图论及其应用第4章
图论及其应用
图论及其应用简介图论是计算机科学中的一个重要分支，研究的对象是由边与顶点组成的图形结构以及与其相关的问题和算法。
图论的应用广泛，涵盖了计算机科学、网络科学、物理学、社会学、生物学等多个领域。
本文将介绍图论的基本概念、常用算法以及一些实际的应用案例。
图的基本概念图由顶点（Vertex）和边（Edge）组成，记作G=(V, E)，其中V为顶点的集合，E为边的集合。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
有向图有向图中的边具有方向性，即从一个顶点到另一个顶点的边有明确的起点和终点。
有向图可以表示一种有序的关系，比如A到B有一条边，但B到A可能没有边。
有向图的表示可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
无向图无向图中的边没有方向性，任意两个顶点之间都有相互连接的边。
无向图可以表示一种无序的关系，比如A与B有一条边，那么B与A之间也有一条边。
无向图的表示通常使用邻接矩阵或邻接表。
常用图论算法图论中有许多经典的算法，其中一些常用的算法包括：深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于遍历或搜索图的算法。
通过从起始顶点开始，沿着一条路径尽可能深入图中的顶点，直到无法再继续前进时，返回上一个顶点并尝试下一条路径的方式。
DFS可以用于判断图是否连通，寻找路径以及检测环等。
广度优先搜索（BFS）广度优先搜索也是一种用于遍历或搜索图的算法。
不同于深度优先搜索，广度优先搜索逐层遍历顶点，先访问离起始顶点最近的顶点，然后依次访问与起始顶点距离为2的顶点，以此类推。
BFS可以用于寻找最短路径、搜索最近的节点等。
最短路径算法最短路径算法用于计算图中两个顶点之间的最短路径。
其中最著名的算法是迪杰斯特拉算法（Dijkstra’s A lgorithm）和弗洛伊德算法（Floyd’s Algorithm）。
迪杰斯特拉算法适用于没有负权边的图，而弗洛伊德算法可以处理带有负权边的图。
最小生成树算法最小生成树算法用于找到一个连通图的最小的生成树。
其中最常用的算法是普里姆算法（Prim’s Algorithm）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal’s Algorithm）。
图论及其应用
图论及其应用班级：图论1班学院：软件学院学号：2014110993姓名：张娇图论从诞生至今已近300年，但很多问题一直没有很好地解决。
随着计算机科学的发展，图论又重新成为了人们研究讨论的热点，图形是一种描述和解决问题直观有效的手段，这里给出图论在现实生活中的一些应用。
虽然最早的图论问题追溯1736年(哥尼斯堡七桥间题)，而且在19世纪关于图论的许多重要结论已得出。
但是直到20世纪20年代图论才引起广大学者的注意并得以广泛接受和传播。
图论即形象地用一些点以及点与点之间的连线构成的图或网络来表示具体问题。
利用图与网络的特点来解决系统中的问题，比用线性规划等其他模型来求解往往要简单、有效得多。
图论就是研究图和网络模型特点、性质和方法的理论。
图论在许多领域,诸如物理、化学、运筹学、计算机科学、信息论、控制论、网络理论、社会科学以及经济管理等各方面都有广泛的应用,它已经广泛地应用于实际生活、生产和科学研究中。
下面对最大流问题进行探究。
最大流问题主要探究最大流问题的Ford-Fulkerson解法。
可是说这是一种方法，而不是算法，因为它包含具有不同运行时间的几种实现。
该方法依赖于三种重要思想：残留网络，增广路径和割。
在介绍着三种概念之前，我们先简单介绍下Ford-Fulkerson方法的基本思想。
首先需要了解的是Ford-Fulkerson是一种迭代的方法。
开始时，对所有的u,v属于V，f(u,v)=0(这里f(u,v)代表u到v的边当前流量)，即初始状态时流的值为0。
在每次迭代中，可以通过寻找一个“增广路径”来增加流值。
增广路径可以看做是从源点s到汇点t之间的一条路径，沿该路径可以压入更多的流，从而增加流的值。
反复进行这一过程，直到增广路径都被找出为止。
举个例子来说明下，如图所示，每条红线就代表了一条增广路径，当前s到t的流量为3。
当然这并不是该网络的最大流，根据寻找增广路径的算法我们其实还可以继续寻找增广路径，最终的最大流网络如下图所示，最大流为4。
图论及其应用
图可以用图形表示：V中的元素用平面上一个黑点表示，E
中的元素用一条连接V中相应点对的任意形状的线表示。
例1、设图G＝<V,E>。这里V＝{v1,v2,v3,v4} E＝{e1,e2,e3,e4,e5,e6}，
e1＝(v1,v2)，e2＝(v1,v3)，e3＝(v1,v4)， e4＝(v2,v3)，e5＝(v3,v2)，e6＝(v3,v3)。
2、图论模型
为了抽象和简化现实世界，常建立数学模型。图是关系的 数学表示，为了深刻理解事物之间的联系，图是常用的数学 模型。
(1) 化学中的图论模型
19世纪，化学家凯莱用图论研究简单烃——即碳氢化合物
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20世纪30年代出版第一本图论著作.
