离散数学-福州一中
福州一中高三数学模拟考试真题 2023
福州一中高三数学模拟考试真题 2023本次福州一中高三数学模拟考试真题旨在为学生提供一个检验自己数学能力的机会，以便更好地指导学习和备考高考。
以下是模拟考试的真题及详细解析。
真题一：选择题1. 已知函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x^2 - 1，则f(g(2))的值为：A. 5B. 9C. 11D. 15解析：首先计算g(2)，代入x=2，得到g(2) = 2^2 - 1 = 3。
然后将g(2)的值代入f(x)中，得到f(g(2)) = f(3) = 2 × 3 + 3 = 9，因此答案选B。
2. 设集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∪B的元素个数为：A. 3B. 4C. 5D. 6解析：集合的并操作即将两个集合中的所有元素合并在一起，去重复。
集合A∪B的元素为{1, 2, 3, 4}，共有4个元素，故答案选B。
真题二：填空题3. 已知函数f(x) = x^2 + ax + 4，f(-2) = 0，则a的值为_________。
解析：由题意可得f(-2) = (-2)^2 + a(-2) + 4 = 0。
求解方程可得4 - 2a + 4 = 0，进一步化简得-2a = -8，因此a的值为4。
4. 设函数f(x) = 3x + 2，g(x) = ax + b，若f(g(1)) = -4，则a的值为_________。
解析：首先计算g(1)，代入x=1，得到g(1) = a(1) + b = a + b。
然后将g(1)的值代入f(x)中，得到f(g(1)) = f(a + b) = 3(a + b) + 2。
已知f(g(1)) = -4，则有3(a + b) + 2 = -4。
进一步计算可得3a + 3b = -6，故a的值为-2。
真题三：解答题5. 已知正方形ABCD的边长为a，P为AB的中点，Q为BC的中点，连接AC并延长交BD于点E。
证明：PE = EC。
福建省福州第一中学2025届高三上学期10月月考数学试题
福建省福州第一中学2025届高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．若直线:10l x my ++=的倾斜角为2π3，则实数m 值为（ ）AB ．CD ．2．某市政府调查市民收入与旅游欲望时，采用独立性检验法抽取3 000人，计算发现k2＝6．023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游欲望有关系的把握是( )A ．90%B ．95%C ．97．5%D ．99．5%3．在四棱锥S ABCD -中，若SA xSB ySC zSD =++u u r u u r u u u r u u u r，则实数组(),,x y z 可能为（ ）A ．()1,1,1-B ．()1,0,1-C ．()1,1,0-D ．()1,1,1--4．n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1236a a a ++=，7916+=a a ，则9S =（ ） A ．43B ．44C ．45D ．465．已知函数()()()()2,f x a x a x b a b =--∈R ，则“0b a >>”是“b 为()f x 的极小值点”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ）A ．47CB ．48CC ．49C D ．49A7．已知函数()f x 在R 上可导，且()()f x f x '<，若()()1e 1af f a ->成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．()1,eC ．()1,+∞D ．()e,+∞8．已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点，A 是C 的右顶点，点P 在过点F 且斜率为22π3OAP ∠=且线段OP 的垂直平分线经过点A ，则C 的离心率为（ ）AB 1C D二、多选题9．为了解推动出口后的亩收入情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（ ）（参考：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，()0.8413P Z μσ<+≈）A ．(2)0.5P X >>B ．( 1.9)0.2P X ><C ．(2)0.5P Y >>D ．(2)0.8P Y ><10．已知抛物线22x py =（0p >）的焦点为F ，过点Fl 与该抛物线相交于()11,M x y ，()22,N x y 两点（其中1>0x ），则下面说法正确的是（ ）A ．若2p =，则124x x =-B ．若121y y =，则2p =C ．若2p =，则OMN S =V D ．若2p =，则8MF =+11．设函数32()231f x x ax =-+，则（ ）A ．当1a >时，()f x 有三个零点B ．当a<0时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心三、填空题12．在二项式7x ⎛- ⎝的展开式中x 的系数为．13．已知函数32(),()f x x x g x x a =-=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线也是曲线()y g x =的切线．则a 的值是14．舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处的铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动．当点D 在滑槽AB 内做往复移动时，带动点N 绕O 转动，点M 也随之而运动．若1ON DN ==，3MN =，4AB =，则 MA 的最小值为．四、解答题15．已知各项均为正数的等差数列{}n a 前n 项和为n S ，248a a ⋅=，515S =； (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设12n n b -=，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .16．已知四棱锥,,P ABCD E F -为,AC PB 的中点，PA ⊥平面ABCD ，BC PC ⊥.(1)若AD DC =，证明：DE ∥平面PBC ；(2)若2AC BC ==，二面角A FC B --的大小为120︒，求PA .17．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长､短半轴长的乘积.已知椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 均在x 轴上，离心率等于45，面积为15π.(1)求C 的标准方程；(2)若()0,1Q ，过点()0,5P 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，求QAB V 面积的最大值.18．放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数i x 与该机场飞往A地航班放行准点率i y （1210i =L ，，，）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.