子图覆盖定理-福州第一中学
福建省福州第一中学2022-2023学年九年级下学期期中数学试题
(1)请求出该校随机抽取了________名学生成绩进行统计；(2)表中=a________，b=________，并补全频数分布直方图；(3)若用扇形图统计图描述此成绩计分布是________；延长线于点E ，延长EC ，AB 交于点F ，∠ECD ＝∠BCF ．（1）求证：CE 为⊙O 的切线；（2）若DE ＝1，CD ＝3，求⊙O 的半径．24．（1）如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是AD 边上的一个动点，以CE 为边在CE 的右侧作正方形CEFG ，连接DG 、BE ，则DG 与BE 的数量关系是_____；（2）如图2，四边形ABCD 是矩形，6AB =，9BC =，点E 是AD 边上的一个动点，以CE 为边在CE 的右侧作矩形CEFG ，且:2:3CG CE =，连接DG 、BE ．判断线段DG 与BE 有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG ，求32BG BE +的最小值．25．已知抛物线2y ax bx c =++（0a ¹）与x 轴只有一个公共点()2,0A 且经过点()3,1．(1)求抛物线的函数解析式；(2)直线l ：y x m =-+与抛物线2y ax bx c =++相交于B 、C 两点（C 点在B 点的左侧），与对称轴相交于点P ，且B 、C 分布在对称轴的两侧．若B 点到抛物线对称轴的距离为n ，且·CP t BP =（23t ££）．①试探求n与t的数量关系；②求线段BC的最大值，以及当BC取得最大值时对应m的值．∴△ABC与△DEF的位似比为1：3，∵点B的坐标为（2，1），∴E点的坐标为（2×3，1×3），即E点的坐标为（6，3），故选：D．【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出△ABC与△DEF的位似比是解题的关键．8．C【分析】根据菱形的性质可得OB=OD，AO⊥BO，从而可判断OE是△DAB的中位线，在Rt△AOB中求出AB，继而可得出OE的长度．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，∴AO=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，又∵点E是AB中点，∴OE是△DAB的中位线，故答案是：12,0.2；（3）3600136.，°´=°故答案是：36°；（4）列表如下：【点睛】本题主要考查了切线的性质、相似三角形的判定、尺规作图、勾股定理、正弦等知识点，综合应用相关知识成为解答本题的关键．23．（1）见解析；（2）⊙O 的半径是4.5【分析】（1）如图1，连接OC ，先根据四边形ABCD 内接于⊙O ，得CDE OBC ÐÐ＝，再根据等量代换和直角三角形的性质可得90OCE а＝，由切线的判定可得结论；（2）如图2，过点O 作OG AE ^于G ，连接OC ，OD ，则90OGE а＝，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形OGEC 是矩形，设⊙O 的半径为x ，根据勾股定理列方程可得结论．【详解】（1）证明：如图1，连接OC ，∵OB OC ＝，∴OCB OBC ÐÐ＝，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴180CDA ABC Ð+Ð=°又180CDE CDA Ð+Ð=°∴CDE OBC ÐÐ＝，∵CE AD ^，∴90E CDE ECD ÐÐа＝＋＝，∵ECD BCF ÐÐ＝，∴90OCB BCF Ðа＋＝，∴90OCE а＝，∵OC 是⊙O 的半径，∴CE 为⊙O 的切线；（2）解：如图2，过点O 作OG AE ^于G ，连接OC ，OD ，则90OGE а＝，∵90E OCE Ðа＝＝，∴四边形OGEC 是矩形，∴OC EG OG EC ＝，＝，设⊙O 的半径为x ，Rt △CDE 中，31CD DE ＝，＝，【详解】（1）解：∵抛物线2y ax bx c =++（0a ¹）与x 轴只有一个公共点()2,0A ，∴点()2,0A 为抛物线的顶点，设()22y a x =-，∵抛物线过点()3,1，∴()2132a =-，∴1a =，∴()22y x =-；（2）解：①设直线y x m =-+，与x 轴交于点E ，与y 轴交于点D ，过点,B C 分别作y 轴，x 轴的垂线，两条垂线相交于点F ，设BF 与抛物线的对称轴AP 交于点G ，如图：则：()()0,,,0D m E m ，,PG CF BFx ∥∥轴，∴OD OE =，。
福建省福州第一中学2023届高三适应性考试(二)数学试题(含答案解析)
A．
π 3
B． π 2
C． 2π 3
D． π
二、多选题 9．甲箱中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球，乙箱中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球.
先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，事件 A1, A2 和 A3 分别表示由甲箱取出的球是红球，
白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，事件 B 表示由乙箱取出的球是红球，则（ ）
于 2 小时的学生为“非运动达人”.整理分析数据得到下面的列联表： 单位：人
性别
运动时间 运动达人
非运动达人
合计
男生 1100
300
1400
女生 400
200
600
合计 1500
500
2000
零假设为 H0 ：运动时间与性别之间无关联.根据列联表中的数据，算得 2 31.746 ，根
据小概率值 0.001 的 2 独立性检验，则认为运动时间与性别有关，此推断犯错误的 概率不大于 0.001. (1)如果将表中所有数据都缩小为原来的 1 ，在相同的检验标准下，再用独立性检验推
(2)记 bn
Sn
an Sn1
，求数列bn的前 n 项和 Tn
.
试卷第 3页，共 5页
18．国内某大学想了解本校学生的运动状况，采用简单随机抽样的方法从全校学生中抽 取 2000 人，调查他们平均每天运动的时间（单位：小时），统计表明该校学生平均每天
运动的时间范围是0,3 ，记平均每天运动的时间不少于 2 小时的学生为“运动达人”，少
可得 OAn n,OAn 1 n 1,OAn 2 n 2 ，
则
S S S 12 OA An An1An2
OAn An1
OAn1 An2
福建省福州第一中学2023-2024学年高二上学期第一学段(期中)考试数学试题
福建省福州第一中学2023-2024学年高二上学期第一学段
（期中）考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
A ．655．已知直线l ：cos x 直线l 有（）条
A ．4
6．某钟楼的钟面部分是一个正方体，在该正方体的四个侧面分别有四个时钟，如果四个时钟都是准确的，为45︒的位置有（A ．1个
7．若椭圆C ：22x a +点关于点D 的对称点仍在
二、多选题
A ．当E 点运动时，1
AC B ．当E 向1D 运动时，二面角C ．二面角E AB C --的最小值为D ．EF 在CB 方向上的投影向量为
三、填空题
(1)写出直线PQ 的方程（答案含t ）
；(2)在OPQ △内作内接正方形ABCD ，顶点,A B 当正方形ABCD 的面积最大时，求,a t 的值.
