由此可计算出 A 点处的),(y x G x 与 ),(y x G y 。

将两者近似作为三次多项式插值曲面的一阶偏导数值。

类似可计算出三角形ABC 其它两个顶点处的一阶偏导数值。

条件 3 取三个顶点处沿n 的方向导数的平均值作为三角形ABC 重心处沿n
的方向导数，这
里
AC
AB AC AB n ⨯⨯=
这样由上述10个条件就可惟一确定ij a ，从而得到基于三角形ABC 的插值三次曲面片F(x,y)。

依此可构造出所有三角网格的曲面片。

由插值曲面片的构造过程可知，这些曲面片之间是满足C 连续的。

构造出插值曲面后，就可生成规则网格数据，从而可计算出水面任意点处的水深，判断出哪些水域是危险水域。

（二）依题“水道测量”所给数据和要求，在上面所给模型的基础上，进一步给出你的分析、假设、模型和结果，列出必要的程序清单等
【解】：
水道水深的测量数据
X 129.0 140.0 103.5 88.0 185.5 195.0 105.5 y 7.5 141.5 23.0 147.0 22.5 137.5 85.5 z 4 8 6 8 6 8 8 x 157.5 107.5 77.0 81.0 162.0 162.0 117.5 y -6.5 -81.0 3.0 56.5 -66.5 84.0 -33.5 z
9
9
8
8
9
4
9
其中（x, y ）为测量点，z 为（x, y ）处的水深(英尺)。

船的吨位可以用其吃水深度来反映， 分为 4英尺、4.5英尺、5英尺和 5.5英尺 4 档。

（1）、首先绘制出监测点在矩形区域对应的海域位置： 程序如下： x=[129.0 140.0 108.5 88.0 185.5 195.5 105.5 157.5 107.5 77.0 81.0 162.0 162.0 117.5] y=[7.5 141.5 28.0 147.0 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81.0 3.0 56.5 -66.5 84.0 -38.5] plot(x,y,'o'); % 绘制测量点的位置 title('测量点图'); 如图所示：
（2）、根据水道水深的测量数据，绘制出海底地形图：
程序如下：
x=[129.0 140.0 108.5 88.0 185.5 195.5 105.5 157.5 107.5 77.0 81.0 162.0 162.0 117.5]
y=[7.5 141.5 28.0 147.0 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81.0 3.0 56.5 -66.5 84.0 -38.5] z=[4 8 6 8 6 8 8 9 9 8 8 9 4 9]
a=input('输入要显示范围中x的最小值');
b=input('输入要显示范围中x的最大值');
c=input('输入要显示范围中y的最小值');
d=input('输入要显示范围中y的最大值');
s=(b-a)/25; t=(d-c)/20; xi=a:s:b; yi=[c:t:d]';
HI=griddata(x,y,z,xi,yi,'cubic'); %三角三次插值
mesh(xi,yi,HI);
view(-60,30); %改变观察视角
daspect([5 5 1])
axis tight
title('海底地形图');
结果：
输入要显示范围中x的最小值75
输入要显示范围中x的最大值200
输入要显示范围中y的最小值-50
输入要显示范围中y的最大值150
如图所示：
（3）、对数据进行插值处理：
程序如下：
x=[129.0 140.0 108.5 88.0 185.5 195.5 105.5 157.5 107.5 77.0 81.0 162.0 162.0 117.5]；
y=[7.5 141.5 28.0 147.0 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81.0 3.0 56.5 -66.5 84.0 -38.5]；z=[4 8 6 8 6 8 8 9 9 8 8 9 4 9]；
a=input('输入要显示范围中x的最小值');
b=input('输入要显示范围中x的最大值');
c=input('输入要显示范围中y的最小值');
d=input('输入要显示范围中y的最大值');
s=(b-a)/25; t=(d-c)/20; xi=a:s:b; yi=[c:t:d]';
HI=griddata(x,y,z,xi,yi,'cubic'); %三角三次插值
subplot(2,2,1);
surf(xi,yi,HI); %绘制海底地形曲面图
shading interp;light;lighting phong; %处理曲面图
view(-60,30);%改变观察视角
daspect([5 5 1])
axis tight
title('海底地形加强图');
subplot(2,2,2);
plot(x,y,'o');
hold on
e=4;
contour(xi,yi,HI,[e,e],'k'); %找出危险水域title('危险水域（吃水深度为4米）');
subplot(2,2,3);
plot(x,y,'o');
hold on
e=4.5;
contour(xi,yi,HI,[e,e],'k'); %找出危险水域title('危险水域（吃水深度为4.5米）');
subplot(2,2,4);
plot(x,y,'o');
hold on
e=5;
contour(xi,yi,HI,[e,e],'k'); %找出危险水域title('危险水域（吃水深度为5米）');
结果：
输入要显示范围中x的最小值75
输入要显示范围中x的最大值200
输入要显示范围中y的最小值-50
输入要显示范围中y的最大值150
如图所示：
三、本次实验的难点分析
本次实验的难点是插值方法的确定，需要合理的确定所选插值的方法，并且需要对常见的插值方法有一定的了解，其中有的部分是借用网上的东西。

四、参考文献
姜启源，谢金星，叶俊．数学模型（第三版），高等教育出版社，2003。