其中()ln 2012i i t x =-，1110i i t t ==∑(1)根据散点图判断，y bx a =+与()ln 2012y c x d =-+哪一个适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x 的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A 地的航班放行准点率. (2)已知2023年该机场飞往A 地､B 地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A 地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B 地及其他地区（不包含A 、B 两地）航班放行准点率的估计值分别为80%和75%，试解决以下问题：（i ）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； （ii ）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A 地、B 地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由.附：（1）对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211ˆn niii ii i nniii i u u v v u v nu vu u unu β====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆv u αβ=- 参考数据：ln10 2.30≈，ln11 2.40≈，ln12 2.48≈.19．已知函数()e cos xf x ax x =--，且()f x 在[)0,∞+上的最小值为0.(1)求实数a 的取值范围；(2)设函数()y x ϕ=在区间D 上的导函数为()y x ϕ'=，若()()1x x x ϕϕ'⋅>对任意实数x D ∈恒成立，则称函数()y x ϕ=在区间D 上具有性质S . （i ）求证：函数()f x 在 0,+∞ 上具有性质S ；（ii ）记()()()()112...ni p i p p p n ==∏，其中*N n ∈，求证：()111sin 1ni i i n n =>+∏.。
福州一中2023-2024学年第二学期期末高二数学试题与答案
福州一中2023-2024学年第二学期期末高二数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．设集合[],3A a =，()1,2B =-，若A B =∅I ，则（)A ．13a -<<B ．23a <<C ．13a -≤<D ．23a ≤<2．已知实数a ，b ，c ，d 满足0a b c d >>>>，则下列不等式一定正确的是（)A ．a b d c>B ．a d b c+>+C ．a d b c ->-D ．ac bd>3．命题p ：R x ∀∈，23620x x m -+≥，则“1m ≥”是“p 为真命题”的（)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某校联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：22(90)2()x f x eσ-=，且801000.6()p x ≤≤=，若联考的学生有500人，则成绩超100过分的人数约为（)A ．100B ．120C ．125D ．1505．已知正实数x ，y 满足131x y+=，则35xy x -的最小值为（)A ．24B ．25C ．26D ．276．611x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（)A ．140-B ．141-C ．141D ．1407．已知函数234,()22,x x x af x ax x a⎧+-≤⎪=⎨->⎪⎩，对于任意两个不相等的实数12,R x x ∈，都有不等式[]1212()()()0x x f x f x --<成立，则实数a 取值范围为（)A ．(],4-∞-B ．[]6,4--C ．[)4,0-D ．(],6-∞-8．已知函数()f x 定义域为R ，且()()()22yf x xf y xy y x -=-，下列结论成立的是（)A ．()f x 为偶函数B ．()22f =-C ．()f x 在[]1,2上单调递减D ．()f x 有最大值二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．对具有相关关系的两个变量x 和)进行回归分析时，下列结论正确的是（)A ．若A ，B 两组成对数据的样本相关系数分别为0.97A r =，0.99B r =-，则A 组数据比B 组数据的相关性较强B ．若所有样本点都落在一-条斜率为非零实数的直线上，则决定系数2R 的值为1C ．若样本点的经验回归方程为ˆ0.4 1.2yx =+，则在样本点()2,1.7处的残差为0.3D ．以kxy ce =模型去拟合一组数据时，为求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程23z x =+，则c ，k 的值分别是3e 和210．已知事件A ，B ，且1()3P A =，()15P B A =，()35P B A =，则（)A ．2()5P AB =B ．()45|P B A =C ．11()15P A B +=D ．()35P B =11．已知函数sin cos ()xx f x ee =+，则（)A ．()f x 的图象关于5π4x =对称B ．()()4f x f x n ⋅+≥C ．()()3f x f x +->D ．()f x 在区间π3π,22⎡⎤⎢⎣⎦上的极小值为2e 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．第13题第一空2分，第二空3分12．已知函数()()()2e e x x f x x ax -=+⋅-为奇函数，则实数a 的值为______．13．某快件从甲送到乙需要5个转运环节，其中第1，2两个环节各有a ，b 两种方式，第3，4两个环节各有b ，c 两种方式，第5个环节有d ，e 两种方式，则快件从甲送到乙，第一个环节使用a 方式的送达方式有______种；从甲到乙恰好用到4种方式的送达方式有______种．14．定义()A ∏为集合A 中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合251,,1,3,7,8,342M ⎧⎫=--⎨⎩⎭，集合M 的所有非空子集依次记为1M 、2M 、…、127M ，则12127()()...()M MM +++=∏∏∏______．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分)对某地区2024年第一季度手机品牌使用情况进行调查，市场占有率数据如下：甲品牌乙品牌其他品牌市场占有率50%30%20%（1)从所有品牌手机中随机抽取2部，求抽取的2部中至少有一部是甲品牌的概率；（2)已知所有品牌手机中，甲品牌、乙品牌与其他品牌手机价位不超过4000元的占比分别为40%，30%，50%，从所有品牌手机中随机抽取1部，求该手机价位不超过4000元的概率．16．（15分)某工厂进行生产线智能化升级改造，对甲、乙两个车间升级改造后，（1)从该工厂甲、乙两个车间的产品中各随机抽取50件进行检验，其中甲车间优等品占45，乙车间优等品占35，请填写如下列联表：优等品非优等品总计甲车间乙车间总计依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为车间与优等品有关联？