【世纪金榜】高中数学 1.6.2.2平面与平面垂直的性质课时提能演练 北师大版必修2

"【世纪金榜】高中数学 1.6.2.2平面与平面垂直的性质课时提能演练 北师大
版必修2 "
（30分钟 50分）
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.（2012·西安高一检测）下列说法错误的是( )
(A)若α⊥β,则平面α内所有直线都垂直于β
(B)若α⊥β，则平面α内一定存在直线平行于β
(C)若α⊥γ,γ⊥β,α∩β=l ，则l ⊥γ
(D)若α不垂直于β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面β
2.（易错题）如图所示，在斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面△ABC 中，∠BAC=90°，且BC 1⊥AC ，过点C 1作C 1H ⊥底面ABC ，
垂足为H ，则点H 在( )
(A)直线AC 上
(B)直线AB 上
(C)直线BC 上
(D)△ABC 的内部
3.若三棱锥三个侧面两两垂直，过顶点作底面的垂线，则垂足是底面三角形的( )
(A)内心 (B)外心 (C)重心 (D)垂心
4.直二面角α-AB-β，点C ∈α，点D ∈β，当满足∠CAB=∠DAB=45°时，
则∠CAD 的大小为( )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)120°
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.（2012·苏州高一检测）已知直线l 和平面α，β，且l α,l β,给出如下三个论证： ①l ⊥α,②α⊥β，③l ∥β.
从中任取两个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的说法________（写出一种即可）.
6.如图，已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ,
A ∈l ,
B ∈l ,A
C α,B
D β,AC ⊥l ，BD ⊥l ,
且AB ＝4，AC ＝3，BD ＝12，则CD ＝_______.
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.（2012·聊城高一检测）如图，平面ABCD ⊥
平面ABEF ，ABCD 为正方形，ABEF 是矩形，且
AF ＝12
AD ＝a ，G 是EF 的中点，求证：平面AGC ⊥平面BGC. 8.（2012·安徽高考）平面图形ABB 1A 1C 1C 如图1所示，其中BB 1C 1C 是矩形，BC=2，BB 1=4，AB=AC=2，
A 1
B 1=A 1
C 1现将该平面图形分别沿BC 和B 1C 1折叠，使△ABC 与△A 1B 1C 1所在平面都与平面BB 1C 1C 垂直，再分别连接A 1A,A 1B,A 1C,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题.
（1）证明：AA 1⊥BC ；
（2）求AA 1的长；
（3）求二面角A-BC-A1的余弦值.
【挑战能力】
（10分）如图，在四棱锥P-ABCD中，菱形ABCD的对角线交于点O，E，F分别是PC，DC的中点，平面PAD ⊥平面ABCD，PD⊥AD.
求证：（1）平面EFO∥平面PDA；
（2）PD⊥平面ABCD；
（3）平面PAC⊥平面PDB.
答案解析
1.【解题指南】根据直线、平面垂直的性质逐一验证.
【解析】选A.若α⊥β，则平面α内的直线可能与β垂直,也可能平行、斜交.
2.【解析】选B.∵BC1⊥AC，BA⊥AC，BC1∩BA=B,
∴AC⊥平面BC1A，又AC平面BAC,
∴平面BAC⊥平面BC1A.
∵C1H⊥平面ABC，且点H为垂足，
平面BAC∩平面BC1A=AB,∴H∈AB.
3.【解析】选D.如图，由三棱锥三个侧面两两垂直得SB⊥平面ASC，
∴SB⊥AC，又SO⊥AC，
∴AC⊥平面SBO，
∴BO⊥AC，
同理可证AO⊥BC，CO⊥AB，
∴O为垂心.
4.【解析】选C.过点C在α内作CE⊥AB，垂足为E，过E在β内作EF⊥AB，垂足为E，EF与AD或其延长线相交于点F，连接CF.
