导数新授课

合集下载

新高考视角下的导数新授课：导数的概念及其意义

第一节：导数的概念与几何意义课时1.导数的概念一．知识梳理 1.平均变化率一般地，函数()f x 在区间[]12,x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --,如果函数的自变量的“增量”为x ∆，且21x x x ∆=-，相应的函数值的“增量”为y ∆，21()()y f x f x ∆=-，则函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为2121()()f x f x y x x x -∆=∆- 函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势．即递增或递减幅度的大小． 2. 导数的概念（瞬时变化率）（1）函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()0000limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作()0f x '或0|x x y ='，()()()00000lim limx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'=∆∆＝导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率．（2）求导数值的一般步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③求极限，得导数：00000()()'()lim limx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆．二．典例分析例1．函数()31f x x =-+在区间[]1,2-上的平均变化率为（）A ．3B ．2C ．2-D ．3-【解析】由题，函数()31f x x =-+在区间[]1,2-上的平均变化率为()()()()()332111213213f f -+-⎡⎤-⎣⎦-+--==---，故选：D 例2．某物体的运动路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系可用函数()21s t t t =++表示，则该物体在1t =s 时的瞬时速度为（）A ．0m/sB ．1m/sC ．2m/sD ．3m/s【解析】该物体在时间段[]1,1t +∆上的平均速度为()()()()()22111111113t t s t s s t t t t+∆++∆+-+++∆-∆===+∆∆∆∆，当Δt 无限趋近于0时，3t +∆无限趋近于3，即该物体在1t =s 时的瞬时速度为3m/s ．故选：D变式3．（2022·全国·高二单元测试）设函数()1f x ax =+，若()12f '=，则=a （） A ．2B ．2-C ．3D ．3-【解析】∵()()()()()0111111limlim x x f x f a x a f a x x∆→∆→+∆-∆++-+'===∆∆，且()12f '=，∴2a =．例4．已知函数()243f x ax ax b =-+，()11f '=，()12f =，求实数a ，b 的值. 【解析】()()()0111lim x f x f f x ∆→+∆-'=∆()()20441133lim x a x a x b a a b x∆→⎛⎫+∆-+∆+--+ ⎪⎝⎭=∆()2002223lim lim 133x x a x a x a x a a x ∆→∆→∆+∆⎛⎫==∆+== ⎪∆⎝⎭，∴32a =.又()4123f a a b =-+=，∴52b =. 故32a =，52b =. 下面的问题主要考察了导数定义深层次的理解例5．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二期末）已知()f x 是定义在R 上的可导函数，若(3)(3)lim4x f x f x x∆→-∆-+∆=∆，则()3f '=（）A ．0B ．2-C ．1D ．12-【解析】因为0(3)(3)lim1x f x f x x ∆→-∆-+∆=∆，所以0(3)(3)(3)(3)lim x f x f f f x x∆→-∆-+-+∆∆，0(3)(3)(3)(3)limlim 2(3)4x x f x f f x f f x x'-∆→∆→-∆-+∆-=--=-=-∆∆，故()3 2.f '=-故选：B 例6．已知函数()f x 的导函数为(),(2)2f x f -'=-'，则0(24)(2)lim x f x f x∆→--∆--=∆（）A ．8-B ．2-C ．2D ．8【解析】由导数定义和()22f '-=-，得0(24)(2)(24)(2)lim(4)lim 4(2)84x x f x f f x f f x x∆→∆→--∆----∆--'=-⨯=--=∆-∆.故选：D.三．习题演练习题1．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()15f '=，则()()121lim x f x f x∆→+∆-=∆（） A ．2B ．52C ．5D ．10【解析】因为()15f '=，所以()()()()()012121102121lim 2limx x f x f f xf x f x∆→∆→+∆-=-'=∆+∆=∆，故选：D.习题2．已知函数()21f x x =+，则()()22limx f x f x x∆→+∆--∆=∆（）A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】因为()21f x x =+，所以()()()()2200222121lim lim x x f x f x x x x x ∆→∆→+∆--∆+∆+--∆-=∆∆ 08lim8x xx∆→∆==∆故选：D习题3．设函数()f x 在=1x 处存在导数为2,则()()11lim3x f x f x∆→+∆-=∆=_______________．【解析】由极限的运算法则结合导函数的定义可得： ()()011lim3x f x f x ∆→+∆-∆=()()0111lim 3x f x f x∆→+∆-∆=()31213f '⨯=.故答案为：23习题4．（2022·重庆市璧山来凤中学校高二阶段练习）已知()0f x m '=，则()()0003limx f x x f x x∆→-∆-=∆_________．【解析】∵()0f x m '=，∴原式()()00Δ03Δ3lim 3Δx f x x f x x →--=-- ()033f x m ='-=-．故答案为：3m -课时2.导数的几何意义一．基本原理1.平均变化率的几何意义——曲线的割线函数()y f x =的平均变化率2121()()f x f x y x x x -∆=∆-的几何意义是表示连接函数()y f x =图像上两点割线的斜率．如图所示，2121()()A B AB A B y y f x f x yk x x x x x--∆===--∆．这样，平均变化率的正负与割线斜率正负一致.2.导数的几何意义——曲线的切线定义：如图，当点00(,)Q x x y y +∆+∆沿曲线无限接近于点00(,)P x y ，即0x ∆→时，割线PQ 的极限位置直线PT 叫做曲线在点P 处的切线．T 也就是：当0x ∆→时，割线PQ 斜率的极限，就是切线的斜率．即：0000()()limlim ()x x f x x f x yk f x x x∆→∆→+∆-∆'===∆∆．备注：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关．（2）切线斜率的本质———函数在0x x =处的导数．（3）曲线的切线的斜率的符号可以刻画函数的增减性． ①若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的导数不存在，但有切线，则切线与x 轴垂直．②0()0f x '>，切线与x 轴正向夹角为锐角，()f x 瞬时递增；0()0f x '<，切线与x 轴正向夹角为钝角，()f x 瞬时递减；0()0f x '=，切线与x 轴零度角，瞬时无增减．（4）曲线的切线可能和曲线有多个公共点；为什么要用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线？” 过去我们定义圆的切线就是“与圆有且只有一个公共点的直线”，这个定义符合圆、椭圆等一类曲线，那么，能否对任何曲线C 都用“与C 有且只有一个公共点”来定义C 的切线呢？如图的曲线C 是我们熟知的正弦曲线sin y x =的一部分，直线l 2显然与曲线C 有唯一公共点M ，但我们不能说直线l 2与曲线C 相切；而直线l 1尽管与曲线C 有不止一个公共点，但我们可以说直线l 1是曲线C 在点N 处的切线．3. 曲线的切线的求法（导数法）（1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点00(,())x f x 的坐标；②求出函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x ' ③得切线方程00()()()y f x f x x x '-=- 二．典例分析例1．（2022·全国·高二课时练习）曲线()2f x x=-在点()1,2M -处的切线方程为______．【解析】因为()()2211211f x f x x x x-++∆-+∆==∆∆+∆，当0x ∆→时，()()112f x f x+∆-→∆，所以()12f '=，即切线的斜率2k =，所以切线方程为()221y x +=-，即240x y --=．故答案为：240x y --= 例2．2(5)3lim2,(3)32x f x f x →--==-，()f x 在(3,(3))f 处切线方程为（）A ．290x y ++=B ．290x y +-=C ．290x y -++=D ．290x y -+-=【解析】由已知，2(5)3lim2,(3)32x f x f x →--==-，令2x x ∆=-，∴()()033lim x f x f x∆→-∆-∆＝()()()033lim32x f x f f x ∆→-∆--'==-∆，解()32f '=-，∴()f x 在(3,(3))f 处切线方程为32(3)y x -=--，即290x y +-=．故选：B ．例3．（2022·全国·高二课时练习）曲线23y x x =-的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________.