方程、方程组及不等式、不等式组
第三讲 二元一次方程及方程组一元一次不等式及不等式组(学生)
第三讲 二元一次方程及方程组一元一次不等式及不等式组。
本讲课程目标知识与技能熟练掌握方程的解法，提高分析问题的能力及解题能力，着重训练实际问题的审题、找相等关系并正确地列出方程的能力。
过程与方法 系统复习初一下册、一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式及不等式组等三章内容，讲练结合。
情感态度价值观本讲课程的重点1．一元一次方程的解法。
2．二元一次方程组的解法。
3．一元一次不等式及不等式组的解法本讲课程的难点1．应用一元一次方程解决实际问题。
2．二元一次方程组的消元技巧。
3．不等式的性质3的符号变换，不等式组的解集的分类。
教学方法建议精讲多练，讲练结合 选材程度及数量课堂精讲例题 搭配课堂训练题 课后作业 A 类（ ）道（ ）道（ ）道B 类 （ ）道 （ ）道 （ ）道C 类（ ）道（ ）道（ ）道—、回顾上一讲知识一：有理数知识的复习★第一步：要点一知识规律或思维方法、解题方法梳理1．正数、负数、有理数、数轴、相反数、绝对值及倒数的概念。
2．有理数的加减法、乘除法、以及乘方的运算法则及运算律（交换律、结合律、分配律）。
3．科学记数法及近似数，以及有理数混合运算的运算顺序。
★第二步：要点一经典例题讲解1．(－61＋43－125)⨯)12(-； （ 用分配律）2．B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-÷--⨯---3210)2(322)32(31(答案：0 )★第三步：要点一课堂巩固练习1．B.（－1）2009－（43－61－83）×24－（－2）2×3 （答案：-18 ） 2．B.20103)1(|52|)3(2)2(---+-⨯--。
（答案：0 ）二、整式的加减★第一步：要点二知识规律或思维方法、解题方法梳理1．单项式、多项式的概念。
2．整式加减的去括号的方法。
3．合并同类项的方法。
★第二步：要点二经典例题讲解1．B.已知一个多项式与x x 932+的和等于1432-+x x ，则此多项式是 （ B ）A ．1562---x xB ．15--xC ．1562++-x x D ．15+-x2. C. 已知5,4=-=+c b b a ，则代数式222222a b c ab bc +++-= 41 。
中考数学复习第二章方程组与不等式组讲义
第二章 方程（组）与不等式（组）第一节 一次方程与一次方程组【考点1】一元一次方程定义：只含有 未知数，并且未知数的次数都是 。
（系数不为0）的整式方程。
形式：一般形式ax+b=0 ； 最简形式 ax=b (a ≠0) 解 ：abx（a ≠0） 【提示】判断一个方程是否为一元一次方程，一定要先把方程化简以后再用定义进行判别。
解一元一次方程的一般步骤：去分母；去括号；移项（移项要变号）；合并同类项；化系数为1【考点2】二元一次方程组 1.二元一次方程定义：含有 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 的整式方程。
一般形式: ax+by=c ，有无数组解。
2. 二元一次方程组的解法⑴代入消元法：多适用于方程组中有一个未知数的系数是 或 的情形。
⑵ ：多适用于方程组的两个方程中相同未知数的系数 或互为 的情形。
【考点3】一次方程（组）的应用 1.列方程组解应用题的一般步骤：⑴审：即审清题意，分清题中的已知量、未知量； ⑵设：即设关键未知数；⑶列：即找出适当等量关系，列出方程（组）； ⑷解：即解方程（组）；⑸验：即检验所解答案是否正确或是否符合题意； ⑹答：即规范作答，注意单位名称。
2.列一元一次方程常见的应用题类型及关系式 ⑴ 利润率问题：利润=售价-进价 ；利润率=进价利润×100﹪ （先确定售价、进价、再计算利润率，其中打折、降价的词义应清楚）⑵ 利息问题：利息=本金×利率×期数 ；本息和=本金+利息 ；利息税=利息×税率 ； 贷款利息=贷款数额×利率×期数⑶ 工程问题：工作量=工作效率× （把全部工作量看作单位1，各部分工作量之和=1）⑷ 浓度问题：浓度=溶液质量溶质质量×100﹪⑸ 行程问题：路程=速度×时间 ① 追击问题（追击过程时间相等）② 相遇问题 （甲走的路程 乙走的路程=A 、B 两地间的路程）③ 航行问题：顺水（风）速度= +静水（风）；逆水（风）速度=船速-【中考试题精编】1.练习本比水性笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支水性笔正好花去14元，如果设水性笔的单价为x 元，那么下列方程正确的是（ ）A. 5(x-2)+3x=14B. 5(x+2)+3x=14C. 5x+3(x+2)=14D. 5x+3(x-2)=142.某班在学校组织的某场篮球比赛中，小杨和小方一共投进篮球21个，小杨比小方多投进5个。
