范更华-图论及其应用
离散数学及其应用教育部重点试验室工作总结报告福州大学
离散数学及其应用教育部重点实验室工作总结报告（2011年3月18日）实验室名称：离散数学及其应用教育部重点实验室主管部门：福建省教育厅依托单位：福州大学实验室概况: 在迅速发展的计算机科学技术及信息技术等领域，离散数学是重要的基础学科和支撑学科，它的发展和应用是影响一个国家科学技术发展水平的重要因素。
以福州大学“离散数学与理论计算机科学研究中心”为依托的离散数学及其应用教育部重点实验室于2007年7月获教育部批准立项建设。
目前，实验室共有固定研究人员27人，其中教授16人，副教授4人。
实验室由马志明院士担任学术委员会主任，范更华教授担任实验室主任。
实验室位于福州大学铜盘校区。
2007年11月完成了实验室装修一期工程；2009年3月完成了二期装修工程，达到“环境优美、设备一流”。
按国际研究所标准建设基础设施，为每位研究人员及来访学者提供40平米宽敞办公室及一流科研设备。
为每位研究生提供一个工作位及台式电脑。
已建成无线网覆盖实验室3000平米的科研、办公场所。
重视网络建设，保证网络高速畅通。
订购相关专业的国外数据库及原版图书，已基本建成一流的专业图书资料室。
一、实验室现有三个研究方向：图论与组合数学、大规模集成电路设计中的数学方法、优化理论与算法。
二、在本年度，实验室主任范更华教授获全国优秀科技工作者。
实验室在研科研项目国家973计划课题1项，国家自然科学基金7项，其中重点项目1项，面上项目6项，新增国家973计划课题1项，为1.大规模集成电路物理设计中关键应用数学理论和方法（2011CB808003），范更华新增国家自然科学基金3项，其中面上项目2项，青年项目1项，分别是：1.超大规模集成电路多目标划分的算法研究（），朱文兴，国家基金面上项目。
2.近景摄影测量中的自动图像分割技术（），王美清，国家基金面上项目。
3.几类图染色问题的研究（11001055），侯建锋，国家基金青年项目。
实验室在2010年8月顺利完成了国家重点基础研究发展计划（973计划）课题“大规模集成电路设计中的图论与代数方法（2006CB805904）”。
图论及其应用PPT课件
图论及其应用第一章
Ramsey理论的哲理意义
Ramsey理论的哲理意义 • 完全的无序是不可能的(Complete disorder is impossible)。任一足够大的结构中必定包含一个给定大 小的规则子结构。无序无意的行为产生了有规律的后果， 发人深思耐人寻味。 • 古人在满天的星斗中发现野兽和众神群集于天空的图形，
-34-
图论及其应用第一章 一些特殊图类： （1） 完全图(complete graph) 例4
K3
K4
K5
K5
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图论及其应用第一章
（2） 二部图 (bipartite graph)：若图G 的顶点集可 划分为两个非空子集X 和Y，使得任一条边有一个 端点在X 中，另一个端点在Y 中，则称G 为二部图 （或偶图），记为G＝ (X U Y , E) ，(X ,Y ) 称为G 的一个划分（二分类）。
（1736年 瑞士数学家欧拉——图论之父）
-2-
图论及其应用第一章
七桥问题
C
A
D
B
包含两个要素：对象（陆 地）及对象间的二元关系 （是否有桥连接）
转化
Euler 1736年
C
A
D
B 图论中讨论的图
问题：是否能从A，B，C，D 转化 中的任一个开始走，通过每 座桥恰好一次再回到起点？
是否能从任意一个顶点开 始，通过每条边恰好一次 再回到起点？
从数学上看，同构的两个图，其顶点间可建立一 一对应，边之间也能建立一一对应，且若一图的两点 间有边，则在另一图中对应的两点间有对应的边。严 格的数学定义如下。