19．在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AA 90BCA ∠=︒．
(1)求点E 到平面1C BD 的距离；
(2)取11A B 靠近1B 的三等分点P ，问线段1CC 上是否存在点求出点Q 的位置，若没有，说明理由．
BE平面
(1)证明：直线//
(2)若平面PBD⊥平面22．已知在平面直角坐标系。
省级重点 福建省福州第一中学2024-2025学年上学期九年级数学期中试卷(无答案)
福州一中2024-2025学年度第一学期期中考试初三数学试卷（完卷120分钟，满分150分）一、选择题（每小题4分，共40分，请把答案写在答题卷上）1．若两个相似图形的相似比是，则它们的面积比是（ ）A ．B ．C ．D ．2．把二次函数的图象向下平移1个单位长度后所得的图象的函数解析式为（ ）A ．B ．C ．D ．3．若关于x 的方程有一个根为，则a 的值为（ ）A ．6B ．C ．4D ．4．如图，将绕点A 顺时针旋转得到，若，，，则的长为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．25．如图，C ，D 是上直径两侧的两点．设，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．近年来，我国数字技术不断更新，影响着全民阅读形态，为预计某市2024年数字阅读市场规模，经查询得数据：该市2021年数字阅读市场规模为432万元，2023年数字阅读市场规模为507万元．设该市年平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ）．A ．B ．C ．D ．7．如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程3:73:79:407:39:4922y x =22(1)y x =-22(1)y x =+221y x =-221y x =+250x x a ++=1-6-4-ABC △60︒AED △5AB =4AC =2BC =BE O e AB 25ABC ∠=︒BDC ∠=85︒75︒70︒65︒432(12)507x +=2432(12)507x +=2432(1)507x +=2432432(1)432(1)507x x ++++=2(0)y ax bx c a =++≠的一个近似解x 的范围是（ ）x…01…y…11…A ．B ．C ．D ．8．如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）A ．B ．C ．D ．9．把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置．则图中阴影部分的面积为（ ）A．B ．C ．D ．10．点，在抛物线上，且满足，，，则m 的取值范围是（ ）A ．B ．或C ．D ．或二、填空题（每题4分，共24分，请把答案写在答题卷上）11．在做抛掷均匀硬币实验时，抛一次硬币，正面朝上的概率为____________．12．点A 坐标为，点A 与点B 关于原点中心对称，点B 坐标为____________．13．已知抛物线与x 轴只有一个交点，则____________．14．如图，在中，是的弦，的半径为，C 为上一点，，则20(0)ax bx c a ++=≠3-2-1-11-5-1-10x -<<01x <<23x <<34x <<5m 4m 26m 27m 28m 29m 1613151411(,)A x y 22(,)B x y 221y mx mx =--12x x >122x x m +=-12y y <302m <<32m >0m <01m <<1m >0m <(1,2)22y x x c =-+c =O e AB O e O e 3cm O e 60ACB ∠=︒AB的长为____________．15．当与时，代数式的值相等，则时，代数式的值为____________．16．中，，，D 在线段上运动，以为斜边作，使，点E 和点A 位于的两侧，连接，则的最小值为____________．三、解答题（共86分，请把答案写在答题卷上）17．（本题8分）解方程：（1）；（2）．18．（本题8分）如图，在中，，，于E ．求证：．19．（本题8分）如图，每个小正方形的边长均为1，方格纸中画有，、、均在小正方形的顶点上．（1）将绕点逆时针旋转得到，画出；（2）在（1）的旋转过程中，求点运动的路径的长度．cm x a =()x b a b =≠223x x --x a b =+223x x --ABC △90ACB ∠=︒AC BC ==AB CD Rt CDE △30DCE ∠=︒CD BE BE 2280x -=213502x x --=ABC △AB AC =BD CD =CE AB ⊥ABD CBE △∽△111A B C △1A 1B 1C 111A B C △1C 90︒221A B C △221A B C △1A20．（本题8分）如图，以线段为直径作，交射线于点C ，平分交于点D ，过点D 作直线于点E ，交的延长线于点F ．连接并延长交于点M ．（1）求证：直线是的切线；（2）求证：．21．（本题8分）已知抛物线经过点，，且有最大值4．（1）求抛物线的表达式；（2）若，求函数值y 的取值范围．22．（本题10分）一个不透明的袋中装有1个红球、2个黑球，它们除颜色不同外其余都相同．（1）若从袋中随机摸出一球，则该球是红球的概率为____________；（2）先往袋中加入1个红球或黑球（它们与袋中的球大小、质地完全一样），再从袋中依次抽取两球（不放回），若要使得抽取的这两球颜色相同的概率较大，则应往袋中加入红球还是黑球？请利用树状图或列表法说明理由．23．（本题10分）正五边形是一个具有和谐美的几何图形，其尺规作图法引起了学者们的关注，里士满提出了一个构造圆内接正五边形的尺规作图方法，并且通过计算得到，当圆的半径为1时，其内接正五边形．如图，圆O 的半径1，和是相互垂直的直径，直线l 是过点C 的圆的切线．（1）尺规作图：①作的中点E ，②以C 为圆心，的长为半径交切线于点F ，③以F 为圆心，的长半径交切线于点G ，且F 、G 在直线的两侧，连接、．（2）结合材料，在线段、、中，判断哪条线段的长度等于圆O 的内接正五边形的边长，并说明理由．24．（本题12分）根据以下的素材，制定方案，设计出面积最大的花圃：素材1：有一堵长m 米（）的围墙，利用这堵墙和长为的篱笆围成矩形花圃，设花圃面积为y ，甲、乙、丙三人讨论如何设计一个面积最大的花圃．AB O e AC AD CAB ∠O e DE AC ⊥AB BD AC DE O e AB AM =(1,0)(3,0)13x -<<AC BD OC OE OF AC OF OG OF OG EF 020m <<60m素材2：甲的设计方案，利用墙面作为矩形花圃的一边（如图1），求解决过程如下：设平行于墙面的篱笆长为n米，则垂直于墙面的篱笆长为依题意得：∵函数开口向下，对称轴为直线∴当时，y 随n 的增大而增大∴时，y 的最大值为素材3：受甲的方案的启发，乙、丙各自有了新的设计方案．乙的方案：利用全部围墙作为矩形一边的一部分（如图2）；丙的方案，利用部分围墙作为矩形一边的一部分（如图3）设墙左端篱笆长为x 米，解决下列问题：任务1：当时，对于乙的方案，则可知____________（用含x 的代数式表示），花圃面积____________（用含x 的代数式表示），求该方案对应的花圃面积的最大值．任务2：对于丙的方案，设所用墙的长度为a 米（），求该方案对应的花圃面积的最大值．任务3：比较甲、乙、丙三种方案，判断哪种方案设计出的花圃面积更大？并说明理由．25．（本题14分）如图是一张矩形纸片，点M 是对角线的中点，点E 在边上．（1）如图1，将沿直线折叠，使点C 落在对角线上的点F 处，连接，．①若，，求对角线的长；②若，求的度数及此时的值．（2）如图2，若，，连接、，将沿折叠，点C 的对应点为点G ，当线段与线段交于点H 且为直角三角形时，求此时的长．602n -2(60)130(020)22n n y n n n m -==-+<≤<30n =0n m <≤n m =21302m m-+AM 12m =BC AD ==y =MD a m <ABCD AC BC DCE △DE AC DF EF 30EDC ∠=︒1DE =AC MF CD =DAF ∠CD AC3CB =2CD =BM ME MEC △ME GE BM BHE △BE。
2024年福州第一中学拔尖创新计划小学组数学试卷(含答案详解)精选全文完整版
福州一中拔尖创新计划数学小学组考试1．()11193310.760.22 1.6610.220.7610.220.76502550⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．222222222222257940491212312341232024++++=++++++++++ ．2．@A B AB A B =++，则1991@9@9@9@9@91+ 次运算结果中0的个数为．3．有5数：a 、2b 、23c 、234d 、2345e ，它们的平均数为9387，则d =．4．甲、乙、丙皆正方形，甲一个顶点在乙中心，乙一个顶点在丙中心，甲边长25cm ，丙面积264cm ，此3图形面积为2973cm ，则乙边长为cm．5．康正午看时钟，发现时针与分针重合，下次这样重合时刻是．6．检票口检票前有945人等待检票，每分钟有固定人数来检票，4口15分，8口7分，照此速，3分放完需口．7．45猴摘桃，孙不在，小1时11kg ，大1时15kg ；孙在，大小都多12kg ，一日，共摘8时，孙在2时，共摘5680kg ，共有小猴只．8．5对兄弟10人，分5组，一组2人，不和亲兄弟组，方式．9．0A B C ≠≠≠（自然数）11111611616A B C C-=+++，问：()B A C -⨯=．10．正方形ABCD ，12BE BC =，3CF DF =，AF 、DE 相交于点O ，O 为圆心，OD 、OA 为半径，大面积:小面积=．11．8箱8钥，1箱放1钥，破①②箱，取钥可开其箱，按此方打开8箱为“妙”法，“妙”法种．12．4人黄白花黑，4狗黄白花黑，1人养1狗，人都不养名字相同之狗，且①白不养花，②花不养花狗主人名相同之狗，③黄不养黑狗主人名相同之狗，④黑不养白狗主人名相同之狗．