高中数学：导数中的构造函数

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2023届高考数学一轮复习导数中的构造函数

,c=
,因此设函数 f(x)=
,则
e
e
3
5

-ln
-ln
f'(x)= 2 ,当 x>1 时,f'(x)= 2 <0,所以函数 f(x)在(1,+∞)上单调递减,又因为

1<e<3<5,所以 f(e)>f(3)>f(5),即 a>b>c,故选 A.
1
ln3
ln4
对点训练 1(2021 重庆二十九中高三月考)已知实数 a= ,b= ,c= ,则 a,b,c
()
③对于f'(x)cos x+f(x)sin x>0(或<0),构造函数F(x)= cos ;
④对于f'(x)cos x-f(x)sin x>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)cos x.
π
例 6.(多选)(2021 广东惠州高三期中)已知定义在 0, 2 上的函数 f(x)的导函数
x>0 时,g'(x)<0,则函数
a>b,则必有
'()-()
g'(x)= 2 ,因为当
x>0 时,xf'(x)-f(x)<0,所以当
()
g(x)= 在(0,+∞)上单调递减,所以对任意正数
()
()
g(a)= <g(b)= ,即

bf(a)<af(b),故选 B.
a,b,若
A.(-∞,- 2)∪( 2,+∞) B.(- 2, 2)
C.(-∞,- 2) D.( 2,+∞)
解析设F(x)=x2f(x),F'(x)=x2f'(x)+2xf(x)=x(xf'(x)+2f(x)),因为当x>0

导数中的构造函数(最全精编)

导数中的构造函数(最全精编)导数小题中构造函数的技巧函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想。

在导数题型中，构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现。

下面我将分享导数小题中构造函数的技巧。

一）利用 $f(x)$ 进行抽象函数构造1、利用 $f(x)$ 与 $x$ 构造；常用构造形式有 $xf(x)$ 和$\frac{f(x)}{x}$。

在数导数计算的推广及应用中，我们对 $u\cdot v$ 的导函数观察可得，$u\cdot v$ 型导函数中体现的是“加法”，$\frac{u}{v}$ 型导函数中体现的是“除法”。

由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“加法”形式时，优先考虑构造$u\cdot v$ 型；当导函数形式出现的是“除法”形式时，优先考虑构造 $\frac{u}{v}$ 型。

我们根据得出的“优先”原则，看一看例1和例2.例1】$f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，当$x0$ 的解集为？思路点拨：出现“加法”形式，优先构造 $F(x)=xf(x)$，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可。

解析】构造 $F(x)=xf(x)$，则 $F'(x)=f(x)+xf'(x)$。

当$x0$ 的解集为 $(-\infty,-4)\cup(0,4)$。

例2】设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，且$f(1)=2$。

当 $x0$ 恒成立。

则不等式 $f(x)>0$ 的解集为？思路点拨：出现“除法”形式，优先构造$F(x)=\frac{f(x)}{x-f(x)}$，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可。

解析】构造 $F(x)=\frac{f(x)}{x-f(x)}$，则$F'(x)=\frac{xf'(x)-2f(x)}{(x-f(x))^2}$。

因为 $xf'(x)-f(x)>0$，所以 $F'(x)>0$，$F(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递增。

高中数学导数构造函数

高中数学导数构造函数导数是高中数学中的重要概念，它用于描述函数某一点处的变化率。

在学习导数的过程中，学生们会接触到很多不同类型的函数，其中涉及到构造导数函数的问题。

本文将介绍高中数学中如何构造导数函数，帮助学生们更好地理解和掌握这一概念。

一、导数的概念回顾在构造导数函数之前，我们先来回顾一下导数的概念。

在数学中，对于一个函数f(x)，它在一点x_0处的导数记作f'(x_0)，表示函数在该点处的变化率。

导数可以用以下的极限定义来表示：f'(x_0) = lim_{h->0} [(f(x_0+h) - f(x_0))/h]可以理解为当自变量x的偏移量h无限趋近于0时，函数f(x)在点x_0处的平均变化率无限趋近于f'(x_0)。

这里的导数实际上就是函数在某一点的斜率，它的值可以正负，表示函数上升和下降的趋势。

二、构造导数函数的方法1. 常数函数的导数对于一个常数函数f(x) = c，其中c为常数，它的导数恒为0。

这是因为常数函数的图像是一条水平直线，斜率恒为零。

2. 幂函数的导数对于幂函数f(x) = x^n，其中n为正整数，它的导数为f'(x) =nx^(n-1)。

这里的n-1就是幂函数次数减1。

3. 一次函数的导数对于一次函数f(x) = ax + b，其中a不等于零，它的导数为f'(x) = a。

一次函数的导数恒为一个常数，表示其变化率恒定。

也可以说一次函数的导数是其斜率。

4. 指数函数的导数对于指数函数f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1，它的导数为f'(x) = ln(a) * a^x。

这里的ln(a)是自然对数函数的常数。

5. 对数函数的导数对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a为正实数且不等于1，它的导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。

对数函数的导数可以通过换底公式以及求导法则求出来。

导数中的构造函数

导数中的构造函数导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在其中一点处的变化率。

在数学中，导数通常用构造函数的方式定义。

一个函数的导数构造函数是该函数在给定点处的变化率。

本文将详细介绍导数中的构造函数，包括定义、性质和应用等方面。

一、导数的定义1.构造函数的定义设函数y=f(x)，在点x处有定义。

如果用x的变化量Δx去近似表示介于x和x+Δx之间的x的变化量，那么函数f在点x处的近似导数（记作f'(x)）就是当Δx趋近于0时，函数值的变化与自变量变化比值的极限。

用数学表示可以写作：f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx这个极限就是函数f在点x处的导数。

2.导数的几何意义几何上，一个函数在其中一点处的导数等于其曲线在该点处的切线的斜率，也即切线的斜率是函数在此点处的近似变化率。

二、导数的性质导数具有一些重要的性质，以下列举几个常用性质：1.基本导数(1)常数函数的导数为0，即对于常数C，有C'=0。

(2) 幂函数的导数。

对于幂函数y=x^n（其中n为常数），其导数为y'=nx^(n-1)。

(3) 对数函数的导数。

对数函数y=log_a(x)（其中a为常数且a>0），其导数为y'=1/(xlna)。

(4) 指数函数的导数。

指数函数y=a^x（其中a>0且a≠1），其导数为y'=a^xlna。

2.导数的四则运算(1)求和差的导数。

若f(x)和g(x)在点x处可导，则（f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。

(2) 函数乘以常数的导数。

若f(x)在点x处可导，k为常数，则(kf(x))' = kf'(x)。

(3)乘法法则。

若f(x)和g(x)在点x处可导，则(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。

2024高考数学常考题型导数中构造函数比大小问题题型总结(解析版)