定义: 两个图G = (V (G), E(G)) 与H = (V (H), E(H)) ， 如果存在两个一一映射：
哈密顿图的判定与应用【开题报告】
开题报告信息与计算科学哈密顿图的判定与应用一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的依据和意义图论(graphic theory)是一门既古老又年轻的学科. 它诞生于18世纪上半叶. 到19世纪下半叶这个领域才发展成为数学的一个系统的分支, 直到20世纪上半叶, 这门学科才有自己的著作出现. 自20世纪下半叶开始, 随着计算机科学与技术的发展, 图的理论研究和应用研究才得到迅速广泛的重视, 图论作为一个数学的分支, 才真正确立了自己的地位. 哈密顿(爱尔兰科学家)在1859年提出一个名叫“周游世界”游戏问题是: 能否遍历正12面体的每个顶点一次且一次后回到原地. 由此引申出哈密顿图的定义: 如果图上有一条G 经过图所用顶点一次且仅一次的回路, 则称此回路为哈密顿回路, 具有哈密顿回路的图G 称为哈密顿图.哈密顿图具有六个领域: 哈密顿圈, H 连通, 泛圈, 点泛圈, 边泛圈, 泛连通. 哈密顿图是有哈密顿圈的图. 至今没有一个像欧拉图的充要条件那样的“非平凡的”(不是定义的同义反复)关于哈密顿图、哈密顿通路的充分必要条件, 但关于他们的充分性和必要性分别有一些研究成果. 而哈密顿图不光在金字塔图、扇面蜂巢图及马图上有体现它性质的研究, 且在四正则连环图和彼得森中有它独特的应用.而且哈密顿图在哈密顿通路、哈密顿轨、多哈密顿轨问题上也有很多细致的研究和应用.1984年时在连续10年排名加拿大第一大学的范更华教授得到名垂青史的“范定理”: 2连通阶图的距离是2的任意两点均有, 则是有圈, n G ,x y max{(),()}/2d x d y c ≥G c 当时是哈密顿图. 当然, 关于如此著名的范定理, 各国不少专家也对范定理企求做出c n =改进发展. 1987年Wojda 院士和欧洲最古老的著名大学之一的法国奥大的运筹学科创建奠基人Benhocine 教授2人合作仅局部推广上面范定理. 又如法国 Benhocine 教授1977年发表在法国科学院学报的哈密顿图论文就一直有国际影响, 但他至今仅有25篇数学论文且18篇是哈密顿图的, 他是排名哈密顿图研究前30名大师之一.哈密顿图已经历了一个多世纪的跋涉, 容易攀登的时代已经过去了, 其进展已非常不容易, 如此即使是世界级的大师泰斗, 不论你多么聪明利害都好, 面对的下一个问题猜想都永远是相关学科的全世界的专家经过多年仍不能解决的, 就是想做点进展都非常不容易, 每一篇论文都是超越最权威大师的成果. 哈密顿图的难如两个权威说“非常不容易”. 但它却具有重大历史意义以及广泛而重要的应用价值.现国际数学联盟主席是哈密顿图权威, 并且琼州大学赵克文和美国权威等合作改进耶鲁大学Ore 院士等大师权威的代表性结果已在“哈密顿图”居世界领先.在国内, 宁宣熙和宁安琪提出了哈密顿圈自组织算法的实证研究结果和其在哈密顿图判定上的应用, 介绍了SOA 算法在大约 12000个规模不同()104000,208000n m =-=-的一般任意图中构造哈密顿圈的实证研究结果, 验证了SOA 算法的可靠性和时间的多项式性. 在此基础上论证了SOA 算法用于判断一般任意图是否为哈密顿图的可行性, 并用一些实例进行了实证研究. 在阻塞流理论的研究中, 利用网络最小阻塞流与哈密顿轨之间的关系建立了哈密顿轨问题的无环最小支撑流模型. 通过这个模型可以把一步内构造无环最小支撑流这一数学难题分解成分别在多项式时间内完成的两个阶段,从而为解决这一数学难题找到了新的思路,开发研制了在一般任意图中构造哈密顿圈的自组织算法(或SOA 算法). 在文献, 全面详细地介绍了作者经过10多年潜心研究这一算法的理论及进行12000余[14]-例实证研究的结果. 