七年级方程(组)、不等式(组)复习资料
7、甲、乙两件服装的成本共 500 元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按 50﹪的利润定价， 乙服装按 40﹪的利润定价。在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按 9 折出售，这样商店共 获利 157 元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？
(1)a+l
b+l； (2)a-5
b-5；
2-3x≤ 8 的解集是
1 x-1＜ 1 2
(3)-3a
-3b； (4)6-a
3、写出适合不等式 2x+3<9 的正整数解_____________________。
1-x≥ 0
4、不等式组
的整数解是
.
2x-1>-3
5 、 代 数 式 1 - k 的 值 大 于 - 1 而 又 不 大 于 3 ,则k的取值范围是
10、某玩具工厂广告称：“本厂工人工作时间：每天工作 8 小时，每月工作 25 天；待遇：熟练 工人按计件付工资，多劳多得，计件工资不少于 800 元，每月另加福利工资 100 元，按月结 算；……”该厂只生产两种玩具：小狗和小汽车。熟练工人晓云元月份领工资 900 多元，她记 录了如下表的一些数据：
2、 当 x取 什 么 值 时 ， 代 数 式 2x +1 -1的 值 不 小 于 3x − 8 +2的 值 ？
2
11. 为节约能源，某单位按以下规定收取每月电费：用电不超过 140 度，按每度 0.43 元收费； 如果超过 140 度，超过部分按每度 0.57 元收费。若某用电户四月份的电费平均每度 0.5 元，问 该用户四月应交电费多少元？
一元一次方程二元一次方程组不等式及不等式组
一元一次方程、二元一次方程组、不等式及不等式组、解方程组元一次方程组代入消元二元一次方程组加入消元一元一次方程一、不等式及不等式组1、知识结构：不等式的基本性质不等式（组）的解与解集2、一元一次不等式组由若干个一元一次不等式组成的，它的解集是各个一元一次不等式解集的公共部分 不等式组由两上不等式组成，先分别解出这两个不等式，不等式组的解集情况，有四种：设a b ，则:【考题训练】A . 1B . 3C . 5D . 2x 2 口 一兀一次方程组ax by 7“& r»一2、（桂林市、百色市）已知是 的解，则a b 的值为（)y 1ax by 1A . 1B . — 1C . 2D . 33、（齐齐哈尔市）一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团 20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（）A . 4种B . 3种C . 2种4、（吉林省） A 种饮料B 种饮料单价少1元，小峰买了 2瓶A 种饮料和3瓶B 种饮料，一共花了 13元, 如果设B 种饮料单价为x 元/瓶，那么下面所列方程正确的是（） A . 2（x 1） 3x 13 B . 2（x 1） 3x 13C . 2x 3（x 1） 13D . 2x 3（x 1） 135、 班长去文具店买毕业留言卡 50张，每张标价2元，店老板说可以按标价九折优惠，则班长应付（）A . 45 元B . 90 元C . 10 元D . 100 元6、 （长沙）已知三角形的两边长分别为3cm 和8cm,则此三角形的第三边的长可能是（）A . 4cmB . 5cmC. 6cmD. 13cm7、 （台湾）已知有10包相同数量的饼干，若将其中 1包饼干平分给23名学生，最少剩3片。