【解析】设切点坐标为()00,x y ，()()()22200000003323lim lim231x x x x x x x x x x x x k x xx∆→∆→+∆-+∆-+∆-∆+∆===-=∆∆，解得02x =，20262y =-=-.切点为()2,2-. 故答案为：()2,2-.例4．如图，函数()y f x =的图像在点P 处的切线方程是9y x =-+，则()()55f f '+=（）A ．-2B ．3C ．2D ．-3【解析】因为函数()y f x =的图像在点P 处的切线方程是9y x =-+，所以()()5594,51f f '=-+==-，所以()()55413f f '+=-=，故选：B.例5．已知函数()y f x =的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，则（）A ．(4)(2)(2)(4)2f f f f '<'-<B ．(4)(2)(4)(2)2f f f f -<<'' C ．(4)(2)(2)(4)2f f f f -<<'' D ．(4)(2)(4)(2)2f f f f ''-<< 【解析】如图所示，根据导数的几何意义，可得(2)f '表示曲线在A 点处的切线的斜率，即直线1l 的斜率1l k ，(4)f '表示曲线在B 点处的切线的斜率，即直线2l 的斜率2l k ，又由平均变化率的定义，可得(4)(2)2f f -表示过,A B 两点的割线的斜率l k ，结合图象，可得12l l l k k k <<，所以(4)(2)(2)(4)2f f f f '<'-<.故选：A. 题型：过某点的曲线的切线例6．试求过点(1,3)P -且与曲线2yx 相切的直线的斜率．【解析】设切点坐标为()00,x y ，则有200y x =．因为2200()limlim 2x x y x x x y x x x∆→∆→∆+∆-'===∆∆，所以02k x =．切线方程为()0002y y x x x -=-，将点(1,3)-代入，得02200322x x x --=-，所以200230x x --=，得01x =-或03x =．当01x =-时，2k =-；当03x =时，6k =．所以所求直线的斜率为2-或6．例7．已知函数()32y f x x x ==+-，直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．【解析】设切点为()00,x y ，因为()()()()()3300000022y x x x f x f x x x x x =+-=+++--+∆∆∆-∆()()()20320313x x x x x =+++∆∆∆，所以()2200313x x y x x x ∆∆+∆+∆=+．当x ∆趋于0时，y x∆∆趋于2031x +，即()20031f x x '=+，所以切线方程为()()()320000231y x x x x x -+-=+-，因为切线过原点，所以()()320000231x x x x -+-=-+，所以3022x =-，解得01x =-，所以()14f '-=，故直线l 的方程为4y x =，又()14f -=-，所以切点的坐标为()1,4--．课时3. 复习与习题讲评一．基本原理知识点1（易错点）. 在点求切线与过点求切线1. 求曲线在某点（切点))(,(00x f x ）处的切线方程的步骤：2.切线过点))(,(11x f x ，求切线的方法：(要理解过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点)，求法步骤：①设切点()()00,x f x ，②建立切线方程00()()()y f x f x x x '-=-，③代入点))(,(11x f x 到切线方程中，利用此时切点在切线且在曲线上，即同时满足方程：⎪⎩⎪⎨⎧--==01010'00)()()()(x x x f x f x f x f y解出切点坐标，从而写出切线方程．知识点2.导函数的概念由函数()f x 在0x x =处求导数的过程可以看到，当时，0()f x '是一个确定的数，那么，当x 变化时，便是x 的一个函数，我们叫它为f （x ）的导函数．记作：()f x '或y '，即：0()()()limx f x x f x f x y x ∆→+∆-''==∆注：（1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数．（2）函数的导数，是指某一区间内任一点x 而言的，也就是函数()f x 的导函数．（3）函数()f x 在点0x 处的导数()f x '就是导函数()f x '在0x x =处的函数值．在点00(,())x f x 处的切线与过点00(,)x y 的切线的区别．在点00(,())x f x 处的切线是说明点00(,())x f x 为此切线的切点；而过点00(,)x y 的切线，则强调切线是过点00(,)x y ，此点可以是切点，也可以不是切点．因此在求过点00(,)x y 的切线方程时，先应判断点00(,)x y 是否为曲线()f x 上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点11(,())x f x ，求过此切点的切线方程111()()y y f x x x '-=-，再将点00(,)x y 代入，求得切点11(,())x f x 的坐标，进而求过点00(,)x y 的切线方程．知识点3.证明：在定义域R 上，奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数二．典例分析例1．曲线()1y f x x ==在点P 处的切线与直线14y x =垂直，则点P 的坐标为______．【解析】易知曲线在点P 处的切线的斜率为4-，设001,P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，因为()()()()00000000111f x x f x x x x x x x xx x x x x x -+∆-+∆-∆===-∆∆∆+∆+∆，当0x ∆→时，()()00201f x x f x x x +∆-→-∆，所以02011=42x x --⇒=±，则点P 的坐标为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．故答案为：1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.例2．设函数()f x 在2x =处的导数存在，则()122f '-=（）. A ．()()022lim2x f x f x∆→+∆-∆B ．()()022lim2x f f x x∆→-+∆∆C ．()()022lim 2x f x f x∆→-∆-∆D ．()()022lim 2x f f x x∆→--∆∆【解析】因为函数()f x 在2x =处的导数存在，所以()()()()()00222211limlim 2222x x f f x f x f f x x ∆→∆→-+∆+∆-'=-=-∆∆，故B 正确.又∵()()()()()00222211limlim 2222x x f x f f x f f x x ∆→∆→-∆--∆-'=-=-∆-∆，所以C 正确. 故选：BC.例3函数()f x 的定义域为R ，()31f x -为奇函数，且()1f x -的图像关于1x =对称．若曲线()f x 在1x =处的切线斜率为2，则曲线()f x 在2023x =处的切线方程为（） A ．24046y x =-+ B ．24046y x =+ C ．24046y x =-D ．24046y x =--【解析】因为()31f x -为奇函数，即()()3131f x f x --=--，所以，函数()f x 的图像关于点()1,0-对称，即()()2f x f x --=-，因为()1f x -的图像关于1x =对称，所以()f x 的图像关于0x =对称，即()()=f x f x -，所以，()()()22f x f x f x --=+=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，所以曲线()f x 在2023x =处的切线斜率等于曲线()f x 在=1x -处的切线斜率，因为曲线()f x 在1x =处的切线斜率为2，图像关于0x =对称，所以，曲线()f x 在=1x -处的切线斜率为2-，因为()()11f f =-，()()11f f -=--，所以()()110f f =-=，所以()()120230f f =-=，所以曲线()f x 在2023x =处的切线方程为()022023y x -=--，即24046y x =-+.故选：A变式2．（2022·陕西安康·高二期末（文））为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c 与时间t 的关系为()c f t =，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t 变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（）A ．在1t 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；B ．在2t 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同；C ．在[]23,t t 这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；D ．在[]12,t t ，[]23,t t 两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同．【答案】D【解析】A 选项，根据图象可知，在1t 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A 选项结论正确.B 选项，根据图象以及导数的知识可知，在2t 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同， B 选项结论正确.C 选项，根据图象可知，在[]23,t t 这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同，C选项结论正确.,t t这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率为大于D选项，根据图象可知，在[]12,t t这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率在[]23D选项结论错误.故选：D。

