2019-2020学年广西桂林市高二下学期期末数学试卷(文科) (解析版)
2020年广西壮族自治区桂林市恭城中学高二数学文下学期期末试卷含解析
2020年广西壮族自治区桂林市恭城中学高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数，若有8个不相等的实数根，则m的取值范围是A. B. (2,4) C. D.参考答案：A【分析】方程有8个不相等的实数根指存在8个不同的值；根据函数的图象，可知方程必存在2个大于1的不等实根.【详解】，函数为偶函数，利用导数可画出其函数图象（如图所示），若有8个不相等的实数根关于的二次方程必有两个大于1的不等实根，.【点睛】与复合函数有关的函数或方程问题，要会运用整体思想看问题；本题就是把所求方程看成是关于的一元二次方程，再利用二次函数根的分布求的范围.2. 已知直线是椭圆的右准线，如果在直线上存在一点M，使得线段OM（O为坐标原点）的垂直平分线过右焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C ． D．参考答案：B3. 已知x与y之间的一组数据：则y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点（）A .(2,2) B.(1,2) C.(1.5,0) D (1.5,4)参考答案：D略4. 已知向量和向量垂直，则（）A. B. C. D. 参考答案：D5. 设S n为等差数列{a n}的前n 项和，若a 1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A ．8B ．7C ．6D ．5参考答案：D【考点】等差数列的前n项和．【分析】先由等差数列前n项和公式求得S k+2，S k，将S k+2﹣S k=24转化为关于k的方程求解．【解答】解：根据题意：S k+2=（k+2）2，S k=k2∴S k+2﹣S k=24转化为：（k+2）2﹣k2=24∴k=5故选D6. 若不等式组有解，则实数a的取值范围是A． B．C． D．参考答案：A7. 2019年6月7日，是我国的传统节日“端午节”。
这天，小明的妈妈煮了7个粽子，其中3个腊肉馅，4个豆沙馅。
广西桂林市2019-2020学年高二下学期期末质量检测数学(文)试题
桂林市2019～2020学年度下学期期末质量检测高二年级 数学（文科）（考试时间120分钟，满分150分）注意事项：1. 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
2. 请在答题卷上答题（在本试卷上答题无效）。
第I 卷 选择题一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的.1．复数3z i =-的虚部是 A ．1B ．iC ．1-D ．i - 2．已知函数2()f x x x =+，则(1)f '=A ．3B ．0C ．2D ．1 3．函数()ln f x x =的导数是A ．xB ．1xC ．ln xD ．x e 4．()(34)12i i ++-= A ．42i + B ．42i -C ．14i +D ．15i +5．曲线3123y x x =-在点5(1,)3-处的切线的斜率为A ．34πB ．4π C ．1D ．1-6．关于函数3()f x x =，下列说法正确的是A ．没有最小值，有最大值B ．有最小值，没有最大值C ．有最小值，有最大值D ．没有最小值，也没有最大值 7．用反证法证明命题“在ABC ∆中，若A B ∠>∠，则a b >”时，应假设A ．a b <B ．a b ≤C ．a b >D ．a b ≥8．已知变量x 与y 线性相关，且2, 4.5x y ==，y 与x 的线性回归方程为ˆ0.95yx a =+，则a 的值为 A ．0.325 B ．0C ．2.2D ．2.69．观察下列各式：211=，22343++=，2345675++++=，根据上述规律，猜测可得4+5+6+7+8+9+10= A ．25B ．49C ．81D ．12110．函数s (i )n f x x x =+在区间(0,)π的单调性为A ．单调递增B ．单调递减C ．在(0,)2π单调递增，(,)2ππ单调递减D ．在(0,)2π单调递减，(,)2ππ单调递增11．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是A ．2B ．32 C ．53D ．8512．已知可导函数()f x 满足()()f x f x '<，则下列关系一定成立的是A ．()()12ef f <B ．()()12ef f >C ．()()21ef f >D ．()()21ef f <第II 卷 非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知i 是虚数单位，复数2z i =+，则||z = ． 14．曲线2y x =在点(1,1)P 处的切线的方程为 ．15．经过圆221x y +=上一点00(,)x y 的切线的方程为001x x y y +=，则由此类比可知：经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)x y 的切线的方程为 ． 16．函数31()3f x x x =-的极大值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分。
2019年广西壮族自治区桂林市广西师范大学附属中学高二数学文下学期期末试卷含解析
2019年广西壮族自治区桂林市广西师范大学附属中学高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若复数z1=3+i，z2=1﹣i，则复数z1?z2在平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：D【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】把复数乘积展开，化简为a+bi（a、b∈R）的形式，可以判断所在象限．【解答】解：∵复数z1=3+i，z2=1﹣i，则z1?z2=（3+i）（1﹣i）=4﹣2i∴复数z1?z2平面内对应的点位于第四象限．故选D．2. 在下图中，直到型循环结构为（）参考答案：A3. 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（）A. B.C. D.参考答案：D4. 已知集合，，则（）A. B. C. D.参考答案：D5. 下列函数中不是偶函数的是（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】结合函数的定义域以及函数的奇偶性的定义得到结果.【详解】对于A函数的定义域为不是关于原点对称的，故非奇非偶；对于B,定义域为R，是偶函数；对于C,且定义域为关于原点对称，故是偶函数；对于D，是偶函数，定义域关于原点对称，满足故是偶函数.故答案为：A.【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性的应用，判断函数奇偶性，先判断函数的定义域是否关于原点对称，再看是否满足.6. 正态分布N（1，9）在区间（2，3）和（-1，0）上取值的概率分别为m,n，则（）A.m>nB.m<nC.m=nD.不确定参考答案：C略7. 已知向量=（1，0），=（1，2），向量在方向上的投影为2．若∥，则||的大小为（）A．.2 B．C．4 D．参考答案：D【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】计算cos＜＞即可得出cos＜＞，根据投影公式列方程解出答案．【解答】解：cos＜＞===，∴cos＜＞=cos＜＞=，∴在方向上的投影为||cos＜＞==2，∴||=2．故选D．8. 在△ABC中，，，，则A=A．B．或C．D．或参考答案：D9. 如图，在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当E∈AA1时，AE＋BF是定值．ks5u其中正确说法是（A）①②③（B）①②④（C）②③④（D）①③④参考答案：D10. 若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小值时的坐标为（）A． B． C． D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知x与y之间的一组数据：则y与x的线性回归方程=bx+a必过点．参考答案：（1.5，4）【考点】线性回归方程．【分析】要求y与x的线性回归方程为y=bx+a必过的点，需要先求出这组数据的样本中心点，根据所给的表格中的数据，求出横标和纵标的平均值，得到样本中心点，得到结果．【解答】解：∵，=4，∴本组数据的样本中心点是（1.5，4），∴y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点（1.5，4）故答案为：（1.5，4）12. 已知角的终边经过点P(3，4)，则cos的值为．参考答案：13. 已知抛物线C：（>0）的准线Ｌ，过M（1,0）且斜率为的直线与Ｌ相交于A，与C的一个交点为B，若，则=_________参考答案：=____2_略14. 直线的距离是▲．参考答案：15. 已知某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的体积为__________．参考答案：考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，分别求出体积后，相减可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，棱柱和棱锥的底面均为侧视图，故底面面积S=×4×4=8，棱柱的高为8，故体积为64，棱锥的高为4，故体积为：，故组合体的体积V=64﹣=，故答案为：点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．16. 正方体各面所在平面将空间分成部分。
广西壮族自治区桂林市中庸中学2019-2020学年高二数学文下学期期末试题含解析