若将此10包饼干平分给23名学生，则最少剩多少片？（）元一 -次不等式 一元一 -次不等式组1、（四川省内江市）若关于x ，y 的方程组2x y m x 2 ,的解是，则m n 为(x my ny 1(A) 0(B) 3 (C) 7(D) 10右关于x ，y 的二兀次方程组x x y y 5k,的解也是二兀一次方程 9k2x 3y 6的解，则k 的值为（)A. 3B. 3C.4 D.444339、 （青海）已知代数式m 13 3x y与5nx m y n是同类项，那么m 、 n 的值分别是 ()2A .m 2B .m 2m C .2D . m 2n 1n 1n 1n 110、（长春）不等式 2x 6 0的解集是（)A . x 3B . x 3C .x 3D . x 311、（泸州） 不等式组2x 1 3的解集是( )x1A. x2B .x 1C. 1 x 2D .无解2x 1 1的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（x 2 < 3C .2x0二、填空1、 2009年全国教育计划支出 1980亿元，比08年增加380亿元，则09年全国教育经费增长率为2、 ______________________________________________________________________________ 泸州）关于x 的方程kx 1 2x 的解为正实数，则 k 的取值范围是 _____________________________________________3、 一个物体现在的速度是 5米/秒，其速度每秒增加 2米/秒，则再过 __________ 秒它的速度为15米/秒.4、 （北京市）不等式 3x 2 5的解集是 ________________ .5、（丹江市）五一期间，百货大楼推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为 10000元的商品，共节省 2800元，则用贵宾卡又享受了 _____________ 折优惠.12、（宁夏）3 .把不等式组13、 （娄底） 0 1 A .F列哪个不等式组的解集在数轴上表示如图 2所示14、（恩施市） 如果 元一次不等式组3的解集为a3 •贝U a 的取值范围是D . a 315、（烟台市） 如图, 直线 y kx b 经过点 A( 1, 2)和点 B( 2,0),直线y 2x 过点A ,则不等式2x kx b 0的解集为（x6、（陕西省）一家商店将某件商品按成本价提高50%后，标价为450元，又以8折出售，则售出这件商品可获利润________ 元.9、 （济宁市）请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”诗句中谈到的鸦为 _________ 只、树为10、 （达州）将一种浓度为15 %的溶液30 kg,配制成浓度不低于 20 %的同种溶液，则至少需要浓度为 35 %的该种溶液 ______________ kg .11、 （厦门市）已知 ab 2 .（1 ）若3 <b < 1，则a 的取值范围是 ___________________ .（2 ）若 b 0,且 a 2 b 2 5，则 a b ________________ .113、（凉山州）若不等式组x a2的解集是 1 x 1 , 则(a b)2009b 2x 014、（呼和浩特）如果|X 2y 1| |2x y 5| 0 ,则 x y 的值为三、解答题1、（肇庆市）2008年北京奥运会，中国运动员获得金、银、铜牌共 100枚，金牌数位列世界第一. 其中金牌比银牌与铜牌之和多2枚，银牌比铜牌少 7枚•问金、银、铜牌各多少枚？2、（贺州）已知一件文化衫价格为 18元，一个书包的价格是一件文化衫的 2倍还少6元.（1 ）求一个书包的价格是多少元？（2）某公司出资1800元，拿出不少于350元但不超过400元的经费奖励山区小学的优秀学生，剩余经费 还能为多少名山区小学的学生每人购买一个书包和一件文化衫？3、（漳州）为了防控甲型 H1N1流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共 100 瓶,其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶.（1） 如果购买这两种消毒液共用 780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？ （2） 该校准备再次.购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？7、方程组 x2y 5的解是 __________________x 2y 118、不等式组x 3(x 1 2x 32）‘ 4的解集是12、 如上图，直线y kx b 经过A （2,1）, B （ 1, 2）两点，不等式—x kx b 2的解集为 ____________________2【应用题与压轴】1、（山东青岛市）某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查•调查发现这种水产品的每千克售价y1（元）与销售月份3（月）满足关系式y —x 36，而其每千克成本y2（元）8销售月份x （月）满足的函数关系如图所示.