第4讲导数中构造函数比大小问题题型总结【典型例题】题型一：构造()xxx f ln =比较大小此函数定义域为()+∞,0，求导()2ln 1x xx f -='，当()e x ,0∈时，()0>'x f ，故()x f 为增函数，当()+∞∈,e x 时，()0<'x f ，故()x f 为减函数，当e x =时，()x f 取得极大值为()ee f 1=，且()()222ln 42ln 244ln 4f f ====，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较【例1】（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）若1ln 2ln 3,,e 23a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．b c a>>C ．c b a>>D ．a b c>>【答案】A 【解析】【分析】通过对三个数的变形及观察，可以构造出函数()ln xf x x=，通过求导分析其单调性即可得到答案【详解】解：1ln e ln 2ln 4ln 3,,e e 243a b c =====，设()()2ln 1ln ,x x f x f x x x -'==，则e x >时，()0f x '<，故()f x 在()e,∞+上单调递减，则()()()3e 4f f f >>，即ln e ln 3ln 4e34>>，所以a c b >>．故选：A.【例2】（2023·全国·高三专题练习）设24ln 4a e -=，ln 22b =，1c e =，则（）A ．a c b <时,()0f x '<,函数单调递减,当0e x <<时,()0f x '>,函数单调递增,故当e x =时,函数取得最大值()1e ef =,因为()2222e ln 22ln22e e e 22a f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,()()4ln2l e n 4e 1,24b f c f =====,2e 42e << ,当e x >时,()0f x '<,函数单调递减,可得()()2e 4e 2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,即b a c <<.故选:C【例3】（2022·吉林·高二期末）下列命题为真命题的个数是（）①ln 32<；②ln π<；③15<；④3e ln 2>．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】本题首先可以构造函数()ln x f x x =，然后通过导数计算出函数()ln xf x x=的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数()ln xf x x=的单调性即可比较出大小．【详解】解：构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，e x >时，()0f x '<，所以函数()ln xf x x=在()0,e 上递增，在()e,+∞上递减，所以当e x =时()f x 取得最大值1e，ln 322ln 2ln 22<⇔⇔，2e <<可得()2ff <，故①正确；lnπ<⇔e <<，可得f f <，故②错误；ln 2ln 4152ln1524<⇔<⇔<<，因为函数()ln xf x x=在()e,+∞上递减，所以()4f f<，故③正确；因为e >，所以(()e f f <，ln ee <1e <，则3e <即3e ln 2<④错误，综上所述，有2个正确.故选：B ．【点睛】本题考查如何比较数的大小，当两个数无法直接通过运算进行大小比较时，如果两个数都可以转化为某个函数上的两个函数值，那么可以构造函数，然后通过函数的单调性来判断两个数的大小，考查函数思想，是难题．【例4】（2021·陕西汉中·高二期末（理））已知a ，b ，c 均为区间()0,e 内的实数，且ln 55ln a a =，ln 66ln b b =，ln 77ln c c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．a b c>>C ．c a b>>D ．c b a>>【答案】B 【解析】【分析】构造函数()ln xf x x=，由导数判断函数单调性，进而利用单调性即可求解.【详解】解：令()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，函数()F x 在()0,e 上单调递增，当e x >时，()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞上单调递减，因为765e >>>，所以()()()765f f f <<，因为a ，b ，c 均为区间()0,e 内的实数，且ln 5ln 5a a =，ln 6ln 6b b =，ln 7ln 7c c=，所以()()()f a f b f c >>，所以a b c >>，故选：B.【例5】（2022·江西·高三阶段练习（理））设ln 28a =，21e b =，ln 612c =，则（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b<<【答案】B 【解析】【分析】根据a 、b 、c 算式特征构建函数()2ln xf x x =，通过求导确定函数单调性即可比较a 、b 、c 的大小关系.【详解】令()2ln x f x x =，则()42ln 0x x xx x f x '-==⇒=因此()2ln xf x x =在)∞+上单调递减，又因为ln 2ln 4(4)816a f ===，22ln e1=(e)e e b f ==，ln 612c f ===，因为4e >>>a b c <<．故选：B ．【题型专练】1.（2022·四川省资阳中学高二期末（理））若ln212ln3,,29e a b c ===，则（）A ．b a c>>B ．b c a>>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】A 【解析】【分析】令()ln xf x x=，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的最大值，再利用作差法判断a 、c ，即可得解；【详解】解：令()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，所以当0e x <<时()0f x '>，当e x >时()0f x '<，所以()f x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，所以()()max ln e 1e e e f x f ===，所以1e ln22>又94ln22ln39ln 24ln 3ln 2ln 3ln 512ln 91029181818----===>所以ln22ln329>，即b a c >>.故选：A2.（2022·浙江台州·高二期末）设24ln 4e a -=，ln 22b =，c =，则（）A ．a b c <，可得21ln ()x f x x -'=，所以()0f x '>有0e x <<，则(0,e)上()f x 递增；()0f x '<有e x >，则(e,)+∞上()f x 递减；又2e 43e 2>>>，故c a b >>.故选：B3.（2022·四川广安·模拟预测（理））在给出的（1ln 32）43ln 34<e （3）ee ππ>.三个不等式中，正确的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C 【解析】【分析】根据题目特点，构造函数()ln x f x x =，则可根据函数()ln xf x x=的单调性解决问题.【详解】首先，我们来考察一下函数()ln xf x x=，则()21ln xf x x -'=，令()0,f x '>解得0e x <<，令()0,f x '<解得e x >，故()ln xf x x=在区间()0,e 上单调递增，在区间()e,+∞单调递减，所以，（1）ff <ln 3>，则正确；（2）()43e 3f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即4343lne ln33e <，即43e ln 34⋅>，则错误；（3）()()πf e f >，即e e e e e e ππππππln ln ln ln ln ln >⇒>⇒>，所以，e e ππ>，则正确故选：C.4.（2022·四川资阳·高二期末（文））若ln 33a =，1eb =，3ln 28c =，则（）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】A 【解析】【分析】设函数ln (),(0)xf x x x=>，求出其导数，判断函数的单调性，由此可判断出答案.【详解】设ln (),(0)x f x x x =>，则21ln ()xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，()f x 递增，当e x >时，()0f x '<，()f x 递减，当e x =时，函数取得最小值，由于e 38<<，故lne ln 3ln 8e 38>>，即b a c >>，故选：A5.（2022·山东日照·高二期末）π是圆周率，e 是自然对数的底数，在e 3，3e ，33，e e ，πe ，3π，π3，e π八个数中，最小的数是___________，最大的数是___________.【答案】e e π3【解析】【分析】分别利用指数函数的单调性，判断出底数同为3,e 以及π的数的大小关系，再由幂函数的单调性，找出最小的数，最后利用函数()ln xf x x=的单调性，判断出最大的数．【详解】显然八个数中最小的数是e e .函数3x y =是增函数，且e 3π<<，∴e 3π333<<；函数e x y =是增函数，且e 3π<<，e 3πe e e <<；函数πx y =是增函数，且e 3π<<，e 3ππ<；函数e y x =在()0,∞+是增函数，且e 3π<<，e e e e 3π<<，则八个数中最小的数是e e 函数πy x =在()0,∞+是增函数，且e 3<，ππe 3<，八个数中最大的数为3π或π3，构造函数()ln xf x x=，求导得()21ln xf x x -'=，当()e,x ∈+∞时()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞是减函数，()()3πf f >，即ln 3ln π3π>，即πln 33ln π>，即π3ln 3ln π>，π33π∴>，则八个数中最大的数是π3.故答案为：e e ；π3．6.（2022·安徽省宣城中学高二期末）设24ln41,,e ea b c -===,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <，利用导数求得()f x 的单调性和最值，化简可得2e 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(e)b f =，(2)c f =，根据函数解析式，可得ln 4(4)(2)4f f ==且2e e 42<<，根据函数的单调性，分析比较，即可得答案.【详解】设ln ()(0)xf x x x=>，则221ln 1ln ()x xx x f x x x ⋅--'==，当(0,e)x ∈时，()0f x '>，则()f x 为单调递增函数，当(e,)x ∈+∞时，()0f x '<，则()f x 为单调递减函数，所以max 1()(e)ef x f ==，又222222e ln 4ln42(ln e e 2e e e 22ln 2)a f ⎛⎫-==-== ⎪⎝⎭，1(e)e b f ==，1ln 2(2)2c f ===，又2ln 4ln 2ln 2(4)(2)442f f ====，2e e 42<<，且()f x 在(e,)+∞上单调递减，所以2e (2)(4)2f f f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以b a c >>.故选：D7.（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末）已知实数a ，b ，c 满足ln ln ln 0e a a b cb c==-<，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a <，构造函数ln (),(0)xf x x x=>，判断01x <<时的单调性，利用其单调性即可比较出a,b 的大小，即可得答案.【详解】由ln ln ln 0e a a b cb c==-<，得01,01,1a b c <<<<>，设ln (),(0)x f x x x =>，则21ln ()xf x x -'=，当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，因为01a <<，所以e 1>>a a ，所以ln ln e a aa a>，故()()ln ln ln e =>∴>a a b a f b f a b a ，则b a >，即有01a b c <<<<，故a b c <<.故选：C.题型二：利用常见不等式关系比较大小1、常见的指数放缩：)1();0(1=≥=+≥x ex e x x e xx证明：设()1--=x e x f x，所以()1-='xe xf ，所以当()0,∞-∈x 时，()0<'x f ，所以()x f 为减函数，当当()+∞∈,0x 时，()0>'x f ，所以()x f 为增函数，所以当0=x 时，()x f 取得最小值为()00=f ，所以()0≥x f ，即1+≥x e x2.常见的对数放缩：)(ln );1(1ln 11e x exx x x x x =≤=-≤≤-3.常见三角函数的放缩：x x x x tan sin ,2,0<<⎪⎭⎫⎝⎛∈π【例1】（2022·湖北武汉·高二期末）设4104a =，ln1.04b =，0.04e 1c =-，则下列关系正确的是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】D 【解析】【分析】分别令()()e 10xf x x x =-->、()()()ln 10g x x x x =+->、()()()ln 101xh x x x x=+->+，利用导数可求得()0f x >，()0g x <，()0h x >，由此可得大小关系.【详解】令()()e 10xf x x x =-->，则()e 10x f x '=->，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，()()00f x f ∴>=，即1x e x ->，则0.04e 10.04->；令()()()ln 10g x x x x =+->，则()11011x g x x x'=-=-<++，()g x ∴在()0,∞+上单调递减，()()00g x g ∴<=，即()ln 1x x +<，则ln1.040.04<；0.04e 1ln1.04∴->，即c b >；令()()()ln 101x h x x x x=+->+，则()()()22110111x h x x x x '=-=>+++，()h x ∴在()0,∞+上的单调递增，()()00h x h ∴>=，即()ln 11xx x+>+，则0.044ln1.04 1.04104>=，即b a >；综上所述：c b a >>.