2019届浙江省高三新高考优化提升卷(一)数学试题解析

绝密★启用前2019届浙江省高三新高考优化提升卷（一）数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．若集合()5A =∞-，，[)3,B =+∞，则()()R R C A C B =U （） A ．R B ．∅C ．[)3,5D ．()[),35,-∞+∞U答案：D根据补集和并集的定义进行求解即可． 解：[)()()()()[)5,,3,35,R R R R C A C B C A C B =+∞=-∞⋃=-∞⋃+∞，，，故选：D ． 点评：本题主要考查集合的基本运算，结合补集并集的定义是解决本题的关键． 2．双曲线22941y x -=的渐近线方程为（） A ．49y x =± B ．94y x =±C ．23y x =±D ．32y x =±答案：C根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，得a 、b 的值，由双曲线的渐近线方程分析可得答案． 解：根据题意，双曲线22941y x -=的标准方程为2211194y x -=， 其焦点在y 轴上，且13a =，12b =， 则其渐近线方程为23y x =±；故选：C ． 点评：本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线渐近线方程的计算，注意双曲线的焦点位置，是基础题3．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为()A ．123B ．363C ．273?D ．6答案：B试题分析：由三视图，可知：该三棱柱的底面为高为的正三角形，边长为，底面面积为三棱柱的高为4，则三棱柱的体积为．【考点】1．三视图；2．几何体的体积．4．己知复数z 满足()253zi i π=+，则z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：A把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解：由()253zi i π=+，得()()()()222296369i i i i i iπππππ-+-+==---， ()26+9z i ππ∴=-，则在复平面内对应的点的坐标位于第一象限． 故选A ． 点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 5．函数为自然对数的底数的图象可能是A ．B ．C ．D ．答案：C为自然对数的底数是偶函数，由此排除B 和D ，，由此排除A ．由此能求出结果．解： ∵（e 为自然对数的底数）是偶函数，∴函数（e 为自然对数的底数）的图象关于y 轴对称，由此排除B 和D ， ∴，由此排除A ． 故选：C ． 点评：本题考查函数的图象的判断，考查函数的奇偶性、特殖点的函数值的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．6．在空间中，设m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是A ．若//m α且//αβ，则//m βB ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥且//αβ，则m β⊥D ．若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 必不垂直于n 答案：C 解：解：由m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，知： 在A 中，若m ∥α且α∥β，则m ∥β或m ⊂β，故A 错误；在B 中，若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 相交、平行或异面，故B 错误； 在C 中，若m ⊥α且α∥β，则由线面垂直的判定定理得m ⊥β，故C 正确； 在D 中，若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 有可能垂直于n ，故D 错误． 故选：C ．7．五人进行过关游戏，每人随机出现左路和右路两种选择．若选择同一条路的人数超过2人，则他们每人得1分；若选择同一条路的人数小于3人，则他们每人得0分，记小强游戏得分为ξ，则=E ξ（）A ．516B ．1116C ．58D ．12答案：B推导出()2234234444111111112222216P C C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()115011616P ξ==-=，由此能求出E ξ． 解：五人进行过关游戏，每人随机出现左路和右路两种选择． 若选择同一条路的人数超过2人，则他们每人得1分； 若选择同一条路的人数小于3人，则他们每人得0分，()2234234444111111112222216P C C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()115011616P ξ==-=， 11511=1+0=161616E ξ∴⨯⨯．故选：B ． 点评：本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，若11910S S S >>，则（） A ．0d < B ．110a <C ．190S …D ．180S <答案：D因为11910S S S >>，可得11100,0a a ><，所以公差0d >，则90a <，利用等差数列的前n 项和，即可求出结果. 