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目前，图论已形成很多分支：如随机图论、 网络图论、代数图论、拓扑图论、极值图论等。
3、应用状况
图论的应用已经涵盖了人类学、计算机科学、 化学、环境保护、非线性物理、心理学、社会学、
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图论及其应用
任课教师：杨春 数学科学学院
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图论及其应用综述
图论综述一、简介图论是数学的一个分支。
它以图为研究对象。
图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。
图G=（V,E）是一个二元组（V,E）使得E⊆[V]的平方，所以E的元素是V的2-元子集。
集合V中的元素称为图G的定点（或节点、点），而集合E的元素称为边（或线）。
通常，描绘一个图的方法是把定点画成一个小圆圈，如果相应的顶点之间有一条边，就用一条线连接这两个小圆圈，如何绘制这些小圆圈和连线时无关紧要的，重要的是要正确体现哪些顶点对之间有边，哪些顶点对之间没有边。
图论本身是应用数学的一部份，因此，历史上图论曾经被好多位数学家各自独立地建立过。
关于图论的文字记载最早出现在欧拉1736年的论著中，他所考虑的原始问题有很强的实际背景。
目前，图论已形成很多分支：如随机图论、网络图论、代数图论、拓扑图论、极值图论等。
图论的应用已经涵盖了人类学、计算机科学、化学、环境保护、非线性物理、心理学、社会学、交通管理、电信以及数学本身等。
二、基本内容2.1 图的基本概念本章首先介绍了图的一些基本性质和一些不同模型的图，包括偶图，完全图和补图，引入了定点度的来描述图的性质。
其次介绍了子图的相关概念，介绍了图的一些基本运算规则，对图的路和连通性进行了阐释。
紧接着讲解了最短路算法，定义设G为边赋权图。
u与v是G中两点，在连接u与v的所有路中，路中各边权值之和最小的路，称为u与v间的最短路。
图的代数表示，包括图的邻接矩阵和图的关联矩阵。
最后对极图理论进行了简介，主要介绍了极值图论中的一个经典结论——托兰定理。
2.2 树本章主要介绍了树的概念与性质，阐述了生成树与最小生成树的基本概念与一些常用结论与定理。
树是不含圈的无圈图，也是连通的无圈图。
树是图论中应用最为广泛的一类图。
在理论上，由于树的简单结构，常常是图论理论研究的“试验田”。
图论及其应用
顶点染色
定理：对于任何一个图χ（G）≤ω（G）。 ω（G）为图G的团数，用来描述χ（G）的下 界，其中ω（G）=max{k|Kk属于G}。
顶点染色
给定图G=（V，E）的一个k-点染色。用Vi表示G中染以 第i色的顶点集合（i=1,2，…，k），则每个Vi都是G 的独立集。因而G的每一个K-点染色对应V(G)的一个划 分[V1,V2,…,Vk]，其中每一个Vi是一个独立集。反之 ，给出V(G)的这样一个划分（V1,V2,…,Vk），其中每 一个Vi均是独立集（1≤i≤k），则相应得到G的一个k点染色，称V(G)的这样一个划分为G的一个色划分，每 一个Vi称为色类。因此，G的色数χ(G)就是使这种划 分成为可能最小自然数k。
推论：若G是p(G) 3且g(G) 3的平图，则 q(G) g(G) ( p(G) 2)。 g(G) 2
平面图的性质
推论：任何一个简单平面图G，有 q(G)≤3p(G)-6
推论：设G是简单平面图，则δ(G)≥6.