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值的大小关系的比较问题，通过导数求得函数的单调性后，即可得到函数值的大小.【例2】（2022·山东菏泽·高二期末）已知910a =，19eb -=，101ln 11c =+，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <+≠，从而得到11b a>，设()ln 1g x x x =-+，利用导数得到()ln 11x x x <-≠，从而得到111ln 1010<和c a >，即可得到答案.【详解】解：设()e 1x f x x =--，()e 1xf x '=-，令()0f x ¢=，解得0x =.(),0x ∈-∞，()0f x ¢<，()f x 单调递减，()0,x ∞∈+，()0f x ¢>，()f x 单调递增.所以()()00f x f ≥=，即e 10x x --≥，当且仅当0x =时取等号.所以()e 10xx x >+≠.又1911101e 199b a=>+==，0,0a b >>，故11b a >，所以b a <；设()ln 1g x x x =-+，()111xg x x x-'=-=，令()0g x ¢=，解得1x =.()0,1∈x ，()0g x ¢>，()g x 单调递增，()1,x ∈+∞，()0g x ¢<，()g x 单调递减.所以()()10g x g ≤=，即ln 10x x -+≤，当且仅当1x =时取等号.所以()ln 11x x x <-≠，故11111ln 1101010<-=，又1011011lnln ln ln1011101110c a -=+>+==，所以c a >，故b a c <<.故选：B.【例3】（2022·四川凉山·高二期末（文））已知0.01e a =， 1.01b =，1001ln 101c =-，则（）．A ．c a b >>B ．a c b>>C ．a b c>>D ．b a c>>【答案】C 【解析】【分析】构造函数()e 1x f x x =--，由导数确定单调性，进而即得．【详解】设()e 1x f x x =--，则e ()10x f x '=->，在0x >时恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，所以e 1(0)0x x f -->=，即e 1x x >+，0x >，∴0.01e 1.01>，又ln1.010>，∴ln1.01e 1ln1.01>+，即1001.011ln 101>-，所以a b c >>．故选：C ．【例4】（2022·四川绵阳·高二期末（理））若8ln 7a =，18=b ,7ln 6c =，则（）A ．a c b <，利用导数分析函数()f x 的单调性，可比较得出a 、b 的大小关系，利用对数函数的单调性可得出c 、a 的大小关系，即可得出结论.【详解】构造函数()1ln 1f x x x=+-，其中1x >，则()221110x f x x x x -'=-=>，所以，函数()f x 在()1,+∞上为增函数，故()()10f x f >=，则88781ln 1ln 077878f ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，即a b >，78lnln 67> ，因此，b a c <<.故选：D.【例5】（2022·全国·高考真题（理））已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（）A ．c b a >>B ．b a c>>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】A 【解析】【分析】由14tan 4c b =结合三角函数的性质可得c b >；构造函数21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，利用导数可得b a >，即可得解.【详解】因为14tan 4c b =,因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭所以11tan44>,即1cb >,所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->，所以b a >,所以c b a >>，故选：A 【题型专练】1.（2022·福建·莆田一中高二期末）设ln1.01a =， 1.0130e b =，1101c =，则（）A ．a b c <），证明ln 1≤-x x ，令 1.01x =，排除选项A,B,再比较,a b 大小，即得解.【详解】解：构造函数()ln 1f x x x =-+（0x >），()10f =，()111xf x x x-'=-=，所以()f x 在()0,1上()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 在()1,+∞上()0f x '<，()f x 单调递减，所以max ()(1)0,ln 10,ln 1f x f x x x x ==∴-+≤∴≤-，令 1.01x =，则 ln a x =，30e x b =，11c x=-，考虑到ln 1≤-x x ，可得11ln 1x x ≤-，1ln 1x x -≥-等号当且仅当 1x =时取到，故 1.01x =时a c >，排除选项A ，B.下面比较,a b 大小，由ln 1≤-x x 得 1.01ln1.01 1.0130e<<，故b a >，所以c a b <<.故选：D.2.（2022·吉林·长春市第二中学高二期末）已知1cos 5a =，4950b =，15sin 5=c ，则（）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．c a b>>【答案】D 【解析】【分析】构造函数21()cos 12f x x x =+-，利用导数求解函数()f x 的单调性，利用单调性进行求解.【详解】解：设21()cos 1,(01)2f x x x x =+-<<，则()sin f x x x '=-，设()sin ,(01)g x x x x =-<<，则()1cos 0g x x '=->，故()g x 在区间(0,1)上单调递增，即()(0)0g x g >=，即()0f x '>，故()f x 在区间(0,1)上单调递增，所以1(0)05f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，可得149cos 550>，故a b >，利用三角函数线可得0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x >，所以11tan 55>，即1sin1515cos 5>，所以115sincos 55>，故c a >综上，c a b >>故选：D.3（2022·湖北武汉·高二期末）设4104a =，ln1.04b =，0.04e 1c =-，则下列关系正确的是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】D 【解析】【分析】分别令()()e 10xf x x x =-->、()()()ln 10g x x x x =+->、()()()ln 101xh x x x x=+->+，利用导数可求得()0f x >，()0g x <，()0h x >，由此可得大小关系.【详解】令()()e 10xf x x x =-->，则()e 10x f x '=->，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，()()00f x f ∴>=，即1x e x ->，则0.04e 10.04->；令()()()ln 10g x x x x =+->，则()11011x g x x x'=-=-<++，()g x ∴在()0,∞+上单调递减，()()00g x g ∴<=，即()ln 1x x +<，则ln1.040.04<；0.04e 1ln1.04∴->，即c b >；令()()()ln 101x h x x x x =+->+，则()()()22110111x h x x x x '=-=>+++，()h x ∴在()0,∞+上的单调递增，()()00h x h ∴>=，即()ln 11xx x+>+，则0.044ln1.04 1.04104>=，即b a >；综上所述：c b a >>.故选：D.题型三：构造其它函数比大小（研究给出数据结构，合理构造函数）【例1】（2022·河南河南·高二期末（理））已知1ln 22a a -=，1ln 33b b -=，e ln e cc -=，其中12a ≠，13b ≠，e c ≠，则a ，b ，c 的大小关系为（）．A ．c a b <，并求()f x '，利用函数()f x 的图象去比较a b c 、、三者之间的大小顺序即可解决.【详解】将题目中等式整理，得11ln ln 22a a -=-，11ln ln 33b b -=-，ln e ln e c c -=-，构造函数()()ln 0f x x x x =->，()111x f x x x-'=-=，令()0f x '=，得1x =，所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，函数()f x 的大致图象如图所示．因为()12f a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()13f b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()e f c f =，且12a ≠，13b ≠，e c ≠，则由图可知1b a >>，01c <<，所以c a b <<．故选：A ．【例2】（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）设 1.01e a =，3eb =，ln 3c =，其中e 为自然对数的底数，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．c a b>>C ．a c b>>D ．a b c>>【答案】D 【解析】【分析】可判断 1.012e a =>，e32b =<，ln 32c =<，再令()ln exf x x =-，[e x ∈，)∞+，求导判断函数的单调性，从而比较大小．【详解】解： 1.012e a =>，e 32b =<，ln 32c =<，令()ln exf x x =-，[e x ∈，)∞+，11()0e e e x f x x x-'=-=<，故()f x 在[e ，)∞+上是减函数，故()()e 3f f <，即3ln 30e-<，故 1.013l e e n 3<<，即c b a <<，故选：D ．【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知ln 32a =，1e 1b =-，ln 43c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件构造函数ln ()e)1xf x x x =≥-，再探讨其单调性并借助单调性判断作答.【详解】令函数ln ()(e)1x f x x x =≥-，求导得()211ln ()1x x f x x --'=-，令()11ln g x x x =--，则()210,(e)xg x x x -'=<≥，故()11ln g x x x =--，(e)x ≥单调递减，又()111ln101g =--=，故()0,(e)g x x <≥，即()0,(e)f x x '<≥，而e 34<<，则(e)(3)(4)f f f >>，即1ln 3ln 4e 123>>-，所以b a c >>，故选：A【例4】（山东省淄博市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）设110a =，ln1.1b =，910ec -=，则（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c<<【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数的性质可比较,a c 的大小，再构造函数()ln(1)f x x x =-+，利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性可比较出,a b ，从而可比较出三个数的大小【详解】因为e x y =在R 上为增函数，且9110-<-，所以9110e e --<，因为11e 10-<，所以9101e 10-<，即a c <，令()ln(1)f x x x =-+（0x >），得1()1011xf x x x'=-=>++，所以()f x 在(0,)+∞上递增，所以()(0)0f x f >=，所以ln(1)x x >+，令0.1x =，则0.1ln1.1>，即1ln1.110>，即a b >，所以b a c <<，故选：D【例5】（2022·四川南充·高二期末（理））设0.010.01e a =，199b =，ln 0.99c =-，则（）A ．c a b <>，则ln ln ln [ln ln(1)]ln(1)y t x x x x x x -=+---=+-，令()ln(1)f x x x =+-，1)x ∈-，求导得1()1011x f x x x '=+=<--，即()f x 在1)-上单调递减，1)x ∀∈，()(0)0f x f <=，即ln ln y t y t <⇔<，因此当1)x ∈时，e 1xx x x<-，取0.01x =，则有0.010.0110.01e10.0199a b =<==-，令()e ln(1)xg x y u x x =-=+-，1)x ∈-，21(1)e 1()(1)e 11x xx g x x x x -+'=++=--，令2()(1)e 1x h x x =-+，1)x ∈，2()(21)e 0x h x x x '=+-<，()h x在1)-上单调递减，1)x ∀∈，()(0)0h x h <=，有()0g x '>，则()g x 在1)上单调递增，1)x ∀∈，()(0)0g x g >=，因此当1)x ∈时，e ln(1)x x x >--，取0.01x =，则有0.010.01e ln(10.01)ln 0.99a c =>--=-=，所以c a b <<.故选：A 【点睛】思路点睛：涉及某些数或式大小比较，探求它们的共同特性，构造符合条件的函数，利用函数的单调性求解即可.【例6】（2022·全国·高三专题练习）已知0.3πa =，20.9πb =，sin 0.1c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．