七数培优竞赛讲座第14讲 一次方程组的应用
六年级春季班第14讲：一次方程组的应用-教师版
x y 15+=⎧⎨⎩一次方程组的应用是初中数学六年级下学期第2章第4节的内容，主要考察方程的思想方法．之前学习一元一次方程的应用，只需设一个未知数，列方程解应用题，而方程组的应用需要考虑设几个未知数来解决问题． 列方程组解应用题时要灵活选择未知数的个数．对于含有两个未知数的应用题一般采用列二元一次方程组求解；对于含有三个未知数的应用题一般采用列三元一次方程组求解．本讲的重点是掌握利用方程组的思想解决相关的实际问题，有利于培养学生利用数学知识解决实际问题的能力．1、 列方程组解应用题的一般步骤（1）审题：分析题中的条件，什么是所求的，什么是已知的，并了解已知量和所求量之间的数量关系；（2）设未知数（元）；（3）列方程组；（4）解方程组；（5）检验并作答．一次方程组的应用内容分析知识结构模块一：二元一次方程组的应用 知识精讲【例1】笔记本每本3元，钢笔每支4元，共15件用去50元，设买笔记本x本，钢笔y 支，可列出方程组：____________________________．【难度】★【答案】15 3450x yx y+=⎧⎨+=⎩．【解析】笔记本和钢笔一共15件，则15x y+=，笔记本用去3x元，钢笔用去4y元，根据题意，列出方程组为15 3450x yx y+=⎧⎨+=⎩．【总结】考察分析题意后列二元一次方程组解应用题．【例2】已知某年级共有学生568人，其中男生人数比女生人数的2倍少5人．设男生人数为x，女生人数为y，根据题意，可列出方程组为____________________．【难度】★【答案】568 25x yy x+=⎧⎨-=⎩．【解析】男生和女生一共568人，则568x y+=，男生人数比女生人数的2倍少5人，则25y x-=，根据题意列出方程组为568 25x yy x+=⎧⎨-=⎩．【总结】考察分析题意后列二元一次方程组解应用题．【例3】某班同学参加运土活动，女同学抬土，每两人抬一筐；男同学挑土，每人挑两筐．全班同学共用箩筐59只，扁担36根．设该班女同学有x人，男同学y人，根据题意，可列出方程组（）A．125921362x yx y⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩B．125921362x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C．23612592x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩D．259236x yx y+=⎧⎨+=⎩例题解析【难度】★【答案】B【解析】女同学抬土，每两人抬一筐，用筐12x ，用扁担12x ，男同学挑土，每人挑两筐， 用筐2y ，用扁担y ，根据题意，列车方程组为125921362x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，故选B 【总结】考察分析题意后列二元一次方程组解应用题．【例4】 汽车从甲地到乙地，如每小时行驶40千米，则要迟到3小时，每小时行驶50千米，则可早到2小时，设甲、乙两地距离x 千米，原规定时间为y 小时，可列出方程组： _______________________． 【难度】★★【答案】340250x y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 【解析】根据=路程时间速度，列出方程组，注意迟到与早到和规定时间的关系加减． 【总结】考察列二元一次方程组解决行程问题类应用题．【例5】 六年级学生乘车去参观，如果每辆车坐45人，则15人没有座位；如果每辆车坐60人，则恰好空出一辆汽车，问有几辆车？共有多少学生？【难度】★★【答案】一共有5辆车，共240名学生．【解析】解：设共有x 辆车，共有y 名学生，根据题意列方程组得：()45156010y x y x -=⎧⎨--=⎩，整理得：45156060y x y x -=⎧⎨-=-⎩， 解得：5240x y =⎧⎨=⎩． 答：一共有5辆车，共240名学生．【总结】考察列二元一次方程组解应用题．【例6】 某车间51名工人要完成一个轿车零件订单，每个工人每天能加工甲种零件16个，或加工乙种零件21个，而一辆轿车需要5个甲种零件和3个乙种零件才可以配套，为了每天能配套生产应如何安排工人？【难度】★★【答案】安排35人加工甲种零件，安排16人加工乙种零件．【解析】解：设安排x 人加工甲种零件，安排y 人加工乙种零件，根据题意列方程组得：51162153x y x y +=⎧⎪⎨=⎪⎩，整理得：511635x y x y +=⎧⎨=⎩，解得：3516x y =⎧⎨=⎩． 答：安排35人加工甲种零件，安排16人加工乙种零件．【总结】考察列二元一次方程组解应用题．【例7】 六年级（1）班、（2）班各有44人，两个班都有一些同学参加课外天文小组，（1）班参加天文小组的人数恰好是（2）班没有参加天文小组的人数的三分之一，（2）班参加天文小组的人数恰好是（1）班没有参加天文小组的人数的四分之一．问六年级（1）班、（2）班没有参加天文小组各有多少人？【难度】★★【答案】六年级（1）班有32人没有参加天文小组，（2）班有36人没有参加天文小组．【解析】解：设六年级（1）班有x 人没有参加天文小组，（2）班有y 人没有参加天文小组，根据题意列方程组得：14431444x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，整理解得：3236x y =⎧⎨=⎩． 答：六年级（1）班有32人没有参加天文小组，（2）班有36人没有参加天文小组．【总结】考察列二元一次方程组解应用题，注意巧设未知数．【例8】 山上牧童赶着一群羊，山下牧童也赶着一群羊，山下牧童对山上牧童说：“如果你的羊跑下来4只，那么我们两个人的羊恰好相等．”山上牧童说：“如果你的羊跑上来4只，那么我的羊恰好是你的羊的3倍．”他们到底各赶多少只羊？【难度】★★【答案】山上牧童赶羊20只，山下牧童赶羊12只．【解析】解：设山上牧童赶羊x 只，山下牧童赶羊y 只，根据题意列方程组得：()44434x y x y -=+⎧⎨+=-⎩，解得：2012x y =⎧⎨=⎩． 答：山上牧童赶羊20只，山下牧童赶羊12只．【总结】考察列二元一次方程组解应用题．【例9】把48升水注入两个容器，可灌满第一个容器和第二个容器的三分之一，或者可灌满第一个容器和第二个容器各二分之一，求每个容器的容量．【难度】★★【答案】第一个容器24升，第二个容器72升．【解析】解：设第一个容器x升，第二个容器y升，根据题意列方程组得：1483114822x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：2472xy=⎧⎨=⎩．答：第一个容器24升，第二个容器72升．【总结】考察列二元一次方程组解应用题，注意对题意的理解，列出合适的方程．【例10】甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你的岁数时，你将61岁．”那么甲与乙现在的年龄分别是多少岁？【难度】★★【答案】甲现在的年龄是42岁，乙现在的年龄是23岁．【解析】解：设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，根据题意得：461x y yx y x-=-⎧⎨-=-⎩，解得：4223xy=⎧⎨=⎩答：甲现在的年龄是42岁，乙现在的年龄是23岁．【总结】考察列二元一次方程组解应用题，注意两人的年龄差是不变的．【例11】某船顺流下行36千米用3小时，逆流上行24千米用3小时，求水流速度和船在静水中的速度．【难度】★★【答案】水流速度为2千米/时，船在静水中的速度为10千米/时．【解析】解：设水流速度为x千米/时，船在静水中的速度为y千米/时，根据题意列方程组得：()()336324x yy x+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：210xy=⎧⎨=⎩答：水流速度为2千米/时，船在静水中的速度为10千米/时．【总结】考察行船问题列二元一次方程组解应用题，根据=+⎧⎨=⎩顺水速度静水速度水流速度逆水速度静水速度-水流速度．【例12】 用长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图所示的竖式和横式的两种无盖纸盒，现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少只，恰好使库存的纸板用完？【难度】★★【答案】竖式无盖纸盒做200只，横式无盖纸盒400只．