到目前为止尚未遇到反例. 由于不少学者根据NPC 理论认定这是绝对不可能的, 因此作者只好通过大量的实证研究来显示这一多项式算法存在的可能性. 况且, 作者进行这项研究的目的并不是为了解决计算复杂性理论中NP 是否等于P 的问题,而是为学术研究和工程应用提供一种在一般图中构造哈密顿圈的实用有效工具. 即便有人能找到反例, 说明SOA 算法只不过是像线性规划单纯形算法那样, 是一个实用的好算法, 应当说这也是一个很幸运的结果. 因为有了它, 不但可以在用相关定理(如范定理或者其它更新的定理)判定存在哈密顿圈的一般图中构造出至少一条具体的哈密顿圈, 也可以对超出这些定理范围之外的一般图进行是否是哈密顿图的判定, 这岂不也是一项有实用价值的成果. 如果这些研究结果还能对数学家们在解决哈密顿图判定的理论研究上有所启迪和帮助, 那么这项研究就更有意义了. 二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题研究的基本内容: 1. 哈密顿图的判定;2. 哈密顿图的应用.解决的主要问题: 1. 判定一个图是否是哈密顿的必要条件.2. 判定一个图是否是哈密顿的充分条件.3. 哈密顿图问题的应用.三、研究步骤、方法及措施研究步骤: 1. 查阅相关资料, 做好笔记;2. 仔细阅读研究文献资料;3. 在老师指导下, 确定整个论文的思路, 列出论文提纲, 撰写开题报告;4. 翻译英文资料;5. 修改英文翻译, 撰写文献综述;6.撰写毕业论文;7. 上交论文初稿;8. 反复修改论文;9. 论文定稿.四、参考文献[1] 宁宣熙, 堵塞流理论及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 2005.[2] Xuanxi Ning and Angelika Ning, The Blocking Flow Theory and its Application toHamiltonian Graph Problems[J]. Shaker Verlag. Aachen, 2006, 21(2): 286~318.[3] Ning Xuanxi. The Minimum Spanning Flow in a Network and its Self-organizationPrinciple[J]. The International Journal of Systems & Cybernetics, 2004, 33(2): 331~338.[4] Xuanxi Ning and Angelika Ning, The Minimum Spanning Flow Model of the HamiltonianPath Problem in a Digraph and its Polynomial Algorithm[J]. Information Processing and Management, 2006, 38(3): 356~361.[5] 同济大学应用数学系. 离散数学[M]. 上海: 同济大学出版社, 2003.[6] 同济大学应用数学系. 离散数学[M]. 上海: 同济大学出版社, 2003.[7] 王小东. 算法分析与设计[M]. 北京: 清华大学出版社, 1900.[8] 付寒冰, 周恒为. 数据结构中常用的三类算法[J]. 伊犁师范学院学报, 1997, 17(2):12~138.[9] 宁安琪, 宁宣熙. 金字塔图的哈密顿图性质研究[J]. 南京航空航天大学经济与管理学院学报, 2006, 21(3): 17~23.[10] 田媛, 刘铎. 金字塔图存在哈密顿回路的构造性证明[J]. 清华大学学报, 2007, 13(2): 38~52.。
组合数学国内外发展现状