定理：仅存在5种正多面体，即正四面体、正 方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
定理：每一个平面的色数不超过5
边染色
定义：无环图G的一个正常染色k-边染色（简 称k-边染色）是指一个映射φ：E(G)→{1,2， …，k}，使对G中任意两条相邻的边e1和e2，有 φ(e1)≠φ(e2)。若G有一个正常k-边染色，则 称G是k-边染色的。G的边色数是指G为k-边染 色的最小整数k的值，记为
χ'(G)。若χ'(G)=k，则称G是k-边可色的。
边染色
设G有一个正常k-边染色，置Ei为G中所有染 以第i种颜色的边的全体，则E1，E2，…，Ek 是G的k个边不相交的对集，并且
图论及其应用
图和子图 图和简单图图 G = (V, E)V ---顶点集，ν---顶点数12ε E ---边集， ε---边数例。
左图中， V={a, b,......,f}, E={p,q, ae, af,......,ce, cf} 注意， 左图仅仅是图G 的几何实现（代表）， 它们有无穷多个。
真正的 图G 是上面所给出式子，它与顶点的位置、边的形状等无关。
不过今后对两者将经常不加以区别。
称 边 ad 与顶点 a (及d) 相关联。
也称 顶点 b(及 f) 与边 bf 相关联。
称顶点a 与e 相邻。
称有公共端点的一些边彼此相邻，例如p 与af 。
环（loop ，selfloop ）：如边 l 。
棱（link ）：如边ae 。
重边：如边p 及边q 。
简单图：（simple graph ）无环，无重边 平凡图：仅有一个顶点的图（可有多条环）。
一条边的端点：它的两个顶点。
记号：νε()(),()().G V G G E G ==。
习题1.1.1 若G 为简单图，则εν≤⎛⎝ ⎫⎭⎪2 。
1.1.2 n ( ≥ 4 )个人中，若每4人中一定有一人认识其他3人，则一定有一 人认识其他n-1人。
同构在下图中， 图G 恒等于图H , 记为 G = H ⇔ VG)=V(H), E(G)=E(H)。
图G 同构于图F ⇔ V(G)与V(F), E(G)与E(F)之间 各 存在一一对应关系，且这二对应关系保持关联关系。
记为 G ≅F。
注 往往将同构慨念引伸到非标号图中，以表达两个图在结构上是否相同。
de f G = (V , E )yz w cG =(V , E )w cyz H =(V ’, E ’)’a ’c ’y ’e ’z ’F =(V ’’, E ’’)注 判定两个图是否同构是NP-hard 问题。
完全图(complete graph) Kn空图（empty g.） ⇔ E = ∅ 。
V’ ( ⊆ V) 为独立集 ⇔ V’中任二顶点都互不相邻。
范更华-图论及其应用
旅行推销员问题
问题提出: 一个推销员从公司出发, 访问 若干指定城市, 最后返回公司,要求设计
最优旅行路线。(费用最小)
数学抽象: 城市作为点, 两点间有边相连, 如果对应的城市间有直飞航班。机票价作 为每条边的权。
旅行推销员问题
求解 : 在图中求一个圈过每点恰好一次 ,
且边的权之和最小。(最优哈密顿问题；比
在一个计算机光纤网络中，给传输信道 分配波长，两信道若有公共部分，必须得到 不同的波长。要求使用尽可能少的波长。
波长分配问题转化为图论问题
每条信道看作图的一个点。两点间有边
相连当且仅当它们对应的信道有公共部
分。波长问题等价于所构造图的点着色
问题：
给图的每个点着色，有边相连的点
须着不同的颜色。所用颜色尽可能少。
1735年, 欧拉(Euler) 证明哥尼斯堡七桥问题无 解, 由此开创了数学的一个新分支---图论. 欧拉将哥尼斯堡七桥问题转化为图论问题 : 求 图中一条迹 (walk), 过每条边一次且仅一次 . 后人将具有这种性质的迹称为欧拉迹,闭的欧拉 迹也称为欧拉回路.