问：花养．13．甲乙分别从A、B两地出发，相向而行，同时丙从B出发骑摩托车往返两次，甲乙相遇时，丙正好在去B路上碰到他们；如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A路上碰到他们；如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B．问摩托车走完全程要多久？，把这些数分为289组，每组7数，其中每组7 14．共2023个数：1,2,3,,2021,2022,2023数按从小到大排列，居中的数叫作“中位数”．问：289个中位数之和的最大值、最小值各为多少？1．83502023675【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，数字类的规律探索，对于第一空分别计算出每个括号内的结果，再计算乘法，最后计算减法即可；对于第二空先得到规律()()22221211236n n n n ++++++=，进而得到2222211161231n n n n +⎛⎫=- ⎪+++++⎝⎭，据此规律把所求式子裂项求解即可．【详解】解：()11193310.760.22 1.6610.220.7610.220.76502550⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭113811193349334911115050502550505050⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⨯++-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭9966914950252550=⨯-⨯653444591250-=8350=；()()222212211256⨯+⨯⨯++==，()()222331*********⨯+⨯⨯+++==，()()22224412411234306⨯+⨯⨯++++==，……，以此类推可知，()()22221211236n n n n ++++++=，∴()222221611612311n n n n n n +⎛⎫==- ⎪++++++⎝⎭∴222222222222257940491212312341232024++++++++++++++ 1111116233420242025⎛⎫=-+-++- ⎪⎝⎭ 11622025⎛⎫=- ⎪⎝⎭2023675=．故答案为：8350；2023675．2．199【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，新定义，根据新定义计算出第三次的运算的结果可得规律21011@9@9@9@9@9n n =⨯- 次运算，据此规律可得19919199921011211@9@9@9@9@091=⨯-+=⨯+ 次运算，据此可得答案．【详解】解：∵@A B AB A B =++，∴1@9191920119=⨯++=-=，∴1@9@91991992001199=⨯++=-=，∴1@9@9@919991999200011999=⨯++=-=，以此类推可知21011@9@9@9@9@9n n =⨯- 次运算，∴19919199921011211@9@9@9@9@091=⨯-+=⨯+ 次运算，∴1991@9@9@9@9@91+ 次运算结果中0的个数为199个，故答案为：199．3．4【分析】本题主要考查平均数，根据平均数乘以个数等于总数，结合个位数得和与总数相等逐位向前求解，直至求解到d 即可．【详解】解：根据题意得5个数的和为9387546935⨯=，则2345a ++++的和个位数为5，即1a =，且向十位数进1，2341b ++++的和个位数为3，即3b =，且向百位数进1，231c +++的和个位数为9，即3c =，且未向千位进数，2d +的和个位数为6，即4d =，故答案为：4．4．20【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据正方形的对称性可知，甲与乙重合的部分的面积为乙面积的四分之一，乙与丙重合部分的面积为丙面积的四分之一，求出甲的面积为22525625cm ⨯=，再根据总面积为2973cm 建立方程求解即可．【详解】解：根据正方形的对称性可知，甲与乙重合的部分的面积为乙面积的四分之一，乙与丙重合部分的面积为丙面积的四分之一，∵甲边长25cm ，∴甲的面积为22525625cm ⨯=，∵此3图形面积为2973cm ，∴1197344S S S S S -++-=乙乙甲丙丙，∵丙面积264cm ，∴362564169734S ++-=乙，∴2400cm S =乙，∴乙边长为20cm ，故答案为：20．5．1时6011分钟【分析】本题考查钟表分针所转过的角度计算，解题时经常用到分针每分钟转过的角度为6度，时针每分钟转过的角度为12度．首先我们可以推算出分针和时针下次相遇的时间为1点钟以后的时间，也就是说此时时针与分针的差距实际是360︒，那么可设经过x 分钟再次重合，根据速度、时间和路程的关系可得：162x -360x =，由此即可解决问题．【详解】解：设经过x 分钟再次重合，根据题干可得：163602x x -=，112360x =，72011x =．72011分1=时6011分钟；故答案为：1时6011分钟．6．18【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每个窗口，每分钟可以通行的旅客为x 人，每分钟固定来检票的人数为y 人，根据4口15分，8口7分列出方程组求出x 、y 的值即可得到答案．【详解】解：设每个窗口，每分钟可以通行的旅客为x 人，每分钟固定来检票的人数为y 人，由题意得，41515945877945x y x y ⨯-=⎧⎨⨯-=⎩，解得189x y =⎧⎨=⎩，∴9453918183+⨯=⨯，∴3分放完需18口，故答案为：18．7．25【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设小猴有x 只，则大猴有()45x -只，分别计算出小猴和大猴摘桃的数量，然后根据一共摘5680kg 列出方程求解即可．【详解】解：设小猴有x 只，则大猴有()45x -只，由题意得，()()()()()()82118215452111221512455680x x x x -⨯+-⨯-+⨯++⨯+-=，解得25x =，∴小猴有25只，故答案为：25．8．544【分析】设()f n 表示123n a a a a ，，，，与123n b b b b ，，，，，对于任意的()1k k n ≤≤，k a 与k b 都不同组的组合数，分为五组，则有五组互相交换，四组互相交换，一组交换，三组互相交换，两组互相交换，共三种情况，分别讨论求出对应的结果数，然后求和即可得到答案．【详解】解：设()f n 表示123n a a a a ，，，，与123n b b b b ，，，，，对于任意的()1k k n ≤≤，ka 与kb 都不同组的组合数，∵分为五组，∴有如下几种交换方式：1122334455a b a b a b a b a b ，，，，这五组中，第一组和第二组换，第二组剩下的和第三组换，第三组剩下的和第四组换，第四则剩下的和第五组换，第五组剩下的和第一组剩下的换，此时一共有43212222384⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种（第一组确定，那么第二组有4种可能，第三组有3种可能，第二组有2种可能，第一组有1种可能，在每一组中又要从2个中选择1个进行交换）；1122334455a b a b a b a b a b ，，，，这五组中，选择四组互相交换，则剩下一组没有交换，不符合题意；1122334455a b a b a b a b a b ，，，，这五组中，选择三组互相交换，剩下两组互相交换，则此时有541221221602⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种（从五组里面选择两组互相交换，共有542⨯种，在选出的两组里面，一组选取1个，另一组有2种选择方式，剩下的三组中，确定一组中的一个，那么剩下的两组每一组中有2种选择，其中这两组的排列方式也有2种选择），综上所述，一共有384160544+=种不同的方式，故答案为：544．【点睛】本题主要考查了排列与组合问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．9．24【分析】本题主要考查了分数的四则运算，先把原式变形为1111981122A B C C+++=，再根据题意可得11C C +和111B C C++一定是一个真分数，根据13711191111A B C C++=++可得1A =，13711911B C C=++，同理求出B 、C 的值即可得到答案．【详解】解：∵11111611616A B C C-=+++，∴37111116116A B C C-=+++，∴6311617111A B C C-=+++，∴1112278131A B C C-=+++，∴1111981122A B C C+++=，∵0A B C ≠≠≠（自然数），∴1C 是一个真分数，∴11C C+一定是一个真分数，∴111B C C++一定是一个真分数，∵13711191111A B C C++=++，∴1A =，13711911B C C =++，∴11165137B C C=+++，∴165137B C C==+，，∴111166C C=++，∴6C =，∴()()51624B A C -⨯=-⨯=，故答案为：24．10．494【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，扇形面积，延长DE 、AB 交于M ，根据正方形的性质和12BE BC =，3CF DF =，可得18OD DF OM AM ==，最后根据22S OE S OD =大小求解即可．