【解析】解：设竖式无盖纸盒做x 只，横式无盖纸盒y 只，根据题意列方程组得：43200021000x y x y +=⎧⎨+=⎩ ，解得：200400x y =⎧⎨=⎩． 答：竖式无盖纸盒做200只，横式无盖纸盒400只．【总结】考察列二元一次方程组解应用题，注意对两种纸盒正确区分．【例13】 一个工人需在规定时间内完成加工一批零件的任务，如果他每小时做10个零件，就可超过任务3个，如果每小时做11个零件，就可提前1小时完成，他加工的零件使多少个？规定时间是多少小时？【难度】★★【答案】加工零件77个，规定时间为8小时．【解析】解：设加工零件x 个，规定时间为y 小时，根据题意得：()103111y x y x =+⎧⎨-=⎩，解得：778x y =⎧⎨=⎩ 答：加工零件77个，规定时间为8小时．【总结】考察列二元一次方程组解应用题，注意找到题目中的等量关系．【例14】 一批零件190个，如甲先做2天，然后乙加入合作3天正好完成；如果乙先做3天，然后甲加入合作2天也正好完成．问甲、乙两人每天各能做多少个零件？【难度】★★【答案】甲每天做20个零件，乙每天做30个零件【解析】解：设甲每天做x 个零件，乙每天做y 个零件根据题意得：()()2319032190x x y y x y ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得：2030x y =⎧⎨=⎩ 答：甲每天做20个零件，乙每天做30个零件．【总结】考察列二元一次方程组解应用题．【例15】 小红家去年结余5000元，估计今年可结余9500元，并且今年收入比去年收入高15%，支出比去年低10%，求去年的收入和支出各是多少元？【难度】★★【答案】去年收入20000元，去年支出15000元．【解析】解：设去年收入x 元，去年支出y 元，根据题意得：()()5000115%110%9500x y x y -=⎧⎨+--=⎩，解得：2000015000x y =⎧⎨=⎩ 答：去年收入20000元，去年支出15000元．【总结】考察列二元一次方程组解应用题．关键是从实际问题中整理出两个等量关系．【例16】 电信局现有600部已申请电话待装，此外每天另有新申请电话待装，设每天新申请的电话数相同．如果安排3个装机小组，60天恰好装完，如果安排5个装机小组，20天恰好装完；问每天新申请电话多少部？每个装机小组每天安装多少部电话？【难度】★★【答案】每天新申请电话20部，每个装机小组每天安装10部电话【解析】解：设每天新申请电话x 部，每个装机小组每天安装y 部电话，根据题意得：6060060320600205x y x y +=⨯⎧⎨+=⨯⎩，解得：2010x y =⎧⎨=⎩， 答：每天新申请电话20部，每个装机小组每天安装10部电话．【总结】考察列二元一次方程组解应用题，注意找到题目中的等量关系．【例17】 甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后3小时相遇；求甲、乙两人每小时各走多少千米？【难度】★★★【答案】甲每小时走6千米，乙每小时走3.6千米．【解析】解：设甲每小时走x 千米，乙每小时走y 千米，根据题意得：()()2.52 2.53633236x y x y ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩， 解得：63.6x y =⎧⎨=⎩， 答：甲每小时走6千米，乙每小时走3.6千米．【总结】考察列二元一次方程组解行程问题的应用题，注意两人行走的时间是不相等的．【例18】 甲、乙两人相距28千米，若同时同向而行，则甲在14小时后追上乙；若相向而行，乙先出发2小时，则在甲出发2小时45分后相遇，求甲、乙两人的速度．【难度】★★★【答案】甲的速度为5千米/时，乙的速度为3千米/时．【解析】解：设甲的速度为x 千米/时，乙的速度为y 千米/时 根据题意得：14142811192844x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：53x y =⎧⎨=⎩ 答：甲的速度为5千米/时，乙的速度为3千米/时．【总结】考察列二元一次方程组解行程问题的应用题，同向是追及问题，相向是相遇问题．【例19】 两个两位数的和是68，在较大的两位数右边接着写上较小的两位数，得到一个四位数，类似的，在较大的两位数左边写上较小的两位数，得到的四位数比前一个四位数少2178，求这两个两位数．【难度】★★★【答案】较小的两位数为23，较大的两位数为45．【解析】解：设较小的两位数为x ，较大的两位数为y ，根据题意得：()()681001002178x y y x x y +=⎧⎨+-+=⎩，解得：2345x y =⎧⎨=⎩ 答：较小的两位数为23，较大的两位数为45．【总结】考察列二元一次方程组解数字类应用题，注意数的表示．【例20】 一商贩第一天卖出鲫鱼30千克、草鱼50千克，共获利310元；第二天卖出鲫鱼25千克、草鱼45千克，共获利267元．照这样计算，若该商贩某一个月中卖出鲫鱼700千克、草鱼1200千克，请你帮他算算这个月他能获利多少元？【难度】★★★【答案】这个月他能获利7320元．【解析】解：设鲫鱼每千克获利x 元，草鱼每千克获利y 元，根据题意得：30503102545267x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：62.6x y =⎧⎨=⎩， 则70061200 2.67320⨯+⨯=（元）答：这个月他能获利7320元．【总结】考察列二元一次方程组解应用题，注意先算出每千鲫鱼和每千克草鱼的获利．【例21】已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000 元，B型每台4000元，C型每台2500元．某中学计划将100500元全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由．【难度】★★★【答案】有两种方案可供选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台【解析】解：设从该电脑公司购进A型电脑x台，购进B型电脑y台，购进C型电脑z台，则可以分为三种情况考虑：（1）只购进A型电脑和B型电脑，根据题意得：6000400010050036x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：21.7557.75xy=-⎧⎨=⎩，不合题意，应舍去；（2）只购进A型电脑和C型电脑，根据题意得：6000250010050036x zx z+=⎧⎨+=⎩，解得：333xz=⎧⎨=⎩，（3）只购进B型电脑和C型电脑，根据题意得：4000250010050036y zy z+=⎧⎨+=⎩，解得：729yz=⎧⎨=⎩，答：有两种方案可供选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台．【总结】考察列二元一次方程组解应用题，注意要充分考虑三种情况及题中的整数性．【例22】 从甲地到乙地，先下山然后走平路．某人骑自行车从甲地以每小时12千米的速度下山，再以每小时9千米的速度通过平路，到乙地共用去1小时．他回来时以每小时8千米的速度上山，通过平路的速度不变，回到甲地共用去1小时15分钟，问甲乙两地距离多远？【难度】★★★【答案】甲、乙两地距离10.5千米．【解析】解：设坡路的路程是x 千米，平路的路程是y 千米， 根据题意得：11295894x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：64.5x y =⎧⎨=⎩， 则甲、乙的距离为6 4.510.5+=（千米）答：甲、乙两地距离10.5千米．【总结】考察列二元一次方程组解应用题，此题综合性较强，注意去时是下坡路则回来时变 为上坡路．列方程组解应用题的一般步骤（1）审题：分析题中的条件，什么是所求的，什么是已知的，并了解已知量和所求量之间的数量关系；（2）设未知数（元）；（3）列方程组；（4）解方程组；（5）检验并作答．模块二：三元一次方程组的应用 知识精讲【例23】 一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位数上的数字，百位上的数字的7倍比个位、十位上的数字的和大2，个位、十位、百位上的数字的和是14，求这个三个数． 【难度】★★【答案】这个三位数为275．【解析】解：设个位数字为x ，十位数字为y ，百位数字为z 根据题意得：()7214x z y z x y x y z +=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得：572x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，答：这个三位数为275．