（结果精确到0.001)()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．下表是X 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828（2)调查了近10个月的产量i x （单位：万个)和月销售额i y （单位：万元)，得到以下数据：101010102111120,70,88,200ii ii i i i i i xy x x y ========∑∑∑∑，根据散点图认为y ．关于x 的经验回归方程为ˆˆˆy bx a =+，试求经验回归方程．参考公式：ˆˆay bx =-，其中1122211ˆ()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nxyb x x xnx ====---==--∑∑∑∑17．（15分)已知函数()21ln 2f x a x x =-，()a R ∈（1)讨论函数函数()f x 的的单调性；（2)若函数()f x 有极值点，（i)求实数a 的取值范围；（ii)判断()f x 的零点个数．18．（17分)甲和乙两个箱子中各装有N 个大小、质地均相同的小球，并且各箱中35是红球，25是白球．（1)当5N =时，分别从甲、乙两箱中各依次随机地摸出3个球作为样本，设从甲箱中采用不放回摸球得到的样本中红球的个数为X ，从乙箱中采用有放回摸球得到的样本中红球的个数为Y ，求()E X ，()E Y ，()D X ，()D Y ；（2)当10N =时，采用不放回摸球从甲箱中随机地摸出5个球作为样本，设()1,2,3,4,5k A k =表示“第k 次取出的是红球”，比较()1234P A A A A 与()()()()1234P A P A P A P A 的大小；（3)由概率学知识可知，当总量N 足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布．现从甲箱中不放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作1P ；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作2P ．那么当N 至少为多少时，我们可以在误差不超过0.003（即120.003P P -≤)的前提下认为超几17.03≈)19．（17分)已知函数()()ln 22f x x x b b =+->．（1)证明：()f x 恰有一个零点a ，且()1,a b ∈；（2)我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法"．任取()11,x a ∈，实施如下步骤：在点()()11,x f x 处作()f x 的切线，交x 轴于点()2,0x ；在点()()22,x f x 处作()f x 的切线，交x 轴于点()3,0x ；一直继续下去，可以得到一个数列{}n x ，它的各项是()f x 不同精确度的零点近似值．（i)设()1n n x g x +=，求()n g x 的解析式；（ii)证明：当()1,x a ∈，总有1n n x x a+<<福州一中2023-2024学年第二学期期末高二数学试题答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．题号12345678答案DCBABCBD二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案BDABCABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．第13题第-空2分，第二空3分．12．0．13．16，1614．215四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共5大题，13分+15分+15分+17分+17分，共77分)15．（1)解法1；随机抽取1部手机，是甲品牌的概率0.5，∴抽取的两部手机至少有一部是甲品牌的概率210.50.75P =-=．解法2：随机抽取1部手机，是甲品牌的概率为0.60.50.3⨯=，0.60.50.3⨯=抽取的两部手机至少有一部是甲品牌的概率120.50.5C 0.50.50.75P =⨯+⨯⨯=．（2)解：从该地区所有品牌手机中随机抽取1部，记事件1A ，2A ，3A 分别为“抽取的手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌手机”记事件B 为“抽取的手机价位不超过4000元”则()10.5P A =，()20.3P A =，()30.2P A =，()10.4|P B A =，()20.3|P B A =，()30.5|P B A =，所以123112233()()()()()()()()()()P B P A B P A B P A B P A P B A P A P B A P A P B A =++=++．0.50.40.30.30.20.50.39=⨯+⨯+⨯=，该手机价位不超过4000元的概率为0.39．16．（1)优等品非优等品总计甲车间401050乙车间302050总计7030100设0H ：车间与优等品无关．()()()()()2220.05(40203010)100100 4.762 3.8417030505021n ad bc x a b c d a c b d χ-⨯-⨯⨯===>=++++⨯⨯⨯根据小概率值0.05α=的独立性检验，能在犯错误的概率不超过0.05的情况下，认为两车间的优等品有差异．（2)解：依题意得：1011210i i x x ===∑，1011710i i y y ===∑又因为101200i ii x y==∑，102188i i x ==∑，故1011022110200102760ˆ 1.258810224810i ii ii x y x ybxx ==-⋅-⨯⨯====-⨯⨯-∑∑，ˆˆ7 1.252 4.5ay bx =-=-⨯=所以经验回归方程为ˆ 1.25 4.45yx =+17．（1)解：函数()f x 的定义域为{}0|x x >2()a x af x x x x-+'∴=-=，①当0a ≤时，()0f x '<恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上单调递减②当0a >时，令()0f x '=，得1x =)2x =()f x ∴的单调递增区间为(，单调递减区间为)+∞综上所述：当0a ≤时()f x 在定义域(0,)+∞上单调递减；当0a >时()f x的单调递增区间为(，单调递减区间为)+∞．（2)解：（i)由（1)知0a >（ii)由（1)知()f x 的极大值为f111ln (ln 1)222f a a a a a a ==-=-当ln 10a -<即0a e <<时，0f<，则()f x 无零点；当ln 10a -=即a e =时，0f =，则()f x 有1个零点：当ln 10a ->即a e >时，0f >11(1)ln1022f a =-=-<Q ，211()ln (ln )22f a a a a a a a =-=-令1()ln 2g a a a =-，()a e >，11()02g a a '=-<，()g a ∴在(),e +∞上单调递减11()()ln 1022g a g e e e e ∴<=-=-<，()0f a ∴<()f x ∴有2个零点；（注：当a e >时的情况，没有给出函数值为负值的2个特殊点，直接得出2个零点，给1分)综上所述：当0a e <<时，()f x 无零点；，当a e =时，()f x 有1个零点；当a e >时，()f x 有2个零点18．