a b c >>B ．c a b>>C ．a c b>>D ．b a c>>【答案】B 【解析】【分析】作差法比较出a b >，构造函数，利用函数单调性比较出c a >，从而得出c a b >>.【详解】2220.30.90.3π0.90.330.90ππππa b -⨯--=-=>=，所以0a b ->，故a b >，又()πsin 3f x x x =-，则()πcos 3f x x '=-在π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，又()0π30f '=->，π306f ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以存在0π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，且在()00,x x ∈时，()0f x '>，在0π,6x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，即()πsin 3f x x x =-在()00,x x ∈上单调递增，在0π,6x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减，且ππ30124f ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以0π12x >，又因为()00f =，所以当()00,x x ∈时，()πsin 30f x x x =->，其中因为1π1012<，所以()010,10x ∈，所以1πsin 0.10.3010f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故sin 0.10.3π>，即c a b >>.故选：B【例7】（2022·河南洛阳·三模（理））已知108a =，99b =，810c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．a b c>>【答案】D 【解析】【分析】构造函数()()18ln f x x x =-，8x ≥，求其单调性，从而判断a ，b ，c 的大小关系.【详解】构造()()18ln f x x x =-，8x ≥，()18ln 1f x x x+'=--，()18ln 1f x x x+'=--在[)8,+∞时为减函数，且()295558ln 81ln 8ln e 204444f =-+-=-<-=-<'，所以()18ln 10f x x x=-+-<'在[)8,+∞恒成立，故()()18ln f x x x =-在[)8,+∞上单调递减，所以()()()8910f f f >>，即10ln89ln 98ln10>>，所以10988910>>，即a b c >>.故选：D 【点睛】对于指数式，对数式比较大小问题，通常方法是结合函数单调性及中间值比较大小，稍复杂的可能需要构造函数进行比较大小，要结合题目特征，构造合适的函数，通过导函数研究其单调性，比较出大小.【例8】（2022·河南·模拟预测（理））若0.2e a =，b =ln 3.2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a>>【答案】B 【解析】构造函数()()e 10xf x x x =-->，利用导数可得0.2e 1.2b a >>=，进而可得 1.2e 3.2>，可得a c >，再利用函数()()21ln 1x g x x x -=-+，可得ln 3.2 1.1>，即得.【详解】令()()e 10xf x x x =-->，则()e 10x f x '=->，∴()f x 在()0,∞+上单调递增，∴0.20.21 1.2e a b >+=>=，0.2 1.21.e ln 2e a >==，ln 3.2c =，∵()()()6551.262.7387.4,3.2335.5e e >≈≈=，∴ 1.2e 3.2>，故a c >，设()()21ln 1x g x x x -=-+，则()()()()()22221211011x xx g x x x x x +--=-=≥++'，所以函数在()0,∞+上单调递增，由()10g =，所以1x >时，()0g x >，即()21ln 1x x x ->+，∴()()22121.6155ln 3.2ln 2ln1.611 1.1211.613950--=+>+=>=++，又1 1.2 1.21,1 1.1b <<<<，∴ 1.1c b >>，故a c b >>.故选：B.【点睛】本题解题关键是构造了两个不等式()e 10xx x >+>与()21ln (1)1x x x x ->>+进行放缩，需要学生对一些重要不等式的积累.【题型专练】1（2022·山东烟台·高二期末）设a =0.9，b =9ln e10c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】B【分析】构造函数()ln 1f x x x =--，()g x x =-.【详解】令()ln 1f x x x =--，因为11()1x f x x x'-=-=所以，当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以(0.9)0.9ln 0.91(1)0f f =-->=，即90.9ln 0.91ln(e)10>+=，a c >；令()g x x =()1g x '=-所以，当114x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以(0.9)(1)g g <，即0.90<，0.9a b <.综上，c a b <<.故选：B2.（2022·山东青岛·高二期末）已知ln 3a π=，2b =，1sin 0.042c ⎫=-⎪⎪⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c b a >>B ．a b c>>C ．b a c>>D ．a c b>>【答案】C 【解析】【分析】构造函数得出,a b 大小，又0c <即得出结论.【详解】构造函数()()()2ln 212ln 1f x x x x x =--=-+，则a b f -=，()1210f x x ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭在()1,+∞上恒成立，则()y f x =在()1,+∞上单调递减，故()10a b f f -=<=，则0b a >>，()π103x x =+>，则()π30121100433.x .-+-=>=，由对于函数()πsin 02g x x x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭-，()πcos 1002g x x ,x ⎛⎫'=<<< ⎪⎝⎭-恒成立，所以，()()sin 00g x x x g =<=-即sin x x <在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立.所以，1sin0.04sin sin 02x x x ⎫<=<-<⎪⎭（注：004009020305.x .,...<<<<）所以，b a c >>故选：C3.（2022·湖北襄阳·高二期末）设253e 4a =，342e 5b =，35c =，则（）A ．b c a < ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可判断出a b >.记()()e 2,01xg x x x =-<<，推理判断出b c >.【详解】24452533e23e 542e e 534a b ==.记()()e ,01x f x x x =<<，则()()2e 10x xf x x -'=<，所以()e xf x x =在()0,1上单调递减.所以2354f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b >.433422e e 5325354b c ⎛⎫-= ⎪⨯⎝--⎭=.记()()e 2,01x g x x x =-<<，则()e 2xg x '=-.所以在()0,ln 2x ∈上，()0g x '<，则()g x 单调递减；在()ln 2,1x ∈上，()0g x '>，则()g x 单调递增；所以()()()ln 2min ln 2e 2ln 221ln 20g x g ==-⨯=->，所以()min 304g g x ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，即3422e 0534b c ⨯⎛⎫-> ⎪⎝⎭=-.所以b c >.综上所述：c b a <<.故选：C4.（2022·福建宁德·高二期末）已知a ，R b ∈，且221a b >>，则（）A ．ln ln a b a b -<-e eB ．ln ln b a a b <C ．e a b ba->D ．sin sin 1a ba b-<-【答案】D 【解析】【分析】由题设有0a b >>，分别构造e ln x y x =-、ln xy x=、e x y x =、sin y x x =-，利用导数研究在,()0x ∈+∞上的单调性，进而判断各项的正误.【详解】由221a b >>，即0a b >>，A ：若e ln x y x =-且,()0x ∈+∞，则1e xy x'=-，故12|20x y ='=-<，1|e 10x y ='=->，即y '在1(,1)2上存在零点且y '在(0,)+∞上递增，所以y 在(0,)+∞上不单调，则e ln e ln a b a b -<-不一定成立，排除；B ：若ln x y x =且,()0x ∈+∞，则21ln xy x -'=，所以(0,e)上0y '>，y 递增；(e,)+∞上0y '<，y 递减；故y 在(0,)+∞上不单调，则ln ln a ba b<不一定成立，排除；C ：若e x y x =且,()0x ∈+∞，则e (1)0x y x '=+>，即y 在(0,)+∞上递增，所以e e a b a b >，即e a b ba-<，排除；D ：若sin y x x =-且,()0x ∈+∞，则1cos 0y x '=-≥，即y 在(0,)+∞上递增，所以sin sin a a b b ->-，即sin sin 1a ba b-<-，正确.故选：D5.（2022·贵州贵阳·高二期末（理））设 1.01e a =，3eb =，ln3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．c a b>>C ．a c b >>D ．a b c>>【答案】D 【解析】【分析】分析可得2a >，(1,2)b ∈，(1,2)c ∈，令()ln ,[e,)e xf x x x =-∈+∞，利用导数可得()f x 的单调性，根据函数单调性，可比较ln 3和3e的大小，即可得答案.【详解】由题意得 1.011e e 2a =>>，3(2e 1,)b =∈，ln 3(1,2)c =∈，令()ln ,[e,)exf x x x =-∈+∞，则11e ()0e ex f x x x -'=-=≤，所以()f x 在[e,)+∞为减函数，所以(3)(e)f f <，即3eln 3ln e 0e e-<-=，所以3ln 3e<，则 1.013e ln 3e >>，即a b c >>.故选：D6.（2022·重庆南开中学高二期末）已知6ln1.25a =，0.20.2e b =，13c =，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b<<【答案】A 【解析】【分析】0.20.20.20.2e e ln e b ==，令()ln f x x x =，利用导数求出函数()f x 的单调区间，令()e 1xg x x =--，利用导数求出函数()g x 的单调区间，从而可得出0.2e 和1.2的大小，从而可得出,a b 的大小关系，将,b c 两边同时取对数，然后作差，从而可得出,b c 的大小关系，即可得出结论.【详解】解：0.20.20.20.2e e ln e b ==，6ln1.2 1.2ln1.25a ==，令()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，当10ex <<时，()0f x '<，当1e x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，令()e 1xg x x =--，则()e 1x g x '=-，当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(),0∞-上递减，在()0,∞+上递增，所以()()0.200g g >=，即0.21e10.2 1.2e>+=>，所以()()0.2e 1.2f f >，即0.20.2e e 1.22ln ln1.>，所以b a >，由0.20.2e b =，得()0.211ln ln 0.2e ln 55b ==+，由13c =，得1ln ln 3c =，11151ln ln ln ln ln 35535c b -=--=-，因为55625510e 3243⨯⎛⎫=>> ⎪⎝⎭，所以155e 3>，所以51ln 35>，所以ln ln 0c b ->，即ln ln c b >，所以c b >，综上所述a b c <<.故选：A.【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.7.（2022·湖北恩施·高二期末多选）已知212ln 204a a -=>，22122ln 0eb b --=>，221ln 303c c -=>，则（）A ．c b >>，对三个式子变形可得2211ln ln 44a a -=-，222211ln ln e eb b -=-，2211ln ln 33c c -=-，设函数()ln f x x x =-，则()111x f x x x-'=-=.由()0f x ¢>，得1x >；由()0f x <，得01x <<,则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，因为211101e 43<<<<，所以222b a c >>,所以c a b <<.故选：AC.8.（2022·安徽·歙县教研室高二期末）已知01x y z ∈、、（，），且满足2e 2e x x =，3e 3e y y =，4e 4e z z =，则（）A ．x y z <<B ．x z y<<C ．z y x<<D ．z x y<<【答案】C 【解析】【分析】先对已知条件取对数后得到ln ln22x x -=-，ln ln33y y -=-，ln ln44z z -=-.根据式子结构，构造函数()ln m x x x =-，利用导数判断单调性，比较大小.【详解】由2e 2e x x =得2ln ln2,x x +=+即ln ln22x x -=-.同理得：ln ln33y y -=-，ln ln44z z -=-.令()ln ,m x x x =-则()111xm x x x-=-='.故()m x 在()0,1上单调递增，1∞+（，）上单调递减.所以z y x <<.故选：C.。