新课标高中数学导数教案

新课标高中数学导数教案
教学内容：导数
教学目标：
1. 理解导数的概念，掌握导数的几何意义和计算方法。

2. 能够计算常见函数的导数，并应用导数解决实际问题。

3. 培养学生分析问题，解决问题的能力。

教学重点难点：
1. 导数的概念和几何意义。

2. 常见函数的导数计算和应用。

教学准备：
1. 教材：教材《新课标高中数学导数》。

2. 工具：计算器、板书、教学PPT。

3. 教学资源：实例题目、练习题目、教学视频。

教学步骤：
一、导入导数的概念（10分钟）
1. 讲解导数的定义和几何意义。

2. 通过实例和图片解释导数的概念。

二、常见函数的导数计算（20分钟）
1. 讲解常见函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数）的导数计算方法。

2. 解答学生提出的疑问。

三、导数的应用（20分钟）
1. 讲解导数在函数图像的意义和应用。

2. 通过实际问题解析导数的应用。

四、练习与讲解（20分钟）
1. 给学生出一些导数的计算题目，让学生练习。

2. 讲解练习题目的解题方法，并与学生一起讨论。

五、总结与拓展（10分钟）
1. 总结本节课学习的内容。

2. 拓展导数的更多应用和相关知识。

教学反馈：
1. 请学生完成一份导数的练习题，并交给老师批改。

2. 鼓励学生在课后多加练习，提高对导数的理解和运用能力。

希望以上教案范本可以帮助老师更好地教授高中数学导数这一内容，并提高学生的学习效果。

祝教学顺利！。

高中初学导数教案模板

一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解导数的概念，掌握导数的几何意义；（2）学会求函数在某一点的导数，并能运用导数解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳等方法，发现函数在某一点的导数与切线斜率之间的关系；（2）通过实例，体会导数在研究函数性质中的应用。

3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对导数的兴趣，培养其数学思维；（2）使学生认识到导数在科学研究、工程技术等领域的重要性。

二、教学重难点1. 教学重点：（1）导数的概念；（2）导数的几何意义；（3）求函数在某一点的导数。

2. 教学难点：（1）导数的概念理解；（2）导数的几何意义与切线斜率之间的关系；（3）运用导数解决实际问题。

三、教学准备1. 教学资源：多媒体课件、黑板、粉笔、教具（如直尺、圆规等）。

2. 学生准备：预习相关内容，掌握函数、切线等基础知识。

四、教学过程（一）导入1. 复习函数的概念，引出切线的概念。

2. 提问：如何求函数在某一点的切线斜率？（二）新课讲解1. 导数的概念：通过实例引入导数的概念，强调导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

2. 导数的几何意义：讲解导数的几何意义，即导数表示函数在某一点的切线斜率。

3. 求导法则：讲解基本求导法则，如幂函数、指数函数、对数函数的求导法则。

（三）例题讲解1. 例题1：求函数f(x) = x^2在x=1处的导数。

2. 例题2：求函数f(x) = e^x在x=0处的导数。

（四）课堂练习1. 练习1：求函数f(x) = x^3在x=2处的导数。

2. 练习2：求函数f(x) = ln(x)在x=1处的导数。

（五）课堂小结1. 总结导数的概念、几何意义和求导法则；2. 强调导数在研究函数性质中的应用。

五、作业布置1. 完成课后习题，巩固所学知识；2. 查阅相关资料，了解导数在实际问题中的应用。

六、教学反思1. 关注学生的学习情况，及时调整教学策略；2. 引导学生主动参与课堂活动，培养其数学思维；3. 注重导数在实际问题中的应用，提高学生的实际操作能力。

高中求导课程讲解教案模板

课程目标：1. 理解导数的概念，掌握导数的定义及求导方法。

2. 熟悉常见的导数公式，能够灵活运用公式进行求导。

3. 学会求复合函数的导数，掌握复合函数求导法则。

4. 培养学生分析问题和解决问题的能力。

教学对象：高中一年级学生教学时间：2课时教学重点：1. 导数的定义及求导方法。

2. 常见导数公式的运用。

3. 复合函数求导法则。

教学难点：1. 导数的概念理解。

2. 复合函数求导法则的运用。

教学过程：第一课时一、导入1. 复习函数的概念，引出函数的增减性。

2. 提出问题：如何判断函数在某一点的增减性？二、新课讲解1. 导数的定义：介绍导数的概念，讲解导数的定义式。

2. 求导方法：讲解导数的四种求导方法，即直接求导、链式求导、乘积求导、商求导。

3. 常见导数公式：介绍常见的导数公式，如常数、幂函数、三角函数、指数函数、对数函数等。

三、课堂练习1. 让学生独立完成一些求导题目，巩固所学知识。

2. 教师巡视指导，解答学生在求导过程中遇到的问题。

四、总结1. 总结本节课所学内容，强调导数的概念和求导方法。

2. 布置课后作业，巩固所学知识。

第二课时一、复习1. 回顾上节课所学内容，检查学生对导数概念和求导方法的掌握情况。

2. 让学生独立完成一些求导题目，巩固所学知识。

二、复合函数求导1. 介绍复合函数的概念，讲解复合函数求导法则。

2. 通过实例讲解复合函数求导法则的运用。

3. 让学生独立完成一些复合函数求导题目，巩固所学知识。

三、课堂练习1. 让学生独立完成一些复合函数求导题目，巩固所学知识。

2. 教师巡视指导，解答学生在求导过程中遇到的问题。

四、总结1. 总结本节课所学内容，强调复合函数求导法则。

2. 布置课后作业，巩固所学知识。

教学反思：1. 本节课通过讲解导数的概念、求导方法以及复合函数求导法则，帮助学生掌握了求导的基本技能。

2. 在课堂练习环节，注重培养学生的实际操作能力，提高学生的解题技巧。

3. 教师应关注学生的学习情况，及时解答学生在学习过程中遇到的问题，确保教学效果。

高中数学新教材人教A版《导数的概念》优秀说课稿模板

高中数学新教材人教A版《导数的概念》优秀说课稿模板一、教学目标•通过本节课的学习，使学生掌握导数的概念和计算方法。

•培养学生分析问题、解决问题的能力。

•培养学生的逻辑思维和推理能力。

二、教学重点•导数的概念的理解。

•导数的计算方法的掌握与运用。

三、教学内容1.导数的定义–导数的定义及其基本含义。

–导数的几何意义。

2.导数的计算–导数的计算公式。

–导数的运算法则。

–利用导数计算函数的极值。

四、教学过程1. 导入导出介绍本节课将学习的内容：《导数的概念》。

2. 导数的定义引导学生思考：如何理解导数的定义？导数的几何意义是什么？通过实际例子向学生解释导数的定义及其基本含义，并讲解导数的几何意义。

3. 导数的计算a. 导数的计算公式•引导学生回顾常见函数的导数计算公式，并通过练习题让学生熟悉常见函数的导数计算方法。

b. 导数的运算法则•介绍导数的四则运算法则，并通过例题让学生掌握导数的运算法则。

c. 利用导数计算函数的极值•引导学生了解导数与函数极值之间的关系，并通过例题让学生掌握如何利用导数计算函数的极值。

4. 练习与巩固通过一些练习题，让学生巩固所学的内容，并引导学生在解题过程中养成合理思维和推理的习惯。

5. 拓展延伸通过拓展延伸的问题，提高学生的思维拓展能力和创新思维能力，并培养学生独立解决问题的能力。

6. 总结与反思总结本节课所学内容，帮助学生巩固所学知识，并引导学生进行思考和反思。

五、教学资源•课本：高中数学教材人教A版。

六、教学评价与作业布置1. 教学评价•对学生掌握导数的概念和计算方法的程度进行评价。

•通过讲解中与学生的互动，对学生的思维能力和逻辑推理能力进行评价。

2. 作业布置布置若干道练习题作为课后作业，巩固所学知识。

七、板书设计•导数的定义•导数的计算公式•导数的运算法则•利用导数计算函数的极值八、教学反思通过此次课堂教学，我发现学生对导数的概念理解较为深刻，能熟练运用导数的计算方法。