广西壮族自治区桂林市中庸中学2019-2020学年高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，，且f（A）=2，b=1，△ABC的面积是，则的值是（）A．2 B．2C．4 D．2参考答案：A【考点】正弦定理的应用．【分析】由f（A）=2，求出 A=，△ABC的面积是求出c=2，由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bc cosA，求出 a 的值，由正弦定理求得的值．【解答】解：∵f（A）=2sin（2A+）+1=2，∴sin（2A+）=，又 0＜A＜π，∴＜2A+＜，∴2A+=，∴A=．由△ABC的面积是==c?可得 c=2．由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bc cosA=5﹣4×，∴a=，∴==2，故选 A．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，求出角A的值和a边的值，是解题的关键．2. 若方程表示一条直线，则实数满足（）A． B．C．D．，，参考答案：C3. 设数列{a n}的前n项和为S n，点（n，）（n∈N*）均在函数y＝x＋的图象上，则a2014＝（）A．2014 B．2013 C．1012 D．1011参考答案：D4. 有一家三口的年龄之和为65岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分别为x、y、z，则下列选项中能反映x、y、z关系的是（）Ａ．x+y+z=65 Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：C解析：A、C、D中都有可能x、y、z为负数。
5. 已知直线和平面，下列推论中错误的是（）A、B、C、 D、参考答案：D6. 在区间[0,1]上任意取两个实数x，y，则的概率为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】作出点所在的平面区域是正方形，满足的点在线段左上方的阴影部分，利用几何概型概率公式计算即可得解。
【详解】由题可得：作出点所表示的平面区域如下图的正方形，又满足的点在线段左上方的阴影部分，所以的概率为.故选：A【点睛】本题主要考查了转化能力及数形结合思想，还考查了几何概型概率计算公式，属于中档题。
2019-2020学年广西壮族自治区桂林市临桂县会仙中学高二数学文期末试题含解析
2019-2020学年广西壮族自治区桂林市临桂县会仙中学高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知满足则的取值范围是（）A． B． C．D．参考答案：B2. 设向量不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是（）A．B．C．D．参考答案：D略3. 在空间中，下列命题正确的是A. 平行于同一平面的两条直线平行B. 垂直于同一直线的两条直线平行C. 垂直于同一平面的两条直线平行D. 平行于同一直线的两个平面平行参考答案：C略4. 在平面直角坐标系中，不等式组，表示的平面区域的面积是A. B. 4 C. 2 D. 2参考答案：B5. 已知向量,,则向量在向量方向上的投影为（）A. B. C. －1 D. 1参考答案：A【分析】本题可根据投影的向量定义式和两个向量的数量积公式来计算．【详解】由投影的定义可知：向量在向量方向上的投影为：，又∵，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查投影的向量定义以及根据两个向量的数量积公式来计算一个向量在另一个向量上的投影，本题属基础题．6. 如图所示，已知四面体ABCD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AC的中点，则（++）化简的结果为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】根据加法的三角形法则求出++，再由中位线的性质进行化简可得答案．【解答】解：∵G、H分别为CD、AC的中点，∴（++）=（+）==?2=．故选C．7. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A. 月接待游客量逐月增加B. 年接待游客量逐年增加C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳参考答案：A2014年8月到9月接待游客下降，所以A错；年接待游客量逐年增加；各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，所以选A.8. 已知一个线性回归方程为=1.5x+45，其中x的取值依次为1，7，5，13，19，则=（）A．58.5 B．46.5 C．60 D．75参考答案：A【考点】线性回归方程．【分析】根据所给的x的值，求出x的平均数，根据样本中心点在线性回归直线上，把所求的平均数代入线性回归方程，求出y的平均数．【解答】解：∵x∈{1，7，5，13，19}，∴==9，∴=1.5×9+45=58.5．故选：A．9. 若函数f(x)＝x3－f′(－1)x2＋x＋5，则f′(1)的值为()A. 2B. －2C. 6D. －6参考答案：C略10. 在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】轨迹方程．【分析】设出F1，F2的坐标，在设出动点M的坐标，由新定义列式后分类讨论去绝对值，然后结合选项得答案．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），再设动点M（x，y），动点到定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于m（m＞2c＞0），由题意可得：|x+c|+|y|+|x﹣c|+|y|=m，即|x+c|+|x﹣c|+2|y|=m．当x＜﹣c，y≥0时，方程化为2x﹣2y+m=0；当x＜﹣c，y＜0时，方程化为2x+2y+m=0；当﹣c≤x＜c，y≥0时，方程化为y=；当﹣c≤x＜c，y＜0时，方程化为y=c﹣；当x≥c，y≥0时，方程化为2x+2y﹣m=0；当x≥c，y＜0时，方程化为2x﹣2y﹣m=0．结合题目中给出的四个选项可知，选项A中的图象符合要求．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 以下五个命题中：①若两直线平行，则两直线斜率相等；②设、为两个定点，为正常数，且，则动点的轨迹为双曲线；③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④对任意实数，直线：与圆的位置关系是相交；⑤为椭圆上一点，为它的一个焦点，则以为直径的圆与以长轴为直径的圆相切.其中真命题的序号为_____________.写出所有真命题的序号）参考答案：③ ④ ⑤略12. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值_____________．参考答案：713. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，则，、、、、，则下列结论正确的是_____________ 。
2019-2020学年广西桂林市高二下学期期末质量检测数学(文)试题 word版
广西桂林市2019-2020学年高二下学期期末质量检测数学（文）试题（考试时间120分钟，满分150分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2.请在答题卷上答题（在本试卷上答题无效）。
第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的.1.复数3z i =-的虚部是（ ） A.1B.iC.-1D.i -2.已知函数2()f x x x =+，则()1f '=（ ） A.3B.0C.2D.13.函数()ln f x x =的导数是（ ） A.xB.1xC.ln xD.x e4.(34)(12)i i ++-=（ ） A.42i + B.42i -C.14i +D.15i +5.曲线3123y x x =-在点51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的斜率为（ ）A.34πB.4π C.1 D.-16.关于函数()3f x x =，下列说法正确的是（ ） A.没有最小值，有最大值 B.有最小值，没有最大值 C.有最小值，有最大值D.没有最小值，也没有最大值7.用反证法证明命题“在ABC △中，若A B ∠>∠，则a b >”时，应假设（ ） A.a b <B.a b ≤C.a b >D.a b ≥8.已知变量x 与y 线性相关，且2x =， 4.5y =，y 与x 的线性回归方程为0.95y x a =+，则a 的值为（ ） A.0.325B.0C.2.2D.2.69.观察下列各式：211=，22343++=，22211,2343,345675=++=++++=，根据上述规律，猜测可得（ ）A.25B.49C.81D.12110.函数()sin f x x x =+在区间()0,π的单调性为（ ） A.单调递增 B.单调递减 C.在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 D.在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 11.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A.2B.32C.53D.8512.已知可导函数()f x 满足()()f x f x '<，则下列关系一定成立的是（ ） A.()()12ef f <B.()()12ef f >C.()()21ef f >D.()()21ef f <第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知i 是虚数单位，复数2z i =+，则||z =_________. 14.曲线2y x =在点()1,1P 处的切线的方程为_________.15.经过圆221x y +=上一点()00,x y 的切线的方程为001x x y y +=，则由此类比可知：经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点()00,x y 的切线的方程为_________. 16.函数31()3f x x x =-的极大值为_________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分。
桂林市名校2019-2020学年数学高二下期末达标检测试题含解析