【详解】解：延长DE 、AB 交于M ，∵正方形ABCD ，∴AB BC CD ==，AB CD ∥，∴M MDC ∠=∠，MBE C ∠=∠，∴AOM DOF ∽，∴OD DFOM AM=，设4AB BC CD x ===，∵12BE BC =，3CF DF =，∴122BE EC BC x ===，DF x =，∴DEC MEB ≌，∴4BM CD x ==，EM DE =∴8AM AB BM x =+=，∴188OD DF x OM AM x ===，∴8OM OD =，∴()119222DE DM OD OM OD ==+=，∴72OE DE OD OD =-=，∵2360AOE OE S π∠⋅=︒大，2360DOF OD S π∠⋅=︒小，DOF AOE ∠=∠，∴222274924OD S OE S OD OD ⎛⎫ ⎪⎝⎭===大小，故答案为：494．11．1348688【分析】设()f n 表示123n a a a a ，，，，与123n b b b b ，，，，，对于任意的()1k k n ≤≤，k a 与k b 都不同组的组合数，分别求出()()()()1234f f f f ，，，的值，进而得到规律求出()()()()5678f f f f ，，，的值，根据题意可得这8个箱子里面的钥匙编号与其箱子的编号都不同或者编号为③④⑤⑥⑦⑧的箱子中的钥匙的编号与箱子编号不相同，①和②号箱子中有1个箱子的编号与其内的钥匙编号相同，据此求解即可．【详解】解：设()f n 表示123n a a a a ，，，，与123n b b b b ，，，，，对于任意的()1k k n ≤≤，ka 与kb 都不同组的组合数，当1n =时，()10f =，当2n =时，1122a b a b ，这两组只能交换如下：1212a a b b ，和1212a b b a ，，则()22f =，当3n =时，112233a b a b a b ，，这三组中，只有三组循环交换时才能满足题意（两组互相交换，那么剩下一组没有交换），则此时有2228⨯⨯=种，∴()()()()()12333332312211218f f f C C C =⨯-⨯⨯-⨯-⨯-⨯-=种，当4n =时，只存在四组循环交换或者两两互相交换这两种情况（两两中有一半的情况与四组循环交换重复），则此时有43321222222602⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯÷=（种），∴()()()()()()()()123444444241231231221132160f f f f C C C C =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=种，……，以此类推可知，()()()()()12345555555975314321544f f f f f C C C C C =⨯⨯⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=，()()()()()()12345666666661197531543216040f f f f f f C C C C C C =⨯⨯⨯⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=，()()()()()()()1234567777777771311975316543217900f f f f f f f C C C C C C C =⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=，∴()()()()()()()12345678888888815131197531765432f f f f f f f C C C C C C C =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-2027025632064169120304644200448561=-------1190672=，∵破①②箱，取钥可开其箱，∴编号为①②的箱子中不能同时拥有与其编号相同的钥匙，∴这8个箱子里面的钥匙编号与其箱子的编号都不同或者编号为③④⑤⑥⑦⑧的箱子中的钥匙的编号与箱子编号不相同，①和②号箱子中有1个箱子的编号与其内的钥匙编号相同，∴“妙”法共有()()82711906722790081348688f f +⨯=+⨯=种，故答案为；1348688．【点睛】本题主要考查了排列与组合问题，通过求出()()()()1234f f f f ，，，的值，进而得到规律求出()()()()5678f f f f ，，，的值是解题的关键．12．白【分析】本题主要考查了逻辑推理，根据题意可知白白养的狗只能叫黄黄或黑黑，分别假设花花养的狗叫黑黑和黄黄，则白白养的狗叫黄黄和黑黑，再假设出黄黄养的狗，得到黑黑养的狗，看推出的结果是否与题干矛盾即可得到答案．【详解】解：由题意得，白白养的狗不能叫白白，也不能叫花花，则白白养的狗只能叫黄黄或黑黑；花花养的狗不能叫花花，假设花花养的狗叫黑黑，则白白养的狗叫黄黄，则黄黄和黑黑养的狗是花花，白白，假设黄黄养的狗叫白白，则黑黑养的狗叫花花，这与②矛盾，不符合题意；假设黄黄养的狗叫花花，则黑黑养的狗叫白白，这与③矛盾，不符合题意；假设花花养的狗叫黄黄，则白白养的狗叫黑黑，则黄黄和黑黑养的狗是花花，白白，假设黄黄养的狗叫白白，则黑黑养的狗叫花花，这与②矛盾，不符合题意；假设黄黄养的狗叫花花，则黑黑养的狗叫白白，这与③矛盾，不符合题意；∴可知花花养的狗只能是白白，故答案为：白．13．摩托车走完全程要216分钟．【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设A 、B 两地的距离为S ，按照原速同时出发时，t 分钟甲乙两人相遇，则2V t V t S V t V t S +=⎧⎨+=⎩甲乙乙丙，据此可得2V V V =+乙甲丙，再根据如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A 路上碰到他们推出()13023V t V t S V t V t S ⎧+-=⎪⎨⎪+=⎩甲乙甲丙，可得90t =；再根据如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B 得到()()130262V t V t S V t S ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩甲乙丙，则2V V =甲乙，进而可得25V V V V =+=乙乙甲丙，270S V t V t V =+=乙乙甲，据此求出摩托车需要的时间即可．【详解】解：设A 、B 两地的距离为S ，按照原速同时出发时，t 分钟甲乙两人相遇，由题意得，2V t V t S V t V t S+=⎧⎨+=⎩甲乙乙丙，∴2V V V =+乙甲丙；∵如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A 路上碰到他们，∴()13023V t t S V t V t S ⎧+-=⎪⎨⎪+=⎩甲乙甲丙，∴()33302V t V t V t V t +-=+甲乙甲丙，∴()333022V t V t V t V t V t +-=++甲乙甲乙甲，∴90t =；∵如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B ，∴()()130262V t t S V t S ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩甲乙丙，∴()()()23026V t V t V V t ++=++甲乙乙甲，∴180********V V V V +=+乙乙甲甲，∴2V V =甲乙，∴25V V V V =+=乙乙甲丙，∴270S V t V t V =+=乙乙甲，∴270545S V V V ==乙乙丙，∴454216⨯=分钟答：摩托车走完全程要216分钟．14．289个中位数之和的最大值、最小值各为417316，167620．【分析】本题考查中位数的求法：给定n 个数据，按从小到大排序，如果n 为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n 为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据量的数．根据题意要求和的最大值，则按从大到小的顺序排列后，将2023，2022，2021，2020排在一起，2020作为中位数，依次得到其他的中位数，相加即可，根据题意要求和的最小值，则按从小到大的顺序排列后，将1，2，3，4排在一起，4作为中位数，依次得到其他的中位数，相加即可．【详解】解：根据题意得：满足和的最大值的中位数分别为：2020，2016，2012，2008，2004，2000，L ，876，872，868，所以这289个中位数的和的最大值是：289(2020868)2020201620128788728684173162⨯+++++++== ，满足和的最小值的中位数分别为：4，8，12，L ，1148，1152，1156，所以这289个中位数的和的最小值是：289(41156)48121148115211561676202⨯+++++++== ，289个中位数之和的最大值、最小值各为417316，167620．。
福建省福州第一中学2025届高三上学期10月月考数学试题