导数课堂教学设计方案

1. 知识与技能目标：（1）理解导数的概念，掌握导数的计算方法；（2）能够运用导数解决实际问题。

2. 过程与方法目标：（1）通过观察、实验、类比等方法，引导学生探究导数的概念；（2）通过小组合作、讨论交流等方式，提高学生运用导数解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观目标：（1）培养学生对数学的热爱，激发学习兴趣；（2）培养学生严谨、求实的科学态度。

二、教学内容1. 导数的概念2. 导数的计算3. 导数在解决实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）导数的概念；（2）导数的计算方法。

2. 教学难点：（1）导数的概念理解；（2）导数在解决实际问题中的应用。

四、教学过程1. 导入新课（1）复习函数、极限等知识，为导数的概念引入做好铺垫；（2）通过实际生活中的例子，引导学生思考如何研究函数的变化率。

2. 探究导数的概念（1）引导学生观察函数图像，发现函数在一点处的变化趋势；（2）通过类比极限的概念，引导学生理解导数的定义；（3）通过实例讲解，让学生掌握导数的计算方法。

3. 导数的计算（1）讲解导数的四则运算法则；（2）通过例题讲解，让学生掌握导数的计算方法；（3）布置练习题，巩固所学知识。

4. 导数在解决实际问题中的应用（1）通过实例讲解，让学生了解导数在解决实际问题中的应用；（2）引导学生运用导数解决实际问题，提高学生解决问题的能力；（3）布置实践性作业，让学生将所学知识应用于实际生活中。

5. 总结与反思（1）引导学生回顾本节课所学内容，总结导数的概念、计算方法及在解决实际问题中的应用；（2）反思本节课的学习过程，找出自己的不足，为今后的学习做好准备。

五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、发言积极性等；2. 作业完成情况：检查学生对导数的概念、计算方法及在解决实际问题中的应用的掌握程度；3. 实践性作业：评估学生将所学知识应用于实际生活的能力。

高中直播数学导数教案模板

高中直播数学导数教案模板
一、教学内容
1. 导数的概念和性质
2. 导数的计算方法
3. 导数在实际问题中的应用
二、教学目标
1. 理解导数的概念和性质
2. 熟练掌握导数的计算方法
3. 能够运用导数解决实际问题
三、教学重点
1. 导数的概念和性质
2. 导数的计算方法
四、教学难点
1. 导数的应用
五、教学过程
1. 导入：通过举例引入导数的概念，让学生了解导数的作用和意义。

2. 教学核心：讲解导数的定义和性质，以及导数的计算方法，通过实例逐步深入理解。

3. 拓展应用：结合实际问题，引导学生运用导数解决具体的应用问题。

4. 总结归纳：总结导数的相关知识点，强化学生的理解和记忆。

六、作业布置
1. 完成课后练习题，巩固导数的相关知识。

2. 设计一个实际问题，用导数方法求解。

七、教学反思
1. 教学过程中是否引导学生深入思考，掌握导数的本质？
2. 学生对导数的理解和应用是否到位，是否需要加强弱项的练习和指导？
以上是一份高中直播数学导数教案的模板范本，教师可根据实际情况和教学需求进行调整和完善。