第41天：导数中的构造函数(换元法上)

2017.2.10导数的把关题整体换元法导数中的双变量()()()12112212,,,对于多元函数，我们称为双变量一般来说，我们无法对其进行求导数，我们可以采用“先转换后构造”的解题策略整体换元除形：同变f x x x x x f x f x x f t ⇒⇒⎛⎫⎪⎝⎭例1121212120,ln ln 证明：x x x x x x x x -∀>><+-先转换后构造()()()()()()()1212121212121212121122220,ln ln ln ln ,ln ln 1ln11ln 1111ln 0,1+1110等价证明等价证明要证明，其证中在整，换，体毕元x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t t t t t t g t t g t g t t t t g t g -∀>><+--⇒><-+-⇒<+-⇒<>+-+'=-=>∞↑++>=例2()()()()(),2【2013陕西理】函数，比大小：与xf x e a b f a f b f b f a b a=∀<+--先转换后构造()()()()()()()122112212112211221212121212211,22,,2ln ln 2ln ln 2ln ln 2ln ln 21ln 1整体换元同除变形，比大小：与与等比大小比较与整体换大小作差判正负，价元断xa b b a a bf a f b f b f a f x e a b b ae e e e b ax x x x e x e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-=∀<-+-⇒-+-⇒==--⎡⎤+-+⇒-=--⎢⎥--+⎣⎦⎛⎫- ⎪⎝⎭⇒-+()()()()()()()()()()2221ln 1211ln ,1,0,1+1011在，，:证毕t t t t t g t t t g t g t g t g t t t --+--'=->=>∞↑>=++。