福建省福州第一中学2025届高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．若直线:10l x my ++=的倾斜角为2π3，则实数m 值为（ ）AB ．CD ．2．某市政府调查市民收入与旅游欲望时，采用独立性检验法抽取3 000人，计算发现k2＝6．023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游欲望有关系的把握是( )A ．90%B ．95%C ．97．5%D ．99．5%3．在四棱锥S ABCD -中，若SA xSB ySC zSD =++u u r u u r u u u r u u u r，则实数组(),,x y z 可能为（ ）A ．()1,1,1-B ．()1,0,1-C ．()1,1,0-D ．()1,1,1--4．n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1236a a a ++=，7916+=a a ，则9S =（ ） A ．43B ．44C ．45D ．465．已知函数()()()()2,f x a x a x b a b =--∈R ，则“0b a >>”是“b 为()f x 的极小值点”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ）A ．47CB ．48CC ．49C D ．49A7．已知函数()f x 在R 上可导，且()()f x f x '<，若()()1e 1af f a ->成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．()1,eC ．()1,+∞D ．()e,+∞8．已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点，A 是C 的右顶点，点P 在过点F 且斜率为22π3OAP ∠=且线段OP 的垂直平分线经过点A ，则C 的离心率为（ ）AB 1C D二、多选题9．为了解推动出口后的亩收入情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（ ）（参考：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，()0.8413P Z μσ<+≈）A ．(2)0.5P X >>B ．( 1.9)0.2P X ><C ．(2)0.5P Y >>D ．(2)0.8P Y ><10．已知抛物线22x py =（0p >）的焦点为F ，过点Fl 与该抛物线相交于()11,M x y ，()22,N x y 两点（其中1>0x ），则下面说法正确的是（ ）A ．若2p =，则124x x =-B ．若121y y =，则2p =C ．若2p =，则OMN S =V D ．若2p =，则8MF =+11．设函数32()231f x x ax =-+，则（ ）A ．当1a >时，()f x 有三个零点B ．当a<0时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心三、填空题12．在二项式7x ⎛- ⎝的展开式中x 的系数为．13．已知函数32(),()f x x x g x x a =-=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线也是曲线()y g x =的切线．则a 的值是14．舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处的铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动．当点D 在滑槽AB 内做往复移动时，带动点N 绕O 转动，点M 也随之而运动．若1ON DN ==，3MN =，4AB =，则 MA 的最小值为．四、解答题15．已知各项均为正数的等差数列{}n a 前n 项和为n S ，248a a ⋅=，515S =； (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设12n n b -=，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .16．已知四棱锥,,P ABCD E F -为,AC PB 的中点，PA ⊥平面ABCD ，BC PC ⊥.(1)若AD DC =，证明：DE ∥平面PBC ；(2)若2AC BC ==，二面角A FC B --的大小为120︒，求PA .17．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长､短半轴长的乘积.已知椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 均在x 轴上，离心率等于45，面积为15π.(1)求C 的标准方程；(2)若()0,1Q ，过点()0,5P 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，求QAB V 面积的最大值.18．放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数i x 与该机场飞往A地航班放行准点率i y （1210i =L ，，，）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.其中()ln 2012i i t x =-，1110i i t t ==∑(1)根据散点图判断，y bx a =+与()ln 2012y c x d =-+哪一个适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x 的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A 地的航班放行准点率. (2)已知2023年该机场飞往A 地､B 地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A 地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B 地及其他地区（不包含A 、B 两地）航班放行准点率的估计值分别为80%和75%，试解决以下问题：（i ）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； （ii ）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A 地、B 地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由.附：（1）对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211ˆn niii ii i nniii i u u v v u v nu vu u unu β====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆv u αβ=- 参考数据：ln10 2.30≈，ln11 2.40≈，ln12 2.48≈.19．已知函数()e cos xf x ax x =--，且()f x 在[)0,∞+上的最小值为0.(1)求实数a 的取值范围；(2)设函数()y x ϕ=在区间D 上的导函数为()y x ϕ'=，若()()1x x x ϕϕ'⋅>对任意实数x D ∈恒成立，则称函数()y x ϕ=在区间D 上具有性质S . （i ）求证：函数()f x 在 0,+∞ 上具有性质S ；（ii ）记()()()()112...ni p i p p p n ==∏，其中*N n ∈，求证：()111sin 1ni i i n n =>+∏.。
福建省福州第一中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题(含答案解析)
福建省福州第一中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．下列运算中，正确的是（）A ．623x x x ÷=B ．()2236x x -=C ．3232x x x-=D ．327()x x x ⋅=3．已知点M 与点()1,3N 关于x 轴对称，那么点M 的坐标为（）A ．()1,3-B ．()1,3C ．()1,3-D ．()1,3--4．若一个多边形的内角和是它的外角和的1.5倍，则该多边形的边数为（）A ．3B ．4C ．5D ．65．如图所示，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC ≌的是（）A ．BCA DCA ∠=∠B ．BAC DAC ∠=∠C ．CB CD=D ．90B D ∠=∠=︒6．下列各式从左到右的变形为因式分解的是（）A ．()()243223a a a a a-+=+-+B ．()()225310a a a a +-=--C ．()228164x x x -+=-D ．()222x y x y -=-7．三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的（）A ．三条中线的交点B ．三边垂直平分线的交点C ．三条高的交点D ．三条角平分线的交点A．3B．2二、填空题14．等边三角形中，两条中线所夹的钝角的度数为三、计算题四、证明题18．如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，AB CD =，EC FD =，ECA D ∠=∠．求证：AE BF =．五、计算题六、作图题20．如图，在平面直角坐标系中，有一个以格点为顶点的ABC ．(1)画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △；(2)在y 轴上求作点P ，使AP BP +的值最小，并直接写出APB ∠的值．21．如图，在ABC 中，点P 为AB 边上一点．(1)尺规作图：请在AC 上求作一点D ，使得PD BC （保留作图痕迹，不写作法）．(2)在（1）的条件下，AB AC =，60A ∠=︒，求证：APD △是等边三角形．七、问答题22．“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“完全平方公式”时，教材通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：()2222a b a ab b +=++（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．根据以上材料提供的方法，完成下列问题：(1)由图2可得等式：____________；由图3可得等式：____________；(2)利用图3得到的结论，若15a b c ++=，35ab bc ac ++=，求222a b c ++．23．已知：如图1，在四边形ABCD 中，BCD BAD ∠=∠，180ABC ADC ∠+∠=︒．