桂林市名校2019-2020学年数学高二下期末达标检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知,,0a b c >，则,,b c aa b c的值( )A ．都大于1B ．都小于1C ．至多有一个不小于1D ．至少有一个不小于12．某科研单位准备把7名大学生分配到编号为1，2，3的三个实验室实习，若要求每个实验室分配到的大学生人数不小于该实验室的编号，则不同的分配方案的种数为（ ） A ．280B ．455C ．355D ．3503．在等差数列{}n a 中，若32a =，64a =，则1a =（ ） A ．43B ．1C ．23D ．134．设{}n a 是等差数列.下列结论中正确的是（ ） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +< C ．若120a a <<，则213a a a >D ．若10a <，则()()21230a a a a -->5．.已知{}n b 为等比数列，52b =，则91292b b b ⋅=．若{}n a 为等差数列，52a =，则{}n a 的类似结论为（ ） A ．912392a a a a = B ．912392a a a a ++++=C ．123929a a a a =⨯D ．123929a a a a ++++=⨯6．一个盒子里装有大小、形状、质地相同的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个.现从盒子中随机取出两个球，记事件A 为“取出的两个球颜色不同”，事件B 为“取出一个黄球，一个绿球”，则(|)P B A = A ．1247 B ．211 C ．2047D ．15477．展开式中的系数为（ ）A ．10B ．30C ．45D ．2108．过抛物线E ：22(0)y px p =>的焦点作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 交E 于A ，C 两点，直线2l 交E 于B ，D 两点，若四边形ABCD 面积的最小值为64，则p 的值为（ ） A ．22B ．4C ．42D ．89．某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布2(10,0.1)N （单位：kg ）现抽取500袋样本，X 表示抽取的面粉质量在(10,10.2)kg 的袋数，则X 的数学期望约为（ ）附：若2~(,)Z N μσ，则()0.6872P Z μσμσ-<≤+≈，(22)0.9545P Z μσμσ-<≤+≈A ．171B ．239C ．341D ．47710．平面向量a 与b 的夹角为120,(2,0),||1a b ︒==，则|2|a b +=（ ） A ．4B ．3C ．2D ．311．已知l 、m 、n 是空间三条直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若l // m ，l // n ，则m // n B ．若l ⊥m ，l ⊥n ，则m // nC ．若点A 、B 不在直线l 上，且到l 的距离相等，则直线AB // lD ．若三条直线l 、m 、n 两两相交，则直线l 、m 、n 共面 12．在二项式26()2a x x+的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线2y x 和圆22x y a +=及x 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）A ．146π+B ．146π- C ．4π D ．16二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知12...a a 10a 为数字0，1，2，…，9的一个排列，满足123456a a a a a a ++=++=78910a a a a +++，且123a a a <<，则这样排列的个数为___（用数字作答）．14．定义()A ∏为集合A 中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合25{,,1,4}34M =-，集合M 的所有非空子集依次记为1215,,,M M M ⋅⋅⋅，则1215()()()M M M ∏+∏+⋅⋅⋅+∏=________15．不等式|32|1x -<的解集为________16．已知定义在R 上的可导函数f （x ）满足()1f x '<，若(1)()12f m f m m -->-，则实数m 的取值范围是______．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．甲、乙两人做定点投篮游戏，已知甲每次投篮命中的概率均为p ，乙每次投篮命中的概率均为12，甲投篮3次均未命中的概率为127，甲、乙每次投篮是否命中相互之间没有影响. （Ⅰ）若甲投篮3次，求至少命中2次的概率；（Ⅱ）若甲、乙各投篮2次，设两人命中的总次数为X ，求X 的分布列和数学期望. 18．已知函数()214ln 22f x x a x x =---，其中a 为正实数. （1）若函数()y f x =在1x =处的切线斜率为2，求a 的值； （2）求函数()y f x =的单调区间；（3）若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，求证：()()126ln f x f x a +<- 19．（6分）已知集合{}2|lg(12)A x y x x ==--+，{}2|280B x x x =+-≤，{}|6C x x a =-<.（1）求AB ；（2）若“x C ∈”是“x AB ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.20．（6分）已知等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，若2d q ==，且1a ，1b ，2a ，2b 成等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记n n b c a =，数列{}n c 的前n 项和为n S ，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若对任意正整数n ，99(21)n n S n T m ≥++恒成立，求实数m 的取值范围． 21．（6分）已知0a >且1a ≠，()21log 1a a f x x a x ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭（1）求()f x 的解析式；（2）判断()f x 的奇偶性，并判断当01a <<时()f x 的单调性； （3）若()f x 是()1,1-上的增函数且()()2110f m f m-+-<，求m 的取值范围.22．（8分）在如图所示的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥，//AD EF ，//EF BC ，4BC =，3EF =，2AD AE BE ===，G 是BC 的中点.（1）求证：BD EG ⊥；（2）求二面角G DE F --的平面角的余弦值.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】先假设a b c ==，这样可以排除A ，B.再令1,2,4a b c ===，排除C.用反证法证明选项D 是正确的. 【详解】解:令a b c ==，则1b c aa b c ===，排除A ，B. 令1,2,4a b c ===，则12,4b c a a b c ===，排除C.对于D ，假设1,1,1b c aa b c<<<，则,,b a c b a c <<<，相加得a b c a b c ++<++，矛盾，故选D. 【点睛】本题考查了反证法的应用，应用特例排除法是解题的关键. 2．B 【解析】 【分析】每个实验室人数分配有三种情况，即①1，2，4；②1，3，3；③2，2，3；针对三种情况进行计算组合即可 【详解】每个实验室人数分配有三种情况，即1，2，4；1，3，3；2，2，3.当实验室的人数为1，2，4时，分配方案有124764105C C C =种；当实验室的人数为1，3，3时，分配方案有133763140C C C =种； 当实验室的人数为2，2，3时，分配方案有223753210C C C =种. 故不同的分配方案有455种.选B. 【点睛】本题考查排列组合的问题，解题注意先分类即可，属于基础题 3．C 【解析】 【分析】运用等差数列的性质求得公差d ，再运用通项公式解得首项即可． 【详解】 由题意知634226333a a d --===-，所以13422233a a d =-=-=. 故选C. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式的运用，等差数列的性质，考查运算能力，属于基础题． 4．C 【解析】 【分析】 【详解】先分析四个答案，A 举一反例1232,1,4a a a ==-=-，120a a +>而230a a +<，A 错误，B 举同样反例1232,1,4a a a ==-=-，130a a +<，而120a a +>，B 错误，D 选项，2132,,a a d a a d -=-=-22132()()0,a a a a d ∴--=-≤故D 错，下面针对C 进行研究，{}n a 是等差数列，若120a a <<，则10,a >设公差为d ，则0d >，数列各项均为正，由于22213111()(2)a a a a d a a d -=+-+22221111220a a d d a a d d =++--=>，则2113a a a >1a ⇒>故选C.考点：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重 点是对知识本质的考查. 5．D 【解析】 【分析】根据等差数列中等差中项性质推导可得. 【详解】由等差数列性质，有19a a +＝28a a +＝…＝25a .易知选项D 正确． 【点睛】等差中项和等比中项的性质是出题的热点,经常与其它知识点综合出题. 6．D 【解析】分析：先求取出的两个球颜色不同得概率，再求取出一个黄球，一个绿球得概率可，最后根据条件概率公式求结果. 详解：因为221212545343475315(),(),6666P A P AB C C ⨯+⨯+⨯⨯==== 所以()15(|)()47P AB P B A P A ==,选D.点睛：本题考查条件概率计算公式()(|)()P AB P B A P A =，考查基本求解能力. 7．