组合数学的发展现状1985年9月，中国数学会组合数学与图论专业委员会成立，标记着中国组合数学学科的形成和创立，并于2001年正式成为中国组合数学与图论学会。
随着近年来组合数学理论体系的逐步完善和发展，越来越多的学者更加关注这一计算机与数学结合学科的发展。
中国数学会组合数学与图论专业委员会是中国数学会的分支机构，成立于1985年5月。
专业委员会的成立得到吴文俊先生的直接关心与支持。
首届专业委员会由25人组成，主任为徐利治。
专业委员会成立后，原有的全国组合数学研究会和全国图论研究会继续独立存在，各自组织活动。
直到2001年，两研究会正式合并成立中国组合数学与图论学会，同时完成了专业委员会的调整和换届。
专业委员会委员即学会常务理事；专业委员会主任，副主任即学会理事长，副理事长。
第一届专业委员会由26人组成，主任为范更华。
专业委员会于2004年在新疆乌鲁木齐组织召开了首届全国组合数学与图论大会，200多位代表参加了这次会议。
专业委员会于2004年在福州举办了为期三个月由福州大学离散数学研究中心承办的全国性研究生班，邀请海外留学人员利用学术休假回国开设完整的研究生课程，有50多位来自国内14所院校的研究生参加了这期研究生班。
专业委员会于2005年在福州举办了为期一个月由福州大学离散数学研究中心承办的全国性青年教师研讨班，旨在为组合数学与图论培养后继人才。
2005年3月在南京师范大学召开的理事长会议上草拟了学会的章程和关于举办学术会议的办法及工作程序，2005年6月在金华召开的第三届海峡两岸图论与组合数学会议上通过了这两个文件。
2006年8月学会在南开大学召开了第二届全国组合数学与图论大会，有400多位代表参加了此次会议。
由于第一届理事会四年任期已满，会议期间，学会根据章程进行了换届选举，南开大学陈永川当选为理事长。
在国外，组合数学早已成为十分重要的学科，甚至可以说是计算机科学的基础。
一些大公司，如IBM，AT&T都有全世界最强的组合研究中心。
图论及其应用综述
图论综述一、简介图论是数学的一个分支。
它以图为研究对象。
图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。
图G=（V,E）是一个二元组（V,E）使得E⊆[V]的平方，所以E的元素是V的2-元子集。
集合V中的元素称为图G的定点（或节点、点），而集合E的元素称为边（或线）。
通常，描绘一个图的方法是把定点画成一个小圆圈，如果相应的顶点之间有一条边，就用一条线连接这两个小圆圈，如何绘制这些小圆圈和连线时无关紧要的，重要的是要正确体现哪些顶点对之间有边，哪些顶点对之间没有边。
图论本身是应用数学的一部份，因此，历史上图论曾经被好多位数学家各自独立地建立过。
关于图论的文字记载最早出现在欧拉1736年的论著中，他所考虑的原始问题有很强的实际背景。
目前，图论已形成很多分支：如随机图论、网络图论、代数图论、拓扑图论、极值图论等。
图论的应用已经涵盖了人类学、计算机科学、化学、环境保护、非线性物理、心理学、社会学、交通管理、电信以及数学本身等。
二、基本内容2.1 图的基本概念本章首先介绍了图的一些基本性质和一些不同模型的图，包括偶图，完全图和补图，引入了定点度的来描述图的性质。
其次介绍了子图的相关概念，介绍了图的一些基本运算规则，对图的路和连通性进行了阐释。
紧接着讲解了最短路算法，定义设G为边赋权图。
u与v是G中两点，在连接u与v的所有路中，路中各边权值之和最小的路，称为u与v间的最短路。
图的代数表示，包括图的邻接矩阵和图的关联矩阵。
最后对极图理论进行了简介，主要介绍了极值图论中的一个经典结论——托兰定理。
2.2 树本章主要介绍了树的概念与性质，阐述了生成树与最小生成树的基本概念与一些常用结论与定理。
树是不含圈的无圈图，也是连通的无圈图。
树是图论中应用最为广泛的一类图。
在理论上，由于树的简单结构，常常是图论理论研究的“试验田”。