高考视角下的导数新授课专讲 04

第1课时：极值的定义与计算（一）函数的极值的定义：一般地，设函数()f x 在点0x x =及其附近有定义，（1）若对于0x 附近的所有点，都有0()()f x f x <，则0()f x 是函数()f x 的一个极大值，记作0()y f x =极大值；（2）若对0x 附近的所有点，都有0()()f x f x >，则0()f x 是函数()f x 的一个极小值，记作0()y f x =极小值．极大值与极小值统称极值．在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．备注：由函数的极值定义可知：（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数()y f x =在0x x =及其附近有定义，否则无从比较，于是，定义域优先原则（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值．极小值不一定是整个定义区间上的最小值．（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．二．求函数的极值 ①确定函数的定义域； ②求导数()f x '； ③求方程()0f x '=的根；④检查()f x '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，则()f x 在这个根处取得极小值．（极值点一定必须是导函数的变号零点.）注：①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．即0()0f x '=是可导函数()f x 在点0x 取得极值的必要非充分条件．例如函数3y x =，在0x =处，(0)0f '=，但0x =不是函数的极值点．②可导函数()f x 在点0x 取得极值的充要条件是0()0f x '=，且在0x 两侧()f x '的符号相异．二．题型分析题型1.计算函数（不含参数）的极值点与极值例1．已知函数21f xx x ，则（）A ．()f x 有极小值，无极大值B ．()f x 有极大值，无极小值C ．()f x 既有极小值又有极大值D ．()f x 无极小值也无极大值解析：由题意函数21f x x x ，可得()2341(1)(31)f x x x x x '=-+=--，当1(,)3x ∈-∞时，0fx ，()f x 单调递增；当1(,1)3x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增，所以当13x =时，函数取得极大值；当1x =时，函数取得极小值. 故选：C.例2．函数()y f x '=的图像如图所示，则关于函数()y f x =的说法正确的是（）A ．函数()y f x =有3个极值点B ．函数()y f x =在区间(,4)-∞-上是增加的C ．函数()y f x =在区间(2,)-+∞上是增加的D ．当0x =时，函数()y f x =取得极大值【详解】结合导数与函数单调性的关系可知，当5x <-时，0f x ，函数单调递增，当52x -<<-时，()0f x '<，函数单调递减，当2x >-时，0fx，函数单调递增，故当5x =-时，函数取得极大值，当2x =-时，函数取得极小值.所以D 错误；故函数()y f x =有2个极值点，所以A 错误；函数()y f x =的单调性为：单增区间()()52-∞-+∞，，，；单减区间()52--，.故B 错误，C 正确.故选：C.例3．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()1y x f x '=+的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A ．函数()f x 有极大值()3f -和()3fB ．函数()f x 有极小值()3f -和()3fC ．函数()f x 有极小值()3f 和极大值()3f -D ．函数()f x 有极小值()3f -和极大值()3f解：由图可知，当3x <-时，10x +<，当()0f x '<，当31x -<<-时，10x +<，则0f x，当13x -<<时，10x +>，则0fx，当3x >时，10x +>，则()0f x '<，所以函数()f x 有极小值()3f -和极大值()3f . 故选：D. 题型2．求（含参数）函数的极值由于参数的引入会导致导函数的变号零点的存在性与大小关系不定，所以需要进行分类讨论. 故解极值点的过程同上，只是多了一步分类讨论罢了.例4．已知函数()()ln 1f x x x a x a =-++，0x >.求()f x 的极值；【详解】（1）()()ln 1f x x x a x a =-++，()0,x ∈+∞，则()ln f x x a ='- 令()0f x '=，解得e a x =.当0e a x <<时，()0f x '<；当e a x >时，0fx，所以()f x 在区间()0,e a 上单调递减，在区间()e ,a+∞上单调递增，所以()f x 有极小值，无极大值，且极小值为()e e a af a =-.例5．已知函数()1e xaf x x =++，求函数()f x 的极值.【详解】()1e x a f x x =++，定义域为R ，()e 1e ex x x a af x -=-='.①当0a ≤时， 0fx， ()f x 在R 上为增函数， ()f x 无极值.②当0a >时，令()0f x '=，得e x a =， ln x a =. 当(),ln x a ∈-∞， ()0f x '<；当 ()ln ,x a ∈+∞， 0fx；∴()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，()f x 在ln x a =取得极小值，极小值为()ln ln 2f a a =+，无极大值.综上所述，当0a ≤时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极小值()ln ln 2f a a =+，无极大值.例6．已知函数()()21e xf x x ax =++．求函数()y f x =的极值．解：因为()()21e x f x x ax =++，x ∈R ，则()()()11e xf x x a x '=+++，当0a =时()()21e 0x f x x '+≥=，所以()f x 在定义域上单调递增，不存在极值；当a<0时令()0f x '=，解得1x a =--或=1x -，又11a -->-，所以当1x a >--或1x <-时0fx，当11x a -<<--时()0f x '<，所以()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,1)a ---上单调递减，在(1,)a --+∞上单调递增，故()f x 在=1x -处取得极大值，()()21eaf x f -=-=极大值，()f x 在1x a =--处取得极小值，()()121e a a f x f a ++=--=极小值，当0a >时令()0f x '=，解得1x a =--或=1x -，又11a --<-，所以当1x a <--或1x >-时0fx，当11a x时()0f x '<，所以()f x 在(),1a -∞--上单调递增，在()1,1a ---上单调递减，在()1,-+∞上单调递增，故()f x 在1x a =--处取得极大值，()()121ea a f x f a ++=--=极大值，()f x 在=1x -处取得极小值，()()21eaf x f -=-=极小值，综上可得：当0a =时无极值，当a<0时，()2e a f x -=极大值，()12ea a f x ++=极小值，当0a >时，()12e a a f x ++=极大值，()2eaf x -=极小值．三．习题演练1．已知定义域为(0,)+∞的函数()f x 的导函数为()f x '，且函数3()(log 1)()g x x f x ⋅'=-的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A ．()f x 有极小值(6)f ，极大值(1)fB ．()f x 有极小值(6)f ，极大值(10)fC ．()f x 有极小值(1)f ，极大值(3)f 和(10)fD ．()f x 有极小值(1)f ，极大值(10)f 【详解】观察图象知，当()0g x >时，01x <<或310x <<且6x ≠，当()0g x <时，13x <<或10x >，而当03x <<时，3log 10x -<，当3x >时，3log 10x ->，因此当01x <<或10x >时，()0f x '<，当110x <<时，()0f x '≥，当且仅当6x =时取等号，则()f x 在(0,1),(10,)+∞上单调递减，在(1,10)上单调递增，所以()f x 有极小值(1)f ，极大值(10)f ，A ，B ，C 不正确；D 正确. 故选：D2．函数()21e 22xx y x x =+--的极小值为（）A ．212e- B ．1 C ．2D ．E【详解】解：由()()21e 22xx y f x x x ==+--，得()()e (1)e 2(2)e 1x x xf x x x x '=++--=+-，当<2x -或0x >时，0fx，当20x -<<时，()0f x '<，所以函数()21e 22xx y x x =+--在(),2-∞-上单调递增，在()2,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，所以函数()()21e 22xx f x x x =+--的极小值为()01f =.故选：B.3．若函数()21()2e x f x x ax +=--有两个极值点且这两个极值点互为相反数，则()f x 的极小值为（） A ．36e -B ．32e -C ．4e -D ．2e-【详解】由题意，()()212112()2e 2()[(2)2]e e x x x x a x a f x x ax x ax +++''=-----'+=+--，令()0f x '=，即2(2)20x a x a +---=，若函数()f x 有两个极值点且这两个极值点互为相反数，即2(2)20x a x a +---=的两个根互为相反数，不妨设两个根为12,x x ，则120,20x x a ∆>+=-=，解得：2a =，故12()e (4)x f x x +'=-，令()0,2f x x '>∴>或<2x -；令()0,22f x x '<∴-<<，即函数()f x 在(,2),(2,)-∞-+∞单调递增；在(2,2)-单调递减. 故函数在2x =取得极小值(2)f =32e -.故选：B 4．函数21(1)e22x x y x x +=+--的极小值为___________．【详解】由()21(1)e22x x f x x x +=+--，得()()()()111e 1e 22e 1x x xf x x x x +++=++--=+-'，令()0f x '=得122,1x x =-=-，当<2x -或1x >-时，0f x，当2<<1x --时，()0f x '<，所以函数()211e22x x y x x +=+--在(,2)-∞-上单调递增，在(2,1)--上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增，函数的极小值点为-1，所以函数21(1)e 22x x y x x +=+--的极小值为3(1)2f -=．故答案为：325.已知函数()3223f x x mx nx m =+-+在=1x -时有极值0，则mn = ______ .【详解】∵()3223f x x mx nx m =+-+，()236f x x mx n '=+-，函数()3223f x x mx nx m=+-+在=1x -时有极值0，可得()()1010f f -⎧⎪⎨'-⎪⎩==即2130360m n m m n ⎧-+++=⎨--=⎩，解得29m n =⎧⎨=-⎩或13m n =⎧⎨=-⎩，若13m n =⎧⎨=-⎩时，函数()32331f x x x x =+++，()()22363310f x x x x '=++=+≥ 所以函数()f x 在R 上单调递增，函数无极值，故舍，所以29m n =⎧⎨=-⎩，所以18mn =-故答案为：18-．课时2已知极值求参数的两种手法一.基本原理1.已知函数()f x 有极值点0x ，求参数的值或范围,一般有两种情况：（1）由()00f x '=可以解出参数的值，这类题较为简单，只需由()00f x '=求出参数的值，再代回()f x '去研究()f x 的单调性，确认()f x 在0x x =处取得极值即可.（2）由()00f x '=不能解出参数的值，这类题一般需要对参数进行分类讨论，研究函数的单调性，当()f x '的表达式较为复杂时，可能需要用到二阶导数，甚至三阶导数.当我们知道函数的具体极值点是极大值还是极小值求参数时，也可以利用下面高观点方法，当然，这个方法仅供有兴趣的同学了解，并非通法，它在解决一些问题时要方便一些.2.极值第二充分条件：若0)(],[0'0=⇒∈∃x f b a x ，且0)(0''≠x f ，则若0)(0''<x f ，则)(x f y =在0x 处取得极大值；若0)(0''>x f ，则)(x f y =在0x 处取得极小值.