阶形杆纵向振动的最优控制

- 1 ( t - t 1)
.
( 12)
其中 A , B , C , D 为特征线组成“ 平行曲边形” 的顶点 ( 特征线由连续的折线段组成 ) 在变量代换 y=
H ( s ) g ( s) a - 1 ( s ) ds t 1 < t ≤ 2t 1 ,
0 2t 1 < t .
图 1 特征线算法
我们选取初值函数为 f ( x ) = p 0 + p 1cos w 1x + p 2 sin w 2x , g ( x ) = q 0 + q 1cos v 1x + q 2sinv 2x . 当 f ( 0) = 0 时, 即 p 1 = - p 0 时 , 给出弱解意义 ( u ( x , t ) 连续) 的最优控制的计算机仿真结果。具体如下, n = 8, p 0 = 0. 05, p 1 = - 0. 05, p 2 = 0. 8, q 0 = - 43. 25, q 1 = 43. 25, q 2 = 0 , w 1 = 40, w 2 = 30, v 1 = 21, v 2 = 30, p = E = 1, s0 = 1, s 1 = 2. 5, s3 = 1,
H ( s ) g ( s) a - 1 ( s ) ds 0 ≤ t ≤ t 1 ,
x= - 1 ( t - t 1)
+ H ( x ) u( x , t ) + H ( x ) u( x , t )
C B
1 1 [ H ( l) f ( l) - H ( x ) f ( x ) ] 2 H (l) &#问题( 1) ～( 3) 中 n = 1 的情形。 引入 变量代换
( t) . 0 ≤ t ≤ 2, t> 0.
-
H ( s ) ds ∫
t
2
y =
2 2
0
∫
0
x
1
( x ) / E1 ( x ) dx ,
方程 ( 1) 化成标准型 u t2 u u + ( a′ ( x ) - a( x ) k ( x ) ) = 0. y2 y a ( x ) = E 1( x ) /
太 原 理 工 大 学 学 报 第 32 卷
x = - 1( t - t ) 1
∫ ∫
l
l
法, 上述数值解比较麻烦 , 我们利用方程 ( 9) 具有的 中值性质 H ( x ) u( x , t) = H ( x ) u( x , t )
A D
- 1( t - t ) 1
其中 a i =
E i / i , H i =
i
E i / 1E 1 .
2 计算机仿真
如果利用通常双曲型方程的初值问题的数值解
第 5 期 朱 贵凤等 : 阶形杆纵向振动的最优控制
551
参 考 文 献
[ 1] P C Par ks. O n how t o shake a piece of st ringe to a s tand st ill [ J] . Recent M at hemat ical D evelopment s in cont rol. 1973: 267-287. [ 2] 商妮娜 . 一类带有分布参数系统的能控性 [ J] . 山西矿业学院学报 , 1997, 15( 1) : 31-34.
( 5)
u Ei ( x ) Si ( x ) = 0 x x ( 1)
2
定理 1 如果 a ( x ) , k ( x ) 满足条件 ( 4) ～ ( 5) , 则对如下控制问题
2 1
x i - 1 ≤ x ≤ x i , i = 1, 2, …, n ; u ( x , 0) = f ( x ) , u ( x , 0) = g ( x ) , x ∈ [ 0, l ] ; t u ( 0, t ) = 0, u( l , t ) = ( t) .
作者简介 : 朱贵凤 , 女 , 1963 年 1 月生 , 学士 , 讲师 , 研究方向 : 数学分析 , 天津 , 300200 收稿日期 : 2000-11-16
550 1 1 [ H ( l) f ( l) + H ( x ) f ( x ) ] 2 H (l) + ( t) =
Abstract : A opt imized contro lling problem of t he l ong itudinal vibrat io n of st ep ro ds w as discussed. A solv ing argor it hm w as put f orw ard and demonst rat ed usef ul by com put er em ulat ion. Key words: dist ribut ed paramet er s syst em ; optim ized contr olling ; vibrat io n of step rod ( 编辑: 庞富祥)
2
Si
x ∈ [ x i - 1, x i ] . ( 10) 其中 S i 为杆在 x i 处的横截面面积, i = 1, 2, … , n. ( x ) = x , 则 ( 8) 式可写成 a 1 xi - x H ( x) = si - 1 + x i - x i- 1 s0 x - x i- 1 x i - x i- 1 Si .