【总结】考察列三元一次方程组解数字类应用题．【例24】 小明有12张面额分别为1元，5元，10元的纸币，共计38元，其中1元纸币的数量是5元元纸币数量的4倍，求1元，5元，10元纸币各多少张？ 【难度】★★【答案】1元纸币有8张，5元纸币有2张，10元纸币有2张． 【解析】解：设1元纸币有x 张，5元纸币有y 张，10元纸币有z 张 根据题意得：12510384x y z x y z x y ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：822x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，答：1元纸币有8张，5元纸币有2张，10元纸币有2张． 【总结】考察列三元一次方程组解应用题．【例25】 某人某天能加工甲种零件12个或乙种零件10个或丙种零件20个，而甲、乙、丙三种零件分别取3个、2个、1个能配成一套．要在10天内加工最多的成套产品，甲、乙、丙三种产品各应加工几天？ 【难度】★★【答案】甲应加工5天，乙应加工4天，丙应加工1天．例题解析【解析】解：设甲应加工x 天，乙应加工y 天，丙应加工z 天， 根据题意得：101232010220x y z x z y z ++=⎧⎪=⨯⎨⎪=⨯⎩，解得：541x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，答：甲应加工5天，乙应加工4天，丙应加工1天． 【总结】考察列三元一次方程组解应用题．【例26】 某单位职工在植树节去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50株，乙组植树的株树是甲、丙两组和的四分之一，甲组植树的株树恰是乙组和丙组的和，问甲、乙、丙三个小组分别植树多少株？ 【难度】★★【答案】甲组植树25株，乙组植树10株，丙组植树15株 【解析】解：设甲组植树x 株，乙组植树y 株，丙组植树z 株 根据题意得：()5014x y z y x z x y z ++=⎧⎪⎪=+⎨⎪=+⎪⎩，解得：251015x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，答：甲组植树25株，乙组植树10株，丙组植树15株．【总结】考察列三元一次方程组解应用题，注意找到相应的等量关系．【例27】 某足球队共参加了11场比赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，该队所负场次是所胜场次的一半，结果共得20分．求该队胜、平、负各几场． 【难度】★★【答案】该队胜6场，平2场，负3场． 【解析】解：设该队胜x 场，平y 场，负z 场 根据题意得：1112320x y z z x x y ++=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，解得：623x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，答：该队胜6场，平2场，负3场．【总结】考察列三元一次方程组解应用题，注意认真分析，从不同的角度找到等量关系．【例28】 某同学有1元、5角、1角硬币共23枚，共计10.10元，问三种硬币各有多少枚？ 【难度】★★★【答案】1元硬币有6枚，5角硬币有6枚，1角硬币有11枚 【解析】解：设1元硬币有x 枚，5角硬币有y 枚，1角硬币有z 枚根据题意得：23,(1)0.50.110.10,(2)x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，则()()12-得：0.50.912.9y z +=根据实际意义可知x 、y 、z 均为非负整数，则当1z =时，24y =，不符题意，应舍去； 当11z =时，6y = ，6611x y z =⎧⎪∴=⎨⎪=⎩答：1元硬币有6枚，5角硬币有6枚，1角硬币有11枚．【总结】考察将三元一次方程组应用到实际生活问题的能力，未知数的取值要考虑非负整数．【例29】 汽车在平路上每小时行30公里，上坡路每小时行28公里，下坡路每小时行35公里，现在去某地有142公里的路程，去的时候用4小时30分钟，回来时用4小时42分钟．那么这段路的平路、去的时候的上坡路与下坡路各有多少公里？ 【难度】★★★【答案】这段路平路有30公里，去的时候上坡有42公里，去的时候下坡有70公里 【解析】解：设这段路平路有x 公里，去的时候上坡有y 公里，去的时候下坡有z 公里 根据题意得：1423043028356042430352860x y z x y z xy z ⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得：304270x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 答：这段路平路有30公里，去的时候上坡有42公里，去的时候下坡有70公里． 【总结】考察三元一次方程组在实际问题中的应用，注意去时上坡，回来时下坡，平路不变．【习题1】 甲、乙两人在植树节那天共植树30棵，甲的植树数是乙的1.5倍．若设甲、乙各值x 棵，y 棵，则可列方程组为________________________． 【难度】★【答案】301.5x y x y +=⎧⎨=⎩．【解析】由题意可知，甲、乙共植树30棵，则30x y +=，甲的植树数是乙的1.5倍，则 1.5x y =， 根据题意可得：301.5x y x y +=⎧⎨=⎩．【总结】考察列一元二次方程组解应用题．【习题2】 一个两位数，个位数字比十位数字的2倍大2，如果把个位数字与十位数字对调，所得的两位数比原数大45，设个位数字是x ，十位数字是y ，可列出方程组 ______________________． 【难度】★★【答案】()()22101045x y x y y x -=⎧⎪⎨+-+=⎪⎩．【解析】解：由个位数字比十位数字的2倍大2可得：22x y -=，原数可表示()10y x +， 对调后可表示()10x y +，由题意可得：()()101045x y y x +-+= 【总结】考察列一元二次方程组解应用题，以及两位数如何用数字表示．【习题3】 22名工人按定额完成了1400件产品，其中高级工每人定额200件，初级工每人定额50件，若这22名工人中只有高级工和初级工，问初级工与高级工各有多少名？ 【难度】★★【答案】初级工有20名，高级工有2名． 【解析】解：设初级工有x 名，高级工有y 名， 根据题意得：22502001400x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：202x y =⎧⎨=⎩，答：初级工有20名，高级工有2名． 【总结】考察列二元一次方程组解应用题．随堂检测【习题4】 为改善某河的周围环境，政府决定，将该河上游的一部分牧场改为林场．改变后，预计林场和牧场共有162公顷，牧场面积是林场面积的20%．请你算一算，完成后林场和牧场的面积各有多少公顷？ 【难度】★★【答案】完成后林场面积为135公顷，牧场的面积为27公顷． 【解析】解：设完成后林场面积为x 公顷，牧场的面积为y 公顷，根据题意得：16220%x y y x +=⎧⎨=⎩，解得：13527x y =⎧⎨=⎩．答：完成后林场面积为135公顷，牧场的面积为27公顷． 【总结】考察列二元一次方程组解应用题．【习题5】 已知三个数中，第二个数与第一个数之差和第三个数与第二个数之差相等，三个数的和是87，且后两数和的2倍比第一个数的7倍多3，求这三个数． 【难度】★★【答案】这个三个数为19、29、39．【解析】解：设第一个数为x ，第二个数为y ，第三个数为z根据题意得：()87273y x z y x y z y z x -=-⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩，解得：192939x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，答：这个三个数为19、29、39． 【总结】考察列三元一次方程组解应用题．【习题6】 某厂生产一批零件，如果技术工人完成任务的23后，由徒工接着完成其余的部分 后，共需6小时40分钟，如果技术工人完成任务的13后，由徒工接着完成其余的部分后，共需172小时，问他们单独做各需多少时间完成全部任务？【难度】★★【答案】技术工人单独完成需350分钟，徒工单独完成需500分钟 【解析】解：设技术工人单独完成需x 分钟，徒工单独完成需y 分钟， 根据题意得：21400331245033x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：350500x y =⎧⎨=⎩ 答：技术工人单独完成需350分钟，徒工单独完成需500分钟．