解：因为11910S S S >>，即1011109910,S a S S S a +>>+，所以11100,0a a ><，所以公差0d >，则90a <，所以()()1191891019101990,1902a a S a a S a +=+<==<.故选：D. 【点精】本题考查等差数列的性质和求和公式，属于基础题.9．平面向量a r ，b r 满足，2()40a a b -⋅-=rr r ，3b =r ，则a r 最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案：B设向量a r ，b r的夹角为θ，由已知结合向量数量积的定义可得2||443cos a a a aθ-==-rr rr ，结合向量夹角的范围可求. 解：解：设向量a r ，b r的夹角为θ，240a a b -⋅-=rQ r r ，3b =r ，243cos a a b a θ∴-=⋅=r r r r，2||443cos a a a aθ-∴==-rr r r ，且0a ≠r r 0θπ≤≤Q ， 1cos 1θ∴-≤≤，433a a-≤-≤r r ，0a >Q r，解可得，14a ≤≤r ，即a r最大值是4． 故选B ． 点评：本题主要考查了平面向量数量积的定义及性质的简单应用，考查转化能力及计算能力，属于中档题．10．如图，正方形ABCD 与正方形BCEF 所成角的二面角的平面角的大小是,4PQ π是正方形BCEF 所在平面内的一条动直线，则直线BD 与PQ 所成角的取值范围是（）A ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：D由题意可知4ECD π∠=，设点D 在平面BCEF 内的投影为点G ，则易得点G 在线段CE 上，可得6DBG π∠=.由最小角定理得当直线PQ 与直线BG 重合时，直线BD 与直线PQ 所成的角取得最小值6π，当直线PQ 与直线BG 垂直时，BD PQ ⊥，此时直线BD 与直线PQ 所成的角取得最大值2π，由此即可求出结果. 解：因为正方形ABCD 与正方形BCEF 所成二面角的平面角的大小是4π，所以4ECD π∠=.设点D 在平面BCEF 内的投影为点G ，则易得点G 在线段CE 上，且22DG CD =，又因为2BD CD =，所以6DBG π∠=.由最小角定理得当直线PQ 与直线BG 重合时，直线BD 与直线PQ 所成的角取得最小值6π，当直线PQ 与直线BG 垂直时，BD PQ ⊥， 此时直线BD 与直线PQ 所成的角取得最大值2π，所以直线BD 与直线PQ 所成角的取值范围为,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：D. 【点精】本题考查二面角、异面直线的夹角，注意两条异面直线所成角的取值范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，本题属于中档题. 二、填空题11．设函数()()()()22211log 11x x f x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩,设函数()()4f f = ．若()1f a =-,则a = ．答案：5,1或12试题分析：()()24(31)log 325f f f =-==；()22111log (1)1211a a f a a a <≥⎧⎧=-⇒⎨⎨-=--+=-⎩⎩或所以112a a ==或【考点】分段函数求值【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.12．若，满足约束条件，则的最小值为 ．答案：试题分析：由不等式组作出可行域，如图，目标函数可视为可行域中的点与原点距离的平方，故其最小值应为原点到直线的距离平方，由点到直线的距离公式可知，原点到直线的距离为，所以所求最小值为.【考点】简单线性规划．【方法点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式转化为（或），“”取下方，“”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.13．已知*23,5nn N x x ⎛∈ ⎝的展开式中存在常数项，则n 的最小值为________. 答案：5在二项展开式的通项公式中,令x 的幂指数等于0,求出n 与r 的关系,可得n 的最小值. 解：二项式235nx x ⎛ ⎝的展开式的通项为2()25135,0,1,2,,5rrr n r r n r r n n T C x C x r n x --+⎛⎛=== ⎝⎝⎭⋅L ，因为二项式235nx x ⎛- ⎝的展开式中存在常数项，所以250n r -=有解，即52r n =有解，则当2r =时，n 取得最小值5.故答案为:5. 点评：本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题．14．已知平面向量,a b r r ，满足||||2a b a b ==⋅=r r r r ，且()()0a c b c -⋅-=r r r r，记()||()f a b c R λλλ=++∈r r r的最小值为()M c ，则()M c 的取值范围是____________.答案：33331,122⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则由()()0a c b c -⋅-=r r r r 得0CA CB ⋅=u u u r u u u r ，所以点C 在以AB为直径的圆上.