B 【解析】（-1-x+x 2）10=[（x 2-x ）-1]10 的展开式的通项公式为，所以或，故展开式中的系数为故选B 8．A 【解析】 分析：详解：设直线1l 的倾斜角为α，则22222222,sin cos sin ()2182sin 2p p pAC BD p S AB CD παααα===+∴=⋅=当2sin 2α=1时S 最小，故286422p p =⇒= 故选A.点睛：考查直线与抛物线的关系，将问题巧妙地转化为三角函数求最值问题时解题关键，属于中档题. 9．B 【解析】 【分析】先根据正态分布求得质量在(10,10.2)kg 的袋数的概率，再根据代数X 服从二项分布可得. 【详解】(22)0.9545P Z μσμσ-<≤+≈，且10μ=，0.1σ=， (9.810.2)0.9545P Z ∴<≤≈，()0.95451010.20.477252P X ∴<<≈=， 而面粉质量在(10,10.2)kg 的袋数X 服从二项分布，即()500,0.47752X B ，则()5000.47752239E X =⨯≈. 故选：B 【点睛】本题考查了二项分布，解题的关键是求出质量在(10,10.2)kg 的袋数的概率，属于基础题. 10．C 【解析】 【分析】根据条件，得出向量b 的坐标，进行向量的和的计算，遂得到所求向量的模． 【详解】由题目条件，两向量如图所示：可知13,2b ⎛=-⎝⎭则()|2||1,3|2a b +==∴答案为2.【点睛】本题考查了向量的坐标和线性加法运算，属于基础题． 11．A 【解析】分析：由公理4可判断A ，利用空间直线之间的位置关系可判断B ，C ，D 的正误，从而得到答案． 详解：由公理4可知A 正确；若l ⊥m ，l ⊥n ，则m ∥n 或m 与n 相交或异面，故B 错误；若点A 、B 不在直线l 上，且到l 的距离相等，则直线AB ∥l 或AB 与l 异面，故C 错误； 若三条直线l ，m ，n 两两相交，且不共点，则直线l ，m ，n 共面，故D 错误． 故选A ．点睛：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间中直线与直线之间的位置关系，掌握空间直线的位置关系是判断的基础，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断．还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断． 12．B 【解析】 【分析】用二项式定理得到中间项系数，解得a ，然后利用定积分求阴影部分的面积． 【详解】（x 1+a 2x ）6展开式中，由通项公式可得122r 162rr r r a T C x x --+⎛⎫= ⎪⎝⎭, 令11﹣3r ＝0，可得r ＝4,即常数项为4462a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得4462a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝15，解得a ＝1．曲线y ＝x 1和圆x 1+y 1＝1的在第一象限的交点为（1，1） 所以阴影部分的面积为()1223100111-x-x |442346dx x x πππ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭⎰． 故选：B 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．3456 【解析】【分析】先计算总和为45，将相加为15的3数组罗列出来，计算每个选法后另外一组的选法个数，再利排列得到答案. 【详解】0，1，2，…，9所有数据之和为451234567891015a a a a a a a a a a ++=++=+++=相加为15的3数组有：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}0,6,9,0,7,8,1,5,9,1,6,8,2,4,9,2,5,8,2,6,7,3,4,8,3,5,7,4,5,6当123a a a 选择{}0,6,9后，456a a a 可以选择{}2,5,8，{}3,4,8，{}3,5,73种选择 同理可得：分别有3，3，3，2，3，1，2，3，3，1共24种选择123a a a <<选定后只有一种排列 456a a a 有33A 种排列78910a a a a 有44A 种排列共有3434243456A A ⨯⨯=中选择.故答案为3456 【点睛】本题考查了排列组合的计算，将和为15的数组罗列出来是解题的关键. 14．132【解析】 【分析】首先设()()()251434f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由二项式定理展开可知()()()()()()431234f x x M M M M x =+∏+∏+∏+∏+()()()()()()()()()()256101112131415......M M M x M M M M x M ∏+∏++∏+∏+∏+∏+∏+∏，然后利用赋值法令1x =求解. 【详解】 设()()()251434f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设1234,,,M M M M 中只有1个元素，5610,,...M M M 中有2个元素， 11121314,,,M M M M 中有3个元素，15M 中有4个元素，由二项定理可知()()()()()()431234f x x M M M M x =+∏+∏+∏+∏+()()()()()()()()()()256101112131415......M M M x M M M M x M ∏+∏++∏+∏+∏+∏+∏+∏令1x = ，()()()()()123151511 (2)f M M M M =+∏+∏+∏++∏= , ∴ ()()()()1231513 (2)M M M M ∏+∏+∏++∏=. 故答案为：132【点睛】本题考查二项式定理和集合子集的综合问题，意在考查转化与计算能力，本题的关键是将所求乘积的和转化为二项式定理问题，属于难题.15．1(,1)3【解析】 【分析】根据绝对值的定义去绝对值符号，直接求出不等式的解集即可. 【详解】由321x -<，得-1321x <-<，解得113x <<故答案为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化的数学思想和计算能力. 16．【解析】 【分析】 【详解】试题分析：令()()F x f x x =-,则,故函数()()F x f x x =-在上单调递减,又由题设(1)()12f m f m m -->-可得,故,即,答案为．考点：导数及运用．三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（Ⅰ）2027.（Ⅱ）见解析. 【解析】试题分析：（1）本题为独立重复试验，根据独立重复试验概率公式()(1)k k n kn P x k C p p -==- 列方程组解得p q ，，再根据独立重复试验概率公式求至少命中2次的概率；（2）先确定随机变量可能取法：0，1，2，3，4，再根据独立重复试验概率公式求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求期望. 试题解析：（1）由题意，()31127p -=，()12112C q q -=解得23p =，12q = 设“乙投篮3次，至少2次命中”为事件A ，则()2323111112222P A C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）由题意X 的取值为0，1，2，3，4.()22211013236P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()1112221133P X C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 2220122121112326C C ⎡⎤⎤⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯+-⨯⨯=⎢⎥⎥⎢ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎥⎢⎦⎣⎣⎦；()2221232P X ⎛⎫⎛⎫==⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ][11211222211332C C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯-⨯⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 2222211313236C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⨯⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦； ()221221332P X C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 11212221113323C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯⨯-⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()222114329P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故X 的分布列为()111301236636E X =⨯+⨯+⨯ 11734393+⨯+⨯=. 18．（1）1；（2）见解析；（3）见解析 【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得()12f '=，解得a 的值；（2）先求导数，再根据导函数是否变号分类讨论，最后根据导函数符号确定单调区间（3）先根据韦达定理得12124,x x x x a +==，再化简()()12f x f x +，进而化简所证不等式为ln ln 20a a a a --+>，最后利用导函数求函数()ln ln 2g x x x x x =--+单调性，进而确定最小值，证得结论试题解析：(1)因为()214ln 22f x x a x x =---，所以()4af x x x=--'， 则()132f a ='-=,所以a 的值为1．