2018年浙江省中考数学《第10讲：不等式与不等式组》总复习讲解

第10讲不等式与不等式组1．不等式的概念及性质考试内容考试要求不等式的有关概念用不等号连接起来的式子叫做不等式，使不等式成立的未知数的取值范围叫做不等式的解集．a不等式的基本性质性质1 若a<b，则a±c<b±c；c 性质2若a<b且c>0，则ac____________________bc(或ac____________________bc)；性质3 若a<b且c<0，则ac bc(或acbc)．2.一元一次不等式(组)的解法及应用考试内容考试要求一元一次不等式的解法(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.c不等式组的解法一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集，并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．不等式组的解集情况(假设b<a)错误!,x≥b x>a 同大取大b 错误!，x≤b x≤b 同小取小错误!，x≥b b≤x<a大小小大中间找错误!，x≤b 无解大大小小无处找考试内容考试要求基本思想1.类比思想，解一元一次不等式的全部过程，与解一元一次方程相比，只是最后一个步骤上有所变化．c2.数形结合思想，本讲中在数轴上表示不等式的解集是典型的数形结合思想的体现，它可以形象、直观地看到不等式有无数多个解，尤其是根据不等式的解集确定字母的取值范围时，借助数形结合思想效果更明显．3.分类思想，分类讨论思想在不等式中的应用主要体现在求含有字母系数的不等式的解集．将一个不等式两边同时乘以(或除以)同一个不确定的数，则需要进行分类讨论．基本方法已知不等式(组)的解集确定不等式(组)中字母的取值范围有以下四种方法：(1)逆用不等式(组)解集确定；(2)分类讨论确定；(3)从反面求解确定；(4)借助数轴确定．1．(2015·嘉兴)一元一次不等式2(x ＋1)≥4的解在数轴上表示为( )2．(2015·丽水)如图，数轴上所表示关于x 的不等式组的解集是( )A ．x ≥2B ．x>2C ．x>－1D ．－1<x ≤2 3．(2017·湖州)一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x>x －1，12x ≤1的解集是( )A ．x ＞－1B ．x ≤2C ．－1＜x ≤2D ．x ＞－1或x ≤2 4．(2016·金华)不等式3x ＋1＜－2的解集是____________________．5．(2017·衢州)解下列一元一次不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧12x ≤2，3x ＋2＞x.【问题】给出以下不等式：①2x ＋5<4(x ＋2)， ②x －1<23x ， ③1x －1>0， ④x －1≤8－4x.(1)上述不等式是一元一次不等式的是________；(2)上述不等式中，选取其中二个一元一次不等式，并求其公共解． (3)选取其中一个一元一次不等式，使其只有一个正整数解．(4)通过以上问题解答的体会，解一元一次不等式(组)要注意哪些问题？【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理解一元一次不等式(组)的一般步骤及注意的问题．类型一 不等式的基本性质例1 (1)若x ＞y ，则下列式子中错误的是( ) A ．x －3＞y －3 B .x 3＞y3 C ．x ＋3＞y ＋3 D ．－3x ＞－3y(2)若实数a ，b ，c 在数轴上对应位置如图所示，则下列不等式成立的是( )A ．ac ＞bcB ．ab ＞cbC ．a ＋c ＞b ＋cD ．a ＋b ＞c ＋b (3)设a 、b 、c 表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是( )A ．c ＜b ＜aB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c【解后感悟】将一个不等式两边同时加上(或减去)同一个数，不等号方向肯定不变；将一个不等式两边同时乘以(或除以)同一个不确定的数，则需要进行分类讨论．对于第(2)、(3)题渗透了数形结合的思想．1．(2016·大庆)当0<x<1时，x 2、x 、1x的大小顺序是( )A ．x 2<x<1xB .1x <x<x 2C .1x <x 2<xD ．x<x 2<1x类型二 一元一次不等式的解法例2 解不等式：x ＋12＋x －13≤1.【解后感悟】解答这类题学生往往在解题时不注意，在去分母时漏乘没有分母的项．移项时不改变符号而出错；解一元一次不等式的过程与解一元一次方程极为相似，只是最后一步把系数化为1时，需要看清未知数的系数是正数还是负数．