（1)对于有放回摸球，每次摸到红球的概率为0.6，且每次试验之间的结果是独立的，则3393218~(3,()3,()35555525Y B E Y D Y =⨯==⨯⨯=X 服从超几何分布，X 的可能取值为1，2，3，则2112323233333555331(1),(2),(3)10510C C C C C P X P X P X C C C =========3319()123105105E X ∴=⨯+⨯+⨯=，2229393919()1235105551025D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭或【222233199()12310510525D X ⎛⎫=⨯+⨯+⨯-=⎪⎝⎭】（2)解：4951063()5k A P A A ⨯==Q ，即采用不放回摸球，每次取到红球的概率都为()35k P A =：41234381()()()()5625P A P A P A P A ⎛⎫∴==⎪⎝⎭又()14661234510A C 65436181A 10987635625P A A A A ⨯⨯⨯⨯===<⨯⨯⨯⨯，则()()()()()12341234P A A A A P A P A P A P A <．（3)因为()222332540.43255125P C =⨯=⎛⎫ ⎪⎝⎭=，()()213235133313255C C 11852512C 25(1)(2)6NNN N N N N P N N N N N ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-⋅ ⎪⎝⎭===⨯----，120.003P P -≤Q ，即311850.4320.00325(1)(2)N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭⨯-≤--，即311850.43525(1)(2)N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭⨯≤--，即31295(1)(2)48N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤--，由题意知()()120N N -->，从而()()348129125N N N N ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭--，化简得21952900N N -+≥，解法1：又0N >，290195N N ∴+≥，令()()2900f x x x x=+>，则()2222902901x f x x x-'=-=，所以当0x <<()0f x '<，当x >()0f x '>，所以()f x在(上单调递减，在)+∞上单调递增，【此处证单调性另解：()()2900f x x x x =+>为对勾函数，()29034.06f x x x=+≥≈，（当且仅当x =)．所以()f x在(上单调递减，在)+∞上单调递增】所以()f x在17.03x =≈处取得最小值，从而290y N N=+在18N ≥时单调递增，当20N ≤时，290147N N +<，又290193194.50195193+≈<，290194195.49195194+≈>，∴当194N ≥时，符合题意考虑到25N ，35N 都是整数，则N 一定是5的正整数倍，所以N 至少为195时，在误差不超过0.003（即120.003P P -≤)的前提下认为超几何分布近似为二项分布．解法2：化简得21952900N N -+≥，19519542902N -<或19519542902+，Q N 为整数，1N ∴≤或194N ≥25N Q ，35N 都是整数，则N 一定是5的正整数倍，所以N 至少为195时，在误差不超过0.003（即120.003P P -≤)的前提下认为超几何分布近似为二项分布．19．（1)()()ln 22f x x x b b =+->，定义城为(0,)+∞，所以，()120f x x'=+>在(0,)+∞上恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为()()1ln12202f b b b =+-=-<>，()()ln 26ln 02f b b b b b b b =+-=+>>，所以，存在唯一()1,a b ∈，使得()0f a =，即：()f x 有唯一零点a ，且()1,a b ∈；（2)（i)由（1)知()12f x x'=+，所以，曲线()f x 在()(),n n x f x 处的切线斜率为12n nk x =+，所以，曲线()f x 在()(),n n x f x 处的切线方程为()()()n n n y f x f x x x '-=-，即12,ln 1nn nx y x x b x +=+--，令0y =得ln (1)12n n nnx x b x x x -++=+，所以，切线与x 轴的交点ln (1),012n n n nx x b x x ⎛⎫-++⎪+⎝⎭，即1ln (1)12n n n n n x x b x x x +-++=+，所以，ln (1)()12n n nn nx x b x g x x -++=+；证明：（ii)对任意的()0,n x ∈+∞，由（i)知，曲线()f x 在()(),n n x f x 处的切线方程为：12ln 1n n n x y x x b x +=+--，故令12()ln 1nn nx h x y x x b x +==+--，令1()()()ln ln 1ne F xf x h x x x x x =-=--+，所以，()11n n n x xF x x x x x-'=-=，所以，当()0,n x x ∈时，()0F x '>，()F x 单调递增，当(),n x x ∈+∞时，()0F x '<，()F x 单调递减，所以，恒有()()0n F x F x ≤=，即()()f x h x ≤恒成立，当且仅当n x x =时等号成立，另一方面，由（i)知，1()()n n n n f x x x f x +=-'，且当n x a ≠时1n n x x +≠，（若n x a =，则()()0n f x f a ==，故任意11n n x x x a +====L ，显然矛盾)，因为1n x +是()h x 的零点，所以()()()110n n f x h x f a ++<==，因为()f x 为单调递增函数，所以，对任意的n x a ≠时，总有1n x a +<，又因为1x a <，所以，对于任意*n N ∈，均有n x a <，所以，()0n f x '>，()()0n f x f a <=，所以1()()n n n n n f x x x x f x +=->'，综上，当()11,x a ∈，总有1n n x x a +<<．。
福建省福州第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