第3章 平图与平面图
第1节 平图与Euler公式
基本性质 性质1
10
若图 G 是平面图，则 G 的任何子图都是平面图。
性质2
性质3
若图 G 是非平面图，则 G 的任何母图都是非平面图。
若图 G 是平面图，则在 G 中添加重边或环边后所得之
图仍是平面图。
注：由以上定理知
(1) K n ( n ≤ 4 ) 和 K1,n (n ≥ 1) 及其所有子图都是平面图。 (2) 环边和重边不影响图的平面性。
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第1节 平图与Euler公式
定理3.1.2
14
平面图 G 中所有面的次数之和等于 G 的边数的
两倍，即
deg( f ) 2
i 1 i
r
其中 f1 , … , fr 是 G 的所有面。
证明：对
G 的任何一条边 e ，若 e 是两个面 fi 和 fj 的公共
边界，则在计算 fi 和 fj 的次数时， e 各提供了 1 ；若 e 只 是某一个面的边界，则在计算该面的次数时， e 提供了 2 。
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第2节 Kuratowski定理
定理3.2 (Kuratowski定理 1930)
24
P125
图G是平面图 G不含K5或K3,3的细分图。
根据Kuratowski定理，可以断定：所有树都是平面图。
补充 (Wager定理 1937)
P128
图G是平面图 G不含边收缩为K5或K3,3的子图。
定理3.1.4 设G是简单平面图，则G是极大的 ε= 3ν- 6。 推论3.1.4.1 设G是简单平面图，则 ε≤ 3ν- 6。 推论3.1.4.2 若图G是简单平面图，则δ≤5。 推论3.1.4.3 K5是非平面图。
图论的发展及其在现实生活中的几个应用资料
图论的发展及其在生活中的应用数学与应用数学张佳丽指导教师刘秀丽摘要主要介绍了图论的起源与发展及其生活中的若干应用，如：渡河问题、旅游推销员问题、最小生成树问题、四色问题、安排问题、中国邮递员问题。
同时也涉及到了几种在图论中应用比较广泛的方法，如：最邻近法、求最小生成树的方法、求最优路线的方法等。
关键词图论生活问题应用Graph Theory Development and the Application in LifeMathematics and applied mathematics Zhang JialiTutor Liu XiuliAbstract This paper mainly introduces the origin and development of graph theory and its several applications in our life, such as: crossing river problem, traveling salesman problem, minimum spanning tree problem, four color problem，arrangement problem，Chinese postman problem．It also researches several methods that are more widely applied in graph theory, for example: the method of most neighboring, the method of solving the minimum spanning tree，the method of the best route，and so on．Key words graph theory life problem application引言图论是一门古老的学科，是数学中有广泛应用的一个分支，与其他的数学分支，如群论、矩阵论、概率论、拓扑学、数分析等有着密切的联系．