(1)求BCD ∠的度数；(2)如图2，点G 在四边形ABCD 下方，AG 交BC 于点E ，DG 交AC BC 、于点H 、F ，G ACD ∠=∠，AG AC =，若:9:4GD DC =，12ADC S = ，求AGD S ．八、计算题24．阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．例1：“两两分组”：例2：“三一分组”：ax ay bx by +++；2221xy x y +-+解：原式()()ax ay bx by =+++解：原式2221x xy y =++-()()a x y b x y =+++()21x y =+-()()a b x y =++．()()11x y x y =+++-．归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：(1)①填空：255x xy x y-+-解：原式()()255x xy x y =-+-()()______5______x =+＝____________②因式分解：2221x x y -+-；(2)已知()()222023a b c b a c +=+=，且a b ¹，求abc 的值．九、证明题25．如图，在平面直角坐标系中，()0,3A ，()3,0B ，连接AB ，设(),0P a ，且0a ≥，以AP 为腰作等腰三角形PAQ ，90PAQ ∠=︒．(1)①当0a =时，点Q 的坐标为______；②当0<<3a 时，求点Q 的坐标（用含a 的式子表示）；(2)当0a >且3a ≠时，过点Q 作QF AQ ⊥交y 轴于点F ，过P 作PD AP ⊥交AB 于点D ，连接DF ．则当点P 在运动过程中时，线段DF QF DP 、、会有怎样的数量关系？请说明理由．参考答案：1．D【分析】利用轴对称图形的定义逐项判断即可．【详解】解：选项A 、B 、C 不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项D 能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选D ．【点睛】本题考查轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．2．D【分析】根据同底数幂的除法，积的乘方及合并同类项法则计算．【详解】A 、错误，应为x 6÷x 2=x 6-2=x 4；B 、错误，应为（-3x ）2=9x 2；C 、错误，3x 3与2x 2不是同类项，不能合并；D 、（x 3）2•x=x 6•x=x 7，正确．故选：D ．【点睛】此题考查同底数幂的乘法、除法，幂的乘方、积的乘方，解题关键在于掌握幂的运算的法则，把同底数幂的除法，指数相除．3．A【分析】运用关于x 轴对称的两点的横坐标不变，纵坐标互为相反数解题即可.【详解】解：点M 与点()1,3N 关于x 轴对称，∴点M 的坐标为()1,3-，故选：A.【点睛】本题考查平面直角坐标系点的对称，掌握对称变换的特点是解题的关键.4．C【分析】根据多边形内外角和定理列式求解即可得到答案．【详解】解：设多边形是n 边，由题意可得，(2)180 1.5360n -︒=⨯︒，解得：5n =，故选：C ；【点睛】本题主要考查多边形的内外角和定理，解题的关键是熟练掌握n 边形的内角和是(2)180n -︒，外角和是360︒．5．A【分析】本题要判定ABC ADC ≌，已知AB AD AC =，是公共边，具备了两组边对应相等，故添加90CB CD BAC DAC B D =∠=∠∠=∠=︒、、后可分别根据SSS SAS HL 、、能判定ABC ADC ≌，而添加BCA DCA ∠=∠后则不能．【详解】A 、添加BCA DCA ∠=∠时，不能判定ABC ADC ≌，故A 选项符合题意；B 、添加BAC DAC ∠=∠，根据SAS ，能判定ABC ADC ≌，故B 选项不符合题意；C 、添加CB CD =，根据SSS ，能判定ABC ADC ≌，故C 选项不符合题意；D 、添加90B D ∠=∠=︒，根据HL ，能判定ABC ADC ≌，故D 选项不符合题意；故选A ．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理．判定三角形全等的方法有：SSS SAS ASA AAS HL 、、、、．6．C【分析】根据因式分解的定义及公式法分解因式逐一判断即可求解．【详解】解：A 、()()243223a a a a a -+=+-+不是因式分解，故不符合题意；B 、()()225310a a a a +-=--不是因式分解，故不符合题意；C 、()228164x x x -+=-是因式分解，故符合题意；D 、22()()x y x y x y -=+-，则因式分解错误，故不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义及公式法分解因式是解题的关键．7．B【分析】根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得答案．【详解】解：三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的三边垂直平分线的交点，【点睛】本题考查零指数幂的意义，解题的关键是熟练运用零指数幂的意义，本题属于基础题型．12．20【分析】分4为腰与8为腰两种情况考虑，利用三角形三边关系即可求解．【详解】解：当4为腰长时，448+=，不符合构成三角形的条件，不合题意；当8为腰长时，884+>，满足构成三角形的条件，则其周长为：88420++=；故答案为：20．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，注意验证三边是否满足任两边的和大于第三边．13．10【分析】根据DE AB ⊥，D 是AB 的中点得到BE AE =，结合8BC =，BEC 的周长是18即可得到AC 的长度即可得到答案；【详解】解：∵DE AB ⊥，D 是AB 的中点，∴BE AE =，∵8BC =，BEC 的周长是18，∴18810BE CE AE CE AC +=+==-=，∵AB AC =，∴10AB =，故答案为：10；【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．14．120︒/120度【分析】根据等边三角形三线合一，结合等边三角形三个内角都是60︒得到两条中线与公共边组成角的角度，结合三角形内角和定理求解即可得到答案．【详解】解：由题意可得，如图所示，点(2,4)A 关于y 轴对称的点的坐标为：1(2,4)A -，同理可得：1(1,1)B -，1(3,2)C -，依次连接，如图所示，111A B C △即为所求：（2）连接1A B 交y 轴于p ，如图：y 轴是线段1AA 的垂直平分线，1A P AP \=，11AP BP A P BP A B ∴+=+=，则此时AP BP +有最小值，∴点P 即为所求，根据勾股定理得：22228AP =´=，22212BP =´=，2221310AB =+=，222AP BP AB ∴+=，APB ∴ 是直角三角形，90APB ∴∠=︒．【点睛】本题考查了作图——轴对称图形、勾股定理的逆定理、垂直平分线的性质，熟练掌握轴对称图形的性质及垂直平分线的性质是解题的关键．21．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用利用同位角相等两条直线平行作APD ABC ∠=∠，则PD 即为所求；（2）利用等边对等角得到60A C ∠=∠=︒，利用平行线得到60ADP C ∠=∠=︒，再根据三角形的内角和得到60APD ∠=︒，即可得到结论．【详解】（1）)如图所示:利用同位角相等两条直线平行作,APD ABC ∠=∠则PD 即为所求.（2）,AB BC = 60A C ∴∠=∠=︒，∵,PD BC 60ADP C ∴∠=∠=︒，∴180180606060APD ADP A ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，60A ADP APD ∴∠=∠=∠=︒，APD ∴ 为等边三角形.【点睛】本题考查平行线的作图，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，掌握等边三角形的判定定理是解题的关键．22．(1)232a ab b ++，222222a b c ab ac bc +++++；(2)155【分析】（1）根据面积公式求大矩形面积和各小图形面积列等式即可得到答案；（2）根据（1）的式子代入求解即可得到答案；,AM DG AN DC ⊥⊥ ，90AMG N ∴∠=∠=︒，AG AC = ，G ACD∠=∠()AAS AGM ACN ∴ ≌，AM AN ∴=，12ACD S CD AM =⋅ ，12ADG S DG = 142192ACD ADG CD AM S CD S DG DG AN ⋅∴===⋅ ，∵12ADC S = ，∴99122744ADG ACD S S ==⨯= ．解：①原式()()255x xy x y =-+-()()5x x y x y =-+-()(5)x y x =-+；②原式22(21)x x y =-+-22(1)x y =--(1)(1)x y x y =+---；（2）解：∵()()222023a b c b a c +=+=，∴()()220a b c b a c +-+=，∴()()0a b ab bc ac -++=，∵a b ¹，∴0ab bc ac ++=，即：ab bc ac +=-，∴()23(202)b c b a ab bc ab c +==-=+，∴2023abc =-；【点睛】本题考查利用公式法，提取公因式法结合分组分解法因式分解，解题的关键是读懂题意的分组分解法，合理分组．25．(1)①()33-，②()33a --，(2)FQ PD DF =+，理由见解析【分析】（1）①根据390AQ AP QAP ==∠=︒，，点Q 在第二象限，写出点Q 的坐标；②过点Q 作QM OA ⊥于点A ，则有QMA AOP ≌，求出点Q 的坐标；（2）在FQ 上截取QE PD =，连接AE ，则有AQE APD ≌，即可得到AE AD =，QAE PAD ∠=∠，然后证明AFE AFD ≌，可以得到结论．【详解】（1）①当0a =时，点P 在原点O 处，如图，390AQ AP QAP ==∠=︒，，又∵点Q 在第二象限，∴点Q 的坐标为()33-，，故答案为：()33-，；②过点Q 作QM OA ⊥于点A ，∴90PAQ QMA AOP ∠=∠=∠=︒，∴90QAO OAP MQA QAO ∠+∠=∠+∠=︒，∴OAP MQA ∠=∠，又∵AQ AP =，∴QMA AOP ≌，∴3QM OA ==，AM OP a ==，∴3OM OA AM a =-=-，∴点Q 的坐标为()33a --，；（2）FQ PD DF =+，理由为：答案第15页，共15页在FQ 上截取QE PD =，连接AE ，∵QF AQ ⊥，PD AP ⊥，∴90AQF APD ∠=∠=︒，又∵AP AQ =，∴AQE APD ≌，∴AE AD =，QAE PAD ∠=∠，∵90DAE QAE PAE PAE PAD PAQ ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，又∵OA OB =，∴45DAF EAF ∠=︒=∠，又∵AF AF =，∴AFE AFD ≌，∴FE FD =，∴FQ PD DF =+．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，图形与坐标，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．。