导数中的函数构造问题

导数中的函数构造问题[解题技法]函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现．一、利用f (x )进行抽象函数构造(一)利用f (x )与x 构造1．常用构造形式有xf (x )，f (x )x，这类形式是对u ·v ，u v 型函数导数计算的推广及应用．我们对u ·v ，u v 的导函数观察可得知，u ·v 型导函数中体现的是“＋”法，u v 型导函数中体现的是“－”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“＋”法形式时，优先考虑构造u ·v 型，当导函数形式出现的是“－”法形式时，优先考虑构造u v .例1 设f (x )是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，且f (－4)＝0，则不等式xf (x )>0的解集为________．思路点拨出现“＋”法形式，优先构造F (x )＝xf (x )，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．答案 (－∞，－4)∪(0,4)解析构造F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，可以推出当x <0时，F ′(x )<0，∴F (x )在(－∞，0)上单调递减．∵f (x )为偶函数，x 为奇函数，∴F (x )为奇函数，∴F (x )在(0，＋∞)上也单调递减．根据f (－4)＝0可得F (－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知xf (x )>0的解集为(－∞，－4)∪(0,4)．例2 设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (1)＝0，当x <0时，有xf ′(x )－f (x )>0恒成立，则不等式f (x )>0的解集为________．思路点拨出现“－”法形式，优先构造F (x )＝f (x )x，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)解析构造F (x )＝f (x )x ，则F ′(x )＝f ′(x )·x －f (x )x 2，当x <0时，xf ′(x )－f (x )>0，可以推出当x <0时，F ′(x )>0，F (x )在(－∞，0)上单调递增．∵f (x )为偶函数，x 为奇函数，∴F (x )为奇函数，∴F (x )在(0，＋∞)上也单调递增．根据f (1)＝0可得F (1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2．xf (x )，f (x )x是比较简单常见的f (x )与x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的，不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式．F (x )＝x n f (x )，F ′(x )＝nx n －1f (x )＋x n f ′(x )＝x n －1[nf (x )＋xf ′(x )]；F (x )＝f (x )x n ，F ′(x )＝f ′(x )·x n －nx n －1f (x )x 2n ＝xf ′(x )－nf (x )x n ＋1；结论：(1)出现nf (x )＋xf ′(x )形式，构造函数F (x )＝x n f (x )；(2)出现xf ′(x )－nf (x )形式，构造函数F (x )＝f (x )x n . 我们根据得出的结论去解决例3.例3 已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (－1)＝0，当x >0时，2f (x )>xf ′(x )，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是________．思路点拨满足“xf ′(x )－nf (x )”形式，优先构造F (x )＝f (x )x n ，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．解析构造F (x )＝f (x )x 2，则F ′(x )＝f ′(x )·x －2f (x )x 3，当x >0时，xf ′(x )－2f (x )<0，可以推出当x >0时，F ′(x )<0，F (x )在(0，＋∞)上单调递减．∵f (x )为偶函数，x 2为偶函数，∴F (x )为偶函数，∴F (x )在(－∞，0)上单调递增．根据f (－1)＝0可得F (－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知f (x )>0的解集为(－1,0)∪(0,1)．(二)利用f (x )与e x 构造1．f (x )与e x 构造，一方面是对u ·v ，u v 函数形式的考察，另外一方面是对(e x )′＝e x 的考察．所以对于f (x )±f ′(x )类型，我们可以等同xf (x )，f (x )x的类型处理，“＋”法优先考虑构造F (x )＝f (x )·e x ，“－”法优先考虑构造F (x )＝f (x )e x . 例4 已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 019)>e 2 019f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 019)>e 2 019f (0)C ．f (2)>e 2f (0)，f (2 019)<e 2 019f (0)D f (2)<e 2f (0)，f (2 019)<e 2 019f (0)思路点拨满足“f ′(x )－f (x )<0”形式，优先构造 F (x )＝f (x )e x，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化．2．同样e x f (x )，f (x )e x 是比较简单常见的f (x )与e x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的，我们是否也能找出此类函数的一般形式呢？F (x )＝e nx f (x )，F ′(x )＝n ·e nx f (x )＋e nx f ′(x )＝e nx [f ′(x )＋nf (x )]；F (x )＝f (x )e nx ，F ′(x )＝f ′(x )e nx －n e nx f (x )e 2nx ＝f ′(x )－nf (x )e nx；结论：(1)出现f ′(x )＋nf (x )形式，构造函数F (x )＝e nx f (x )；(2)出现f ′(x )－nf (x )形式，构造函数F (x )＝f (x )e nx . 我们根据得出的结论去解决例5，例6.例5 若定义在R 上的函数f (x )满足f ′(x )－2f (x )>0，f (0)＝1，则不等式f (x )>e 2x 的解集为________．思路点拨满足“f ′(x )－2f (x )>0”形式，优先构造F (x )＝f (x )e2x ，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化．答案 {x |x >0}解析构造F (x )＝f (x )e 2x 形式，则F ′(x )＝e 2x f ′(x )－2e 2x f (x )e 4x ＝f ′(x )－2f (x )e 2x，函数f (x )满足f ′(x )－2f (x )>0，则F ′(x )>0，F (x )在R 上单调递增．又∵f (0)＝1，则F (0)＝1，f (x )>e 2x ⇔f (x )e2x >1⇔F (x )>F (0)，根据单调性得x >0. 例6 已知函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，若f (x )满足：(x －1)[f ′(x )－f (x )]>0，f (2－x )＝f (x )·e 2－2x ，则下列判断一定正确的是( )A ．f (1)<f (0)B ．f (2)>e 2f (0)C f (3)>e 3f (0)D ．f (4)<e 4f (0)思路点拨满足“f ′(x )－f (x )”形式，优先构造F (x )＝f (x )e x ，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化．解析构造F (x )＝f (x )e x 形式，则F ′(x )＝e x f ′(x )－e x f (x )e 2x ＝f ′(x )－f (x )e x，导函数f ′(x )满足(x －1)[f ′(x )－f (x )]>0，则x ≥1时F ′(x )≥0，F (x )在[1，＋∞)上单调递增．当x <1时F ′(x )<0，F (x )在(－∞，1]上单调递减．又由f (2－x )＝f (x )e 2－2x ⇔F (2－x )＝F (x )⇒F (x )关于x ＝1对称，根据单调性和图象，可知选C.(三)利用f (x )与sin x ，cos x 构造sin x ，cos x 因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式．F (x )＝f (x )sin x ，F ′(x )＝f ′(x )sin x ＋f (x )cos x ；F (x )＝f (x )sin x ，F ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos x sin 2x； F (x )＝f (x )cos x ，F ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )sin x ； F (x )＝f (x )cos x ，F ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x. 根据得出的关系式，我们来看一下例7.例7 已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式不成立的是( ) A 2f ⎝⎛⎭⎫π3<f ⎝⎛⎭⎫π4 B.2f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫－π4 C ．f (0)<2f ⎝⎛⎭⎫π4 D ．f (0)<2f ⎝⎛⎭⎫π3 思路点拨满足“f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0”形式，优先构造F (x )＝f (x )cos x，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化．解析构造F (x )＝f (x )cos x 形式，则F ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x，导函数f ′(x )满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0，则F ′(x )>0，F (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增．把选项转化后可知选A. 二、具体函数关系式构造这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题．例8 已知α，β∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，且αsin α－βsin β>0，则下列结论正确的是( ) A ．α>β B α2>β2 C ．α<β D ．α＋β>0思路点拨构造函数f (x )＝x sin x ，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．解析构造 f (x )＝x sin x 形式，则f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时导函数f ′(x )≥0，f (x )单调递增；x ∈⎣⎡⎭⎫－π2，0时导函数f ′(x )<0，f (x )单调递减．又∵f (x )为偶函数，根据单调性和图象可知选B. 例9 已知实数a ，b ，c 满足a －2e a b ＝1－c d －1＝1，其中e 是自然对数的底数，那么(a －c )2＋(b －d )2的最小值为( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．18思路点拨把(a －c )2＋(b －d )2看成两点距离的平方，然后利用数形结合以及点到直线的距离即可．解析由a －2e a b ＝1⇒b ＝a －2e a 进而⇒f (x )＝x －2e x ；又由1－c d －1＝1⇒d ＝2－c ⇒g (x )＝2－x ；由f ′(x )＝1－2e x ＝－1，得x ＝0，所以切点坐标为(0，－2)，所以(a －c )2＋(b －d )2的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－2－2|1＋12＝8.。