图论中以图为研究对象，图形中我们用点表示对象，两点之间的连线表示对象之间的某种特定的关系．事实上，任何一个包含了二元关系的系统都可以用图论来模拟．而且,图论能把纷杂的信息变的有序、直观、清晰．由于我们感兴趣的是两对象之间是否有某种特定关系，所以图形中两点间连接与否尤为重要，而图形的位置、大小、形状及连接线的曲直长短则无关紧要．图论在自然科学、社会科学等各个领域都有广泛的应用．随着科学的发展，以及生产管理、军事、交通运输等方面提出了大量实际的需要，图论的理论及其应用研究得到飞速发展。
2009年第8届中国女子数学奥林匹克在厦门举行
第４８卷
第１０期
ห้องสมุดไป่ตู้数学通报
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２００９年第８届中国女子数学 奥林匹克在厦门举行
在国内外众多数学奥林匹克中，参赛者中一 向男多女少．传统上不少人认为在数学上男生一 般比女生强．尽管这种说法缺乏实际研究数据的 支持，但数学奥林匹克参赛者男女失衡的事实促 使了“中国女子奥林匹克”（ＣＧＭＯ）的诞生． ２００２年８月中国数学奥林匹克委员会在珠 海举办了首届女子数学奥林匹克，参加对象是在 读高中女生，此项活动的宗旨是为女同学展示数 学才华与才能搭设舞台，增加女同学学习数学的 兴趣，提高女同学的数学学习水平，促进不同地区 女同学相互学习，增进友情． 著名数学家王元院士题赠女子数学奥林匹 克：“索菲・热尔曼、索菲娅・柯瓦列夫斯卡娅、埃 米・诺特，这些伟大女数学家的名字与她们的突 出成就足以证明女子是有很高数学天才的，当然 是很适宜于研究数学的”． ＣＧＭＯ每年举行一届，至今已经举办８届， 比赛时间在每年８月中旬，参赛的代表队已由第 １届的２８个队发展到今年的５１个队，每支代表 队包括两名领队（其中要有一名女教师），４名高 中女学生．美国、俄罗斯、菲律宾、中国香港和澳门 也都曾派队参加过ＣＧＭＯ．ＣＧＭＯ分数学竞赛和 健美操比赛．数学竞赛分为第一天、第二天，每天 ４道题，每题１５分，满分１２０分，考试时间为８：ｏｏ ～１２：００，试题难度低于国际数学奥林匹克 （ＩＭＯ）．竞赛评出团体总分第１名和个人金、银、 铜牌．个人总分前两名的同学直接进入ＩＭ０中国 国家集训队．２００７第６届女子数学奥林匹克个人 第１名陈卓同学直接进入２００８ＩＭＯ中国国家集 训队，后经过努力进入国家队，获得２００８第４９届 ＩＭＯ金牌，这是１９９５年后中国女生获得的唯一 一枚ＩＭＯ金牌．
万方数据
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旅行推销员问题
问题提出: 一个推销员从公司出发, 访问 若干指定城市, 最后返回公司,要求设计
最优旅行路线。(费用最小)
数学抽象: 城市作为点, 两点间有边相连, 如果对应的城市间有直飞航班。机票价作 为每条边的权。
旅行推销员问题
求解 : 在图中求一个圈过每点恰好一次 ,
且边的权之和最小。(最优哈密顿问题；比
在一个计算机光纤网络中，给传输信道 分配波长，两信道若有公共部分，必须得到 不同的波长。要求使用尽可能少的波长。
波长分配问题转化为图论问题
每条信道看作图的一个点。两点间有边
相连当且仅当它们对应的信道有公共部
分。波长问题等价于所构造图的点着色
问题：
给图的每个点着色，有边相连的点
须着不同的颜色。所用颜色尽可能少。
1735年, 欧拉(Euler) 证明哥尼斯堡七桥问题无 解, 由此开创了数学的一个新分支---图论. 欧拉将哥尼斯堡七桥问题转化为图论问题 : 求 图中一条迹 (walk), 过每条边一次且仅一次 . 后人将具有这种性质的迹称为欧拉迹,闭的欧拉 迹也称为欧拉回路.