(2) ()244a x x af x x x x-+=--=-'，函数()y f x =的定义域为()0,+∞，1若1640a -≤,即4a ≥,则()0f x '≤,此时()f x 的单调减区间为()0,+∞; 2若1640a ->,即04a <<,则()0f x '=的两根为2 此时()f x的单调减区间为(0,2,()2++∞,单调减区间为(2．(3)由(2)知，当04a <<时，函数()y f x =有两个极值点12,x x ,且12124,x x x x a +==．因为()()2212111222114ln 24ln 222f x f x x a x x x a x x +=---+--- ()()()2212121214ln 42x x a x x x x =+--+- ()2116ln 4244ln 2a a a a a a =----=+- 要证()()126ln f x f x a +<-,只需证ln ln 20a a a a --+>． 构造函数()ln ln 2g x x x x x =--+，则()111ln 1ln g x x x x x+-='=--， ()g x '在()0,4上单调递增,又()()1110,2ln202g g ='-'=-,且()g x '在定义域上不间断, 由零点存在定理，可知()0g x '=在()1,2上唯一实根0x , 且001ln x x =． 则()g x 在()00,x 上递减, ()0,4x 上递增,所以()g x 的最小值为()0g x ．因为()00000000011ln ln 2123g x x x x x x x x x ⎛⎫=--+=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭, 当()01,2x ∈时, 00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,则()00g x >,所以()()00g x g x ≥>恒成立． 所以ln ln 20a a a a --+>,所以()()126ln f x f x a +<-，得证． 19． (1) {}|42A B x x =-<≤.(2) (4,2]-.【解析】分析：（1）先求出A,B 集合的解集，A 集合求定义，B 集合解不等式即可，然后由交集定义即可得结论；（2）若“x C ∈”是“x A B ∈⋂”的必要不充分条件，说明()A B C ⋂⊆且()A B C ⋂≠，然后根据集合关系求解. 详解：(1){}{}212043A x x x x x =--+>=-<<,{}{}228042B x x x x x =+-=-．则{}42A B x x ⋂=-< (2){}{}666C x x a x a x a =-<=-<<+， 因为“x C ∈”是“x A B ∈⋂”的必要不充分条件， 所以()A B C ⋂⊆且()A B C ⋂≠． 由()A B C ⋂⊆，得6462a a --⎧⎨+>⎩，解得42a -<．经检验，当42a -<时，()A B C ⋂≠成立， 故实数a 的取值范围是(]4,2-．点睛：考查定义域，解不等式，交集的定义以及必要不充分条件，正确求解集合，缕清集合间的基本关系是解题关键，属于基础题.20．（1）21n a n =-，2nn b =（2）376m ≤-【解析】 【分析】（1）分别根据112,,a b a ，和122,,b a b 成等差数列，分别表示为1a 和1b 的方程组，求出首项，即得通项公式；（2）根据（1）的结果可求得221n n c =⨯-，并且求出n S ,利用裂项相消法求和n T ，转化为()9921n n m S n T <-+，恒成立，转化为求数列的最值.【详解】解：（1）因为1a ，1b ，2a 成等差数列，所以11112db a a =+=+①， 又因为1b ，2a ，2b 成等差数列，所以1221322b b a b +==，得11322a b +=②， 由①②得1=1a ，1=2b ．所以21n a n =-，2nn b =.（2）221n nb a =⨯-，()2322222224n n n S n n +=++++-=--.111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭.11111111112335212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭. 令99(2 1) n n n S n T A =-+，则22249921004n n n A n n n ++=---=--， 则()32212100(1)210021004225n n n n n n A A n n ++++-=-+-+=-=-，所以，当4n ≤时，1<n n A A +，当5n ≥时1>n n A A +，所以n A 的最小值为75210054376A =-⨯-=-.又99(21)n n m S n T ≤-+恒成立，所以，376m ≤-． 【点睛】本题考查了数列通项的求法，和求数列的前n 项和的方法，以及和函数结合考查数列的最值，尤其在考查数列最值时，需先判断函数的单调性，判断1n n a a +-的正负，根据单调性求函数的最值. 21．（1）()()21x xa f x a a a -=--；（2）见解析；（3）{1m m << 【解析】 【分析】（1）利用对数函数的性质，结合换元法，令()log a t x t R =∈则t x a =，求出()f t 的表达式即可； （2）结合（1）中()f x 的解析式，利用函数奇偶性的定义判断函数()f x 的定义域和()f x -与()f x 的关系；利用指数函数的单调性和简单复合函数单调性的判断法则即可求解；（3）利用函数()f x 在()1,1-上的单调性和奇偶性得到关于m 的不等式，解不等式即可. 【详解】（1）令()log a t x t R =∈，则t x a =，所以()()21t ta f t a a a -=--，即()()21x x a f x a a a -=--. （2）由（1）知，()()21x x af x a a a -=--，其定义域为R ，关于原点对称， 因为()()()21x x af x a a f x a --=-=--，所以函数()f x 为奇函数， 当01a <<时，因为xy a =是R 上的减函数，1xx y a a -⎛⎫== ⎪⎝⎭是R 上的增函数，所以函数xy a -=-为R 上的减函数，()x xu x a a -=-为R 上的减函数，又因为201a a <-，∴()()21x xa f x a a a -=--为R 上的增函数.（3）∵()()2110f m f m-+-<，∴()()211f m f m -<--，又()y f x =为R 上的奇函数，∴()()211f m f m -<-，因为函数()y f x =在()1,1-上是增函数，∴21111m m -<-<-<， 解之得：{}12m m <<，所以实数m 的取值范围为{}12m m <<.【点睛】本题考查换元法求函数解析式、函数奇偶性的判断、指数函数的单调性和简单复合函数单调性的判断、利用函数在给定区间上的奇偶性和单调性解不等式；考查运算求解能力和知识的综合运用能力；属于综合性试题、中档题. 22．（1）见解析；（2）33． 【解析】 试题分析：由题意可证得,,EF EB EA 两两垂直，建立空间直角坐标系求解．（1）通过证明·0BD EG =，可得BD EG ⊥．（2）由题意可得平面DEF 的一个法向量为()2,0,0EB =，又可求得平面DEG 的法向量为()1,1,1n =-，故可求得3cos ,3EB n =，结合图形可得平面DEG 与平面DEF 所成的二面角为锐角，由此可得所求余弦值． 试题解析：（1）∵EF ⊥平面,AEB EA ⊂平面,AEB EB ⊂平面AEB ， ∴,EF EA EF EB ⊥⊥， 又AE EB ⊥，∴,,EF EB EA 两两垂直，以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()()()0,0,0,0,0,2,2,0,0,2,4,0,0,3,0,0,2,2,2,2,0E A B C F D G ，∴()()2,2,0,2,2,2EG BD ==-， ∵·2222200BD EG =-⨯+⨯+⨯=， ∴BD EG ⊥；（2）由已知，得()2,0,0EB =是平面DEF 的一个法向量， 设平面DEG 的法向量为(),,n x y z =， ∵()()0,2,2,2,2,0ED EG ==，由·220·220EG n y z EG n x y ⎧=+=⎨=+=⎩，得y x z x =-⎧⎨=⎩，令1x =，得()1,1,1n =-. ∴2·cos ,3·1n EB EB n n EB===，由图形知，平面DEG 与平面DEF 所成的二面角为锐角， ∴平面EDG 与平面DEF 所成二面角的余弦值为。
2020-2021学年广西桂林市高二(下)期末数学试卷(文科)(附答案详解)
2020-2021学年广西桂林市高二（下）期末数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知函数f(x)=e x，则f′(x)=()B. e xC. ln xD. xe x−1A. 1x2.设复数z=2−i，则z的实部为()A. −1B. 2C. −2D. i3.曲线y=3x2+1在x=1处的切线的斜率为()A. 6B. 5C. 4D. 34.某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品的售价x(单位：元)和销售量y(单位：百个)之间的四组数据如表：用最小二乘法求得销售量y与售价x之间的线性回归方程ŷ=−1.4x+17.5，那么表中实数a的值为()A. 4B. 4.7C. 4.6D. 4.55.利用反证法证明“若a+b+c=3，则a，b，c中至少有一个数不小于1”正确的假设为()A. a，b，c中至多有一个数大于1B. a，b，c中至多有一个数小于1C. a，b，c中至少有一个数大于1D. a，b，c中都小于16.(1−i)(4+i)=()A. 3+5iB. 3−5iC. 5+3iD. 5−3i7.如果根据性别与是否爱好运动的列联表得到K2≈3.852>3.841，所以判断性别与运动有关，那么这种判断犯错的可能性不超过()A. 2.5%B. 0.5%C. 1%D. 5%8. 因为对数函数y =log a x(a >0，且a ≠1)是增函数，而y =log 12x 是对数函数，所以y =log 12x 是增函数，上面的推理错误的是( ) A. 大前提 B. 小前提 C. 推理形式 D. 以上都是9. 