在导数应用中如何构造函数

在导数应用中如何构造函数在有关导数的应用中,无论是求函数的单调性、求极值最值,证明不等式、求参数的范围,还是讨论函数的零点,都需要从给定的已知条件中构造出一个或两个函数进行研究,构造的得当能降低难度,减少运算量,下面对如何构造函数给出归类和总结.1.作差直接构造法【例1】函数f(x)=(x -2)e x +21ax 2-ax.设a=1,当x ≥0时,f(x)≥kx -2,求k 的取值范围. 分析：由f(x)≥kx -2,令g(x)=f(x)-kx+2=(x -2)e x +21x 2-x -kx+2. 2.局部构造法【例2】已知5函数f(x)=1ln -x x ax .当a=1时，判断f(x)有没有极值点. 分析：当a=1时，f(x)=1ln -x x ax ，则2)1(1ln )('---=x x x x f ，令g(x)=x -lnx -1. 【例3】已知函数f(x)=xa x )ln(-,若a=-1，证明：函数f(x)是(0,+∞)上的减函数. 分析：当a=-1时，函数f(x)的定义域是（-1,0）∪(0,+∞)，所以2)1ln(1)('xx x x x f +-+=，令g(x)=1+x x -ln(x+1). 3.作差局部构造法【例4】已知函数f(x)=ln x -a(x -1),a ∈R.当x ≥1时,f(x)≤1lnx +x 恒成立,求a 的取值. 分析：1)1(ln 1ln )(2+--=+-x x a x x x x x f ，令g(x)=xlnx -a(x 2-1)(x ≥1). 4. 分离参数构造法【例5】在【例4】中，当x≥1时，f(x)≤1lnx +x 恒成立等价于lnx -1lnx +x ≤a(x -1). 分析：(1)当x=1时，显然恒成立，所以R a ∈. (2)当x ＞1时，上式等价于a x x x x a x x x x ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⇔≤-+-max221ln 1ln 1ln 1ln ，令1ln 1ln )(2-+-=x x x x x F . 【例6】已知函数f(x)=ax -xx ln ,a ∈R.若f(x)≥0，求a 的取值范围. 分析：函数的定义域为(0,+∞)，由f(x)≥0得ax -x x ln ≥0，即a ≥2ln x x .令g(x)=2ln x x .5.特征构造法【例7】若x>0,证明：1)1ln(->+x e x x x . 分析：因为1)11ln(1ln 1-+-=-=-x x x x x e e e e e x ，故原不等式等价于1)11ln()1ln(-+->+x x e e x x ，令x x x f )1ln()(+=，由例3知xx x f )1ln()(+=是(0,+∞)上的减函数，故要证原不等式成立，只需证明当x>0时，x<e x -1,令h(x)=e x -x -1.注：例6的解决过程用到了二次构造函数.【例8】已知函数f(x)=xx e -ax,x ∈(0,+∞),当x 2>x 1时，不等式0)()(1221<-x x f x x f 恒成立，求实数a 范围. 分析：不等式0)()(1221<-x x f x x f ，即0)()(212211<-x x x f x x f x ，结合x 2>x 1>0可得x 1f(x 1)-x 2f(x 2)<0恒成立,即x 2f(x 2)>x 1f(x 1)恒成立,构造函数g(x)=xf(x)=e x -ax 2.6.变形、化简后构造【例9】求证：当x ∈(0,+∞)时，21ln x x e x >-. 分析：当x ∈(0,+∞)时，要证21ln x x e x >-，只需证21e x x xe >-，令F(x)=2-1-e x x xe ,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21)('22x e e x F x x ，由e x >x+1可得，212x e x +>，则x ∈(0,+∞)时，F’(x)>0恒成立，即F(x)在(0,+∞)上单调递增，所以F(x)>F(0)=0,即21e x x xe >-，所以21ln x x e x >-. 7.换元后构造【例10】已知函数f(x)=ln x -kx,其中k ∈R 为常数.若f(x)有两个相异零点x 1,x 2(x 1<x 2), 求证：2)(ln ln 121212>+--x x x x x x . 分析：证2)(ln ln 121212>+--x x x x x x ，即证lnx 2-lnx 1>1212)(2x x x x +-,只要证121212)(2ln x x x x x x +->，设)1(12>=t x x t ，则只要证).1(1)1(2ln >+->t t t t 令g(t)=lnt -1)1(2+-t t .8. 放缩后局部构造【例11】已知函数xe x ax xf 1)(2-+=.证明：当1≥a 时，f(x)+e≥0. 分析：当1≥a 时，x x x x e e x x e ex x e e x ax e x f -++-+=+-+≥+-+=+)1(11)(1222.设g(x)=x 2+x -1+e x+1, 则g’(x)=2x+1+e x+1.9.作差与分离变量的综合构造法【例12】已知函数f(x)=x 2-(2a+1)x+aln x(a ∈R),g(x)=(1-a)x,若∃x 0∈[1,e]使得f(x 0)≥g(x 0)成立,求实数a 的取值范围.分析:不等式f(x)≥g(x)在区间[1,e]上有解,即x 2-2x+a(ln x -x)≥0在区间[1,e]上有解.因为当x ∈[1,e]时,ln x ≤1≤x(不同时取等号),x -ln x>0,所以x x x x a ln 22--≤在区间[1,e]上有解.令xx x x x h ln 2)(2--=. 10.主元构造法主元构造法,就是将多变元函数中的某一个变元看作主元(即自变量),将其他变元看作常数,来构造函数,然后用函数、方程、不等式的相关知识来解决问题的方法.【例13】已知函数g(x)=xlnx,设0<a<b,证明：0<g(a)+g(b)-⎪⎭⎫ ⎝⎛+22b a g <(b -a)ln2. 分析：对g(x)=xlnx 求导，g’(x)=lnx+1.在g(a)+g(b)-⎪⎭⎫ ⎝⎛+22b a g 中以b 为主元构造函数，设F(x)=g(a)+g(x)-⎪⎭⎫ ⎝⎛+22x a g ,则2ln ln '22)(')('x a x x a g x g x F +-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=. 当0<x<a 时,F'(x)<0,因此F(x)在(0,a)上单调递减,当x>a 时,F'(x)>0,因此F(x)在(a,+∞)上为增函数,从而当x=a 时,F(x)有极小值F(a).因为F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即g(a)+g(b)-⎪⎭⎫⎝⎛+22b a g >0. 设G(x)=F(x)-(x -a)ln2,则G’(x)=lnx -2ln a x +-ln2=lnx -ln(x+a), 当x>0时，G’(x)<0.因此G(x)在(0,+∞)上为减函数. 因为G(a)=0,b>a,所以G(b)<0,即g(a)+g(b)-⎪⎭⎫⎝⎛+22b a g <(b -a)ln2. 注：本题以b 为主元构造函数，当然也可以以a 为主元构造函数.。

