数理统计学4( 福州大学离散数学中心 陈荣斯)

一、 置信区间的概念 定义4 设 是总体 X 的待估参数, X1, X2, „, Xn 是取自 对给定值 0 < <1, 若统计量 ( X 1 , X 2 ,, X n) 总体 X 的样本, 和 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 满足 P ( ) 1 ， 则称随机区间 ( , )为 的置信水平为1- 的双侧置信区间 . 和 置信度 置信概率 分别称为置信下限和置信上限. 作区间估计, 就是要设法找出两个只依赖于样本的界限(构造 统计量) 和 . ( , )是随机区间, 代入样本值所得的普通区间称 为置信区间的实现. 置信水平为 0.95 是指 100 组样本值所得置信区间的实现中, 约有95个能覆盖 , 而不是说一个实现以 0.95 的概率覆盖了 . 要求 以很大的可能被包含在置信区间内, 就是说 , 概率 ─ P( < < )= 1- 要尽可能大. 即要求估计尽量可靠. ─ 估计的精度要尽可能的高. 即要求区间置信的长度尽可能 短, 或能体现该要求的其它准则.
2. 方差 2/ 2 1 2 1 2 (2) 未知均值 ,
1 2
P ( ) 1 ？ ^① 我们选取未知参数的某个估计量 , 根据置信水平1- , 可以 ˆ 找到一个正数 , 使得 P ( | | ) 1 ， ^ 分布的分位数 ② 只要知道 的概率分布就可以确定 . ˆ ˆ ˆ 由不等式 | | 可以解出 ： ③ 这个不等式就是我们所求的置信区间 ( , ) .
─ 2)的样本, N( , X , S 2 分别是其样本 、 2 的置信水平为1- 的置信区间.
求置信区间首先要明确问题： 是求什么参数的置信区间? 置信水平 1- 是多少?
一般步骤如下: 1. 寻找未知参数 的一个良好的点估计量 ^ (X1, X2, „, Xn ); X ~ N (0 , 1) 确定待估参数估计量函数 U(^ ) 的分布 ; U
─
2 二、置信区间的求法 (1) 已知方差 1. 均值 (2) 未知方差 2 (一) 单个正态总体 2. 方差 2 (1) 已知均值
(2) 未知均值 (1) 已知方差12,22 1. 均值 1- 2 (2)未知方差12,22,但相等! (二) 两个正态总体 (1)已知均值 ,
区间估计 —— 置信区间
§4
单个若我们根据一个实际样本 得到鱼数 N 的极大似然估计为 1000 条. 但实际上, N 的真值可能大于 1000 条, 也 可能小于1000条. 若我们能给出一个区间, 在此区间内我们合 理地相信 N 的真值位于其中, 这样对鱼数的估计就有把握多了. 也就是说, 我们希望确定一个尽可能小的区间, 使我们能以 [ • ] 比较高的可靠程度相信它包含真参数值. 这里所说的“可靠程度”是用概率来度 湖中鱼数的真值 量的, 称为置信概率，置信度或置信水平. 习惯上把置信水平记作 1- , 这里 是一个很小的正数.
P ( ) 1 ,
ˆ P ( | | ) 1 ， ^ ˆ 只要知道 的概率分布就可以确定 . 由不等式 | | 可以解出 ： ˆ ˆ
这个不等式就是我们所求的置信区间 ( , ) . 下面我们就来正式给出置信区间的定义, 并通过例子说明求 置信区间的方法.
S/ n
即 ( 8. 292% , 8. 3 88% ) .
2. 方差 2 的 置信区间的求法 (2) 未知时 因为 2 的无偏估计为 S 2 , 由抽样分布定理知
2 2 由 P { 12 2 ( n 1) 2 2 ( n 1) } 1 2 2 分布的上侧 /2 分位数 2 ( n 1) , 确定 12 2 ( n 1) , /2 ( n 1) S 2 2 2 1 2 (n 1) 2 ( n 1) 2
解 由于 /2=0.025 , 自由度 n-1=3, 查t分布表得 t 0. 025 =3. 182, | ─ t / 2 得 将 x = 8. 34 % 代入 | X
| 8. 34 | 3. 182 0. 03 / 4 (8. 34 0. 03 3. 182)% (8. 34 0. 03 3. 182)% 4 4 ( 8. 34 0. 03 3. 182 )% , ( 8. 34 0. 03 3. 182 ) % 即得置信区间 4 4
/ n
1 X n Xi i 1
n
3. 由分位数|U| x 确定置信区间 (─ , ). u X u X /2 /2 ─ n n ( , ) 就是 的 100(1- )％ 的置信区间. ─ ( X u / 2 , X u / 2 ) 总体分布的形式是否已知,是怎样 n n 的类型,至关重要.