且可得向量,a b r r 的夹角为3π，则2AB =.取AB 的中点,M BC 的中点N ，则()|||2||2()|f a b c OA ON ON OA λλλλ=++=+=--r r r u u u r u u u r u u u r u u u r，函数()f λ的最小值为点N 到直线OA 的距离的2倍.根据圆的性质可得出答案. 解：设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则由()()0a c b c -⋅-=r r r r 得0CA CB ⋅=u u u r u u u r ，所以点C 在以AB为直径的圆上.因为||||2a b a b ==⋅=r r r r ，所以向量,a b r r的夹角为3π，则2AB =.取AB 的中点,M BC 的中点N ，则()|||2||2()|f a b c OA ON ON OA λλλλ=++=+=--r r r u u u r u u u r u u u r u u u r，函数()f λ的最小值为点N到直线OA 的距离的2倍.记点N 到直线OA 的距离为N OA d →，则有()2N OA M c d →=.在圆M 中，点N 为圆M 的弦BC 的中点，所以MN BC ⊥，则点N 在以MB 为直径的圆上.设MB 的中点为P ，则有111242PN MB AB ===， 则()()maxmin 331331,22N OA P OA N OA P OA d d PN d d PN →→→→=+=+=-=-， 所以3333()21,1N OA M c d →⎡⎤=∈-+⎢⎥⎣⎦， 故答案为：33331,122⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦.点评：本题考查平面向量的运算.根据平面向量的线性运算将向量的模的运算转化为点到直线的距离问题是解题的关键,属于难度题. 三、双空题15．ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知a =60b A ==︒，则角B =______，ABC V 的面积是__________.答案：45根据正弦定理，即可求出B 的值；再根据三角形的面积公式，即可求出结果. 解：在ABC V 中，由正弦定理得sin sin a b A B =，则sin sin 2b A B a ===，又因为b a <，所以B A <，所以45B =︒，则75C =°，则ABC V 的面积为113sin 75224ab C =︒=. 【点精】本题考查正弦定理、三角形的面积公式，注意根据三角形中“大边对大角”确定角B 的取值范围，本题属于基础题.16．偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，且当[]0,1x ∈时，()f x x =，则43f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________，则若在区间[]1,3-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围是__________． 答案：2310,4⎛⎤ ⎥⎝⎦根据函数奇偶性和条件，判断函数是周期为2的周期函数，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数图象交点个数问题，利用数形结合进行求解即可． 解：Q 偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，()()2f x f x ∴=+，即函数()f x 是周期为2的周期函数， 则44222233333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 若10x -≤≤，则01x ≤-≤，则()()f x x f x -=-=，即()f x x =-，10x -≤≤，由()()g x f x kx k =--得()()1f x k x =+，要使函数()()g x f x kx k =--有4个零点等价为函数()f x 与()()1h x k x =+有四个不同的交点，作出两个函数的图象如图：()h x 过定点()1,0A -，()31f =，则k 满足()031h <≤，即041k <≤，得104k <≤， 即实数k 的取值范围是10,4⎛⎤⎥⎝⎦， 故答案为23，10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦点评： 本题主要考查函数与方程的应用，利用条件判断函数的奇偶性以及利用数形结合进行转化是解决本题的关键．17．在从100到999的所有三位数中，百位、十位、个位数字依次构成等差数列的有__________个；构成等比数列的有__________个．答案：4517利用等差数列与等比数列的定义，通过分类讨论即可得出．解：①百位、十位、个位数字依次构成等差数列：公差0d =时，共有9个：111， (999)公差1d =时，共有7个：123， (789)公差2d =时，共有5个：135， (579)公差3d =时，共有3个：147，258，369．公差4d =时，共有1个：159．同理可得：公差1d =-时，共有8个，987，……，321，210．公差2d =-时，共有6个．公差3d =-时，共有4个．公差4d =-时，共有2个．综上共有45个．②百位、十位、个位数字依次构成等比数列：公比1q =时，共有9个：111，……，999． 公比2q =时，共有2个：124，248．公比12q =时，共有2个：421，842． 