福建省福州市第一中学2023-2024学年九年级上学期期中模拟数学试题(含答案解析)
福建省福州市第一中学2023-2024学年九年级上学期期中模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．A ．13x -<<B ．3x >C ．1x <-D ．3x >或1x <-6．如图，在ABC 中，65ABC ∠=︒，BC AC >，将ABC 绕点A 逆时针旋转得到ADE V ，点B 的对应点D 恰好落在BC 边上，C 的对应点为E ．则下列结论一定正确的是（）A ．AB AD =B ．AC DE =C ．65CAE ∠=︒D ．ABC AED∠=∠7．抛物线y ＝ax 2﹣2ax+4(a ＞0)，下列判断正确的是()A ．当x ＞2时，y 随x 的增大而增大B ．当x ＜2时，y 随x 的增大而增大C ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大D ．当x ＜1时，y 随x 的增大而增大8．如图，ABC 中，50A ∠=︒，以BC 为直径作O ，分别交AB 、AC 于D 、E 两点，分别过D 、E 两点作O 的切线，两条切线交于P 点，则P ∠=（）A ．70︒B ．80︒C ．90︒D ．100︒9．某商品的进价为每件60元，现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y （单位：元）与每件涨价x （单位：元）之间的函数关系式是（）A ．20010y x=-B ．()()200108060y x x =---C ．()()200108060y x x =+--D ．()()200108060y x x =--+10．已知抛物线223y x ax a -=-与x 轴有两个交点，其中一个交点的横坐标大于1，另二、填空题15．若m ，n 为一元二次方程16．如图，等边ABC 线段BM 点B 逆时针旋转的最小值是三、解答题17．解方程：23720x x -+=．18．已知关于x 的方程22(21)10x m x m +++-=有两个实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若0x =是方程的一个根，求方程的另一个根．19．受各方面因素的影响，最近两年来某地平均房价由10000元/平方米，下降到8100元/平方米，如果在这两年里，年平均下降率相同．（1）求年平均下降率；（2）按照这个年平均下降率，预计下一年房价每平方米多少元？四、证明题20．如图，AB 是O 的直径，C 是O 上的一点，直线MN 经过点C ，过点A 作直线MN 的垂线，垂足为点D ，且AC 平分BAD ∠．(1)求证：直线MN 是O 的切线；(2)若4=AD ，5AC =，求O 的半径．五、作图题21．如图，在88⨯的正方形网格中（每个小正方形的边长均为1）有一个ABC ，其顶点均在小正方形顶点上，请按要求画出图形．(1)将ABC 绕点C 顺时针旋转90︒得到CDE （点A 、B 的对应点分别为D 、E ），画出CDE ；(2)在正方形网格的格点上找一点F ，连接BF FE BE 、、，使得FBE 的面积等于BCE 的面积．（画出一种情况即可）六、解答题22．某抛物线形拱桥的截面图如图所示．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面的宽AB 为8米．AB 上的点E 到点A 的距离1AE =米，点E 到拱桥顶(1)求该抛物线所对应的函数表达式．(2)求拱桥顶面离水面AB 的最大高度．(1)判断ABC 的形状，并证明你的结论．(2)若57PB PC ==，，求PA 的长24．在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理，如图，已知 AB ，作图过程．(1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）①作线段AC 的垂直平分线DE ②以点D 为圆心，DA 长为半径作弧，交参考答案：()2y a x h k =-+中，对称轴为x h =，顶点坐标为(),h k ．4．D【分析】此题考查切线的性质，直角三角形30︒角的性质，解题中遇切线，有交点要连半径得垂直，无交点要作垂直证半径，直角三角形30︒所对的直角边等于斜边的一半，正确理解性质定理并应用是解题的关键．【详解】解：连接OC ，∵PC 是O 的切线，∴90OCP ∠=︒，∵OA OC =，∴30OAC OCA ∠=∠=︒，∴60COP OAC OCA ∠=∠+∠=︒，∴30P ∠=︒，∴210OP OC ==∴1055BP OP OB =-=-=，故选：D ．5．A【详解】由图象可以看出：二次函数与x 轴的两个交点()()1,0,3,0.-0y <时，图象在x 轴的下方,此时13x -<<.故选：A.6．A【分析】由旋转可知ABC ADE △≌△，由全等的性质可知AB AD =，故选项A 正确；由全等可知BC DE =，结合BC AC >，可得DE AC >，故选项B 不正确；根据等边对等角可知65ABC ADB ∠=∠=︒，所以18050BAD ABC ADB ∠=︒-∠-∠=︒，由全等可知BAC DAE ∠=∠，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小；故选：C.【点睛】此题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8．D【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径和三角形的内角和定理以及四边形的内角为360︒，解题的关键是连接圆心和切点得到90︒的角和挖掘出隐藏条件圆的半径处处相等．连接OD，OE，根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径和三角形的内角和定理以∠的度数．及四边形的内角和即可求出P【详解】解：连接OD，OE，，PD是圆的切线，PE⊥，∴⊥，OE PEOD PD∠=∠=︒，PDO PEO90P∴∠=︒-︒-︒-∠=︒-∠，360909051805，=OD OB∴∠=∠，12∠∠，同理：3=4∠=︒，A50∴∠+∠=︒-∠=︒，A24180130()∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠+∠=︒，5180180[360224]80DOB EOC∴∠=︒-︒=︒．P18080100故选：D．9．DOA OC = ，OAC OCA ∴∠=∠，∵AC 平分BAD ∠，CAB DAC ∴∠=∠，DAC OCA ∴∠=∠，∥OC AD ∴，∵OCN ADC ∠∠=，(1)(2)【分析】本题考查了作图：旋转变换，三角形的面积问题．()1根据旋转的性质可知，对应角都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形；()2三角形面积相等时，本题要充分利用等底等高的三角形面积相等这一性质即可构造．【详解】（1）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、B的对应点D、E即可，如下图：（2）平移BE使它过点C，则可得到格点F，顺次连接B、E、F可得FBE．如下图：∴AMP ANB ∠=∠，∵APB APC PA PA ∠=∠=，，∴()AAS PAN PAM ≌，∴AM AN PN PM ==，，∵AB AC =，∴()Rt Rt HL ABN ACM ≌△△，∴CM BN =，∴5PM PB BN PB CM =+=+=∵7PM PC CM CM =-=-，。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
范更华 福州大学离散数学研究中心
离散数学及其应用教育部重点实验室
图论(Graph Theory)
现实世界中许多问题的数学抽象形式可 以用图来描述。如互联网、交通网、通讯 网、大规模集成电路、分子结构等都可以 用图来描述。对图的研究形成了一个专门 的数学分支：图论（Graph Theory)。
波长分配问题转化为图论问题
每条信道看作图的一个点。两点间有边 相连当且仅当它们对应的信道有公共部 分。波长问题等价于所构造图的点着色 问题：
给图的每个点着色，有边相连的点 须着不同的颜色。所用颜色尽可能少。
图的例子
交通网 互联网 计算机处理器连接方式 集成电路板 分子结构图 分子间相互作用及信息传递
极值图论
Mantel定理的证明: 设G是不含三角形的n点图, 其最大点度数为t.不难证明G的边数至多是
f(t)=t(n-t). 该二次函数在t=n/2处取得极大值:
f(n/2)=n2/4. 当n为偶数时, n个点的平衡完全二部图不含三角 形, 且边数恰为n2/4.因此, n2/4是具有该性质的 最小数.