（1）试确定b、c的值；y （元）与销售月份x （月）之间的函数关系式;（2）求出这种水产品每千克的利润（3）“五•一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少?2、（四川南充）如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3,3）•（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线0A向下平移后与反比例函数的图象交于点B（6, m），求m的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D,求过A、B、D三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E,使四边形OECD的面积S1与四边形OABD 2的面积S满足：$ S ?若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由.。
与方程(组)、不等式(组)有关的参数问题
4´10 - (3a +1) = 6´10 - 2a +1，
40 - 3a -1 = 60 - 2a +1 ，
39 - 3a = 61- 2a ，
-3a + 2a = -39 + 61，
-a = 22 ，
a = -22 ，
故 a 的值为 -22 ．
5．已知关于
x,
y
的方程组
ì2x - y = 2m - 4①
解得： 8 < a £ 3 ， 3
即此时 a 的取值范围是 8 < a £ 3 ． 3
12．已知
ì2x + íîx + 2
y y
= =
3 3
+
2a 2a
a
¹
0
是关于
x，y
的二元一次方程组．
(1)求方程组的解（用含 a 的代数式表示）； (2)若 x - 2 y > 0 ，求 a 的取值范围．
【答案】(1)
mx - 2x > m + 3 ， (m - 2)x > m + 3 ，
Q
它的解集是
x
<
m m
+ -
3 2
，
\m-2 < 0，
解得 m < 2 ；
（2） 2x -1 > 3 - x ，
解得： x > 4 ， 3
Q
它的解集是
x
>
m m
+ -
3 2
，
\
m m
+ -
3 2
=
4 3
，且
m
-
2
>
方程(组)与不等式(组)问题数学教案
方程（组）与不等式（组）问题数学教案标题：方程（组）与不等式（组）问题的数学教案
I. 引言
- 简述方程（组）与不等式（组）在日常生活中的应用
- 阐明学习方程（组）与不等式（组）的重要性
II. 教学目标
- 学生能够理解并掌握方程（组）与不等式（组）的基本概念
- 学生能够解决实际问题中涉及的方程（组）与不等式（组）
III. 教学内容
A. 方程（组）
1. 定义与性质
2. 解方程的方法（如代入法、消元法等）
3. 应用实例
B. 不等式（组）
1. 定义与性质
2. 解不等式的方法（如移项、合并同类项等）
3. 应用实例
IV. 教学方法
- 互动教学：通过讨论、小组活动等方式让学生参与进来
- 实例教学：使用生活中的实例帮助学生理解方程（组）与不等式（组）
V. 教学评估
- 测试：设计相关的测试题目以检查学生的理解程度
- 反馈：收集学生的反馈，了解他们对课程的理解和感受
VI. 结论
- 回顾本课的主要内容
- 鼓励学生将所学知识应用到日常生活中。
不等式与不等式组
不等式与不等式组在数学中，不等式是描述数之间关系的一种表达方式。
不等式可以用于求解线性方程组、判断函数的增减性以及解决许多实际问题。
本文将介绍不等式及不等式组的概念、性质和解法。
1. 不等式的定义和性质不等式是用符号>、<、≥或≤表示数值之间相对大小关系的数学表达式。
其中，>表示大于，<表示小于，≥表示大于等于，≤表示小于等于。
例如，对于两个实数a和b，若a>b，则称a大于b，记作a>b。
不等式满足如下的性质：（1）传递性：如果a>b，b>c，那么a>c。
（2）反对称性：如果a>b且b>a，那么a=b。
（3）加法性：如果a>b，那么a+c>b+c，其中c为任意实数。
（4）乘法性：如果a>b且c>0，那么ac>bc。
2. 不等式的解法要求解一个不等式，需要确定不等式的解集。
解集是满足不等式条件的所有的实数集合。