欧拉定理 : 连通图存在欧拉迹当且仅当图中奇 度数的点的个数至多为 2( 若为 0, 则存在欧拉回 路,这种图称为欧拉图,也称为偶图)
图的例子
交通网
互联网
计算机处理器连接方式
集成电路板
分子结构图
分子间相互作用及信息传递
具体应用
大型高速计算机：处理器的连接方式
互联网：信息传输及控制管理
大规模集成电路：布局、布线 数据库技术：数据的存储、检索 理论计算机科学： 子图理论对计算机算法研究的应用
具体应用
DNA序列分析：图的欧拉回路问题 机器智能与模式识别：图的同构 通讯网络：连通性，可靠性 印刷电路板检测: 12万5千次降为4次(《美国科学》 Scientific American, 9 (1997), 92-94 )
集合论与图论课件 第四章 无限集
3 集合递归（归纳）定义的实例
例1：设整数集I是全集,非负偶整数集 E+={x|x≧0,且x=2y, yZ}, 它可以递归定 义如下: (1)(基础)0E+。 (2)(归纳)如果nE+, 则n+2E+。 (3)(闭合)除有限次应用(1)和(2)产生的整 数外,再没有其它的整数在E+ 中。
引言实例的递归定义 (1)(基础)3S。 (2)(归纳)如果x,yS, 则x+yS。 (3)(闭合)除有限次应用(1)和(2)产生的整 数外, 再没有其它的整数在S中。
例如,若Σ={0,1}, 则 Σ*={,0,1,00,01,10,11,000,001…},是有 限二进制序列的集合, 其中包含空序列。
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用归纳定义的方法来描述算术表达式集合
例4.4 算术表达式集合是包含整数, 一元运算符+,-, 以 及二元运算符+,-,* ,/的符号序列所组成的集合, 其中包 含如“((3+5)/4)”,“(((-5)+6)*3)”等算术表达式。 算术表达式集合的递归定义如下: (1)(基础)如果D={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}和xD+ ,则x是算 术表达式。其中D+是D上所有非空数字串的集合。 (2)(归纳)如果x和y都是算术表达式, 则 (+x)是算术表达式; (-x)是算术表达式; (x+y)是算术表达式; (x-y)是算术表达式; (x*y)是算术表达式; (x/y)是算术表达式。 (3)(闭合)一个符号序列是一个算术表达式当且仅当它 能通过有限次应用(1)和(2)而得到。
例4.7 证明所有大于或等于2的整数能表 示为若干质数之积。
/*第二数学归纳法证明*/
图论及其应用
Prim算法及思想
• • • • • 首先我们将V分成两部分U,S U∩S=∅ U∪S=V 一开始S中只有任意以个节点 每次我们枚举每条U，S之间的边权最小的边S中 这条边的端点 删除并加入U • 我们可以每次更新S中点的这个值不需要每次枚 举边复杂度O(n^2) • 如果使用堆优化可以做到O(nlogn+nlogm)
tarjan算法
tarjan算法
拓扑排序
• 每次选择一个入度为0的点加入队列，然后 删掉这个点的所有出度
小试身手
• APIO2009 atm • 有一个城市有若干条有向道路 • 一个小偷从一个点出发想偷这个城ATM机， 他从一个点出发，最后偷完之后需要到一 个酒吧庆祝，给定道路情况，每个路口atm 的钱数和有没有酒吧，求最多能偷多少钱。 • n<=100000
小试身手
对于n<=1000我们依然可以直接暴力建出图 来进行Dijsktra算法但是对于n<=10000的测 试点，所有边一共有10^10条，我们无法存下 来但是我们发现，只有x坐标相邻和y坐标相 邻的边才有意义(为什么？)，然后就可以建出 图来用堆优化的Dij或者spfa过掉
小试身手