证明：将函数)(x f 在0x x =处二阶泰勒展开可得：200''00'0)(2)())(()()(x x x f x x x f x f x f -+-+= 由于)(x f 在0x x =存在极值，故0)(0'=x f 且对x 求导数可得)('x f ))((2)()(00''0''x x x f x f x f -+= 由0)(0'=x f 代入上式可知：))((2)(00'''x x x f x f -=显然，若0)(0''<x f ，则0x x <时0)('>x f ，0x x >时0)('<x f ，故0x x =为)(x f 的极大值点，证毕.注：此证明方法仅供需要弄清结论原理的读者使用，若不需，则可直接记住结论内容就行. 二．典例分析例1．若函数()322f x x ax bx a =--+在1x =处有极值10，则a b -=（）A ．6B ．15-C ．6-或15D ．6或15-解析： ()322f x x ax bx a =--+，2()32f x x ax b ∴=-'-，又1x = 时()f x 有极值10∴ 232010a b a b a --=⎧⎨--+=⎩，解得411a b =-⎧⎨=⎩ 或33a b =⎧⎨=-⎩ ，当3,3a b ==- 时，22()3633(1)0f x x x x =-+=-≥'，此时()f x 在1x = 处无极值，不符合题意经检验，4,11a b =-= 时满足题意，15a b ∴-=-，故选：B例2．已知函数()()3sin xf x e x a =-有极值，则实数a 的取值范围为（）A ．()2,2-B ．()1,1-C ．2,2⎡⎤-⎣⎦D ．[]1,1-解析：()3(sin )3cos 3(sin cos )x x x f x e x a e x e x x a '=-+=+-3[2sin()]4xe x a π=+-，∵22sin()24x π-≤+≤，∴当2a ≥时，()0f x '≤恒成立，2a ≤-时，()0f x '≥恒成立，当22a -<<时，()0f x '=有解，且在解的两侧()f x '的符号相反，即()f x 有极值．故选：A ．例3.（2021年乙卷第10题）1．设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（）A ．a b <B ．a b >C ．2ab a <D ．2ab a >分析1：分类讨论若a b =，则()()3f x a x a =-为单调函数，无极值点，不符合题意，故a b .依题意，x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，当0a <时，由x b >，()0f x ≤，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a <，0a <，故2ab a >.当0a >时，由x b >时，()0f x >，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a >，0a >，故2ab a >.综上所述，2ab a >成立.故选：D点评：按照传统的解法，此题应该先求一阶导数)('x f ，再分析)('x f 在a x =处何时出现左负右正，引入分类讨论，而对于多数中等水平学生而言，分类讨论是他们痛处，所以我们有必要思考如何避免上述做法. 分析2：第二充分条件依题，2')())((2)(a x a b x a x a x f -+--=再次求导 )(4)(2)(''a x a b x a x f -+-=由于a x =为极大值点，故0)(''<a f ，代入上式可得：2a ab >，故选D.点评：二阶导方法显然更加具有实用性，不用分类讨论，步骤也很明确，考试必备的好帮手.小结：已知0x x =为函数)(x f 的极大值或极小值，求参数问题. 第一步：求二阶导数；第二步：若0)(0''<x f ，则)(x f y =在0x 处取得极大值；若0)(0''>x f ，则)(x f y =在0x 处取得极小值.例4.已知函数()()21ln 12f x x x ax a x =-+-，其中a ∈R .（1）若2a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若()1f 是()f x 的极大值，求a 的取值范围.解析：（1）若2a =，则()2ln f x x x x x =-+，所以()ln 121ln 22f x x x x x '=+-+=-+，故()10f '=，又()10f =，所以()f x 在1x =处的切线方程0y =.（2）解法1：由题意，()()ln 0f x x ax a x '=-+>，()1f x a x ''=-，()21f x x'''=-，所以()11f a ''=-，若1a =，则()()110f f '''==，()110f '''=-≠，所以()1f 不是()f x 的极值，不合题意；若1a >，则()10f '=，()10f ''<，所以()1f 是()f x 的极大值，满足题意；若1a <，则()10f '=，()10f ''>，所以()1f 是()f x 的极小值，不合题意；综上所述，a 的取值范围是()1,+∞.解法2：由题意，()()ln 0f x x ax a x '=-+>，()1f x a x''=- ①当0a ≤时，()0f x ''>，所以()f x '在()0,+∞上单调递增，又()10f '=，所以()01f x x '=⇔>，()001f x x '<⇔<<，从而()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故()1f 是()f x 的极小值，不合题意；②当0a >时，()100f x x a ''>⇔<<，()10f x x a''<⇔> 所以()f x '在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，且()10f '=，若01a <<，则11a >，可知当01x <<时，()0f x '<，当11x a<<时，()0f x '>，所以()f x 在()0,1上单调递减，在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故()1f 是()f x 的极小值，不合题意；若1a =，则11a=，()0f x '≤恒成立，从而()f x 在()0,+∞上单调递减，故()f x 无极值，不合题意；若1a >，则101a <<，可知当11x a<<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，所以()f x 在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()1f 是()f x 的极大值，满足题意；综上所述，a 的取值范围是()1,+∞. 三．习题演练1．已知函数321()23f x x ax x =+-在区间(1,)+∞上有极小值无极大值，则实数a 的取值范围（） A ．12a <B ．12a >C ．12a ≤D ．12a ≥解析：∵函数()32123f x x ax x =+-，∴()2'22f x x ax =+-，∵函数()32123f x x ax x =+-在区间()1,+∞上有极小值无极大值，∴()2'220f x x ax =+-=在区间()1,+∞上有1个实根，(],1-∞上有1个根．()2480'1210a f a ⎧∆=+>⎪⎨=-<⎪⎩，解得12a <．故选A ．2．已知函数()()()e xf x x a x b =--在x a =处取极小值，且()f x 的极大值为4，则b =（） A ．-1B ．2C ．-3D ．4解析：()()()e xf x x a x b =--()2e x x ax bx ab =--+，所以()()()22e e x x f x x a b x ax bx ab '=--+--+()2e 2x x a b x ab a b ⎡⎤=+--+--⎣⎦因为函数()()()e xf x x a x b =--在x a =处取极小值，所以()()()2e 2e 0a af a a a b a ab a b a b '⎡⎤=+--+--=-=⎣⎦，所以a b =，()()2e xf x x a ∴=-，()()()()22e 222=e 2x xf x x a x a a x a x a '⎡⎤=+-+----⎡⎤⎣⎦⎣⎦，令()0f x '=，得=x a 或=2x a -，当()2x a ∈-∞-，时，0fx，所以()f x 在()2a -∞-，单调递增，当()2x a a ∈-，时，()0f x '<，所以()f x 在()2a a -，单调递增，当()x a ∈∞，+时，0fx，所以()f x 在()a ∞+，单调递增，所以()f x 在=2x a -处有极大值为()22e ==44a f a --，解得=2a ，所以=2b .故选：B3．已知函数()313ln x a f x x a=-在其定义域()0,+∞内既有极大值也有极小值，则实数a 的取值范围是（） A ．()20,11,ee e⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．2,e e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．21,ee e⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭解析：因为()313ln x a f x x a =-，所以()2x f x x a '=-. 因为函数()313ln xa f x x a=-在其定义域()0,+∞内既有极大值也有极小值，所以只需方程20x x a -=在()0,+∞有两个不相等实根.即2ln ln x a x =，令()2ln x g x x =，则()()221ln x g x x-'=.()g x 在()0,e 递增，在(),e +∞递减.∴2ln 0,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选D.4．已知函数()212f x axlnx x a =-+有且只有一个极值点，则实数a 构成的集合是（）A ．{0|a a >且1}a ≠B ．{}0a a >C ．{0a a <或1}a =D ．{}0a a <解析：由题意，求得函数()f x 的导数()()'1ln f x a x x =+-，令'0f x，即()1ln 0a x x +-=.则10,1ln e x x a x x ⎛⎫=>≠ ⎪+⎝⎭且．设1()0,1ln x g x x x x e ⎛⎫=>≠ ⎪+⎝⎭且，得2ln ()(1ln )x g x x '=+．当()'0g x >时，得1x >；当()'0g x <时，得10x e <<或11x e<<，所以函数()g x 在区间10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增．因为函数()212f x axlnx x a =-+有且只有一个极值点，所以直线y a =与函数1()0,1ln x g x x x x e ⎛⎫=>≠ ⎪+⎝⎭的图象有一个交点，所以a<0或1a =．当1a =时()()'1ln 0f x x x =+-<恒成立，所以()y f x =无极值，所以{}0a a <．故选D ．课时3函数的最值一．基本原理（一）函数的最大值与最小值定理若函数()y f x =在闭区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上必有最大值和最小值；在开区间(,)a b 内连续的函数()f x 不一定有最大值与最小值．如1()(0)f x x x =>．知识点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得． ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个．（二）求函数最值的的基本步骤：若函数()y f x =在闭区间[,]a b 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数()f x 在(,)a b 内的导数()f x '；（2）求方程()0f x '=在(,)a b 内的根；（3）求在(,)a b 内使()0f x '=的所有点的函数值和()f x 在闭区间端点处的函数值()f a ，()f b ；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间[,]a b 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间[,]a b 上的最小值．知识点诠释：①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可．②若()f x 在开区间(,)a b 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值．（三）最值与极值的区别与联系①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念．最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值．函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念；②极值可以有多个，最大（小）值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值．二．题型分析题型1.求函数（不含参）的最值例11．