【习题7】 用锌、铝、锡制成甲、乙、丙三种合金，其重量之比在甲中为1 : 3 : 2，在乙中为2 : 1 : 1，在丙中为1 : 2 : 5，三种合金共用锌5.5千克，铝8千克，锡9.5千克， 求甲、乙、丙三种合金各自的重量． 【难度】★★★【答案】甲重9千克，乙重6千克，丙重8千克 【解析】解：甲重x 千克，乙重y 千克，丙重z 千克根据题意得：121 5.512321112531281232111252159.5123211125x y z x y z x y z ⎧∙+∙+∙=⎪++++++⎪⎪∙+∙+∙=⎨++++++⎪⎪∙+∙+∙=⎪++++++⎩， 解得：968x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，答：甲重9千克，乙重6千克，丙重8千克．【总结】考察列三元一次方程组解应用题，注意列等量关系式时考虑到按比例进行分配．【习题8】 某个三位数除以它各数位上的数字的和的9倍，得到的商为3，已知百位上的数字与个位上的数字的和比十位上的数字大1．如果把数位上的数字颠倒，则所得的新数比原数大99，求这个三位数． 【难度】★★★【答案】这个三位数为243．【解析】解：设这个三位数的百位数字为x ，十位数字为y ，个位数字为z 根据题意得：()()()10010931100101001099x y z x y z x z y z y x x y z ++=⨯++⎧⎪+-=⎨⎪++-++=⎩，解得：243x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，答：这个三位数为243．【总结】考察列三元一次方程组解应用题，注意对数字的准确表示．【习题9】 江堤边一洼地发生了管涌，江水不断涌出，假定每分钟涌出的水量相等．如果用两台抽水机抽水，40分钟内可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要多少台抽水机？ 【难度】★★★【答案】需要6台抽水机．【解析】解：每分钟涌水x 升，一台抽水机一分钟可以抽水y 升，原来的水量有a 升， 根据题意得：4024016416a x y a x y +=⨯⎧⎨+=⨯⎩，两式相减再化简得：32x y =，代入第一个方程得：80a x =，若要10分钟抽完，则有1010a x n y +=∙， 将80a x =，32x y =代入得：8010 1.510x x n x +=∙∙，解得：6n = 答：需要6台抽水机．【总结】考察列二元一次方程组解应用题，但未知量太多，需要设一个辅助未知数，计算中 通过化简就可以消去，从而得到答案．【作业1】 甲、乙两班有88名学生，如从乙班调25人到甲班，则甲班人数是乙班人数的3倍，设甲班x 人，乙班y 人，可列出方程组：_______________________． 【难度】★【答案】()8825325x y x y +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩【解析】解：甲、乙两班有88名学生，则88x y +=，乙班调出25人后，乙班有()25y -人，甲班则有()25x +人，根据题意得：()8825325x y x y +=⎧⎨+=-⎩．【总结】考察列二元一次方程组解应用题．课后作业【作业2】某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使螺栓和螺帽刚好配套？【难度】★★【答案】生产螺栓40人，生产螺帽50人．【解析】解：设生产螺栓x人，生产螺帽y人，根据题意得：9021524x yx y+=⎧⎨⨯=⎩，解得：4050xy=⎧⎨=⎩，答：生产螺栓40人，生产螺帽50人．【总结】考察列二元一次方程组解应用题．【作业3】小兰在玩具厂劳动，做4只小狗、7辆小汽车用去3小时42分，做5只小狗、6 辆小汽车用去3小时37分钟．平均做1只小狗与1辆小汽车各用多少时间？【难度】★★【答案】平均做1只小狗用17分钟，平均做1辆小汽车用22分钟．【解析】解：设平均做1只小狗用x分钟，平均做1辆小汽车用y分钟，根据题意得：47360425636037x yx y+=⨯+⎧⎨+=⨯+⎩，解得：1722xy=⎧⎨=⎩，答：平均做1只小狗用17分钟，平均做1辆小汽车用22分钟．【总结】考察列二元一次方程组解应用题，注意时间的单位化成分，会使计算简单．【作业4】有甲乙两桶水，若将甲桶中的水倒2千克到乙桶中，则甲桶中的水是乙桶中的3 倍；若将乙桶中的水倒入1千克到甲桶中，则甲桶中的水比乙桶中的水多8倍．问甲乙两桶中各有水多少千克？【难度】★★【答案】甲桶有水17千克，乙桶原有水3千克．【解析】解：设甲桶有水x千克，乙桶原有水y千克根据题意得：()()232191x yx y-=+⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得：173xy=⎧⎨=⎩，答：甲桶有水17千克，乙桶原有水3千克．【总结】考察列二元一次方程组解应用题．注意“多8倍”实际上是9倍．【作业5】一批货物运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货物，如果按每吨付运费30元计算，问：货主应付运费多少元？【难度】★★【答案】货主应付运费735元．【解析】解：设甲种货车每辆每次运货x吨，乙种货车每辆每次运货y吨，根据题意得：2315.55635x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：42.5xy=⎧⎨=⎩，()()303530345 2.5735x y⨯+=⨯⨯+⨯=（元）答：货主应付运费735元．【总结】考察列二元一次方程组解应用题，本题中要先算出两种货车每次的运货量．【作业6】某车间有工人30人，生产甲、乙、丙三种零件，每人每小时能生产零件甲30个，或零件乙25个，或零件丙20个，现用零件甲3个、乙5个、丙4个装配成某种机件，如何安排劳动力，才能使每小时生产的零件刚好配套？【难度】★★【答案】生产甲零件的6个工人，生产乙零件的12个工人，生产丙零件的12个工人【解析】解：设生产甲零件的x个工人，生产乙零件的y个工人，生产丙零件的z个工人根据题意得：30302520354x y zx y z++=⎧⎪⎨==⎪⎩，解得：61212xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩，答：安排生产甲零件的6个工人，生产乙零件的12个工人，生产丙零件的12个工人，才能使每小时生产的零件刚好配套．【总结】考察列三元一次方程组解应用题，注意按比例分配．。
七年级数学竞赛 第14讲 一次方程组的应用
问题解决：
例 1．设 x，y 满足 x+3y+|3x−y|=19，2x+y=6，则 x=
，y=
。
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：两等式联立可得关于 x，y 的方程组，解题的关键是如何脱去绝对值符号。
例 2．已知 x，y，z 满足 2 = 3 = 5 ，则 3x − y 的值为（ ） x y − z z + x y + 2z
11l+5b+2=3×(7a+3b+c)−(10a+4b+c)=3×30−40=50。 解法 3：11a+5b+2c=(10a+4b+c)+(a+b+c)=40+a+b+c，
需求出
a+b+c，原方程变形为
(a (a
+ +
b b
+ +c)ຫໍສະໝຸດ c)+ +
6a 9a
+ +
2b 3b
= =
30 40
① ②
①×3−②×2，得 a+b+c=3×30−40×2=10 所以 11a+5b+2c=40+10=50。
图(1)
图(2)
图(3)
11．如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成 3 个正方形和 2 个长方形后
仍是中心对称图形，若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就
能知道周长的图形的标号为（ ）。
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
（浙江省宁波市中考题）
①
②
中考数学专题复习之一次方程(组)及其应用 课件
5x＋4y＝148 4x＋5y＝148 A.2x＋5y＝100 B.2x＋5y＝100
5x＋4y＝148 4x＋5y＝148 C.5x＋2y＝100 D.5x＋2y＝100
4．(2016·贺州)解方程：x6－304－x＝5.