• 给你一个n个点的图，小Q有q个询问，每次 询问任意两点之间的最短路 • n<=200,q<=4000000
Байду номын сангаас
最短路算法
• 如果我们需要知道所有的点对之间的最短 路，可以使用floyed的传递闭包方法。 • floyed算法思想： • 我们每次选择一个中间点，然后枚举起点 和终点，用通过中间点的最短路径更新起 点和终点之间的最短路径时间复杂度O(n^3)
floyed代码实现
• 代码非常简单 • 注意枚举顺序
离散数学CH04_图论_根树
4.6 树
4.6 树
图中的三棵树T1，T2和T3都是带权2，2，3，3，5
的二叉树，它们的权分别是：
W(T1)=2×2＋2×2＋3×3＋5×3＋3×2=38 W(T2)=3×4＋5×4＋3×3＋2×2＋2×1=47 W(T3)=3×3＋3×3＋5×2＋2×2＋2×2=36 以上三棵树都是带权2,2,3,3,5的赋权二叉树，但不 是最优树。
【例】求图所示的二叉树产 生的前缀码。 解：在图(a)中，每一个 分枝点引出的左侧边标记0， 右侧边标记1。由根结点到 树叶的路经上各边的标记组 成的0、1序列作为对应树叶 的标记，如图 (b)所示。产 生的前缀码为： 01,11,000,0010,0011
4.6 树
定理 任意一个前缀码，都对应一个二叉树。 证明：
4.6 树
给定了一个前缀码，设h是其中最长序列的长度。画出一个高为 h的正则二叉树。按定理9.6.7中描述的办法给各边标记0或1。 每一个结点对应一个0、1序列，它是由根结点到该结点的路经 上各边的标记组成的。如果某个0、1序列是前缀码的元素，则 标记该结点。将已标记结点的所有后代和该结点的射出边全部删 除，得到了一个二叉树，再删除未加标记的树叶，就得到要求的 二叉树。
在通信中常用0、1字符串表示英文字母，即用二进制 数表示英文字母。最少用多少位二进制数就能表示26
个英文字母呢？1位二进数可以表示2=21个英文字母
，两位二进制数可以表示4=22个英文字母，……，n 位二进制数可以表示2n个英文字母。如果规定，可以 用1位二进制数表示英文字母，也可以用两位二进制数 表示英文字母。
4.6 树
定理 在完全m叉树中，其树叶数为t，分枝点数为i，则 (m1)*i=t-1。 证明：
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§ 4.1 欧拉图
定义1 设G 是无孤立点的图。经过G的每条
边的(闭)迹被称为 Euler(闭)迹，存在Euler闭
迹的图称为欧拉图, 简称E 图。Euler闭迹又
称为Euler回路。
例1
（a ）
（b）
（c）
（d）
（e）
（f）
上图中，（a）,（f）是欧拉图；（b）, (d) 有欧拉迹但 不是欧拉图;（c）和（e）无欧拉迹。
说明：(1) H 的每一点v，有 d+(v) = d -(v) = 2，且是连通的 从而H是欧拉有向图, 称为德 · 布鲁因图。 (2) H有2k条弧，若以每一条由点（b1,b2,…,bk-1）到点（ b2,b3,…,bk）的弧a代表一个k-元组（b1,b2,…,bk），便可得 2k个不同的k-元组。 步骤2 求H的欧拉有向闭迹, 由此得k-部分序列
E(G) E(Q1 ) E(Q2 ) E(Qk )
问题：邮递员从邮局出发，递送邮件，然后返回邮局，要求辖
区每条街至少走一遍且走过的总路程最短，应如何选择路线？
图论模型：在一个连通的具有非负权的赋权图G中找一条 包含每条边（允许重复）且边权之和最小的闭途径，称之
为最优环游。 对该问题 (1) 若图G是一个欧拉图，则找出G的欧拉回路即可。 (2) 对一般图，其解法为：添加重复边以使G成为欧拉图G*， 并使添加的重复边的边权之和为最小，再求G*的欧拉回路。
定理1 下列陈述对于一个连通图G是等价的：
(1) G是欧拉图。 (2) G的每个点的度是偶数。 (3) G的边集能划分为圈。 证明 (1) (2)