欧拉定理 : 连通图存在欧拉迹当且仅当图中奇 度数的点的个数至多为 2( 若为 0, 则存在欧拉回 路,这种图称为欧拉图,也称为偶图)
图的例子
交通网
互联网
计算机处理器连接方式
集成电路板
分子结构图
分子间相互作用及信息传递
具体应用
大型高速计算机：处理器的连接方式
互联网：信息传输及控制管理
大规模集成电路：布局、布线 数据库技术：数据的存储、检索 理论计算机科学： 子图理论对计算机算法研究的应用
具体应用
DNA序列分析：图的欧拉回路问题 机器智能与模式识别：图的同构 通讯网络：连通性，可靠性 印刷电路板检测: 12万5千次降为4次(《美国科学》 Scientific American, 9 (1997), 92-94 )
◆ 四色问题等价于平面图的4-流存在性
整数流三大猜想
5-流猜想：每个2-边连通图有5-流。
4- 流猜想：每个不含广义 Petersen 子
图的2-边连通图有4-流。 3-流猜想：每个4-边连通图有3-流。
弱3-流猜想
弱3-流猜想：存在常数t，使得每个t-边连通图
有3-流。
此猜想与有限域向量空间堆垒基（Additive
等价描述
n-1 个人绕单位长度跑道以各自固有的速
度从同一起点起跑。是否存在某个时刻，所 有跑步者与起点的距离至少是 1 / n ？
数学描述
n-1 个跑步者的速度分别为a1, a2, „, an-1
。
1 圈跑道相当于数轴上的一个单位， 2 圈2 个单
位， „ , k 圈k 个单位„ 。这样，每个正整数
子图覆盖问题
定义：若一个图的某些子图共同包含了该 图的所有边，则称该图被这些子图覆盖。 子图覆盖问题：用具有某种特性的子图来
覆盖一个图。
子图覆盖
子图覆盖
四色问题的一个等价形式: 每个2-边连通
平面图可被两个偶图覆盖（偶图：每个点
与偶数条边关联; 圈是连通极小偶图）
哥德巴赫猜想: 每个大于2的偶数是两个素
Ramsey数问题
一般化 : 定义 R(s,t) 为最小整数使得任意
R(s,t) 个人中 , 要么有 s 个人两两认识 , 要么有 t 个人两两不认识。 R(3,3)=6 R(4,4)=18 R(5,5)=?
Ramsey 问题 应用广、影响大。微软研究中 心的 Kim 因求解R(3, t)的工作而获 1997年
整数流的一个例子
整数流的抽象定义
给定图G 和k 阶可换群A。若对G 的某 个定向 , 存在一个函数 f : 从 G 的边集 到 A 的非零元素 , 使得在图的每个一点 , 进入该点的边的函数值之和等于离开该 点的边函数值之和 , 则称 f 为 G 的一个
k-流。
整数流与平面图着色
Tutte定理(1954年): 平面图可k着色当 且仅当该图存在k-流。
数之和。
子图覆盖
图论: 数论: 每个2-边连通图可被3个偶图覆盖。 每个充分大的奇数是3个素数之和。
陈景润定理 : 每个充分大的偶数是一个素数 与不超过两个素数的乘积之和。 Seymour 定理 : 每个 2- 边连通图可被一个偶 图及不超过两个偶图的并所覆盖。
哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡七桥问 图 论
随 机 图 论
代 数 图 论
拓 扑 图 论
离散数学
图论是离散数学的一个主要分支 广泛应用背景的基础研究 与计算机科学密切相关
离散数学
以蒸汽机的出现为标志的工业革命促进了 以微积分为基础的连续数学的发展。 以计算机的出现为标志的信息革命将促
进离散数学的发展。
计算机光纤网波长分配问题
四色问题
1852年, Morgan教授的一位学生问他: 能否给 出一个理由,为什么只需 4 种颜色，就可给任 意地图的每个国家着色，使得有共同边界的国 家着不同的颜色。 教授无语,该问题成为数学史上最著名问题之 一,对它的研究推动了图论,拓扑,代数的发展. 历史上许多著名数学家研究过四色问题并给出 错误证明.
四色问题
当年,这位学生告诉Morgan教授: 下面的例子说 明3种颜色不够,至少需4种颜色.
四色问题
转化为图论问题: 点代表国家, 两点相连当且 仅当对应的两个国家有共同边界。由此得到的 图是平面图. 四色问题: 每个平面图可用4种颜色对其点着 色,使得任何两个有边相连的点得到不同颜色. 1976年,两位计算机专家借助计算机验证,解决 了四色问题.未被数学界普遍接受.