如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a ，b 分别为14，18，则输出的a =( )A. 0B. 2C. 4D. 1410. 甲、乙、丙、丁四位同学被问到谁去过长城时，甲说：“我没去过”，乙说：“丁去过”，丙说：“乙去过”，丁说：“我没去过”，假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁11. 已知函数f(x)的导函数f′(x)的大致图象如图所示，则f(x)( )A. 在(−∞,0)单调递减B. 在x =0处取极小值C. 在(1,2)单调递减D. 在x =2处取极大值12. 已知f′(x)为函数f(x)的导函数，当x >0时，有f(x)−xf′(x)>0恒成立，则下列不等式成立的是( )A. f(12)>2f(1)B. f(12)<2f(1)C. 2f(12)<f(1)D. 2f(12)>f(1)二、单空题（本大题共5小题，共32.0分） 13. 设z =2+4i ，则|z|=______．14. 已知函数f(x)=x 3+2x +1，则f′(1)=______．15.在平面内，点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=00，通过类√A2+B2比的方法，点(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为______．16.已知函数f(x)=ax+e x没有极值点，则实数a的取值范围是______．17.现有一批货物由海上从A地运往B地，已知货船的最大航行速度为35海里/小时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/小时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？三、解答题（本大题共5小题，共58.0分）18.求证：√3+√5>√2+√6．19.当今社会，手机已经成为人们生活中不可缺少的学习、交流的工具．但中小学生由于自控力乱差，使用手机时往往容易因沉迷于聊天、游戏而严重影响学习．为了解学生使用手机对学习是否有影响，某校随机抽取50名学生，对学习成绩和使用手机情况进行了调查，统计的部分数据如表所示：数据如表所示：(1)补充完整所给的列联表；(2)根据(1)的列联表，能否有99%的把握认为使用手机对学生的学习成绩有影响？，其中n=a+b+c+d．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)参考数据：20. 已知函数f(x)=x 3−3ax −1在x =−1处取得极值．(1)求实数a 的值；(2)当x ∈[−2,1]时，求函数f(x)的最小值．21. 某种产品的广告费用支出x(万元)与销售额y(万元)之间有如下的对应数据：(1)作出销售额y 关于广告费用支出x 的散点图； (2)建立y 关于x 的线性回归方程；(3)试估计广告费用为9万元时，销售额是多少？ 参考公式：b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −．22.已知函数f(x)=ae x−4x，a∈R．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a=1时，求证：f(x)+x2+1>0．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵f(x)=e x ， ∴f′(x)=e x ． 故选：B ．根据基本初等函数的求导公式进行求导即可．本题考查了基本初等函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵复数z =2−i ， ∴z 的实部为2． 故选：B ．利用复数的定义直接求解．本题考查复数的实部的求法，考查复数的定义等基础知识，是基础题．3.【答案】A【解析】解：y =3x 2+1的导数为y′=6x ，由导数的几何意义可得在x =1处的切线的斜率为k =6． 故选：A ．求得函数y =3x 2+1的导数，由导数的几何意义可得所求切线的斜率． 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查运算能力，是一道基础题．4.【答案】D【解析】解：由表中数据可知，x −=14×(4+a +5.5+6)=a+15.54，y −=14×(12+11+10+9)=10.5，∵线性回归方程y ̂=−1.4x +17.5恒过样本中心点(x −,y −)， ∴10.5=−1.4×a+15.54+17.5，解得a =4.5．故选：D．先由表中数据求得样本中心点(x−,y−)，再代入线性回归方程，即可得解．本题考查线性回归方程的应用，理解线性回归方程恒过样本中心点是解题的关键，属于基础题．5.【答案】D【解析】【解析】本题考查反证法证题的思路，考查命题的否定，是基础题．由至少有一个的否定为至多0个，结合选项得答案．【解答】解：至少一个的否定为至多0个，即都小于1，也就是a，b，c中都小于1．故选：D．6.【答案】D【解析】解：(1−i)(4+i)=1×4+1×i−i×4−i2=5−3i．故选：D．根据复数代数形式的运算法则，计算即可．本题考查了复数代数形式的运算问题，是基础题．7.【答案】D【解析】解：根据性别与是否爱好运动的列联表得到K2≈3.852>3.841，所以有95%的把握说明性别与运动有关，即有1−95%=5%的出错可能性．故选：D．根据独立性检验原理，利用观测值对照附表即可得出结论．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了分析解决问题的能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：∵当a>1时，函数y=log a x(a>0且a≠1)是一个增函数，当0<a<1时，此函数是一个减函数∴y=log a x(a>0且a≠1)是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．故选：A．对于对数函数来说，底数的范围不同，则函数的增减性不同，当a>1时，函数是一个增函数，当0<a<1时，对数函数是一个减函数，对数函数y=log a x(a>0且a≠1)是增函数这个大前提是错误的本题考查演绎推理的基本方法，考查对数函数的单调性，是一个基础题，解题的关键是理解函数的单调性，分析出大前提是错误的9.【答案】B【解析】【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=b=2时不满足条件a≠b，输出a的值为2．本题主要考查了循环结构程序框图，属于基础题．依据框图判断并执行相应计算即可．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=14，b=18，满足条件a≠b，不满足条件a>b，b=4，满足条件a≠b，满足条件a>b，a=10，满足条件a≠b，满足条件a>b，a=6，满足条件a≠b，满足条件a>b，a=2，满足条件a≠b，不满足条件a>b，b=2，不满足条件a≠b，输出a的值为2．故选：B．10.【答案】B【解析】解：若甲去过长城，则甲说假话，乙说假话，丙说假话，丁说真话，不满足条件．若乙去过长城，则甲说真话，乙说假话，丙说真话，丁说真话，满足条件． 若丙去过长城，则甲说真话，乙说假话，丙说假话，丁说真话，不满足条件． 若丁去过长城，则甲说真话，乙说真话，丙说假话，丁说假话，不满足条件． 故一定去过长城的是乙， 故选：B ．利用三人说真话，一人说假话，分别进行验证即可．本题主要考查简单的合情推理，根据三人说真话，一人说假话，分别进行验证是解决本题的关键，是基础题．11.【答案】C【解析】解：由图象可得，当x ∈(−∞,0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当∈(2,4)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当∈(4,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故当x =0，x =4时，取得极大值，当x =2时，取得极小值． 故选：C ．结合图象求出函数的单调区间，求出函数的极值，即可求解．本题主要考查了函数的单调性，极值问题，以及考查了数形结合的思想，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：令F(x)=f(x)x，x ∈(0,+∞)，则F′(x)=xf′(x)−f(x)x 2，∵f(x)−xf′(x)>0， 即xf′(x)−f(x)<0， ∴F′(x)<0，∴F(x)在x ∈(0,+∞)上单调递减， 故F(12)>F(1)，即2f(12)>f(1)，故选：D．，x∈(0,+∞)可得函数F(x)在x∈(0,+∞)上单调递减，检验即可．构造函数F(x)=f(x)x本题考查函数的单调性和导数的关系，利用单调性比较大小，熟记商的导数公式，并构造出相应函数是解答的关键，属中档题13.【答案】2√5【解析】解：因为z=2+4i，所以|z|=√22+42=2√5．故答案为：2√5．由复数的模的运算即可求解．本题主要考查复数的模，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】5【解析】解：∵f(x)=x3+2x+1，∴f′(x)=3x2+2，∴f′(1)=3+2=5．故答案为：5．根据导数的计算公式即可得到结论．本题主要考查导数的基本运算，属于基础题．15.【答案】d=000√A2+B2+C2【解析】解：∵直线l：Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的一个法向量可以写为n⃗=(A,B)，同时平面内任意一点P(x0,y0)到直线l的距离为d=00；√A2+B2∴空间中一个平面的方程写为a：Ax+By+Cz+D=0(A,B，C不同时为0)，则它的一个法向量是(A,B，C)，，空间任意一点P(x0,y0,z0)到它的距离d=000√A2+B2+C2．故答案为：d=000√A2+B2+C2根据直线的一个法向量，写出平面的一个法向量，两个的形式类似，即可得出根据点到直线的距离公式d =|PR ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |，写出点到平面的距离公式．本题考查类比推理，是一个基础题，这种题目不需要计算和证明，只要观察和理解所给的条件，能够根据条件写出类似的结论即可．16.