令C是G中的一条欧拉闭迹。C中任一个给定的 点在C中每出现一次恰关联两条边，因为G的每条 边在C中仅出现一次，所以该点的度应为该点在C 中出现的次数乘以2, 是一个偶数。
(abhijedklmnpgcfq……) = (0000110101111001……) (abhijefgcdklmnpq……) = (0000110100101111……) (abhipgcdklmnjefq……) = (0000110010111101……)
§4.3 中国邮递员问题
Euler图中确定Euler回路的Fleury算法 算法的思想 从任一点出发按下法来描画一条边不重复的 迹，使在每一步中未描画的子图的割边仅当没有别的边可 选择时才被描画。 Fleury算法 1. 任意选取一个顶点v0，置w0= v0。 2. 假设迹wi=v0e1v1…eivi已经选定，那么按下述方法从 E\{e1,e2,…,ei}中选取边ei+1：使 (1) ei+1和vi相关联； (2) 除非没有别的边可选择，否则ei+1 不是G=G -{e1, e2, …, ei} 的割边。 3. 当第2步不能再执行时，算法停止。
例
例：某博物馆的一层布置如下图，其中边代表走廊，结点e是入 口，结点g是礼品店，通过g我们可以离开博物馆。请找出从博物 馆e进入，经过每个走廊恰好一次，最后从g处离开的路线。
d j h i e g c f b a
解：图中只有两个奇度顶点e和g, 因此存在起点为e, 终点为g 的欧拉迹。 为了在G中求出一条起点为e，终点为g的欧拉迹，在e和g 间添加一条平行边m
(3) 对恰有两个度数为奇的点的图G，可以证明：需要重复的
边正好是从一个奇度点到另一个奇度点的最短路上的边，即 问题为欧拉问题与最短路问题的综合。
说明: (1) 若G是Euler图，则G的任何Euler回路都是最优环游. (2) 若G 不是Euler图，用添加重复边以使G成为欧拉图G* 的方法时，添加的重复边具有的特征由定理3给出. 定理3 若W是图G中一条包含所有边的闭途径，则W具有最小 权值的充要条件是： (1) G的每一条边在W中最多重复一次； (2) 对于G的每个圈上的边来说，在W中重复的边的总权 值不超过该圈非重复边总权值。 证明：“必要性” 首先，设G是连通非欧拉图，u与v是G的两个奇度顶点， 把连接u与v的路上的边改为2重边，则路中的点的度数奇偶性
又设C是G2中任意一个圈，在该圈中，如果重复边的总权 值超过该圈中非重复边总权值，那么可以把该圈中平行边改 为非平行边，而把非平行边改为平行边，如此修改，得到的 图仍然是包含G的欧拉图，但对应的欧拉环游长度减小了。 这就是说，只要对G2的每个圈都作上面的修改，最后得到 的图仍然为包含G的欧拉图，而最后的图正好满足(2)。 “充分性” 只需证明：任何两条包含G中所有边的闭途径W1与W2, 如果满足定理的两个条件，则它们有相同的总权值。 设Y1与Y2分别表示W1与W2中重复出现的边集合。
证明：不失一般性，只就G是连通图进行证明。 设G=(n, m)是连通图。令vl, v2, …, vk, vk+1, …, v2k是G的所 有奇度点。 在vi与vi+k间连新边ei得图G*(1≦i≦k)，则G*是欧拉图。 因此，由Fleury算法得欧拉回路C。 在C中删去ei (1≦i≦k)得k条边不重的迹Qi （1≦i≦k):
例如，图中，鼓轮的位置由 四个触点给出读数0010。如 果鼓轮沿顺时针方向旋转一 段，读数将是1001。
0 0 1
0 0 1 0
触点
0
问题 为提高效率,我们期望鼓轮每旋转一周(m段)读出的 由k位组成的m个数应是互不相同的. 进一步,对故定的k,最 大的m应是多少?如何构造这样的鼓轮? 涉及该问题的数学模型的几个概念:
设 S = (a1,a2,…, a n ,…) 为（0,1）无限序列.