解：x＝30
5．(2016·柳州)小陈妈妈做儿童服装生意，在“六一”这一天上午的销售中， 某规格童装每件以60元的价格卖出，盈利20%，求这种规格童装每件的进价．
3x－y＝2， 【例 2】 (2016·百色)解方程组：9x＋8y＝17.
解：39xx－＋y8＝y＝2，17①，②①×8＋②得：33xFra bibliotek33，即 x＝1，
x＝1， 把 x＝1 代入①得：y＝1，则方程组的解为y＝1
【点评】 (1)解二元一次方程组的方法要根据方程组的特点灵活选择，当方程组中 一个未知数的系数的绝对值是1或一个方程的常数项为0时，用代入法较方便；当两 个方程中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较方便；当方 程组中同一个未知数的系数的绝对值不相等，且不成整数倍时，把一个(或两个)方 程的两边同乘适当的数，使两个方程中某一个未知数的系数的绝对值相等，仍然选 用加减法比较简便；(2)用加减消元法时，选择方程组中同一个未知数的系数绝对值 的最小公倍数较小的未知数消元，这样会使运算量较小，提高准确率．
《一次方程的实际应用》 公开课 精美课件
1、有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。
2、实现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干。
3、世界会向那些有目标和远见的人让路。
4、必须从过去的错误学习教训而非依赖过去的成功。
5、美丽的花虽然会凋谢，可是盛开的时刻值得欣赏。要 在美好的时候创造出美好的东西，人生才会充满意义。
2.（劳力调配问题） 甲、乙两运输队，甲队原有
32 人，乙队原有 28 人，若从 乙队调走一些人到甲队，那么 甲队人数恰好是乙队人数的 2 倍，问从乙队调走了多少人到 甲队?
解：设从乙队调走了x人到甲 队。
根据题意列方程得： （28- x）×2=32+ x，
解得x=8.
答：从乙队调走了8人到甲队 。
6、失败只是暂时停止成功，假如我不能，我就一定要； 假如我要，我就一定能！
7、让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧！
8、不论你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要停 止。
9、永不言败，是成功者的最佳品格。
10、一个人的快乐，不是因为他拥有的多，而是因为他 计较的少。
11、生气，就是拿别人的过错来惩罚自己。原谅别人， 就是善待自己。
24、一切事无法追求完美，唯有追求尽力而为。这样 心无压力，出来的结果反而会更好。
体会一次方程的意义。 学会应用一次方程解决实际问题。
例题呈现：
如图①为一正面白色，反面灰色的长方形纸片。今沿虚线 剪下分成甲、乙两长方形纸片，并将甲纸片反面朝上黏贴 于乙纸片上，形成一张白、灰相间的纸片，如图②所示。 若图②中白色与灰色面积比为8∶3，图②纸片的面积为33 ，则图①纸片的面积为多少？
本题属于劳力调配问题设从乙队调 走了x人到甲队，乙队调走后的人数 是28- x，甲队调动后的人数是32+x ，通过理解题意可知本题的等量关系
专题讲座3一次方程(组)的应用(一)
专题讲座(三) 一次方程(组)的应用(一) 姓名典型例题分析一、代数式与方程（组）问题（重庆2007）小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示。
根据图中的数据（单位：m），解答下列问题：（1）用含x、y的代数式表示地面总面积；（2）已知客厅面积比卫生间面积多21m2，且地面总面积是卫生间面积的15倍。
若铺1m2地砖的平均费用为80元，那么铺地砖的总费用为多少元？25 题图二、方程(组)与几何问题（北京丰台2005）用8块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，求每块地砖的长与宽.60cm（第十届希望杯全国数学邀请赛试题）一个长方形如图所示恰分成六个正方形,其中最小的正方形面积是1 平方厘米.求这个长方形的面积.三、图表信息题（湖南岳阳2006）今年5月27日，印尼中爪哇省发生强烈地震，给当地人民造成巨大的经济损失．某学校积极组织捐款支援灾区，初三(1)班55名同学共捐款274元，捐款情况如右表．表中捐款2元和5元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请你帮助确定表中数据，并说明理由．（湖南岳阳2006）2006年“五一”黄金周心连心集团湖南岳阳超市，七天销售总额达120万元，具体分配情况如图．1)由图可知，日用品类销售额占总销售额的百分比为____，日用品类销售额是_____万元．2)已知2005年心连心超市在“五一”黄金周的食品类销售额是60万元，若年增长率保持不变，请预测2007年“五一”黄周食品类销售额是多少万元？（浙江绍兴2004）某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，用户5月份交水费45元，则所四、工程与经济问题（武汉2006）有一市政建设工程，若甲、乙两工程队合做，需要12个月完成；若甲队先做5个月，剩余部分再由甲、乙两队合做，还需要9个月才能完成。
（1）甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少个月？（2）已知甲队每月施工费用5万元，乙队每月施工费用3万元。
数学教案-一次方程组的应用_七年级数学教案_模板
数学教课设计－一次方程组的应用_七年级数学教课设计 _模板（第一课时）一、素质教育目标（一）知识教课点会列二元一次方程组解简单的应用题，并能检查结果能否正确、合理．（二）能力训练点培育学生剖析问题、解决问题的能力．（三）德育浸透点1．领会代数方法的优胜性．2．向学生进一步浸透把未知转变为已知的思想．3．向学生进行理论联系实质的教育．（四）美育浸透点学习列方程组解应用题时，若能在盘根错节的关系中抓住问题的要点，就能快速经过相等求解，进而浸透解题的简捷性的数学美，以及解题的奇怪美．二、学法指引1．教课方法：试试指导法、察看法、讲练联合法．2．学生学法：本节主要学习列二元一次方程组和三元一次方程组解应用题的方法，尤其要点要掌握列出二元一次方程组解应用题，其剖析方法和解题步骤都与前面学过的列一元一次方程解应用题近似，可在学习中进行类比进而增强理解．三、要点·难点·疑点及解决方法（一）要点与难点依据简单应用题的题意列出二元一次方程组．（二）疑点正确找出表示应用题所有含义的两个相等关系，并把它们表示成两个方程．（三）解决方法经过频频读题、审题，剖析出题目中存在的两个相等关系是列方程组的要点．四、课时安排一课时．五、教课具学具准备投影仪、自制胶片．六、师生互动活动设计1．经过发问，复习列一元一次方程解应用题的步骤，特别相等关系的找寻问题．2．师生共同研究新知识—列二元一次方程组解应用题的一般步骤．3．经过反应练习，检查学生掌握知识的状况，以便有针对性地进行差漏补缺．七、教课步骤（一）明确目标本节课主要学习列二元一次方程组解应用题．（二）整体感知列二元一次方程组解应用题的要点在于经过正确的审题快速找寻出两个正确的相等关系来列二元一次方程组．（三）教课过程（）1．创建情境、导入新课（1）依据以下条件设适合的未知数，列出二元一次方程．①甲、乙两数的和是 10．②甲地的人数比乙地的人数的 2 倍还多 70．③买 4 支铅笔、 3 支圆珠笔共花了 1.6 元．2 （ 2）甲、乙两工人师傅制作某种工件，每日共制作12 件．已知甲每日比乙多制作件，求甲、乙每人每日可制作几件？①列出一元一次方程和二元一次方程组解题．②比较一下，两种方法获得的结果能否同样？是列一元一次方程简单，仍是列二元一次方程组简单？学生活动：第（1）题口答，第（2）题在练习本上达成．【教法说明】第（1）题为依据相等关系列二元一次方程打下了基础；第（2）题经过两种解法的比较，让学生领会列方程组的优胜性，这样引入课题，能够惹起学生学习新知识的兴趣．2．研究新知，讲解新课例 1小华买了80 分与 2 元的邮票共16 枚，共花了18 元 8 角， 80 分与 2 元的邮票各买了多少枚？剖析：（ 1）题中有几个未知数？分别是什么？（2）题中有几个相等关系？