∵二面角α-AB-β是直二面角,
∴CE⊥β,∴CE⊥E F.
在Rt△ACE中，∠CAE=45°,∴
同理在Rt△AEF和Rt△CEF中可求得，
∴△ACF是等边三角形,∴∠CAD=60°.
5.【解析】若l⊥α,α⊥β.又∵lβ,∴l∥β.
若l∥β,过l作平面γ交β于m，则l∥m.又l⊥α,
故m⊥α.又∵mβ,所以α⊥β.
若α⊥β，l∥β,则l与α关系不确定.
答案：若l⊥α,α⊥β，则l∥β（或若l⊥α, l∥β,则α⊥β）
6.【解题指南】利用面面垂直的性质将条件转化为线面、线线垂直，利用直角三角形可求解.
【解析】连接BC，∵AC⊥l,AC=3,AB=4,∴BC=5.
∵BD⊥l,l=α∩β,α⊥β,BDβ,∴BD⊥α.
又BCα，∴BD⊥BC.
在Rt△BDC中，DC13.
答案：13
7.【解题指南】利用面面垂直的性质及判定定理证明.
【证明】∵四边形ABCD为正方形，∴CB⊥AB.
∵平面ABCD⊥平面ABEF且交于AB，
∴CB⊥平面ABEF，
∵AG，GB平面ABEF，∴CB⊥AG，CB⊥BG.
又AD＝2a,AF=a,ABEF是矩形，G是EF的中点.
∴AG＝BG2=AG2+BG2,
∴AG⊥B G.
∵CB∩BG=B,∴AG⊥平面CBG，而AG面AGC.
故平面AGC⊥平面BGC.
8.【解题指南】（1）通过线线垂直证明线面垂直进而得到线线垂直；（2）构造Rt△AA1D,在△AA1D中求AA1；
（3）先找到平面角，然后在三角形中求出.
【解析】（1）取BC,B 1C 1的中点为点O,O 1，连接AO,OO 1,A 1O,A 1O 1，则由AB=AC 知AO ⊥BC ，由面ABC ⊥面BB 1C 1C 可知AO ⊥面BB 1C 1C ；同理，A 1O 1⊥面BB 1C 1C ，由此可得AO ∥A 1O 1，即A,O,A 1,O 1共面. 又OO 1⊥BC,OO 1∩AO=O ，则BC ⊥面AOA 1O 1，所以AA 1⊥BC ；
（2）延长A 1O 1到D ，使O 1D=OA ，则O 1D OA,AD OO 1；OO 1⊥BC ，
面A 1B 1C 1⊥面BB 1C 1C ，则OO 1⊥面A 1B 1C 1，AD ⊥面A 1B 1C 1，在Rt △AA 1D
中，
===1AA 5；
（3）因为AO ⊥BC,A 1O ⊥BC ，则∠AOA 1是二面角A-BC-A 1的平面角.
在Rt △OO 1A 1中，
1A O ===
在Rt △OAA 1中，
2221111AO A O AA cos AOA ，2AO A O 5
+-∠==-⨯
所以二面角A-BC-A 1
的余弦值为-.
【挑战能力】
【证明】（1）∵ABCD 是菱形，∴O 是AC 的中点.
∵E,F 分别是PC,DC 的中点,
∴EF ∥PD.
又EF 平面PAD ，PD 平面PAD ，
∴EF ∥平面PDA ，
同理FO ∥平面PAD.
而FO ∩EF=F ，EF ，FO 平面EFO ，
∴平面EFO ∥平面PDA.
（2）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PD ⊥AD ，
平面PAD ∩平面ABCD=AD ，PD 平面PAD ，
∴PD ⊥平面ABCD.
（3）∵PD ⊥平面ABCD ，AC 平面ABCD,
∴AC ⊥PD.
∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，
又PD ∩DB=D ，
PD ，DB 平面PBD.
∴AC ⊥平面PBD.
∵AC 平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PDB.。