§2.2 冲激响应和阶跃响应

例：
d 2 y( t ) d y( t ) d f (t ) 4 3 y ( t ) 2 f (t ) 2 d t d t dt
解：
求特征根
n 2, m 1, n m
d 2 h( t ) d h( t ) d (t ) 4 3 h ( t ) 2 ( t ) 2 dt dt dt
1 C1 C 2 1 C1 2 3C1 C 2 2 C 1 2 2
根据系数平衡，得
1 t h( t ) e e 3 t ( t ) 2


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法三：线性时不变性质法
求冲激响应
d 2 y( t ) d y( t ) d f (t ) 4 3 y ( t ) 2 f (t ) 2 dt dt dt
h, (0+) – h,(0-) = – 2 0 ， 0 ( t )dt 0 h(0+) – h(0-) =1
h， ( 0 ) 2
h(0 ) 1
1 t 3t h( t ) (e e ) ( t ) 2
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代入h(t)，确定系数C1,C2，得
法二：用奇异函数项相平衡法求待定系数
注意：系数a 同
代入微分方程，利用δ (t) 系数匹配:
h,, ( t ) , ( t ) 2 ( t ) r1 ( t ) ( t ) ( t ) r2 ( t ) 所以：h， h( t ) r3 ( t ) (1) ( 2)
a=1
b=-2
对式(1)从0-到0+积分得: 对式(2)从0-到0+积分得:
C1 C 2 ( t ) C1e t 3C 2e 3t ( t ) ht C C t C 3C t C e 9C e t
h ( t ) C1e t C 2e 3 t ( t ) C1e t 3C 2e 3t ( t )
(d) 微分器h(t) =ε ( t)
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二．阶跃响应
g(t)= T [ε(t) ，{0}] 线性时不变系统满足微、积分特性
(t ) (t ) d t
t
g (t ) h( ) d

t
d g (t ) , h(t ) dt
阶跃响应是冲激响应的 积分，注意积分限：
1 t h1 ( t ) e e 3 t ( t ) 2


则由系统的线性时不变特性 dh1 ( t ) 1 t h( t ) 2h1 ( t ) e e 3t ( t ) 2 dt
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冲激响应求解举例2
例2 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y’(t)+6y(t)= f”(t) + 2f ’(t) + 3f(t) 求其冲激响应h(t)。 解 根据h(t)的定义 有 h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) (1) h’(0-) = h(0-) = 0 先求h’(0+)和h(0+)。 由方程可知， h(t) 中含δ(t) 故令 h”(t) = aδ”(t) + bδ’(t) + cδ(t)+ r1(t) h’(t) = aδ’(t) + bδ(t) + r2(t) h(t) = aδ(t) + r3(t) [ri(t) 为不含δ(t) 的某函数] 代入式(1)，有 第 10 页 ■
n i t h( t ) ci e ( t ) i 1
②与n, m相对大小有关 当n m时，ht 不含 t 及其各阶导数；
当n m时，ht 中应包含 t ； 当n m时，ht 应包含 t 及其各阶导数。
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例1 求系统的冲激响应
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3. 基本单元的冲激响应
f (பைடு நூலகம்) a af (t) f ( t)
T
f (t -T)
(a) 数乘器h(t) = aδ (t) f (t)
d f (t) dt
(b) 延时器h(t) =δ ( t-T) f (t)
d dt
∫

t
f ( x) d x
(c) 微分器h(t) =δ '(t)
n
a n 1
d n 1 y (t ) d t n 1
d y (t ) a1 a0 y (t ) dt b1 d f (t ) b0 f (t ) dt
d m f (t ) dtm
bm 1
d m 1 f (t ) d t m 1
响应及其各 阶导数(最 高阶为n次)
aδ”(t) + bδ’(t)+ cδ(t) + r1(t) + 5[aδ’(t) + bδ(t) + r2(t) ] + 6[aδ(t) + r3(t) ] = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) 整理得 aδ”(t)+ (b+5a)δ’(t)+(c +5b+6a)δ(t) + r1(t)+5 r2(t)+6 r3(t) = δ”(t) + 2δ’(t) + 3δ(t) 利用δ(t) 系数匹配，得 a =1 ，b = - 3，c = 12 所以 h(t) = δ(t) + r3(t) （ 2） h’(t) = δ’(t) - 3δ(t) + r2(t) （ 3） h”(t) = δ”(t) - 3 δ’(t) + 12δ(t)+ r1(t) （4） 对式(3)从0-到0+积分得 h(0+) – h(0-) = – 3 对式(4)从0-到0+积分得 h’(0+) – h’(0-) =12 故 h(0+) = – 3， h’(0+) =12
2 d 解： 设h1(t)满足简单方程 h12( t ) 4 d h1 ( t ) 3h1 ( t ) ( t ) dt dt
h1 ( t ) C1e t C 2e 3t ( t )


h1 ' 0 1
h1 0 0
将边界条件代入h1(t)式，解得 C1=1/2， C2=-1/2，
令 f(t)=(t) 则 y(t)=h(t)
h n (t ) an 1h n 1 (t ) a1h 1 (t ) a0 h(t )
激励及其各 阶导数(最 高阶为m次)
bm m (t ) bm1 m 1 (t ) b1 1 (t ) b0 (t )
2 4 3 0 1 1, 2 3
ht 中不包含冲激项
h( t ) (C1e t C 2e 3t ) ( t )
带 ε(t)
冲激响应
两种求待定系数方法： •δ平衡求0+法 • 奇异函数相平衡求待定系数法
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法一：求0+值确定系数
设 d 2 ht a t b t r1 t 2 dt d ht a t r2 t d t ht r3 t
－
t
, 对因果系统：
t
0
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§2.2 冲激响应和阶跃响应
概述： 1. 自由响应+强迫响应 零输入相应+零状态响应
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2. 把一激励信号（函数），分解为冲激函数或阶 跃函数之和(积分），只要求出了系统对冲激函 数或阶跃函数的响应，利用LTI 系统的特性， 在系统的输出端，叠加得到系统总的零状态响应
• 冲激响应 • 阶跃响应
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• h(t)解的形式
h n (t ) an 1h n 1 (t ) a1h 1 (t ) a0 h(t )
bm m (t ) bm 1 m 1 (t ) b1 1 (t ) b0 (t )
由于(t)及其导数在 t≥0+ 时都为零，因而方程式 右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式 与齐次解的形式相同。 ①与特征根有关 例:当特征根均为单根时
1 2 1 2 1 t 2 3t
t 3t h( t ) C1e C 2e ( t )

不用求 h(0+)、 h ,(0+)
将h(t ), h(t ), h(t )代入原方程
C1 C 2 ( t ) 3C1 C 2 ( t ) 0 ( t ) ( t ) 2 ( t )
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一、冲激响应
1．定义
由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为 单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。 h(t)=T[{0},δ(t)]
t
ht
T {0}
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2．系统冲激响应的求解
•冲激响应的数学模型
对于LTI系统,可以用n阶微分方程表示
d n y (t ) dt bm
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对t>0时，有
h”(t) + 6h’(t) + 5h(t) = 0
微分方程的特征根为– 2， – 3。故系统的冲激响应为 h(t)= C1e–2t + C2e–3t ， t>0 代入初始条件 h(0+) = – 3， h’(0+) =12 求得C1=3，C2= – 6, 所以 h(t)= 3e–2t – 6e–3t , t > 0 结合式(2)得 h(t)= δ(t) + (3e–2t – 6e–3t)ε(t)