分别是什么？学生活动：察看、剖析后回答．未知数： 80 分邮票枚数与 2 元的邮票枚数．相等关系（ 1） 80 分邮票枚数＋ 2 元邮票枚数＝总枚数．（2） 80 分邮票总价＋ 2 元邮票总价＝所有邮票总价．学生活动：设未知数、依据相等关系列方程．解：设共买枚 80 分邮票，枚2元邮票，依据题意得解这个方程组，得答： 80 分邮票买了11 枚， 2 元邮票买了 5 枚．重申：（1）选定几个未知数，依据问题中的条件找几个相等关系，这几个相等关系正好表示了应用题的所有含义．（2）列方程组解应用题时，解方程组过程在练习本上达成．（3）获得结果后，要查验能否是原方程组的解，能否是切合应用题的实质意义，而后再写答句．反应练习： P35 1， 2．（只列不解）例 2小兰在玩具工厂劳动，做 4 个小狗、 7 个小汽车用去 3 小时 42 分；做 5 个小狗、6 个小汽车用去 3 小时 37 分．均匀每 1 个小狗与 1 个汽车各用多少时间？模仿方才剖析例 1 的方法，剖析问题．学生活动：拟题、自由发问，其余学生抢答．教师依据学生的拟题板书．两个未知数：均匀做 1 个小狗的时间与 1 个小汽车的时间（ 1）做 4 个小狗的时间＋做7 个小汽车的时间＝3时42分（ 2）做 5 个小狗的时间＋做 6 个小汽车的时间＝3时37分解题过程由学生达成，一个学生板演．解：设均匀做 1 个小狗用分，做 1 个小汽车有分，依据题意，得解这个方程组，得答：均匀做一个小狗用17 分，做 1 个小汽车用22 分．【教法说明】例 2 用拟题训练的方法让学生自己去试试剖析问题，不只能活跃讲堂氛围，并且能促使学生踊跃思想，培育学生剖析问题、解决问题的能力．反应练习： P353， 4．学生活动：口答、设未知数、列方程组．3．变式训练，培育能力用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身 16 个或制盒底 43 个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有 150 张白铁皮，用多少张制盒身、多少张制盒底，能够正好制成整套罐头盒？剖析：本题的相等关系不显然，应启迪学生仔细思虑，找到第二个相等关系．相等关系：（ 1）制盒身铁皮张数＋制盒底铁皮张数＝150 张．（ 2）盒底总数＝ 2×盒身总数．解：设用张铁皮制盒身，张铁皮制盒底，能够制成整套缺头盒．依据题意，得（四）总结、扩展我们这节课学习了二元一次方程组的应用，你能简单归纳出列二元一次方程组解应用题的步骤吗？学生讲话后，老师适合增补、纠正．八、部署作业（一）必做题：P391， 2， 3．（二）选做题：P41 B 组 2．（三）增补题：给定两数 5 和 3，编一道列出二元一次方程组求解的应用题，使得这个方程组的解就是给定的两数．参照答案（一） 1．到甲地 130 人，到乙地70 人．2．有 28 个队参加篮球赛，20 个队参加排球赛．3．长 38 ㎝，宽 16 ㎝．（二）解：设一辆大车、一辆小车一次分别可运货吨、吨，依据题意，得解得∴4×3＋2.5 ×5＝ 24.5（吨）九、板书设计投影幕例 1 例 2 练习小结：两个三角形全等的条件（第一课时）学习目标：知识目标：1．使学生掌握“边边边”公义，并会用它证明三角形全等2．认识三角形的稳固性能力目标：3．经过察看几何图形，培育学生的识图能力4．培育学生的着手能力感情目标：5.培育学生勇于创新，多方向审察问题的创建技巧。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题14 一次方程与不等式的运用(2)
专题14 一次方程与不等式的运用（2）专题解读】一次方程与不等式的运用是初中代数的主干知识，在中考中常常以基础题的形式出现。
最近几年，在中考题的解答题中往往是以方程、不等式或函数相结合的实际问题出现的，要求能够准确求出方程或不等式的解（集），总体难度适中，重点考查利用等量关系或不等关系建立方程（组）或不等式（组）解决问题的能力，并从中考查学生的建模应用能力。
思维索引例1.某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元.（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择。
例2.某体育用品商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共100个，付款总额不得超过11815元.已知厂家两种球的批发价和商场两种球的零售价如下表，试解答下列问题：（1）该采购员最多可购进篮球多少个？（2）若该商场把这100个球全部以零售价售出，为使商场获得的利润不低于2580元，则采购员至少要购篮球多少个？该商场最多可盈利多少元？例3.某厂生产一种产品，每件产品的生产成本价始终不变。
该厂今年3月份将产品的出厂价定为50元/件，结果销售了3600件；4月份将产品的出厂价定为54元/件，结果销售了3000件.已知该厂3月份与4月份销售该产品所获的利润相同。
备注：销售利润＝（每件产品的出厂价一每件产品的成本价）×销售数量（1）求每件产品的生产成本价；（2）若在生产过程中，平均每生产1件产品产生0.2m3的污水.为达到环保要求，工厂设计了如表所示的两种污水处理方案并准备实施.单纯从经济效益角度考虑，你认为该工厂应如何选择污水处理方案？素养提升1.三个连续自然数的和不大于15，这样的自然数组有（）A.3组B.4组C.5组D.6组2.某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间8人，那么有一间不空也不满，则寄宿学生人数是（）A.21人B.35人C.44人D.67人3.一种灭虫药粉30kg，含药15%.现要用含药率较高的同种灭虫药粉50kg和它混合，使混合后的含药率大于20%而小于35%，则所用药粉的含药率x的范围是（）A.15%<x<23%B.15%<x<35%C.23%<x<47%D.23%<x<50%4.我们定义a cad bcb d，例如232534=1012=245.若x、y为两不等的整数，且满足1134xy＜＜，则x十y的值为（）A.3B.2C.±3D.±25.有红、白颜色的球若干个，已知白球的个数比红球少，但白球的两倍比红球多，若把每一个白球都记作数2，每一个红球都记作数3，则总数为60，则白球和红球个数分别为（）A.3个，4个B.5个，7个C.7个，11个D.9个，14个6.定义：对于实数a，符号a表示不大于a的最大整数.例如：5.75,55,4.如果a=-2，那么a的取值范围是__________.7.出租汽车起价是10元（即行驶路程在5km以内需付10元车费），达到或超过5km后，每增加1km加价1.2元（不足1km部分按1km计），现在某人乘这种出租汽车从甲地到乙地支付车费17.2元，则从甲地到乙地的路程最多是__________.8.如图，周长为a的圆上有且仅有一点A在数轴上，点A所表示的数为1.该圆沿着数轴向右滚动一周后A对应的点为B，且滚动中恰好经过3个整数点（不包括A、B两点），则a的取值范围为_________.A B9.按下列程序进行运算（如图）规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算.若运算进行了5次才停止，则x的取值范围是_________.10.对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x）.即当n为非负整数时，若12n≤x＜12n，则（x）=n.如（0.46）=0，（3.67）=4.给出下列关于（x）的结论：①（1.493）=1；②（2x）=2（x）；③若1142x，则实数x的取值范围是9≤x＜11；④当0x，m为非负整数时，有（m+2019x）=m+（2019x）；⑤（x+y）=（x）+（y）.其中，正确的结论有_________.（填写所有正确的序号）()11.某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克.经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元.（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过9900元，且生产B产品不少于38件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？（3）在（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费40元，若生产一件B产品需加工费50元，应选择哪种生产方案，使生产这60件产品的成本最低？（成本=材料费+加工费）12.小明与小红开展读书比赛.小明找出了一本以前已读完84页的古典名著打算继续往下读，小红上个周末恰好刚买了同一版本的这本名著，不过还没开始读.于是，两人开始了读书比赛。