福建省福州第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知,a b r r 为不共线向量，()5,28,3AB a b BC a b CD a b =+=-+=-u u u r u u u r u u u r r r r r r r ，则（ ） A ．,,A B D 三点共线 B ．,,A B C 三点共线 C ．,,B C D 三点共线D ．,,A C D 三点共线2．如图，西周琱生簋（guǐ）是贵族琱生为其祖先制作的宗庙祭祀时使用的青铜器．该青铜器可看成由上、下两部分组成，其中上面的部分可看作圆台，下面的部分可看作圆柱，且圆台和圆柱的高之比约为3:5，圆台的上底面与圆柱的底面完全重合，圆台上、下底面直径之比约为4:5，则圆台与圆柱的体积之比约为（ ）A ．81:80B ．61:80C ．8:9D ．2:13．设函数2,0,()2,0,x x x f x x ⎧≤=⎨>⎩则满足()14f x ->的x 的取值范围是（ ）A ．()1,3-B ．()1,+∞C ．()()1,13,-+∞UD ．()(),13,-∞-+∞U4．i 为虚数单位，复平面内表示复数2iz i-=+的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．已知直线π12x =是函数()()()2cos 2f x x x ϕϕ=+++（0πϕ<<）图象的一条对称轴，将函数()f x 的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 在ππ,46⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ） A ．12B ．1-C ．2-D ．3-6．若定义在R 上的函数()f x 满足：π04f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且对任意1x ，2x ∈R ，都有()()()121212π44f x x f x x f x f x ⎛⎫++-=⋅+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()00f =B ．()f x 为偶函数C ．π是()f x 的一个周期D ．()f x 图象关于π4x =对称 7．若不等式()sin 04a x b x π⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭，对于[]0,2x π∈成立，则()sin a b +，()cos a b -分别等于（ ）A B ； C ．D ．8．将方程2sin cos x x x =的所有正数解从小到大组成数列{}n x ，记()1cos n n n a x x +=-，则122021a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．B ．4-C ．D ．6-二、多选题9．已知甲乙两人进行射击训练，两人各试射5次，具体命中环数如下表（最高环数为10.0环），从甲试射命中的环数中任取3个，设事件A 表示“至多1个超过平均环数”，事件B 表示“恰有2个超过平均环数”，则下列说法正确的是（ ）A ．甲试射命中环数的平均数小于乙试射命中环数的平均数B ．甲试射命中环数的方差大于乙试射命中环数的方差C ．乙试射命中环数的的25%分位数是9.2D ．事件A ，B 互为对立事件10．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()22f x f x -=+，且当[]0,2x ∈时，()2e 1,01,44,1 2.x x f x x x x ⎧-≤≤=⎨-+<≤⎩若关于x 的不等式()m x f x ≤的整数解有且仅有9个，则实数m的取值可以是（ ）A ．e 16- B ．e 17- C ．e 18- D ．e 19- 11．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 分别在棱BC 、1CC 上，CP x =，CQ y =，[]0,1x ∈，[]0,1y ∈且220x y +≠，过A 、P 、Q 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -得到截面多边形，则（ ）A ．x y =时，截面一定为等腰梯形B ．1x =时，截面一定为矩形且面积最大值为C ．存在x ，y 使截面为六边形D ．存在x ，y 使1BD 与截面平行三、填空题12．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，4i e 表示的复数在复平面中位于第象限.13．已知函数π()sin()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将函数()f x 图象上所有的点向右平移π4个单位长度得到函数()g x 的图象，则π4g ⎛⎫⎪⎝⎭的值为．14．已知函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数，在[]0,3上单调递减，并且()22522a f m m f m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭>-+-，则m 的取值范围是.四、解答题15．已知函数()2sin 4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（Ⅰ）求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）已知a 为第二象限角，且cos 2a =，求()f a 的值． 16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，22AB AD ==，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点.(1)若1PA =.（i ）求证：AE ⊥平面PCD ；（ii ）求直线BE 与平面PCD 所成角的正弦值；(2)若平面BCE 与平面CED ，求P A .17．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积，且20S AC ⋅=u u r u u u r．(1)求A 的大小；(2)若a =1b =，D 为直线BC 上一点，且AD AB ⊥，求△ABD 的周长．18．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =3AB AC ⋅=uu u r uu u r，再从条件①sinsin 2B Cb a B +=，②()tan 2tan b Ac b B =-这两个条件中选择一个作为已知． (1)求ABC V 的内切圆半径r ；(2)设()1sin sin cos cos24f x A x x x m ωωω=+-，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2．若()f x 在70,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恰有3个不同的零点1x ，2x ，3x ，求123x x x ++的范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19．已知定义在R 上的函数1()421()x x f x m m m +=⋅-+-∈R ． (1)当1m =时，求()f x 的值域；(2)若函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，求实数m 的取值范围；(3)若函数()y g x =的定义域内存在0x ，使得()()002g a x g a x b ++-=成立，则称()g x 为局部对称函数，其中(,)a b 为函数()g x 的局部对称点．若(1,0)是()f x 的局部对称点，求实数m 的取值范围．。
离散数学(2)名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
第4章 函数
例4.1-5 f :N→N f (x)=x－10, 对x＞100 f (x)=f (f (x+11)), 对x≤100 这个函数有如下特征, 对全部0≤x≤100, f (x)=91, 其 他情况f (x)=x－10. 在归纳定义旳集合上用递归(涉及归纳)措施定义一 函数, 所得未必是函数. 尤其, 目前域旳归纳定义允许某 些元素能用多种措施构造时, 更易出现这一情况. 假如 定义得满足函数定义, 我们说这函数是良定旳. 当一函 数是递归定义时, 常需证明它是良定旳.