1. S的周期: S中对任何正整数n,具有 an+ τ = an的最小的 正整数τ. 2. S的k-部分序列S1, S2, … : 是由S中相继k个元素
组成的k元组作为元素组成的序列, 即
S1=(a1, a2,…,ak), S2=(a2, a3,…,ak+1), …
推论 连通图G 有Euler迹当且仅当G最多有两个奇点。 证明 定理1表明：G有Euler闭迹当且仅当G有零个奇点。 若连通图G有Euler非闭迹C，并设点u和v分别是C的起 点和终点。记在C中添加一条连接u和v的新边e后所得到 的图为C + e。显然，C + e是一条Euler闭迹, 则由已证结 论， C + e有零个奇点, 从而C, 即G有两个奇点。 反之，设G是恰有两个奇点 u 和 v 的连通图。在 u和v 间添加新边 e 得图G + e, 则 G + e 没有奇点。由已证结论, G + e有Euler闭迹, 从而G 有Euler迹。 综上, 推论结论成立.
没有改变，仍然为偶数，但u与v的度数由奇数变成了偶数。 如果对G中每对奇度点都如此处理，则最终得到的图为欧拉 图。设该图为G1。 其次，对G1作修改： 如果在G1中，边e重复数大于2，则在G1中删掉2条重复的e 边后，所得之图仍然是包含G的欧拉图。 在G1中，对每组平行边都做上面的处理，最后得到一个重 复边数最多为1的包含G的欧拉图G2。 这说明，若W是包含G的所有边的欧拉回路，则G中每条 边至多在W里出现两次。这就证明了(1)。
（1） D是欧拉有向图。
（2）D的每个点的入度等于出度。 （3）D的弧集可划分为有向圈。 例 欧拉有向图:
§ 4.2 高效率计算机鼓轮的设计
计算机中旋转鼓轮的位置是借助于鼓轮表面上的一 系列电触点所产生的二元信号来识别的。这个表面分 为m段，每段由绝缘体或导体材料组成。绝缘段给出 信号0（没有电流），导通段给出信号1（有电流）。
n
m
该例有16个解，其中的一些为 (abcdkijefjhlmnpq……) = (0000101101001111……)
(abcdkipghlmjefq……) = (0000101100111101……)
(abcfgijedklmnpq……) = (00npgcdefq……) = (0000110111100101……)
i = (0110)
j = (1101) k = (1011) l = (0111) m = (1111) n = (1110) p = (1100) q = (1000)
h = (0011)
l
111
欧拉闭迹和相应的 德· 布鲁因序列 (abcdefghijklmnpq……) = (0000101001101111……)
S1,S2,…,Sτ 和相应的德 · 布鲁因序列S.
例 下图为k = 4 (τ=24=16) 的德 · 布鲁因图, 相应的欧拉 有向闭迹及相应的德 · 布鲁因序列.
a 000 001 b g 010 c h d k 011 e 101 i j 110 f p q 100
弧 a = (0000) b = (0001) c = (0010) d = (0101) e = (1010) f = (0100) g = (1001)
(2) (3): 因为G连通非平凡，故每个点的度至少是2， 所以G含有一个圈Z 。移去Z的各条边产生一个生成子图G1 ，其中每个点的度仍然是偶数。若G1没有边，则（3）已经 成立；否则，重复应用这种论证于G1，产生一个图G2，其 中所有的点的度仍然是偶数，等等。当该过程终止于空图 Gn时，我们就得到了将G的边分成若干圈的一个划分。 (3) (1) : 令Z1是这个划分的一个圈。若G仅由Z1组 成，则G显然是欧拉图。否则，有另外一个圈Z2与Z1有一 个公共点v，从v开始并且由Z1和Z2相连组成的通道是含有 这两个圈中各条边的一条闭迹。继续这个过程，我们可以 构成一条含有G的所有边的闭迹；从而G是欧拉图。
我们先证明：对于任意一个圈C*, 如果满足：
eYi E (C* )
w(e)
eYi E (C* )
w(e),(i 1, 2)
则有：
w(e) w(e)
3. 德 · 布鲁因（De Bruijn）序列: 指对于固定的正整数