七年级数学一次方程组的应用人教版知识精讲
七年级数学一次方程组的应用人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容一次方程组的应用二. 教学目标和要求1. 能说出列一次方程组解应用题的步骤2. 能列出一次方程组解简单的应用题三. 教学重、难点根据应用题的题意列出一次方程组四. 知识要点1. 列方程组解应用题的一般步骤（1）审题：反复阅读题目，弄清题意，明确问题中哪些量是已知量，哪些是未知量，弄清题目中的相等关系。
（2）找未知数，列出代数式：选择两个或三个未知数，用字母表示，用含有未知数的代数式表示其他的未知数。
（3）列方程组：根据题目中能表示题目全部含义的相等关系列出方程，并组成方程组。
（4）解方程组：求出未知数的值（5）检验并作答：检验所得的未知数的值是否合理，然后作出答案。
2. 题型归类（1）和、差、倍、分问题（2）行程问题（3）调配问题（4）余缺问题（5）百分数与数字问题（6）经济问题和其他【典型例题】[例1] 一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，求这个两位数。
解：设这个二位数的十位数字为x ，个位数字为y 。
根据题意得⎩⎨⎧+=++=+)2(104510)1(7x y y x y x 解这个方程组，得⎩⎨⎧==61y x 答：这个二位数是16。
[例2] 李红用甲、乙两种形式共储蓄了1万元人民币，其中甲种储蓄的年利率为7%，乙种储蓄的年利率为6%，一年后，李红得到本息共10680元，李红两种形式各储蓄多少钱？解：设李红甲种形式储蓄x 元，乙种形式储蓄y 元。
根据题意得⎩⎨⎧=+=+)2(680%6%7)1(10000y x y x 解这个方程组，得⎩⎨⎧==20008000y x 答：李红甲种形式储蓄了8000元，乙种形式储蓄了2000元。
[例3] 某汽车制造厂，接受了在预定期限内生产一批汽车的任务，如果每天生产35辆，则差10辆才能完成任务；如果每天生产40辆，则可超额生产20辆，预定期限是多少天？计划生产多少辆汽车？解：设预定期限为x 天，需要制造的汽车总数为y 辆。
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第十四讲 一次方程组的应用一次方程组是解决许多实际问题的有力工具，它被广泛地应用于社会生活的多个领域，主要体现在：首先，用于解代数式的化简与求值问题，一些表面与方程组无关的问题，但经过分析，借助有关概念、性质、对问题的理解，我们可通过建立一次方程组来解决．其次，用于解应用题，对于含有多个未知量的问题，我们运用方程组求解往往比单设一个未知数建立一元方程求解容易．一般说来，许多应用题既可用列方程来解，又可用列方程组来解，它们有各自的优缺点．因此，解题时需具体问题具体分析，当列方程比较困难时，可改用列方程组来解决问题．例题【例1】 15234,1032+++=++z y x z y x ，则z y x ++= ．(广东省中考题)思路点拨 三个未知数两个等式x 、y 、z 的值不惟一确定，不妨视其中一个字母为常数，解关于另外两个字母的方程组．【例2】 方程1132=+++--y x y x 的整数解的个数是( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(“五羊杯”邀请赛试题)思路点拨 把1表示成两个非负整数的和，这两个数只能是0与l ，于是一个等式可裂变为两个等式．注：当方程的个数少于未知数的个数时，未知数的值不能惟一确定，可视某个未知数为常量，实现变量与常量的互相转化，促使问题的解决．本例解法多样，可寻求待等式与已知式的关系，或设k z y x =++，重新联立解三元一次方程组，读者不妨一试．某校初一甲、乙两班共103人(其中甲班人数多于乙班人数)去游项王故里，如果两班都以班为单位分别购票，一共需付486元．(1)如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节约多少元钱?(2)两班各有多少名学生?(宿迁市中考题)思路点拨 设甲班有x 名学生，乙班有y 名学生，则有以下三种可能情况：51≤x ≤100，1≤y ≤50；51≤x ≤100，5l ≤y ≤100；x>100，1≤y ≤50．故分类讨论是解本例的关键．【例4】 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需支付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的32，厂家需付甲、丙两队共5500元．现在厂家要求不超过15天完成全部工程，可由哪队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由． (天津市中考题)思路点拨求出每队工作效率及每天需支付每队的费用，通过计算比较，进行正确的经济决策．【例5】某果晶商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克6水果；乙种搭配：3千克A水果．8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，l千克C水果．已知A水果每千克2元，B水果每千克1．2元，C水果每千克10元．某天该商店销售这三种搭配水果共441．2元．其中A水果的销售额为116元，问C水果的销售额为多少元? (全国初中数学联赛试题)思路点拨数据多、关系复杂是解本例的难点，运用表格可以帮助我们梳理复杂的数量关系，商店每天销售额与甲、乙、丙三种搭配的销量有关，故不宜直接设元，从求出甲、乙、丙三种搭配的套数人手，运用整体方法求解．注：现代社会信息化社会，各种信息以各种不同的方式出现在人们面前，用表格的形式．给出已知信息，是近年中考应用题的新特点，解速类问题的关键是：(1)从表头中了解对象，从表列(行)中得到数据；(2)处理数据，寻找隐含的规律．在信息化社会，我们时刻面对著汹涌而来的各种数字、数据，对数据进行恰当分析处理，发现规律，作出判断，是现代人必备的基本素养．【例6】两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线前进，每车最多能带24桶汽油，每桶汽油可以使一辆车前进60km，两车都必须返回出发地点，但可以不同时返回，两车均可以借对方的油，为了使一辆车尽可能地远离出发点，另一辆车应该在离出发点km的地方返回．思路点拨要使甲车尽量走远，应使两车分别时甲车装满24桶汽油，而乙车留下供两车返回时所用的油．设从开始出发到分别，甲、乙车各用了x桶油，则乙车应留下2x桶油，并借给甲车x桶油，使甲车装满24桶油，依据题意，列方程x＋x＋2x=24．解得x=6．60×6=360(km)．所以，乙车应在离出发点360km处返回．注：解应用题关键在于挖掘题目隐舍的等量关系，用来列代数式或建立方程．【例7】甲、乙两人分别从A、B两地同时相向匀速前进，第一次相遇在距A点700m处，然后继续前进，甲到B地，乙到A地后都立即返回，第二次相遇在距B点400m处，求A、B两地间的距离是多少米?思路点拨设A、B两地间的距离是xm，第一次相遇甲走了700m，第一次相遇后到第二次相遇甲走了(x—700)+400=(x-300)m，因为甲、乙两入速度不变，甲、乙两人第一次相遇共走了xm，第一次相遇后到第二次相遇两人共走了2xm，所用时间是第一次相遇所用时间的2倍，所以甲第一次相遇后到第二次相遇所走路程应为第一次相遇所走路程的2倍，即x-300=2 ×700．解得x=1700m所以，A 、B 两地间的路程是1700 m ．注： 弄清以下问题是解题的关键：(1)甲、乙两人从开始到相遇所用时间有什么关系?