f 称为具有前域X, 陪域Y旳偏函数. 而对任一 x∈X－X′, 说f (x)无定义.
X′=X时, 也符合以上定义, 故函数也可看作偏函数. 有时为了强调此种情况而称为全函数. 但一般仍称全函
数为函数, 仅当X′ X时称为偏函数.
第4章 函数
例4.1-7
(a) 求实数方根旳运算是从R到R旳偏函数 x , 对x＜
0无定义.
(b) 从R到R旳偏函数 f (x) 1 , 对自变元x=0
和x=1无定义.
x(x 1)
(c) 计算机程序是偏函数, 此偏函数旳自变元是程序 旳输入, 偏函数旳值是程序旳输出, 假如输入使程序不 终止或不正常终止, 则对这么旳输入偏函数无定义.
第4章 函数
4.1.5 函数前域旳扩大和缩小 有时我们需要缩小所给函数旳前域, 或扩大所给函
数旳前域以创建新旳函数. 为此有下列定义.
定义4.1―5 设f :X→Y, X′ X, f 到X′旳限制是一函数,
记为f ｜x′, 定义如下:
f |x: X Y f |x ( x) f ( x)
第4章 函数
定义4.1―6 设f :X′→Y, g:X→Y而X′X. 假如g｜x′=f , 那么, g是f 到前域X旳开拓.
离散数学第十六章课件省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
Sc={c,f,h}
g
h
i
Sd={d,h,i}
Se={e,f,i}
基本割集系统为：{Sa , Sb , Sc , Sd , Se}
割集秩为5.
14
实例
例 下图实线边所示为生成树，求基本回路系统与基本割集系统
解 弦e, f, g相应旳基本回路分别为 Ce=e b c, Cf=f a b c, Cg=g a b c d, C基={Ce, Cf, Cg}.
所求最小生成树如 图所示，W(T)=38.
17
16.3 根树及其应用
定义16.6 有向树T ——基图为无向树旳有向图。 (1) T 为根树——T 中一种顶点入度为0，其他顶点入度均为1
旳有向树. (2) 树根——入度为0旳顶点 (3) 树叶——入度为1，出度为0旳顶点 (4) 内点——入度为1，出度不为0旳顶点 (5) 分支点——树根与内点旳总称 (6) 顶点v旳层数——从树根到任意顶点v旳途径旳长度（即
途径中旳边数） (7) 树高——T 中全部顶点旳最大层数 (8) 平凡根树——平凡图
18
根树实例
根树旳画法:树根放上方,省去全部有向边上旳箭头 如右图所示
a是树根 b,e,f,h,i是树叶 c,d,g是内点 a,c,d,g是分支点 a为0层;1层有b,c; 2层有d,e,f; 3层有g,h; 4层有i. 树高为4
6
子图
定义14.8 G=<V,E>, G =<V ,E >
(1) G G —— G 为G旳子图，G为G 旳母图
(2) 若G G且V =V，则称G 为G旳生成子图
(3) 若V V或E E，称G 为G旳真子图
(4) V （V V且V
）旳导出子图，记作G[V ]
【全国百强校】福建省福州第一中学人教版高中数学复习课件：教学主张(共43张PPT)
如何“朴”
三、练习少而精，感悟朴实之力量
练习不在于多，切忌“机械模仿”“题海战 术”，而在于简明扼要，体现“精”而“实”。 有效的课堂练习不仅是学生减负的重要途 径，更是学生快乐学习的重要前提。通过不同 形式、不同层次的练习，既使学生更加准确理 解和掌握基础知识，又能提升学生的数学思维 能力和数学素养。
一、有情：理解教师，理解我们 的职业
带着情走进课堂！
有情
用心爱学生！ 用心爱自己！
用心爱数学！ 用心爱课堂！
如何“真”
二、有料：理解数学
理解数学奠定了教学的前提与基础， 只有理解数学，才能准确的确定教学目 标与任务，从而在目标的驱动下，准确 解析教学任务中所蕴含的数学思想。
理解数学
学习不止！ 潜心研究！
如何“真”
一、有情：理解教师，理解我们 的职业
对自己要有信心！
别人把我当人看， 我把自己当牛使； 别人把我当牛使， 我把自己当人看！
如何“真”
一、有情：理解教师，理解我们 的职业
尊重我们的职业！
“教师”和“教育”不仅是我的职业， 我的岗位，更是我的情怀，我的追求、 我的认识！——余文森
如何“真”
为何“真”
我们数学课的问题在于，课堂上根 本没有数学！ 解题！应试！ 忽略了数学思维和能力的培养！更谈 不上育人了！