公比3q =时，共有1个：139．公比13q =时，共有1个：931． 公比32q =时，共有1个：469．公比32q =时，共有1个：964． 综上共有：17个．故答案为45，17．点评：本题考查了等差数列与等比数列的定义，通过分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．四、解答题18．已知向量2,1,cos ,cos 444x x x m n ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭u r r ，记()f x m n =⋅u r r ， （1）若3()2f α=，求2cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； （2）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，若()f A =ABC V 的形状， 答案：（1）1（2）等边三角形（1）根据平面向量的数量积和三角恒等变换法则，将函数解析式化为“一角一函”的形式，根据函数值求解自变量的取值，进而得到所求的余弦值；（2）根据题中的边角关系结合正弦定理求解角B 的大小，根据（1）中的结论及函数值求解角A 的大小，进而确定ABC V 的形状，解：（1）由已知可得2()cos cos 444x x x f x =+11cos 22222x x =++ 1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 由3()2f α=，可得13sin 2622απ⎛⎫++= ⎪⎝⎭， 即sin 126απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 2,262k k Z απππ∴+=+∈24,3k k Z παπ∴=+∈， 222cos cos 41333k πππαπ⎛⎫⎛⎫∴-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， （2）(2)cos cos a c B b C -=Q ，(2sin sin )cos sin cos A C B B C ∴-=，2sin cos sin()sin A B B C A ∴=+=，1sin 0,cos ,23A B B π≠∴=∴=Q ，111()sin 22622A f A π⎛⎫=∴++= ⎪⎝⎭Q ， 可得263A ππ+=或23π，解得3A π=或π， 又20,33A A ππ<<∴=Q ， ABC ∴V 为等边三角形，点评：本题考查平面向量的数量积、三角恒等变换、正弦定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2，PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1，点M 、E 分别是PA 、PD 的中点(1)求证：CE//平面BMD(2)点Q为线段BP中点，求直线PA与平面CEQ所成角的余弦值.答案：(1)见解析；（2）5 cosθ=.(1)连接ME，通过对边关系得到四边形BCEM为平行四边形，所以CE BMP，进而得到线面平行；（2）建立坐标系，进而得到直线PA的方向向量，和面的法向量，进而得到线面角.解：（1）连接ME，因为点,M E分别是,PA PD的中点，所以1,2ME AD ME AD=P，所以,BC ME BC ME=P，所以四边形BCEM为平行四边形，所以CE BMP.又因为BM⊂平面BMD，CE⊂平面BMD,所以CE P平面BMD.（2）如图，以A为坐标原点建立空间坐标系O xyz-，则又1,1,12CQ⎛⎫=--⎪⎝⎭u u u v，()1,0,1CE=-u u u v设平面CEQ的法向量为(),,n x y z=，列方程组求得其中一个法向量为()2,1,2n=，设直线PA与平面CEQ所成角大小为θ，于是2sin 3θ==，进而求得cos θ=. 点评：这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．20．已知数列{}n a 满足11a =，前n 项和n S 满足{}22,n n S n n b =+是正项等比数列，且121,b b =是1a 和4a 的等比中项.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求证：112233111154n n a b a b a b a b ++++<++++L . 答案：（1）n a n =；12n n b -=（2）证明见解析；（1）根据题中的条件利用数列的通项与前n 项和的关系求解数列{}n a 的通项公式，根据等比中项的概念求解数列{}n b 的公比，从而得到其通项公式；（2）根据（1）中的结论合理放缩，结合等比数列的求和公式证明结论.解：（1）当2n …时，由22n S n n =+， 得212(1)1n S n n -=-+-，相减得22,n n a n a n =∴=.当1n =时，11a =符合上式，n a n ∴=.设{}n b 的公比为q ，由题意得2214b a a =⨯，即24q =， 又10,2,2n n q q b ->∴==.（2）证明：由题意得1111122n n n n a b n --=<++，1122331111n na b a b a b a b ∴++++++++L 231111*********n -<+++++++L 21114231412n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+-131154224n -⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭. 