（1）一元一次不等式的解法一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次方程。
解一元一次不等式的方法与解一元一次方程相类似。
例如，对于不等式2x+3<7，我们可以按照如下步骤解题：2x+3<72x<4x<2因此，解集为x<2。
（2）一元二次不等式的解法一元二次不等式是指含有一个未知数的二次方程。
解一元二次不等式的方法与解一元二次方程相类似。
例如，对于不等式x^2-5x+6>0，我们可以按照如下步骤解题：(x-2)(x-3)>0根据零点的性质，我们可以得出两个解为x<2或x>3。
（3）不等式组的解法不等式组是由多个不等式组成的方程组。
解不等式组的方法与解方程组类似，需要找到所有满足所有不等式条件的解。
例如，考虑以下不等式组：x+y>32x-y<2我们可以通过图像法或代入法求解不等式组。
最终我们得到解集为x>1，y>2。
3. 不等式的应用不等式在实际问题中有着广泛的应用。
专题(二) 方程、不等式的解法
(2)当 k＝1 时，原方程为 x2＋3x＋1＝0. ∵x1，x2 是该方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可知 x1＋x2＝－3，x1x2＝1. ∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－3)2－2×1＝7.
3．解不等式：2x－1＞3x2－1，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：去分母，得 4x－2＞3x－1. 解得 x＞1. 这个不等式的解集在数轴上表示如下：
4．解不等式组：25xx－≥－1>9－3（x，x＋1），并把它的解集在数轴上表示出来． 解：解不等式 2x≥－9－x，得 x≥－3. 解不等式 5x－1＞3(x＋1)，得 x＞2. 则不等式组的解集为 x＞2. 将解集表示在数轴上如下：
8．已知关于 x 的方程(x－3)(x－2)－p2＝0. (1)求证：无论 p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两个实数根分别为 x1，x2，且满足 x21＋x22＝3x1x2，求实数 p 的值．解：(1)证明：∵(x－3)(x－2)－p2＝0，
∴x2－5x＋6－p2＝0. ∴Δ＝(－5)2－4×1×(6－p2)＝25－24＋4p2＝1＋4p2. ∵无论 p 取何值时，总有 4p2≥0， ∴1＋4p2＞0. ∴无论 p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
2x＋y＝4，① (3)x－y＝－1；② 解：①＋②，得 2x＋y＋x－y＝4－1.解得 x＝1. 把 x＝1 代入①，得 2＋y＝4.解得 y＝2. ∴原方程组的解是xy＝ ＝12，.
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一. 教学内容：方程、方程组及不等式、不等式组学习目标：1. 掌握一元一次、一元二次方程的概念、解法及应用；能解二元一次、二元二次、三元一次方程组，会简单应用。
2. 类比方程（组）的知识点，掌握不等式（组）的知识点。
b常数项①ax bx c a200，++=≠a二次项系数；b一次项系数；c常数项②根的判别式：∆=-24b ac∆>=<⎧⎨⎪⎩⎪000有两个不等实根有两个相等实根无实根③当∆≥0时，求根公式x b b ac a b a 122422,=-±--±，即∆④解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 ⑤当∆≥0时，根x x 12，与系数a 、b 、c 关系x x b a12+=-，x x c a12=⑥构造以x x 12，为根的方程有无数个，构造以1为二次项系数的x x x x x x 212120-++=() 5. 分式方程①定义；②解法：分式化整式，注意验根；③解的个数6. 方程组的有关概念7. 二元一次方程组，二元二次方程组，三元一次方程组①解法思路：消元、降次 ②方法：代入法、加减法 8. 解的情况：个数9. 不等式的概念：ax b +>0，a ≠0或ax b +<0，a ≠0 10. 不等式的基本性质①②③及同解原理 11. 不等式的解集及解法，解的个数12. 利用数轴确定一元一次不等式组的解集13. 注意类比的方法14. 绝对值不等式、分式不等式要转化成不等式组来解，可看作不等式组的应用。