4
Si
s 4 = 1, s 5 = 5, s 6 = 1, s 7 = 1, s 8 = 1. 模拟结果表明, 在 t≥ 2t1 = 2!以后, 振动完全停 止, 这说明控制效果是最佳的。 通过模拟实例分析表 明, 振幅有 4 次明显发生大的变化 , 这是由于杆的不 均匀性造成的。 利用这一方法 , 我们可考虑——工程 上许多这类型的主动控制问题。
i- 1
x ∈ [ x i - 1, x i ] , i = 1, 2, … , n . 在 yot 平面 , A , B , C , D 正好为平行四边形。对任意 一点 ( x , t) , 引两条特征线与 x = 0 和 x = l 分别相交
″ 于 P′ 1 , P 1, 过这两点再引特征线又与 x = 0, x = l 分 ″ 别相交于 P ′ 2, P 3 . 反复上面的步骤 , 得到如图 1 所示
推论 2 i ( x ) , E i ( x ) 为常数 i= 1, 2, …, n , S i ( x ) 同上,
i- 1
(x) =
∑
k= 1
x - x ak
k
k- 1
+
x - x ai
i- 1
x ∈ [ x i - 1 , x i ] , i = 1, 2, … , n. 则 ( 8) 式可写成 x - x i- 1 H ( x ) = H i xi - x S i- 1 + x i - x i- 1 x i - x i- 1 x ∈ [ x i - 1 , x i ] , i = 1, 2, … , n.
1
其中
( x) , ( 4)
k ( x ) = [ E 1 ( x ) S 1( x ) ] ′ / [ E( x ) S( x ) ] . 如果 a( x ) , k ( x ) 满足 2a″ ( x ) a ( x ) - ( a′ ( x) ) 2 a2 ( x ) ( k ′ ( x ) + 2k ′ ( x ) ) = 0, 则有如下的最佳控制。
当 t> 2t1 时, u ( x , t ) ≡0. 其中 (x) = t1 = a ( x ) dx , ∫ ( l) = ∫ a ( x ) dx ,
- 1 0 l - 1 0 4 2 x
∑ ∫
k
i- 1
x x
k
( x ) / E k ( x ) dx +
k= 1 x x
k- 1
∫
i
( x ) / Ei ( x ) dx ,
( 9)
的点 ( 用“ ・” 标明) , 利用中值性质 ( 12) 即可求出 u ( x , t) . 当( x , t ) 落入 D 2, D 3 直接利用中值性质( 12) 即可求出 u ( x , t ) . 当 ( x , t) 落入 D 1 内时, 利用达朗 贝尔解即可求出 u ( x , t) .
阶形杆纵向振动的最优控制
朱贵凤 商妮娜
( 天津现 代职业技术学院 ) ( 太原理工大学理学院 )
摘 要 : 讨论了阶形杆纵向振动的一类最优控制问题 , 并给出一种算法 , 通过计算机仿真表明 这一算法和最优控制效果的有效性。 关键词: 分布参数系统 ; 最优控制 ; 阶形杆振动 中图分类号: O175. 2 文献标识码: A 在文献 [ 1] 中 P . C. Park 给出一类弦振动最优 控制的精确表达式, 开创了分布参数系统的最优控 制的先河。对如下弦振动的初边值问题
第 32 卷 第 5 期 2001 年 9 月
太 原 理 工 大 学 学 报 JO U R NA L O F T AI YU A N U N IV ERSIT Y O F T ECHNO L OG Y
V ol. 32 N o . 5 Sep. 2001
文章编号 : 1007-9432( 2001) 05-0549-03
Optimized Controlling of the Longitudinal Vibration of Step Rods
Zhu Guifen Shang Nina
( T ianj in M oder n T echnological College ) ( T he Schiences College of T U T )
( x ) S1 ( x )
t
u2
x
[ E( x) S( x) u] = 0 x ( 6)