【答案】[0,+∞)【解析】解：∵f(x)=ax +e x ，∴f′(x)=a +e x ，∵函数f(x)=ax +e x 没有极值点，∴a +e x =0无解，即a =−e x 无解，∴a ≥0．故实数a 的取值范围为[0,+∞)．故答案为：[0,+∞)．将原问题转化为函数的导数等于0无解，或有唯一解，但导数在点的两侧符号相同，即可求解．本题主要考查函数在某点取得极值的条件，属于基础题．17.【答案】解：(1)依题意得，y =500x (960+0.6x 2)=480000x +300x(0<x ≤35)． 所以y =480000x +300x(0<x ≤35)；(2)为了使全程运输成本最小，即y 最小，又y =480000x +300x =300(x +1600x )， 令f(x)=x +1600x ，由对勾函数的单调性可知，f(x)在(0,35]上为减函数，所以当x =35时，f(x)min =35+160035=5657．所以为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/小时速度行驶．【解析】(1)由里程除以速度得时间，用时间乘以每小时的燃料费与其它费用的和；(2)利用“对勾函数”的单调性可得当速度在(0,35]内取最大值时全程运输成本最小． 本题考查了根据实际问题选择函数模型，考查了简单的数学建模思想，训练了利用函数单调性求最值，是中档题．18.【答案】解：证明：要证明√3+√5>√2+√6成立，只需证明(√3+√5)2>(√2+√6)2，…(5分)即3+2√15+5>2+2√12+6，…(10分)从而只需证明2√15>2√12，即15>12，这显然成立．…(15分)∴√3+√5>√2+√6，证毕．…(16分)【解析】本题利用分析法证明．只须从结论出发进行分析转化，两边平方，最后进行化简即可．本题考查综合法与分析法，证明的关键是理解分析法的原理，掌握其证明的步骤，从结论出发，逐步寻求命题成立的条件，属于基础题．19.【答案】解：(1)2×2列联表：(2)∵K2=50×(5×10−20×15)220×30×25×25=253≈8.333>6.635∴有99%的把握认为使用手机对学生的学习成绩有影响．【解析】(1)根据题目所给的数据填写2×2列联表，即可求解．(2)计算K2，对照题目中的表格，得出统计结论．本题主要考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力，属于基础题．20.【答案】解：(1)f′(x)=3x2−3a，又函数f(x)在x=−1处取得极值，则f′(−1)=3−3a=0；即a=1，此时f(x)在(−∞,−1)上单调递增，在(−1,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；所以当a=1时满足条件；所以a =1；(2)由(1)可知f(x)在[−2,−1]上单调递增，[−1,1]单调递减；所以当x ∈[−2,1]时，函数f(x)的最小值是f(−2)，f(1)中的较小者；f(−2)=−3，f(1)=−3；故函数f(x)的最小值为−3．【解析】(1)f(x)在x =−1处取得极值，则f′(−1)=0可求出a 的值；(2)求出函数在[−2,1]上的单调区间，从而得出函数的最小值；本题考查极值，函数最值，属于基础题．21.【答案】解：(1)画出坐标系，把所给的五组点的坐标描到坐标系中，作出散点图如图所示：(2)设所求线性回归直线方程为y ̂=b ̂x +a ̂，x −=15×(2+4+5+6+8)=5，y −=15×(30+40+60+50+70)=50，∑x i 25i=1=145，∑x i 5i=1y i =1380， b ̂=∑x i 5i=1y i −5x −y−∑x i 25i=1−5x −2=1380−5×5×50145−5×52=6.5，a ̂=y ̂−b ̂x −=50−6.5×5=17.5， 因此，所求线性回归方程为y ̂=6.5x +17.5．(3)当x =9时，y 的预报值为y =6.5×9+17.5=76(万元)，答：当广告费用为9万元时，销售收入约为76万元．【解析】(1)结合表格的数据，运用描点法，即可求解．(2)设所求线性回归直线方程为y ̂=b ̂x +a ̂，根据已知条件，结合线性方程公式，即可求解．(3)将x =9，代入到线性回归方程中，即可求解．本题主要考查了线性回归方程的求解，以及平均值的求解，属于基础题．22.【答案】(1)解：f′(x)=ae x−4，当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在R上单调递减；当a>0时，令f′(x)<0，可得x<ln4a ，令f′(x)>0，可得x>ln4a，所以f(x)在(−∞,ln4a )上单调递减，在(ln4a,+∞)上单调递增．(2)证明：当a=1时，f(x)=e x−4x，令g(x)=f(x)+x2+1=e x−4x+x2+1，g′(x)=e x−4+2x，g″(x)=e x+2>0恒成立，所以g′(x)在R上单调递增，g′(0)=−3<0，g′(1)=e−2>0，由零点存在性定理可得存在x0∈(0,1)，使得g′(x0)=0，即e x0−4+2x0=0，当x∈(−∞,x0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(x0,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)min=g(x0)=e x0−4x0+x02+1=4−2x0−4x0+x02+1=x02−6x0+5，x0∈(0,1)，由二次函数性质可得g(x)min>g(1)=0，所以g(x)>0，即f(x)+x2+1>0，得证．【解析】(1)对f(x)求导，对a分类讨论，由导数与单调性的关系即可求解；(2)令g(x)=f(x)+x2+1=e x−4x+x2+1，对g(x)求导，利用导数求得g(x)的最小值大于0，即可得证．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，不等式的证明，考查分类讨论与转化思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．。
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2019-2020学年广西桂林市高二第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．复数z＝3﹣i的虚部是（）A．1B．i C．﹣1D．﹣i2．已知函数f（x）＝x2+x，则f′（1）＝（）A．3B．0C．2D．13．函数f（x）＝lnx的导数是（）A．x B．C．lnx D．e x4．（3+4i）+（1﹣2i）＝（）A．4+2i B．4﹣2i C．1+4i D．1+5i5．曲线y＝x3﹣2x在点（1，﹣）处的切线的斜率为（）A．B．C．1D．﹣16．关于函数f（x）＝x3，下列说法正确的是（）A．没有最小值，有最大值B．有最小值，没有最大值C．有最小值，有最大值D．没有最小值，也没有最大值7．命题“△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”的结论的否定应该是（）A．a＜b B．a≤b C．a＞b D．a≥b8．已知变量x与y线性相关，且＝2，＝4.5，y与x的线性回归方程为＝0.95x+a，则a的值为（）A．0.325B．0C．2.2D．2.69．观察下列各式：1＝12，2+3+4＝32，3+4+5+6+7＝52，根据上述规律，猜测可得4+5+6+7+8+9+10＝（）A．25B．49C．81D．12110．函数y＝x+sin x在区间（0，π）上（）A．单调递减B．单调递增C．上单调递增，上单调递减D．上单调递减，上单调递增11．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．2B．C．D．12．知函数f（x）满足f（x）＜f′（x），在下列不等关系中，一定成立的（）A．ef（1）＜f（2）B．ef（1）＞f（2）C．ef（2）＞f（1）D．ef（2）＜f（1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知i是虚数单位，复数z＝2+i，则|z|＝．14．曲线y＝x2在（1，1）处的切线方程是．15．经过圆x2+y2＝1上一点（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y＝1，则由此类比可知：经过椭圆上一点（x0，y0）的切线方程为．16．函数f（x）＝x3﹣x的极大值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤。
17．已知a，b∈R+，求证：≥．18．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如表：零件的个数x（个）2345加工的时间y（小时） 2.534 4.5（1）求出y关于x的线性回归方程＝x+；（2）试预测加工10个零件需要多少小时？（参考公式：＝＝；＝﹣；）19．已知函数f（x）＝xlnx+ax+的图象在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣2y﹣1＝0．（1）求实数a的值；（2）求f（x）的单调区间．20．疫情无情人有情，为了响应国家“不出门，不串门，不聚餐”的号召，自疫情发生以来，学生主要在家学习，此时学习积极性显得至关重要，为了了解学生的学习积极性和观看电视节目的相关性，对某班50名学生的学习积极性和观看电视节目情况进行了调查，得到的统计数据如表所示．学习积极性高学习积极性一般总计不观看电视节目28观看电视节目17总计2550（1）请把表格数据补充完整，并运用独立性检验的思想方法，判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的学习积极性与是否观看电视节目有关系？（2）若从不观看电视节目的28人中按照学习积极性进行分层抽样，抽取7人，再从这7人中随机选取2人作为代表发言，求恰有1人学习积极性高的概率；附：K2＝，n＝a+b+c+dP（K2≥k0）0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.82821．一边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒．（1）试把方盒的容积V表示为x的函数．（2）x多大时，方盒的容积V最大？22．已知函数f（x）＝（x2﹣2ax）e x，其中a＞0．（Ⅰ）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上为单调函数，求a的取值范围；（Ⅱ）若不等式f（x）+16≥0恒成立，求a的最大整数值．