（2022·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）函数()3243185f x x x x =--+，则()f x 在[]1,2-上的最大值为___________.【解析】由题意2()126186(1)(23)f x x x x x '=--=+-，()0f x '=得=1x -，32x =， 312x -<<时，()0f x '<，()f x 递减，322x <<时，()0f x '>，()f x 递增，所以3()(2)2f f <，又(1)f -=16，(2)11f =-，所以最大值为16．故答案为：16．求函数最值的步骤（1）求函数的定义域．（2）求()f x '，解方程()0f x '=．（3）列出关于x ，()f x ，()f x '的变化表．（4）求极值、端点处的函数值，确定最值．注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较．例2．已知函数()e cos x f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．解析：（1）因为()e cos x f x x x =-，所以()()()e cos sin 1,00xf x x x f -''=-=.又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.（2）设()()e cos sin 1x h x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x xh x x x x x x =--=-'-.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=，即()0f x '<.所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.例3．已知函数()2cos sin 2=-f x x x ，则()f x 的最小值是（）A ．B ．C ．D ．解析：函数()2cos sin 22cos 2sin cos f x x x x x x =-=-；显然cos 0x <，sin 0x <，函数值才取最小；由2()2sin 2cos 22sin 24sin f x x x x x '=--=--+．令()0f x '=，可得：1sin 2x =-或sin 1x =．当sin 1x =，可得cos 0x =；当1sin 2x =-，cos x =1sin 2x ∴=-，cos x =时，函数()f x 取得最小值为题型2.求函数（含参）的最值参数的引入会导致函数的单调区间会随着参数而改变，进而极值（最值）都会变，所以此时求最值的步骤依然与前面相同，只是需要对导数的正负号进行讨论，讨论清楚原函数的单调性后再去求相应的极值（最值）.例4．（2022·陕西·西安中学高二期中）已知函数()()e 1xf x x a =--．(1)当=0a 时，求曲线()=y f x 在()()0,0f 处的切线方程； (2)求()f x 的单调性；(3)求函数()f x 在[]0,1上的最小值．解析：（1）当=0a 时，()()e 1x f x x =-，则()()e 1e e x x x f x x x '=-+=，所以()01f =-，()00f '=，所以曲线()=y f x 在()()0,0f 处的切线方程为1y =-.（2）由题意得()()e x f x x a '=-，因为e 0x >恒成立，所以当(),x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，当(),x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.（3）由（2）得，①当1a >时，()f x 在[]0,1上单调递减，()()min 1e f x f a ==-；②当01a <≤时，()f x 在[)0,a 单调递减，在(],1a 单调递增，()()min e af x f a ==-；③当0a ≤时，()f x 在[]0,1上单调递增，()()min 01f x f a ==--.例4．已知函数()()ln 1f x x x a x =+-，R a ∈．函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值. 解析：（2）由()()ln 1f x x x a x =+-，可得()ln f x x a '=+，由()ln 0f x x a '=+=，可得e a x -=，当e 1a -≤，即0a ≥时，[]1,e x ∈时，()0f x '≥恒成立，()f x 单调递增，所以函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值为()11f a =-；当e e a -≥，即1a ≤-时，[]1,e x ∈时，()0f x '≤恒成立，()f x 单调递减，所以函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值为()e e f a =；当1e e a -<<，即10a -<<时，)e1,ax -⎡∈⎣时，()0f x '<，()f x 单调递减，(e ,e a x -⎤∈⎦时，'()0f x >，()f x 单调递增，所以函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值为()e e a af --=-；综上，当0a ≥时，函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值为1a -；当10a -<<时，函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值为e a --；当1a ≤-时，函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值为e a ；例5．已知函数()()e 1xf x x a =--．（1）当=0a 时，求曲线()=y f x 在()()0,0f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调性；（3）求函数()f x 在[]0,1上的最小值．（2）由题意得()()e xf x x a '=-，因为e 0x >恒成立，解析：所以当(),x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，当(),x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.（3）由（2）得，①当1a >时，()f x 在[]0,1上单调递减，()()min 1e f x f a ==-；②当01a <≤时，()f x 在[)0,a 单调递减，在(],1a 单调递增，()()min e af x f a ==-；③当0a ≤时，()f x 在[]0,1上单调递增，()()min 01f x f a ==--. 三．习题演练1．已知函数1()ln f x m x x =+的最小值为m -，则 m =（）A ．21e B ．1eC ．eD ．2e解析：由1()ln f x m x x =+，得2211()m mx f x x x x -=-='，当0m ≤时，则0fx，函数()f x 在()0,+∞上为减函数，函数无最小值，不合题意，当0m >时，当10x m <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当1x m >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，∴ 1x m =时，函数()f x 有最小值1ln m m m m+=-，解得2e m =.故选：D.2．设2(),0()ln ,0x a x f x x a x x ⎧-≤=⎨->⎩，若函数()f x 的最小值为2a ，则实数a 的取值范围为（）A ．[]2,1-B ．[]0,1C ．[]0,2D ．[)1,+∞解析：若a<0，当0x >时，()ln f x x a x =-为增函数，且()(,)f x ∈-∞+∞，不符合题意.若()0,a f x =2,0,0x x x x ⎧≤=⎨>⎩，最小值为()200f a ==.若0a >，当0x 时，()f x 的最小值为()20f a =.当0x >时，()af x x x'-=，若0x a <<，则()0f x '<，若x a >，则0f x ，()f x 在(0,)a 在，在(,)a +∞上递增，故()f x 的最小值为()()1ln f a a a =-.由20(1ln )a a a a >⎧⎨-≥⎩，1ln a a -≥，ln 10a a +-≤，设()ln 1g x x x =+-，它在(0,)+∞上是增函数，且(1)0g =，所以ln 10a a +-≤的解是01a <≤．可得0 1.a <综上，常数a 的取值范围为[]0,1.故选：B ．3．已知函数()()2ln ,2f x x g x x ==+，若()()12f x g x =，则212x x -的最大值为___________．解析：设()()12f x g x m ==，R m ∈，则21mx =e ，22x m =-，221222mx x m -=--e ，令()222x h x x =--e ，则()21x h x '=-e ，令()0h x '>，解得0x <，所以()h x 在(),0∞-上单调递增，()0,∞+上单调递减，()()max 04h x h ==-，所以212x x -的最大值为-4. 故答案为：-4.4．设函数()e 2xf x x =-，直线=+y ax b 是曲线()=y f x 的切线，则2a b +的最大值是__________解析：因为()e 2x f x x =-，所以()e 2xf x '=-，设切点()(),t f t ，则()e 2tf t t =-，()e 2t f t '=-，则切线方程为()())e 2e 2(t t y t x t --=--，即()()e 2e 1t ty x t =-+-，又因为=+y ax b 是曲线()=y f x 的切线，所以()=e 2=e 1tta b t --⎧⎪⎨⎪⎩，则243e e t t a b t +=-+-，令()43e e t t g t t +=--，则()()2e tg t t '=-，当2t >时，()0g t '<，()g t 在()2,+∞上单调递减，当2t <时，()0g t '>，()g t 在(),2-∞上单调递增，所以=2t 时，()g t 取最大值()222243e 2e 4e g =-+-=-+，即2a b +的最大值为24e -+.故答案为：24e -+5．函数()cos2sin f x x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值为______.解析：()()2cos 2sin 12sin sin x x x x x f =⋅=-⋅.又(0,)2x π∈，故令()sin 0,1t x =∈，()()23122g t t t t t ∴=-=-+.()261g t t '=-+，()0,1t ∈，当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0g x '>；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g t ∴在⎛ ⎝⎭单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减.()max g t g ∴=⎝⎭.6．已知函数()=e sin ,,03xf x x x π∈-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则()f x 的最小值为___________.解析：()(sin cos )sin 4x xf x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝'⎭e ，当,34x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 递减；,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 递增；则4min ()4f x f ππ-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.故答案为：4π-.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第一课时平均变化率
一、问题情境
1、情境：现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.
时间 3月18日 4月18日 4月20日日最高气温
3.5℃
18.6℃
33.4℃
观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：（理解图中A 、B 、C 点的坐标的含义）
问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与数两方面）问题2：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？二、学生活动
1、曲线上BC 之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度。