点评： 本题考查数列的通项与前n 项和的关系，等比中项，等比数列求和以及放缩法的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(0,1)P. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+不过P 点且与椭圆C 相交于,A B 两点.若直线PA 与直线PB 的斜率和为2，证明：直线l 过定点.答案：（1）2213x y +=；（2）证明见解析． （1）根据椭圆的顶点坐标和离心率求解椭圆的基本量，进而得到椭圆的方程；（2）联立直线与椭圆的方程得到一元二次方程，利用韦达定理结合直线的斜率的关系得到,k m 的关系，化简直线方程，进而证得直线过定点．解：（1）解：由于椭圆C 经过点(0,1)P ，得1b =，又离心率为3c e a ==，则3c a =， 又∵222a b c =+，∴23a =，22c =，∴椭圆C 的方程为2213x y +=； （2）证：设直线PA 与直线PB 的斜率分别为12,k k ，将:(1)l y kx m m =+≠代入2213x y +=中， 得()222136330k x kmx m +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，此时可得()2212310k m ∆=+->，122613km x x k -+=+，21223313m x x k-=+， ∴12121211y y k k x x --+=+ ()()21121211x kx m x kx m x x +-++-= ()1212(1)2m x x k x x -+=+ 222211km k k m m -=+==++， 则1m k =-，此时()2212310k m∆=+->有解，∴直线l 为1y kx k =+-，∴直线l 恒过定点(1,1)--．点评： 本题主要考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系中的定点问题，考查转化与化归思想，考查计算能力，属于中档题．22．已知函数()3292627f x x x x =-+-+． （1）若()f x 在()1212,x x x x x =≠处导数相等，证明：()()12f x f x +为定值，并求出该定值；（2）已知对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点，求实数a 的取值范围.答案：（1）6；（2）(],039⎡⎫-∞++∞⎪⎢⎪⎣⎭U （1）求出原函数的导函数，结合在()1212,x x x x x =≠处导数相等及根与系数的关系可得126x x +=，从而求得()()12f x f x +为定值6；（2）由()()63f x x =-'-'，可知函数()f x 在()0,3的图象为下凸，在()3+∞，的图象为上凸，求得函数的极大值点3,339M ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，再由直线y kx a =+过点()0,a ，然后对a 分类讨论求使直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点的实数a 的取值范围．解：（1）证明：()3292627f x x x x =-+-+，()231826f x x x ∴+'=--， 由题意得，126x x +=，则()()3232121112229262792627f x f x x x x x x x +=-+-+-+-+ ()()()332212121292654x x x x x x =-+++-++()()()222212112212+926654x x x x x x x x =-+-++-⨯+()()22121212126392102x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=-+-++--⎣⎦⎣⎦ ()()121263639362102x x x x =--+--121221618324181026x x x x =-++--=；（2）解：()()61863f x x x =-+=-'-'，∴函数()f x 在()0,3的图象为下凸，在()3+∞，的图象为上凸，记()()3,3P f ，求得P 处()f x 的切线为y x =，再记()0,Q a ，由()0f x '=，求得()f x 的极大值点为339M ⎛++ ⎝⎭，①当39a ≥+时，直线y kx a =+与曲线()y f x =显然只有唯一公共点；②当339a ≤<+时，直线QM 斜率为正，且与曲线()y f x =有三个公共点，舍去；③当03a <<时，直线QP 斜率为正，且与曲线()y f x =有三个公共点，舍去； ④当0a ≤时，若()0,PQ k k ∈，P 在直线上方，直线y kx a =+与曲线()y f x =的上凸部分有唯一公共点，与下凸部分不相交；若PQ k k =，直线y kx a =+与曲线()y f x =）交于P 点，与上凸部分和下凸部分均不相交；若(),PQ k k ∈+∞，P 在直线下方，直线y=kx+a 与曲线()y f x =的下凸部分有唯一公共点，与上凸部分不相交，此种情况成立．综上，a 的取值范围为(],039⎡⎫-∞⋃++∞⎪⎢⎪⎣⎭． 点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查转化与化归思想方法，考查推理论证能力，是中档题．。