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的.1．复数z＝3﹣i的虚部是（）A．1B．i C．﹣1D．﹣i解：复数z＝3﹣i＝3+（﹣1）i，所以其虚部为﹣1；故选：C．2．已知函数f（x）＝x2+x，则f′（1）＝（）A．3B．0C．2D．1解：∵f′（x）＝2x+1，∴f′（1）＝3．故选：A．3．函数f（x）＝lnx的导数是（）A．x B．C．lnx D．e x解：．故选：B．4．（3+4i）+（1﹣2i）＝（）A．4+2i B．4﹣2i C．1+4i D．1+5i解：（3+4i）+（1﹣2i）＝（3+1）+（4﹣2）i＝4+2i．故选：A．5．曲线y＝x3﹣2x在点（1，﹣）处的切线的斜率为（）A．B．C．1D．﹣1解：当x＝1时，y＝﹣，故点（1，﹣）在曲线上，由y＝x3﹣2x，得y′＝x2﹣2，令x＝1，可得斜率k＝﹣1．故选：D．6．关于函数f（x）＝x3，下列说法正确的是（）A．没有最小值，有最大值B．有最小值，没有最大值C．有最小值，有最大值D．没有最小值，也没有最大值解：∵f（x）＝x3，x∈R，f′（x）＝3x2，由f′（x）≥0，函数是增函数，所以没有最小值，也没有最大值，故选：D．7．命题“△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”的结论的否定应该是（）A．a＜b B．a≤b C．a＞b D．a≥b解：由题意可知：命题“△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”的结论的否定应该是：a≤b．故选：B．8．已知变量x与y线性相关，且＝2，＝4.5，y与x的线性回归方程为＝0.95x+a，则a的值为（）A．0.325B．0C．2.2D．2.6解：＝2，＝4.5，y与x的线性回归方程为＝0.95x+a，解得a＝4.5﹣0.95×2＝2.6．故选：D．9．观察下列各式：1＝12，2+3+4＝32，3+4+5+6+7＝52，根据上述规律，猜测可得4+5+6+7+8+9+10＝（）A．25B．49C．81D．121解：由1＝12，2+3+4＝32，3+4+5+6+7＝52，观察可得4+5+6+7+8+9+10＝72＝49．故选：B．10．函数y＝x+sin x在区间（0，π）上（）A．单调递减B．单调递增C．上单调递增，上单调递减D．上单调递减，上单调递增解：因为y′＝1+cos x＞0，（0＜x＜π）恒成立，故y＝x+sin x在（0，π）上是单调增函数．故选：B．11．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．2B．C．D．解：模拟程序框图的运行过程，如下：k＝0，s＝1；k＝1，s＝2；k＝2，s＝；k＝3，s＝；此时不满足循环条件，输出s＝．故选：C．12．知函数f（x）满足f（x）＜f′（x），在下列不等关系中，一定成立的（）A．ef（1）＜f（2）B．ef（1）＞f（2）C．ef（2）＞f（1）D．ef（2）＜f（1）解：设g（x）＝，则函数的导数g′（x）＝＞0，∴函数g（x）是R上的增函数，∴g（1）＜g（2），∴＜∴ef（1）＜f（2），故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知i是虚数单位，复数z＝2+i，则|z|＝．解：∵z＝2+i，|z|＝．故答案为：．14．曲线y＝x2在（1，1）处的切线方程是2x﹣y﹣1＝0．解：y′＝2x当x＝1得f′（1）＝2所以切线方程为y﹣1＝2（x﹣1）即2x﹣y﹣1＝0故答案为2x﹣y﹣1＝015．经过圆x2+y2＝1上一点（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y＝1，则由此类比可知：经过椭圆上一点（x0，y0）的切线方程为．．解：圆的性质中，经过圆上一点M（x0，y0）的切线方程就是将圆的方程中的一个x和y 分别用M（x0，y0）的横坐标与纵坐标替换，故可得椭圆类似的性质为：过椭圆上一点（x0，y0）的切线方程为．故答案为：．16．函数f（x）＝x3﹣x的极大值为．解：函数f（x）＝x3﹣x的导函数f′（x）＝x2﹣1＝（x﹣1）（x+1），令f′（x）＝0，解得x＝﹣1或x＝1，在（﹣∞，﹣1）上，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；在（﹣1，1）上，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；在（1，∞）上，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，所以函数f（x）＝x3﹣x的极大值为f（﹣1）＝．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤。
17．已知a，b∈R+，求证：≥．【解答】证明：要证≥，只需证a+b，只需证a+b﹣2≥0，即证．而显然成立，因此≥成立．18．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如表：零件的个数x（个）2345加工的时间y（小时） 2.534 4.5（1）求出y关于x的线性回归方程＝x+；（2）试预测加工10个零件需要多少小时？（参考公式：＝＝；＝﹣；）解：（1）由表中数据得：＝＝3.5，＝＝3.5，x i y i＝52.5，＝54，∴＝＝0.7，∴＝﹣＝1.05，∴线性回归方程是＝0.7x+1.05；（2）将x＝10代入回归直线方程，得＝0.7×10+1.05＝8.05，∴预测加工10个零件需要8.05小时．19．已知函数f（x）＝xlnx+ax+的图象在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣2y﹣1＝0．（1）求实数a的值；（2）求f（x）的单调区间．解：（1）∵f（x）＝xlnx+ax+，∴f'（x）＝lnx+a+1，∵f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣2y﹣1＝0，∴f'（1）＝1，即0+a+1＝1，解得a＝0．（2）由（1）可知，f（x）＝xlnx+，∴f'（x）＝lnx+1（x＞0），当x∈（0，）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（，+∞）时，f'（x）＞0，f （x）单调递增，故f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）．20．疫情无情人有情，为了响应国家“不出门，不串门，不聚餐”的号召，自疫情发生以来，学生主要在家学习，此时学习积极性显得至关重要，为了了解学生的学习积极性和观看电视节目的相关性，对某班50名学生的学习积极性和观看电视节目情况进行了调查，得到的统计数据如表所示．学习积极性高学习积极性一般总计不观看电视节目28观看电视节目17总计2550（1）请把表格数据补充完整，并运用独立性检验的思想方法，判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的学习积极性与是否观看电视节目有关系？（2）若从不观看电视节目的28人中按照学习积极性进行分层抽样，抽取7人，再从这7人中随机选取2人作为代表发言，求恰有1人学习积极性高的概率；附：K2＝，n＝a+b+c+dP（K2≥k0）0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.828解：（1）根据题意，补充列联表如下；学习积极性高学习积极性一般总计不观看电视节目20828观看电视节目51722总计252550根据表中数据，计算K2＝＝≈11.688＞10.828，所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的学习积极性与是否观看电视节目有关系；（2）由题意知抽样比例为＝4，所以抽取的7人中，学习积极性高的有＝5人，记为a、b、c、d、e；学习积极性一般的有7﹣5＝2人，记为F、G；从这7人中随机选取2人，基本事件为：ab、ac、ad、ae、aF、aG、bc、bd、be、bF、bG、cd、ce、cF、cG、de、dF、dG、eF、eG、FG共21种；其中恰有1人学习积极性高的基本事件为：aF、aG、bF、bG、cF、cG、dF、dG、eF、eG共10种；故所求的概率值为P＝．21．一边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒．（1）试把方盒的容积V表示为x的函数．（2）x多大时，方盒的容积V最大？解：（1）无盖方盒的容积V＝．…（2）因为V＝，所以V′＝12x2﹣8ax+a2，令V′＝0得x＝（舍），或x＝．当时，V′＞0，当时，V′＜0，因此x＝是函数V的极大值点，也是最大值点，故当x＝时，方盒的容积最大．…22．已知函数f（x）＝（x2﹣2ax）e x，其中a＞0．（Ⅰ）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上为单调函数，求a的取值范围；（Ⅱ）若不等式f（x）+16≥0恒成立，求a的最大整数值．解：（Ⅰ）函数f（x）＝（x2﹣2ax）e x，导数f′（x）＝（x2+2x﹣2ax﹣2a）e x＝[x2+（2﹣2a）x﹣2a]e x，其中e x＞0恒成立，对于二次函数h（x）＝x2+（2﹣2a）x﹣2a而言，易知二次函数开口向上，且h（﹣1）＝﹣1＜0，所以只需要h（1）≤0即可，解之可得．（Ⅱ）因为函数f（x）＝（x2﹣2ax）e x在区间（﹣∞，0]上大于等于0恒成立，原不等式显然成立，所以只需研究不等式f（x）+16≥0在区间（0，+∞）上成立即可．整理原不等式，得，令g（x）＝，，令x2e x﹣16x﹣16＝m（x），则m'（x）＝e x（x2+2x）﹣16，易知m'（x）单调递增，且m'（0）＝﹣16＜0，m'（1）＝3e﹣16＜0，m'（2）＝8e2﹣16＞0，那么m'（x）在区间（0，+∞）上存在唯一零点x0，x0满足，m（x）在区间（0，x0）上单调递减，在区间（x0，+∞）上递增，那么m（x）在（0，+∞）的最小值为，而m（0）＝﹣16＜0，m（1）＝e﹣32＜0，m（2）＝4e2﹣48＜0，m（3）＝9e2﹣64＞0，可知，m（x）在区间（0，x0）上单调递减且m（x）＜0，在区间（x0，+∞）上m（x）单调递增且存在唯一零点x1，且x1∈（2，3），，那么g（x）的最小值为．在区间（2，3）上单调递增，其值域为，的值域为，则整数a的最大值为1．。