2(x x x--+=--62142536712()()()去括号，得126820182112---=--x x x移项，得128182112620--=--++x x x合并同类项，得-=-x147∴=x 12说明：解一元一次方程是解其它方程的基础，基本思路是把方程变形为最简方程ax b a =≠()0，再求解。
（2）利用公式的基本性质，原方程化为：解得122当x x 2221++=时，x x 2210++=∴==-x x 121当x x 22212++=时，x x 22320++=∆<0，∴此方程无实根经检验，x =-1是原方程的根。
（2）设x x y +=1，则x x y 22212+=-原方程化为6253802()y y -+-= 整理得655002y y +-=解得y y 1210352=-=，当y 1103=-时，x x +=-1103整理得310302xx ++=2都是原方程的根。
x x k k 2223--+=-()的30==-+++=-+-=-+-442124418414222[()]()()k k k k()()k k +≥∴-+≤1041022∴-+-<41402()k 即∆<0，故原方程没有实数根。
例5. m 为何值时，方程()m x mx m -+++=12302（1）无实根；（2）有实根；（3）只有一个实根；（4）有两个实根；（5）有两个不等实根；（6）有两个相等实根。
解：（1）分两种情况：①当m ＝1时，方程为240x +=，它有一个实根，不符合题意，舍去；②当m ≠1时，∆=--+=-+44138122m m m m ()()m m ≠≤⎧⎨⎪⎩⎪132只有一个m ≠1时，方程有两个实根（5）当m m -≠=-+>⎧⎨⎩108120∆，即m <32且m ≠1时，方程有两个不等实根（6）当mm-≠=-+=⎧⎨⎩108120∆，即m=32时方程有两个相等实根说明：一定要注意审题，区别题目的不同问法。
112111121012121222x x x xx xmmmm+=+=---=->m>1 2综上所述1254<≤m ，且m ≠1 说明：解决这类题目，常常需要列出五个条件。
在本题中，<1>式因为是一元二次方程，故二次项系数m 210-≠；<2>式因为有两个实数根，故∆≥0；<3>、<4>件综合起来，此题方可解出。
认真分析题目中的每个词语，意挖掘隐含条件。
x kx 220++=的两个0=及方程x x k 220--=x x k 220--=是否有若没有，请说∴++=+=-+=22220121212x x x x即原等式成立。
（2）解：设方程x x k 220--=与方程x kx 220++=有相同的实数根a ，则可得：a a k a ka 222020--=++=⎧⎨⎪⎩⎪∴+++=ka a k 220，变形为a k k ()()+++=1210 即()()a k ++=210若k +=10，则k =-1，代入方程x kx 220++=及x x k 220--= ∴两方程均为x x 220-+=，∆=-<70，无实根 ∴≠-k 1，即k +≠10 则a +=20，即a =-2∴两个方程有相同的实数根-2。
说明：第（2）问的解法是有关“两个一元二次方程有相同根”问题的一个常见解法，注意分类讨论。
4356022x m x m ---=()的设x k x k 1232==-，，则3235432322k k m k k m -=--=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()∴=-k m 354k m m m 222243544=∴(-=，)∴-=()35422m m整理得m m 2650-+=∴==m m 1215，将m =1和m =5分别代入∆∴==m m 1215， 反思：（1）由||x x 1232=∆=-b ac 24去检验是把<3>代入<1>得：x x x x x x 2241132411322113220--+-+---=()()()整理，得4212702xx -+=∴==x x 394，把x =3代入<3>，得y =1 把x =94代入<3>，得y =178∴原方程组的解为x y 1131==⎧⎨⎩，x y 2294178==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪解法二：（用因式分解法）方程<1>可化为()()x y x y -+--=22202即()()x y x y -+--=22210一般可用代入一定要代入到二元例10. 