具体应用
大型高速计算机：处理器的连接方式 互联网：信息传输及控制管理 大规模集成电路：布局、布线 数据库技术：数据的存储、检索 理论计算机科学：
子图理论对计算机算法研究的应用
具体应用
DNA序列分析：图的欧拉回路问题 机器智能与模式识别：图的同构 通讯网络：连通性，可靠性 印刷电路板检测: 12万5千次降为4次(《美国科学》 Scientific American, 9 (1997), 92-94 )
旅行推销员问题
问题提出: 一个推销员从公司出发, 访问 若干指定城市, 最后返回公司,要求设计 最优旅行路线。(费用最小)
数学抽象: 城市作为点, 两点间有边相连, 如果对应的城市间有直飞航班。机票价作 为每条边的权。
旅行推销员问题
求解: 在图中求一个圈过每点恰好一次, 且边的权之和最小。(最优哈密顿问题；比 较：最优欧拉回路问题—中国邮递员问题) 难度: NP--完全问题
情形I.|N|>2.若N中有两点相连，则这两点连 同x构成一个三角形；若N中任意两点均不相 连，则N含三个两两不连的点。 情形II.|N|<2.那么|R|>2.若R中有两点不相 连，则这两点连同x是三个两两不连的点；若 R中任意两点均相连，则R含一个三角形。
Ramsey数问题
一般化: 定义R(s,t)为最小整数使得任意 R(s,t)个人中, 要么有 s 个人两两认识, 要么有 t 个人两两不认识。
R(3,3)=6 R(4,4)=18 R(5,5)=?
Ramsey问题 应用广、影响大。微软研究中
心的 Kim 因求解R(3, t)的工作而获1997年
Fulkerson 奖。
极值图论
一般叙述: 图的边数大于某个数时,该图具有某 种性质,此数的最小值称为该性质的极值. Mantel 定理(1907年): n点图的边数大于n2/4时, 该图含三角形,且n2/4是具有该性质的最小数. 上述定理是Turan定理(1941年)的特殊情形.
子图覆盖
图论: 每个2-边连通图可被3个偶图覆盖。 数论: 每个充分大的奇数是3个素数之和。
陈景润定理: 每个充分大的偶数是一个素数 与不超过两个素数的乘积之和。
Seymour定理: 每个2-边连通图可被一个偶
图及不超过两个偶图的并所覆盖。
哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡七桥问题
1735年, 欧拉(Euler)证明哥尼斯堡七桥问题无 解, 由此开创了数学的一个新分支---图论.
应用: 投币电话、自动取钞机、机器人行 走路线设计
Ramsey数问题
简单情形: 任意六个人中, 必有3个互相 认识, 或三个互相不认识。
数学抽象: 点代表人, 两点相连当且仅 当对应的两人认识。该图要么有三角形, 要么有三个点两两不连。
Ramsey数问题
证明：令G是6个点的图，x为G中一个点。与x 相邻的点集记为N,与x不相邻的点集记为R.
子图覆盖问题
定义：若一个图的某些子图共同包含了该 图的所有边，则称该图被这些子图覆盖。
子图覆盖问题：用具有某种特性的子图来 覆盖一个图。
子图覆盖
子图覆盖
四色问题的一个等价形式: 每个2-边连通 平面图可被两个偶图覆盖（偶图：每个点 与偶数条边: 每个大于2的偶数是两个素 数之和。
欧拉将哥尼斯堡七桥问题转化为图论问题: 求 图中一条迹(walk), 过每条边一次且仅一次. 后人将具有这种性质的迹称为欧拉迹,闭的欧拉 迹也称为欧拉回路.
图论分支
图论
结
随
代
拓
构
机
数
扑
图
图
图
图
论
论
论
论
离散数学
图论是离散数学的一个主要分支 广泛应用背景的基础研究 与计算机科学密切相关
离散数学
以蒸汽机的出现为标志的工业革命促进了 以微积分为基础的连续数学的发展。
以计算机的出现为标志的信息革命将促 进离散数学的发展。
计算机光纤网波长分配问题
在一个计算机光纤网络中，给传输信道 分配波长，两信道若有公共部分，必须得到 不同的波长。要求使用尽可能少的波长。
图的定义
图的直观定义：点与边 图的抽象定义：一个集合上的二元关系
Petersen图
两个长度为5的圈通过5条边相连，也可如 下构造：5个元素集合的所有2-子集作为点， 两点有边相连当且仅当对应的2-子集不交。
◆ 没有长度小于5的圈 ◆ 没有长度为10的圈(哈密顿圈) ◆ 边传递、点传递 ◆ 不是平面图
四色问题
当年,这位学生告诉Morgan教授: 下面的例子说 明3种颜色不够,至少需4种颜色.
四色问题
转化为图论问题: 点代表国家, 两点相连当且 仅当对应的两个国家有共同边界。由此得到的 图是平面图.
四色问题: 每个平面图可用4种颜色对其点着 色,使得任何两个有边相连的点得到不同颜色.
1976年,两位计算机专家借助计算机验证,解决 了四色问题.未被数学界普遍接受.
四色问题
1852年, Morgan教授的一位学生问他: 能否给 出一个理由,为什么只需 4 种颜色，就可给任 意地图的每个国家着色，使得有共同边界的国 家着不同的颜色。
教授无语,该问题成为数学史上最著名问题之 一,对它的研究推动了图论,拓扑,代数的发展. 历史上许多著名数学家研究过四色问题并给出 错误证明.