为何“真”
不等式组x>3,x<4的解集？
如何“真”
注重基础知识的掌握；基本方法的理 解；更应注重数学思维、数学能力和素 养的培养，为学生的终身发展打下基础。
三有：有情，有料，有法
如何“朴”
一、导入简洁，彰显朴实之美。
“好的开头是成功的一半。”简洁、有趣、 有效的导入不但能精辟地点出一节课的学习目 的，更能迅速地吸引学生的注意力，诱惑出学 生的学习兴趣，让学生较快地进入学习角色的 状态中，从而提高教学的效度。 设计导入时，我们应力求主题鲜明，不要过 多的花俏，尽快切入核心问题，避免无效信息 的干扰，保证学生充分感知对象，防止学习疲 劳，为问题探究留下更多的时间和空间。
离散数学第一章PPT课件
R 0 1 0 1 0 1 0 1
Assignments（作业）
第30页: 4
1.3 公式分类与等价式
1.3.1 公式分类 1.3.2 等价公式（等值演算） 1.3.3 基本等价式----命题定律 1.3.4 代入规则和替换规则 1.3.5 证明命题公式等价的方法
1.3.1 公式分类
定义1.13 设A是一个命题公式，对A所有可能的解释： (1)若A都为真，称A为永真式或重言式。
(2)若A都为假，称A为永假式或矛盾式。
(3)若至少存在一个解释使得A为真，称A为可满足式。
例1 从上一节真值表可知，命题公式(PQ)(P∨Q)为 重言式，(PQ)∧Q为矛盾式，PQ)∧R为可满足式。
注： 1、 永真式必为可满足式，反之则不然；永真式的否定是永 假式，反之亦然； 2、 决定一个公式是否是一个永真式、永假式或可满足式有 三种方法：真值表法（适用于变元少而简单的公式）、求主范
1.否定词(negation connective )﹁
定义1.4 复合命题“非P”称为命题P的否定，记作
P，读作非P。 P为真当且仅当P为假。
例3 设 P：离散数学是计算机专业的核心课程， 则 P:离散数学不是计算机专业的核心课 程。
2.合取词(conjunction connective )∧
命题符号化的目的在于用五个联结词将日 常语言中的命题转化为数理逻辑中的形式命题， 其关键在于对自然语言中语句之间的逻辑关系 以及命题联结词的含义要有正确的理解，使用 适当的联结词： （1）确定语句是否是一个命题；
（2）找出句中连词，用适当的命题联结词表
示。
Assignments（作业）
第30页: 3（偶数小题）
定义1.12 设A是含有n个命题变元的命题 公式，将命题公式A在所有赋值之下取值的情 况汇列成表，称为A的真值表( truth table )。 为列出一个公式的真值表，我们约定： ①命题变元按字典序排列；②对公式的每个 解释，以二进制从小到大列出；③当公式较 复杂时，可先列出子公式的真值，最后列出 所给公式的真值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
图论分支
图 论
结 构 图 论
随 机 图 论
代 数 图 论
拓 扑 图 论
离散数学
图论是离散数学的一个主要分支 广泛应用背景的基础研究 与计算机科学密切相关
离散数学
以蒸汽机的出现为标志的工业革命促进了 以微积分为基础的连续数学的发展。 以计算机的出现为标志的信息革命将促
进离散数学的发展。
计算机光纤网波长分配问题
四色问题
当年,这位学生告诉Morgan教授: 下面的例子说 明3种颜色不够,至少需4种颜色.
四色问题
转化为图论问题: 点代表国家, 两点相连当且 仅当对应的两个国家有共同边界。由此得到的 图是平面图. 四色问题: 每个平面图可用4种颜色对其点着 色,使得任何两个有边相连的点得到不同颜色. 1976年,两位计算机专家借助计算机验证,解决 了四色问题.未被数学界普遍接受.
数之和。
子图覆盖
图论: 数论: 每个2-边连通图可被3个偶图覆盖。 每个充分大的奇数是3个素数之和。
陈景润定理 : 每个充分大的偶数是一个素数 与不超过两个素数的乘积之和。 Seymour 定理 : 每个 2- 边连通图可被一个偶 图及不超过两个偶图的并所覆盖。
哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡七桥问题
证明：令G是6个点的图，x为G中一个点。与x 相邻的点集记为N,与x不相邻的点集记为R.