解方程组x xy y 22125302>+-=<>⎩⎪解：由<1>得：()x y -=24 ∴-=x y 2或x y -=-2由<2>，得()()230x y x y -+=∴-=20x y 或x y +=30原方程组化为以下四个方程组：x y x y -=-=⎧⎨⎩220，x y x y -=+=⎧⎨⎩230，x y x y -=--=⎧⎨⎩220，x y x y -=-+=⎧⎨⎩230∴原方程组的解为：x y x y x y x y 1122334424321224=-=-⎧⎨⎩==-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪==⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 说明：此题为II<2>是x 与2y 的积∴x 与2y 是方程z z 24210--=的两个根 解此方程得z z 1237=-=，∴=-=⎧⎨⎩x y 327或x y ==-⎧⎨⎩723即原方程组的解是x y 11372=-=⎧⎨⎪⎩⎪，x y 22732==-⎧⎨⎪⎩⎪ （2）解：<>+<>⨯122得：()x y +=225，x y +=±5 <>-<>⨯122得：()x y x y -=-=±211， 可化为以下四个方程组：x y x y +=-=⎧⎨⎩51，x y x y +=-=-⎧⎨⎩51，x y x y +=--=⎧⎨⎩51，x y x y +=--=-⎧⎨⎩51 ∴原方程组的解为x y x y x y x y 1122334432232332==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩=-=-⎧⎨⎩=-=-⎧⎨⎩，，， 说明：（1）题可以看成x y axy b +==⎧⎨⎩特殊类型的方程组，可用一元二次方程的根与系数的关系来解。
（2）题是x y axy b 22+==⎧⎨⎩型的二元二次方程组，另外还有x y ax y b 22-=±=⎧⎨⎩型的二元二次方程组，也有简便的特殊解法。
（3）解：设1x y z+=，那么原方程组变为103115272z x z x +=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪解关于z 和x 的方程组，得x z ==⎧⎨⎩31，即x x y =+=⎧⎨⎪⎩⎪311 ∴=+=⎧⎨⎩x x y 31解得x y ==-⎧⎨⎩32经检验x y ==-⎧⎨⎩32是原方程组的解说明：（3）题是分式方程组，这类方程组要设法转化成整式方程组来解，需要检验，有时在应用题或综合题中会遇到。
例12. 已知方程组y x y kx 221==+⎧⎨⎩有两个不相等的实数解（1）求k 的取值范围（2）若方程组的两个实数解为x x y y ==⎧⎨⎩11和x x y y ==⎧⎨⎩22是否存在实数k ，使x x x x 11221++=，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。
解：（1）原方程组可化成kx k x 222110+-+=()由题意可知k k k k 2220214840≠=--=-+>⎧⎨⎪⎩⎪∆[()] 即k k ≠<⎧⎨⎪⎩⎪12∴<k 12且k ≠0时，方程组有两个不相等的实数解。
（2）x x k k x x k 122122211+=--=()，∴++=--+=x x x x k k k 1122222111()k ≠0，去分母同乘k 2（2）210x +<解：（1）-≤-≤43124x-≤-≤-≤≤-≤≤8318739733x x x（2）3602101x x ->+<⎧⎨⎩<>或3602102x x -<+>⎧⎨⎩<>解得x x ><-⎧⎨⎪⎩⎪212或x x <>-⎧⎨⎪⎩⎪212 不等式组<1>无解，不等式组2∴原不等式的解集为：-<<122x） x 12、，则以3312x x 、为540-= 180+=3. 已知y =⎩9是方程组nx my -=⎩15的解，则（ ） A. m n ==⎧⎨⎩23B. m n =-=⎧⎨⎩23C. m n ==-⎧⎨⎩32D.m n =-=-⎧⎨⎩324. 已知一个矩形周长为24，宽的长度不超过4，则长a 的取值范围是（ ） A. 2024≤<a B. 012<<a C. 812<<a D. 812≤<a5. 已知不等式组562312413x x m x x -<+-<-⎧⎨⎩解集是14<<x ，则m 的值是（ ）A. 6B. -3C. -6D. 3二. 填空题的值为___________ 为倒数，则m ＝m ＝________。