2、由点B 上升到C 点，必须考察B C y y -的大小，但仅仅注意B C y y -的大小能否精确量化BC 段陡峭程度，为什么？
3、在考察B C y y -的同时必须考察,B C x x -函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变。

三、建构数学
1．通过比较气温在区间[1，32]上的变化率0．5与气温[32,34]上的变化率7．4，感知曲线陡峭程度的量化。

2.一般地,给出函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率
2121
()()
f x f x x x --.
t (d)
20
30
34 2 10
20 30 A (1, 3.5) B (32, 18.6)
0 C (34, 33.4)
T (℃) 2
10
3.平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当12x x -很小时，这种量化便有“粗糙”逼近“精确”。

四、数学运用
例1、已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3] （2）[1，2] （3）[1，1.1] (4) [1，1.001]
例2、已知函数,2)(,12)(x x g x x f -=+=分别计算在区间]5,0[,]1,3[--上)(x f 及 )(x g 的平均变化率.
【反思小结】 1、平均变化率
一般的，函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率
2121
()()
f x f x x x --。

２、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．
第二课时瞬时变化率
一、新课讲解
1、曲线上一点处的切线斜率
不妨设,))(,(,))(,(0011x f x Q x f x P 则割线PQ 的斜率为0
101)
()(x x x f x f k PQ --=
，
设,01x x x ∆=-则,01x x x ∆+= ∴x
x f x x f k PQ ∆-∆+=
)
()(00
当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，x
x f x x f k PQ ∆-∆+=
)
()(00无限趋近点Q 处切线斜率。

2、曲线上任一点))(,(00x f x 切线斜率的求法：
x
x f x x f k ∆-∆+=
)
()(00，当x ∆无限趋近于0时，k 值即为))(,(00x f x 处切线的斜率。

3、瞬时速度与瞬时加速度
(1)平均速度：物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度 (2)位移的平均变化率：
t
t s t t s ∆-∆+)
()(00
(3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，
t
t s t t s ∆-∆+)
()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的
瞬时速度
求瞬时速度的步骤： (4)速度的平均变化率：
t
t v t t v ∆-∆+)
()(00
(5)瞬时加速度：当t ∆无限趋近于0 时，t
t v t t v ∆-∆+)
()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0
时的瞬时加速度
注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率
二、数学应用
例1、已知2)(x x f =求曲线在2=x 处的切线的斜率。

【变式】 1.求2
1
()f x x =过点(1,1)的切线方程
2.曲线3
x y =在点P 处切线斜率为,k 当3=k 时, P 点的坐标为_________
3.已知曲线3
()f x x =上的一点P(0,0)的切线斜率是否存在?
例2.一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么s t ∆∆为（）
Ａ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度；Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度；Ｃ．当时间为t ∆时物体的速度；Ｄ．从时间t 到t t +∆时物体的平均速度
例3.自由落体运动的位移)(m s 与时间)(s t 的关系为221gt s =
s=22
1gt (1)求s t t 0=时的瞬时速度 (2)求s t 3=时的瞬时速度 (3)求s t 3=时的瞬时加速度
第三课时导数与导函数的概念
一、新课讲解
1、一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ∆无限趋近于0时，
x x f x x f x y o o ∆-∆+=∆∆)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或o x x x f =|)('，
二、几何意义：
我们上述过程可以看出)(x f 在0x x =处的导数就是)(x f 在0x x =处的切线斜率。

三、例题选讲
例1、求下列函数在相应位置的导数
（1）1)(2+=x x f ，2=x （2）12)(-=x x f ，2=x （3）3)(=x f ，2=x
例2、函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时，
（1）
=-+x
f x f 2)
1()1(
（2）
=-+x
f x f )
1()21(
变式:设)(x f 在0x x =处可导，
（1）
x x f x x f ∆-∆+)
()4(00无限趋近于1，则)(0x f '=___________
（2）
x
x f x x f ∆-∆-)
()4(00无限趋近于1，则)(0x f '=________________
（3）当x ∆无限趋近于0，
x
x x f x x f ∆∆--∆+)
2()2(00所对应的常数与)(0x f '的关系。

总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。

例3、若2)1()(-=x x f ，求)2('f 和((2))'f
例4、已知函数x x f =
)(，求)(x f 在2=x 处的切线。

第四课时常见函数的导数
1.基本初等函数的导数公式:
原函数
导函数
c x f =)(（c 为常数）
=)('x f a x x f =)( =)('x f x x f sin )(=
=)('x f x x f cos )(=
=)('x f x a x f =)( =)('x f x e x f =)( =)('x f x x f a log )(= =)('x f x x f ln )(=
=)('
x f
例1．若直线y x b =-+ 为函数1
y x
=图像的切线，求b 及切点坐标。

例2．直线1
32
y x =+能作为下列函数()y f x =图像的切线吗？若能，求出切点坐标；若不能，简述理由（1）1()f x x = （2）1()f x x
=-
（3）()sin f x x = （4）()x
f x e =
【课堂练习】 1、在曲线24y x
=上一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135。

2当常数k 为何值时，直线y x =才能与函数2y x k =+相切？并求出切点.。