情形I.|N|>2.若N中有两点相连，则这两点连 同x构成一个三角形；若N中任意两点均不相 连，则N含三个两两不连的点。
情形II.|N|<2.那么|R|>2.若R中有两点不相 连，则这两点连同x是三个两两不连的点；若 R中任意两点均相连，则R含一个三角形。
1735年, 欧拉(Euler) 证明哥尼斯堡七桥问题无 解, 由此开创了数学的一个新分支---图论. 欧拉将哥尼斯堡七桥问题转化为图论问题 : 求 图中一条迹 (walk), 过每条边一次且仅一次 . 后人将具有这种性质的迹称为欧拉迹,闭的欧拉 迹也称为欧拉回路.
Fulkerson 奖。
极值图论
一般叙述 : 图的边数大于某个数时 ,该图具有某 种性质,此数的最小值称为该性质的极值. Mantel 定理(1907年): n点图的边数大于n2/4时, 该图含三角形,且n2/4是具有该性质的最小数. 上述定理是Turan定理(1941年)的特殊情形.
极值图论
Mantel 定理的证明 : 设G是不含三角形的n点图, 其最大点度数为t.不难证明G的边数至多是 f(t)=t(n-t). 该二次函数在t=n/2处取得极大值: f(n/2)=n2/4. 当n为偶数时, n个点的平衡完全二部图不含三角 形, 且边数恰为 n2/4.因此, n2/4是具有该性质的 最小数.
图的定义
图的直观定义：点与边 图的抽象定义：一个集合上的二元关系
Petersen图
两个长度为5的圈通过5条边相连，也可如 下构造：5个元素集合的所有2-子集作为点， 两点有边相连当且仅当对应的2-子集不交。 ◆ 没有长度小于5的圈
◆ 没有长度为10的圈(哈密顿圈)
◆ 边传递、点传递
◆ 不是平面图
四色问题
1852年, Morgan教授的一位学生问他: 能否给 出一个理由,为什么只需 4 种颜色，就可给任 意地图的每个国家着色，使得有共同边界的国 家着不同的颜色。 教授无语,该问题成为数学史上最著名问题之 一,对它的研究推动了图论,拓扑,代数的发展. 历史上许多著名数学家研究过四色问题并给出 错误证明.
图论及其应用
范 更 华 福州大学离散数学研究中心
离散数学及其应用教育部重点实验室
图论(Graph Theory)
现实世界中许多问题的数学抽象形式可
以用图来描述。如互联网、交通网、通讯
网、大规模集成电路、分子结构等都可以
用图来描述。对图的研究形成了一个专门 的数学分支：图论（Graph Theory)。
Ramsey数问题
一般化 : 定义 R(s,t) 为最小整数使得任意
R(s,t) 个人中 , 要么有 s 个人两两认识 , 要么有 t 个人两两不认识。 R(3,3)=6 R(4,4)=18 R(5,5)=?
Ramsey 问题 应用广、影响大。微软研究中 心的 Kim 因求解R(3, t)的工作而获 1997年
旅行推销员问题
问题提出: 一个推销员从公司出发, 访问 若干指定城市, 最后返回公司,要求设计
最优旅行路线。(费用最小)
数学抽象: 城市作为点, 两点间有边相连, 如果对应的城市间有直飞航班。机票价作 为每条边的权。
旅行推销员问题
求解 : 在图中求一个圈过每点恰好一次 ,
且边的权之和最小。(最优哈密顿问题；比
图的例子
交通网
互联网
计算机处理器连接方式
集成电路板
分子结构图
分子间相互作用及信息传递
具体应用
大型高速计算机：处理器的连接方式
互联网：信息传输及控制管理
大规模集成电路：布局、布线 数据库技术：数据的存储、检索 理论计算机科学： 子图理论对计算机算法研究的应用
具体应用
DNA序列分析：图的欧拉回路问题 机器智能与模式识别：图的同构 通讯网络：连通性，可靠性 印刷电路板检测: 12万5千次降为4次(《美国科学》 Scientific American, 9 (1997), 92-94 )
较：最优欧拉回路问题—中国邮递员问题)
难度: 应用: NP--完全问题 投币电话、自动取钞机、机器人行
走路线设计
Ramsey数问题
简单情形: 任意六个人中, 必有3个互相
认识, 或三个互相不认识。 数学抽象: 点代表人, 两点相连当且仅
当对应的两人认识。该图要么有三角形, 要么有三个点两两不连。
Ramsey数问题
在一个计算机光纤网络中，给传输信道 分配波长，两信道若有公共部分，必须得到 不同的波长。要求使用尽可能少的波长。
波长分配问题转化为图论问题
每条信道看作图的一个点。两点间有边
相连当且仅当它们对应的信道有公共部
分。波长问题等价于所构造图的点着色
问题：
给图的每个点着色，有边相连的点
须着不同的颜色。所图的某些子图共同包含了该 图的所有边，则称该图被这些子图覆盖。 子图覆盖问题：用具有某种特性的子图来
覆盖一个图。
子图覆盖
子图覆盖
四色问题的一个等价形式: 每个2-边连通
平面图可被两个偶图覆盖（偶图：每个点
与偶数条边关联; 圈是连通极小偶图）
哥德巴赫猜想: 每个大于2的偶数是两个素