(2)所走路程之和是多少?(3)第一次相遇后到第二次相遇，甲、乙两人所走路程之和是多少?(4)所用时间是第一次相遇时间的几倍?【例8】 快、慢两列车的长分别为150m ，200m ，相向行驶在平行轨道上，若坐在慢车上的人见快车驶过窗口的时间为6s ，问坐在快车上的人见慢车驶过窗口所用的时间是多少?思路点拨 设坐在快车上的人见慢车驶过窗口所用的时间为xs ．由于两列车相向行驶的相对速度是一样的，所以坐在车上看另一辆车驶过窗口的时间与车长成正比，由题意得6：x=150：200．解得x=8(s)答：坐在快车上的人看见慢车驶过窗口用的时间为8s ．【例9】 小刚骑自行车沿公路以akm ／min 的速度前进，每隔bmin 迎面开来一辆公共汽车，每隔cmin(c ＞b)从后面开过一辆公共汽车．若汽车均为相同的速度，始、终点发车间隔时间相同，求汽车的速度和发车的间隔时间．思路点拨 设汽车速度为xkm ／min ，发车的间隔时间为tmin ．依题意有⎩⎨⎧=-=+tx c a x tx b x a )()(，解得⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=c b bc t b c b c a x 2)( 【例10】 四十只脚的蜈蚣和三个头的龙在同一个笼中，共有26个头和298只脚，如果40只脚的蜈蚣只有一个头，那么三个头的龙有几只脚?思路点拨 设蜈蚣和龙的个数分别为x 、y ，三个头的龙的脚数为n ，x 、y 、n 均为正整数．依题意得⎩⎨⎧=+=+)2(29840)1(263ΛΛny x y x ①×40—②得(120—n)y=742，y │742，742=1 ×2×7 ×53，又∵3y<x+3y=26， ∴ y ≤8，y 只可能为1、2、7．将y=1，y=2，代入到(120—n)y=742中，知n<0，矛盾．故只能取y=7，可得n=14．经验证：n=14是问题的正确答案． 答：三个头的龙有14只脚．注意题中隐合了条件：只数、脚数均为正整数．【例11】 (重庆市中考题) 某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同。
安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生。
（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20％。
安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离。
假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由。
思路点拨 (1)设平均每分钟一道正门可以通过x 名学生，一道侧门可以通过y 名学生．由题意得⎩⎨⎧=+=+800)(4560)2(2y x y x ，解⎩⎨⎧==80120y x答：平均每分钟一道正门可以通过120名学生，一道侧门可以通过80名学生．(2)这栋楼最多有学生4×8×45=1440名，拥挤时5min4道门能通过学生：5×2(120+80)×(1-20％)=1600名．∵ 1600>1440，∴ 建造的4道门符合安全规定．【例12】甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题，试问：难题多还是容易题多?(多的比少的)多几道题?思路点拨 设共有x 道题难题，y 道容易题，中等难度的题为z 道，则⎩⎨⎧=++=++)2(18023)1(100ΛΛz y x z y x 由①×2—②，得x-y=20．答：难题比容易题多20道．注 本题有三个未知数：难题个数、容易题个数、正好两人解出的题(中等难度的题)的个数，有两个等量关系：(1)难度个数+容易题个数+中等难度题个数=100．(2)难题个数+容易题个数×3+中等难度题个数×2=60×3．故需设辅未知数．学力训练1．已知3,1,2-=-==z y x 是三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=--=--k z y x mz y nx z ny mx 52327的解，则k n m 372+-= ．2．写出一个以⎩⎨⎧==70y x 为解的二元一次方程组 ．(绍兴市中考题)3．某种电器产品，每件若以原定价的95折销售，可获利150元，若以原定价的75折销售，则亏损50元，该种商品每件的进价为 元．( “希望杯”邀请赛试题)4．如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形，则每个长方形地砖的面积是( )．A ．200cm 2B ．300 cm 2C ．600 cm 2D ．2400 cm 2(黑龙江省中考题)5．某商场根据市场信息，对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售，其中一台空调调价后售出可获利10％(相对于进价)，另一台空调调价后售出则要亏本10％(相对于进价)，而这两台空调调价后的售价恰好相同，那么商场把这两台空调调价后售出( )．A ．既不获利也不亏本B ．可获利l ％C ．要亏本2％D ．要亏本l ％(无锡市中考题)6．甲是乙现在的年龄时，乙l0岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么( )．A ．甲比乙大5岁B ．甲比乙大10岁C ．乙比甲大lo 岁D ．乙比甲大5岁(全国初中数学竞赛题)7．某班进行个人投篮比赛，受污损的下表记录了在规定时间内投进n 个球的人数分布情况，同时，已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3．5个球；进球4个或4个以下的人平均每人投进2.5个球．问投进3个球和4个球的各有多少人．购苹果数 不超过30千克 30千克以上但不超过50千克 50千克以上 每千克价格 3元 2．5元 2元甲班分两次共购买苹果70千克(第二次多于第一次)，共付出189元，而乙班则一次购买苹果70千克．(1)乙班比甲班少付出多少元?(2)甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克?(常州市中考题)9．已知某电脑公司有A 型、B 型、C 型三种型号的电脑，其价格分别为A 型每台6000元，B 型每台4000元，C 型每台2500元．我市东坡中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由．(黄冈市中考题)10．若x 、y 满足62,1933=+=-++y x y x y x ，则x= ，y= ．11．已知182,82=+-=-=z y x z y x ，则z y x ++8＝ ．(重庆市竞赛题)12．如图，f e d c b a 、、、、、均为有理数，图中各行、各列及两条对角线上三个数的和都相等，则f e d c b a +++++的值是 ．(上海市竞赛题)13．甲、乙分别自A 、B 两地同时相向步行，2小时后在中途相遇．相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小时．当甲到达B 地后立刻按原路向A 地返行，当乙到达A 地后也立刻按原路向B 地返行．甲、乙两人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇，则A 、B 两地的距离是 千米．( “希望杯”邀请赛试题)14，已知m 2+2mn ＝384，3mn+2n 2＝560，则2m 2+13mn+6n 2一444的值是( )．A ．2001B ．2002C ．2003D ．2004(太原市竞赛题)15．在一家三口人中，每两人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47、61、60，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是( )．A ．28B ．27C ．26D ． 2516．买20枝铅笔、3块橡皮擦、2本日记本需32元；买39枝铅笔，5块橡皮擦、3本日记本需58元；则买5枝铅笔、5块橡皮擦、5本日记本需( )．A ．20元B 。