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导数小题中构造函数的技巧
函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。

（一）利用)(x f 进行抽象函数构造
1、利用)(x f 与x 构造；常用构造形式有x x f x xf )(),(；这类形式是对v
u
v u ,⋅型函数导数计算的推广及应用，我们对v
u
v u ,
⋅的导函数观察可得知，v u ⋅型导函数中体现的是“+”法，v
u
型导函数中体现的是“-”法，由此，我们可以猜测，当
导函数形式出现的是“+”法形式时，优先考虑构造v u ⋅型，当导函数形式出现
的是“－”法形式时，优先考虑构造v
u
，我们根据得出的“优先”原则，看一看
例1，例2.
【例1】)(x f 是定义在R 上的偶函数，当0<x 时，0)()('<+x xf x f ，且
【解析】可以推出
【例2】设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0)1(=f ，当0<x 时，有
0)()('>-x f x xf 恒成立，则不等式0)(>x f 的解集为________________
x
x f x xf )
(),
(是比较简单常见的)(x f 与x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的，
我们根据得出的结论去解决例3题
【例3】已知偶函数)0)((≠x x f 的导函数为)('x f ，且满足0)1(=-f ，当0>x 时，)()(2'x xf x f >，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是___________
【变式提升】设函数)(x f 满足x x f x x f x ln 1)(3)(2'3+=+，且e
e f 21)(=，则0>x 时，)(x f （）A 、有极大值，无极小值
B 、有极小值，无极大值
【例4】设)(x f 是定义在R 上的奇函数，在)0,(-∞上有0)2()2(2'<+x f x xf ，且0)2(=-f ，则不等式0)2(<x xf 的解集为___________.
('x F
（2）利用)(x f 与x e 构造；
)(x f 与x e 构造，一方面是对v
u
v u ,
⋅函数形式的考察，另外一方面是对x x e e =)(的考察.所以对于)()('x f x f ±类型，我们可以等同x
x f x xf )
(),(的类型处理，“+”法优先考虑构造x e x f x F ⋅=)()(，“-”法优先考虑构造x e
x f x F )
()(=.
【例5】已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的函数，导函数)('x f 满足)()('x f x f <对于R x ∈恒成立，则（
）
【解析】构造同样x
x e
x f x f e )(),
(是比较简单常见的)(x f 与x
e 之间的函数关系式，如果碰
我们根据得出的结论去解决例6题.
【例6】若定义在R 上的函数)(x f 满足1)0(,0)(2)('=>-f x f x f ，则不等式
x e x f 2)(>的解集为___________
【解析】构造
【变式提升】若定义在R 上的函数)(x f 满足1)0(,04)(2)('-=>--f x f x f ，则不等式2)(2->x e x f 的解集为___________
【例7】已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若()f x 满足：
()()(1)[]0x f x f x '-->，()22(2)x f x f x e --=，则下列判断一定正确的是（
）
2【解析】构造
（3）利用)(x f 与x x cos ,sin 构造.
x x cos ,sin 因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一
起看看常考的几种形式.
根据得出的关系式，我们来看一下例8
【例8】已知函数()y f x =对于任意的(,)22
x ππ
∈-
满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式
不成立的是（）
()()
34
f ππ
<()()
34
f ππ
-<-
C、(0)()
4f π
<D、(0)2()
3
f f π
<【解析】构造
【变式提升】定义在)2
,0(π
上的函数，函数)('x f 是它的导函数，且恒有
x x f x f tan )()('<成立，则（
）
A、)
3(2)4(3π
πf f >B、1
sin )6(2)1(π
f f <C、)
4()6(2π
πf f >D、)
3
()6(3π
πf f <❀❀❀思路点拨：满足“x x f x x f cos )(sin )('-”形式，优先构造x
x f x F sin )
()(=，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.
（二）构造具体函数关系式构造
这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题.
【例9】]2
,2[,π
πβα-∈，且0sin sin >-ββαα，则下列结论正确的是（）A、β
α>B、2
2βα>C、β
α<D、0
>+βα❀❀❀思路点拨：构造函数x x x f sin )(=，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.
【解析】构造x x x f sin )(=形式，则x x x x f cos sin )('+=，]2,0[π
∈x 时导函数
0)('≥x f ，)(x f 单调递增；)0,2
[π
-
∈x 时导函数0)('<x f ，)(x f 单调递减.有∵)(x f 为偶函数，根据单调性和图像可知选B.
【变式提升】定义在R 上的函数)(x f 满足1)1(=f ，且对2
1)(,'<∈∀x f R x 则不等式2
1
log )(log 22+>
x x f 的解集为_________.❀❀❀思路点拨：构造函数221
)()(x x f x F -=，令x t 2log =，然后原不等式等价于
2
1
)(+>t t f ，利用单调性求解集，然后解对数不等式即可.
【例10】等比数列}{n a 中，21=a ，
48=a ，函数))...()(()(821a x a x a x x x f ---=，则=)0('f （）A 、6
2B 、9
2C 、12
2D 、15
2
('x f
【例11】已知实数c b a ,,满足11
12=--=-d c
b e a a ，其中e 是自然对数的底数，那么22)()(d b
c a -+-的最小值为()
c
-1【变式提升】已知实数b a ,满足0ln 522=--b a a ，R c ∈，则2
2)()(c b c a ++-
【课后作业】设函数)(x f 在R 上的导函数)('x f ，在),0(+∞上
x x f 2sin )('<，且R x ∈∀，有x x f x f 2sin 2)()(=+-，则以下大小关系一定
正确的是（）
A、)34()65(
π
πf f <B、)
()4(ππ
f f <C、3
4(65(π
π-<-f f D、)
()4
(ππ
->-f f
构造函数，作为一种做题技巧的体现，考察了学生的思考能力和动手能力，是一种非常实用的做题技巧，希望我的总结分享能够给大家带来帮助。