如果是正数，不等号方向不变；如果是负数，不等号方向改变．2．(1)(2016·绍兴)不等式3x ＋134>x3＋2的解是____________________．(2)(2015·南京)解不等式2(x ＋1)－1≥3x ＋2，并把它的解集在数轴上表示出来．类型三 一元一次不等式组的解法例3 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5≤3（x ＋2），2x －1＋3x2<1，把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解．【解后感悟】求不等式组的解集，不管组成这个不等式组的不等式有几个，都要先分别求解每一个不等式，再利用口诀“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)”或利用数轴求出它们的公共解集，还要确定其中的特殊解．注意不等式中整数解问题．3．解不等式组：(1)(2015·泰州)⎩⎪⎨⎪⎧x －1>2x ，12x ＋3<－1；(2)⎩⎪⎨⎪⎧3（x ＋2）＞x ＋8，x 4≥x －13，并把它的解集在数轴上表示出来．类型四 不等式的解的应用例4 (1)(2017·丽水)若关于x 的一元一次方程x －m ＋2＝0的解是负数，则m 的取值范围是( )A ．m ≥2B ．m ＞2C ．m ＜2D ．m ≤2(2)若关于x 的一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2m ＜0，x ＋m ＞2有解，则m 的取值范围为( )A ．m ＞－23B ．m ≤23C ．m ＞23D ．m ≤－23【解后感悟】(1)列出不等式是解题的关键；(2)本题是已知不等式组的解集求字母系数，是逆向思维问题，故先求出不等式组的解集，再根据已知解集，列关系式求字母系数．4．(1)(2016·通州模拟)如果不等式(a －3)x>a －3的解集是x>1，那么a 的取值范围是( ) A ．a<3 B ．a>3 C ．a<0 D ．a>0 (2)(2017·金华)若关于x 的一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>3（x －2），x<m 的解是x ＜5，则m 的取值范围是( )A ．m ≥5B ．m ＞5C ．m ≤5D ．m ＜5【阅读理解题】(2017·湖州)对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：a ⊗b ＝2a －b.例如：5⊗2＝2×5－2＝8，(－3)⊗4＝2×(－3)－4＝－10.(1)若3⊗x ＝－2011，求x 的值； (2)若x ⊗3＜5，求x 的取值范围．【方法与对策】解答本题的关键是仔细阅读材料，理解例题的解题过程．这类题型复习时应注意给出方法和过程．【求不等式组中字母系数范围出错】如果一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x>3，x<a 关于x 的整数解为4，5，6，7，则a 的取值范围是( )A ．7<a ≤8B ．7≤a<8C ．a ≤7D ．a ≤8参考答案第10讲 不等式与不等式组【考点概要】 1．< < > > 【考题体验】1．A 2.A 3.C 4.x ＜－1 5.－1＜x ≤4. 【知识引擎】【解析】(1)①②④ (2)不唯一．选②和④，公共解为x ≤95 (3)④ (4)解一元一次不等式(组)，注意去分母时，不要漏乘没有分母的项；移项时要改变符号；最后一步把系数化为1时，需要看清未知数的系数是正数还是负数．如果是正数，不等号方向不变；如果是负数，不等号方向改变．【例题精析】例1 (1)D ；(2)B ；(3)A 例2 去分母得：3(x ＋1)＋2(x －1)≤6，去括号得：3x ＋3＋2x －2≤6，解得：x ≤1. 例3 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5≤3（x ＋2） ①，2x －1＋3x2＜1 ②，由①得：x ≥－1，由②得：x ＜3, 不等式组的解集为：－1≤x ＜3.在数轴上表示为：.不等式组的非负整数解为2，1，0. 例4 (1)C ；(2)解不等式①得，x ＜2m ，解不等式②得，x ＞2－m ，∵不等式组有解，∴2m ＞2－m ，∴m ＞23.故选C .【变式拓展】 1．A2.(1)x>－3 (2)x ≤－1.3．(1)x ＜－8. (2)由①得：x ＞1，由②得：x ≤4，所以这个不等式组的解集是1＜x ≤4，用数轴表示为4．(1)B(2)A【热点题型】【分析与解】(1)根据新定义列出关于x的方程，2×3－x＝－2011，得x＝2017；(2)根据新定义列出关于x的一元一次不等式，2x－3＜5，得x＜4.【错误警示】A。