哥尼斯堡七桥问题
子图覆盖
欧拉定理 (图论最古老的定理, 1735年)： 无奇度数点的连通图 ( 欧拉图 ) 存在欧拉回路
（一笔划）, 且可被边不交的圈覆盖。 次此定理未能回答需要多少个圈。
二百多年来，人们一直试图回答这个问题。
子图覆盖
Hajos 猜想： n 个点的欧拉图可被 [n/2] 个边不 交的圈覆盖。 Erdos-Goodman-Posa 猜想 (1966): 存在常数c, n个点的欧拉图可被 cn 个边不交的圈覆盖。 定理 (范更华，2003年)：n个点的欧拉图可被
[n/2] 个圈覆盖，且每条边恰好被覆盖奇数次。
子图覆盖
圈 k- 覆盖 : 给定一个图，对哪些正整数 k ，存在一 组圈，使得图中的每条边恰好在 k 个圈上 ? 这样一 组圈称为该图的一个圈k-覆盖。
当k为奇数时，这个问题已解决； 然而当k为 偶数时，至今仍未完全解决。60年代中，Edmonds （John von Neumann奖得主）的匹配多面体理论为 人们提供了有力工具，得以证明圈k-覆盖对某个偶 数k存在，但无法确定这个偶数的值。
Basis）猜想有关联，吸引了众多国际一流学者。
定理(Thomassen，2012): 每个8-边连通图有 3-流。(随后被改进到： 6-边连通图有3-流。)
整数流理论
整数流与数学其他领域的一些著名问题有关联:
组合学: Lonely Runner 数论: Diophantine Approximation
图的定义
图的直观定义：点与边 图的抽象定义：一个集合上的二元关系
Petersen图
两个长度为5的圈通过5条边相连，也可如 下构造：5个元素集合的所有2-子集作为点， 两点有边相连当且仅当对应的2-子集不交。 ◆ 没有长度小于5的圈
◆ 没有长度为10的圈(哈密顿圈)
◆ 边传递、点传递
◆ 不是平面图
子图覆盖
未解决问题 (Itai-Rodeh，1978)：是否存在长度 不超过7m/5 的圈覆盖？
若答案是肯定的，则推出圈2-覆盖猜想成立。 已知最好结果(BJJ，1983；Alon-Tarsi，1985)： 存在长度不超过5m/3 的圈覆盖。
整数流问题
给图的每条边一个定向及一个整数 值, 使得在图的每个点, 进入该点的所 有边的整数值之和等于离开该点的所有 边的整数值之和。
子图覆盖
l 1985年，Alon（2002年世界数学家大会作１小 时报告）证明存在长度不超过m+7(n-1)/3的圈 覆盖。
l 1994年，Thomassen（丹麦科学院院士）证实 了计算机算法专家Papadimitriou的猜测：短圈 覆盖问题是NP-完全。
l 1998年，范更华彻底解决了Itai-Rodeh猜想， 证明存在长度不超过m+n-1的圈覆盖。
圈双覆盖猜想（Cycle Double Cover Conjecture）
每个2-边连通图存在圈 2-覆盖。 强嵌入猜想（Strong Embedding Conjecture）
每个2-连通图可嵌入到某个曲面上，使得每个面 的周界是一个圈（2-cell-embedding: each face is homeomorphic to an open disk）。
大规模集成电路（VLSI）
Very Large Scale Integration
Fulkerson 奖。
极值图论
一般叙述 : 图的边数大于某个数时 ,该图具有某 种性质,此数的最小值称为该性质的极值. Mantel 定理(1907年): n点图的边数大于n2/4时, 该图含三角形,且n2/4是具有该性质的最小数. 上述定理是Turan定理(1941年)的特殊情形.
极值图论
Mantel 定理的证明 : 设G是不含三角形的n点图, 其最大点度数为t.不难证明G的边数至多是 f(t)=t(n-t). 该二次函数在t=n/2处取得极大值: f(n/2)=n2/4. 当n为偶数时, n个点的平衡完全二部图不含三角 形, 且边数恰为 n2/4.因此, n2/4是具有该性质的 最小数.
较：最优欧拉回路问题—中国邮递员问题)