16 16
同一置信水平下的置信区间不唯一, 其长度也不相等. 当然区间长度越短的估计, 精度就越高. 谁是精度最高的？ 由于标准正态分布密度函数的图形是单峰且对称的, 在保持面积不变的条件下, 以对称区间的长度为最短 ! !
x
x
例1
同一置信水平下的置信区间不唯一. 其长度也不相等. 但 ( X u , X u ) 的长度是最短的, 故我们总取它作为置信水平为 1- 的置信区间. 一般地, 在概率密度为单峰且对称的情形下, a =-b 对应的 置信区间的长度为最短. u , X u )可知, l 与 n , 的关系： 由置信区间公式 ( X /2 /2 n n ( x ) 置信区间的长度 l 为: l 2 u / 2 , n 10 若给定 n , l 随着 的减小而增大; 则 u /2 越大, (u /2)就越大, 这时 就越小. l 就越大, 20 若给定 , l 随着 n 的增大而减小; 且由于 l 与 n 成反比, 减小的速度并不快, ( u / 2 ) 1 例如, n 由 100 增至 400 时, l 才能减小一半. 2
置信水平的大小是根据实际需要选定的. 例如, 通常可取置信 水平 = 0.95 或 0.9 等等. 根据一个实际样本, 由给定的置信水平1- , 我们求出一个的 区间 ( , ), 使 如何寻找这种区间？
^ 我们选取未知参数的某个估计量 , 根据置信水平1- , 可以 找到一个正数 , 使得
复习 极大似然估计的求法 ——选择参数的估计量, 使实验结果具有最大概率 估计量的几个评选标准 ^ )= • 样本原点矩是总体原点矩的无偏估计量; 无偏性 —— E( • 样本方差是总体方差的无偏估计量 ;
─
• 无偏估计量的函数未必是无偏估计量 有效性 —— 方差更小的无偏估计量. 一致性 • 在 的所有线性无偏估计量中, 样本均值 X 是最有效的.
n
/2
n
/2
(2) 未知方差 2 时 —— 实用价值更大 !! 由于 ( X u / 2 , X u / 2 ) 与 有关, 故不能采用已知方差
的均值估计方法 —— 用 U X 分布的分位数求 的置信区间. / n S 但其解决的思路一致. 由于 S 2是 2 的无偏估计量, 故可用 S 替代 的估计量: 由抽样分布定理知 T = X ~ t(n-1), S n 令 P { | T | t 2 (n 1) } 1 ， 查 t 分布表确定上侧 /2 分位数 t / 2(n -1), | X | t / 2 ( n 1) S n X S t ( n ) X S t ( n 1)
将样本值代入 ( , ) 所得的普通区间称为置信区间的实现. 置信水平的概率意义; 并非一个实现以 1- 的概率覆盖了 . 估计要尽量可靠, 即 P( < < )= 1- 要尽可能大. ─ 估计的精度要尽可能的高. 即要求置信区间的长度尽可能短. 可靠度与精度是一对矛盾, 一般是在 保证可靠度的条件下尽可能提高精度.
2
n
n
n n ( X S t 2 ( n 1) , X S t 2 ( n 1 ) )即为 的置信度为 1- 的区间估计. n n
1
2
例2 为确定某种溶液中甲醛浓度, 测定总体服从正态分布, ─ 且其4 个独立测量值的平均值 x = 8. 34%, 样本标准差 s= 0. 03%, 求总体均值 的置信水平为 0. 95 的置信区间.
2. 对于给定的置信水平 1- , 由概率 P ( | U | x ) , 查表求出分布的分位数 x , ( u / 2 ) 1 P ( |U | u /2 ) 2
─
某乡农民在联产承包责任制前人均纯收入 X(单位:元), 且 X ~ N (300 , 252). 推行联产承包责任制后, 在该乡抽得 ─ n=16 的样本, 得 x =325元, 假设 2 = 25 2 没有变化, 求 的置信水 平为 0. 95 的置信区间. 解 由于 =0.05 , 查正态分布表得 u0. 025 =1. 96 , | X | u / 2 | 325 | 1. 96 325 25 1. 96 325 25 1. 96 / n 25 / 16 16 16 即得置信区间 ( 312. 75 , 337. 25 ). 区间长度为 24. 25 如在上例中取 = 0. 01+ 0. 04 , 由正态分布上侧分位数定义知 0. 01 0. 04 1 ( u0. 01) 1 ( u0. 04 ) 1 ( u0. 01) ( u0. 04 ) 长度为 25. 5 1 P ( u0. 04 U u0. 01 ) 查表知 u0.01 2. 33 , u0. 04 1. 75 325 25 2. 33 325 25 1. 75