数列,圆锥曲线,导数综合题2完整版
圆锥曲线综合测试题(含详细答案)
圆锥曲线测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y ＝－14x 2的准线方程为( )A ．x ＝116B ．x ＝1C ．y ＝1D ．y ＝2解析： 抛物线的标准方程为x 2＝－4y ， 准线方程为y ＝1. 答案： C2．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 解析： 双曲线x 24－y 212＝－1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)，故所求椭圆的焦点在y 轴上，a ＝4，c ＝23， ∴b 2＝4，所求方程为x 24＋y 216＝1，故选D. 答案： D3．设P 是椭圆x 2169＋y 2144＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于( )A ．22B ．21C ．20D ．13解析： 由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝26， 又∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝26－4＝22. 答案： A4．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，0B.⎝⎛⎭⎫52，0C.⎝⎛⎭⎫62，0D ．(3，0)解析： 将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62， 故右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0.答案： C 5．若抛物线x 2＝2py的焦点与椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点重合，则p 的值为( )A ．4B ．2C ．－4D ．－2解析： 椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点为(0，－1)，∴p2＝－1，即p ＝－2. 答案： D6．若k ∈R ，则k >3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析： 方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的条件是(k －3)(k ＋3)>0，即k >3或k <－3.故k >3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的充分不必要条件．故选A. 答案： A7．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎭⎫0，22 D.⎣⎡⎭⎫22，1解析： 由MF 1→·MF 2→＝0可知点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，要使点M 总在椭圆内部，只需c <b ，即c 2<b 2，c 2<a 2－c 2,2c 2<a 2， 故离心率e ＝c a <22.因为0<e <1，所以0<e <22. 即椭圆离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，22.故选C. 答案： C8．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35 C ．－35D ．－45解析 方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －4，y 2＝4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.令B (1，－2)，A (4,4)，又F (1,0)，∴由两点间距离公式得|BF |＝2，|AF |＝5，|AB |＝3 5. ∴cos ∠AFB ＝|BF |2＋|AF |2－|AB |22|BF |·|AF |＝4＋25－452×2×5＝－45.方法二：由方法一得A (4,4)，B (1，－2)，F (1,0)， ∴F A →＝(3,4)，FB →＝(0，－2)， ∴|F A →|＝32＋42＝5，|FB →|＝2.∴cos ∠AFB ＝F A →·FB→|F A →|·|F B →|＝3×0＋4×(－2)5×2＝－45.答案： D9．F 1、F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.72 C.74D.752解析： |F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6，|AF 2|＝6－|AF 1|.|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45° ＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8(6－|AF 1|)2 ＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，∴|AF 1|＝72.S ＝12×72×22×22＝72. 答案： B10．已知点M (－3,0)、N (3,0)、B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x >1) B ．x 2－y 28＝1(x <－1) C ．x 2＋y 28＝1(x >0) D ．x 2－y 210＝1(x >1) 解析： 设圆与直线PM 、PN 分别相切于E 、F ， 则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NB |＝|NF |. ∴|PM |－|PN |＝|PE |＋|ME |－(|PF |＋|NF |) ＝|MB |－|NB |＝4－2＝2<|MN |.所以点P 的轨迹是以M (－3,0)，N (3,0)为焦点的双曲线的一支，且a ＝1， ∴c ＝3，b 2＝8， ∴所以双曲线方程是x 2－y 28＝1(x >1)． 答案： A11.（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB =,则||AF = (A). 2 (B). 2 (C).3 (D). 3解:过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =,故2||3BM =.又由椭圆的第二定义,得222||233BF =⋅=||2AF ∴=.故选A 12.(2009山东卷理)设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).A.45B. 5C. 25D.5【解析】:双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组21b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩,消去y,得210b x x a -+=有唯一解,所以△=2()40ba-=, 所以2b a =,2221()5c a b b e a a a+===+=,故选D.答案:D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．若双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的标准方程是________．解析： 由双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，知b a ＝13，它的一个焦点是(10，0)，知a 2＋b 2＝10， 因此a ＝3，b ＝1，故双曲线的方程是x 29－y 2＝1.答案： x 29－y 2＝112．若过椭圆x 216＋y 24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________．解析： 设直线方程为y －1＝k (x －2)，与双曲线方程联立得(1＋4k 2)x 2＋(－16k 2＋8k )x ＋16k 2－16k －12＝0， 设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12， 所以直线方程为x ＋2y －4＝0. 答案： x ＋2y －4＝013.如图，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是________．解析： ∵△POF 2是面积为3的正三角形， ∴12c 2sin 60°＝3， ∴c 2＝4， ∴P (1，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋3b 2＝1，a 2＝b 2＋4，解之得b 2＝2 3. 答案： 2 314．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．解析： 显然x 1，x 2≥0，又y 21＋y 22＝4(x 1＋x 2)≥8x 1x 2， 当且仅当x 1＝x 2＝4时取等号，所以最小值为32. 答案： 32三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．（10分）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解析： (1)因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)∴⎩⎨⎧22a 2＋0b 2＝10a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为 y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， ∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10.又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2， ∴－c －(－10)＝2，故c ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝36. ∴所求椭圆的标准方程是y 2100＋x 236＝1.18．(12分)已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，求双曲线方程．解析： 由椭圆方程可得椭圆的焦点为F (0，±4)， 离心率e ＝45，所以双曲线的焦点为F (0，±4)，离心率为2， 从而c ＝4，a ＝2，b ＝2 3. 所以双曲线方程为y 24－x 212＝1.19．(12分)设椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝32.已知点P ⎝⎛⎭⎫0，32 到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆的方程．解析： 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M (x ，y )为椭圆上的点，由c a ＝32得a ＝2b .|PM |2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3(－b ≤y ≤b )， 若b <12，则当y ＝－b 时，|PM |2最大，即⎝⎛⎭⎫b ＋322＝7， 则b ＝7－32>12，故舍去．若b ≥12时，则当y ＝－12时，|PM |2最大，即4b 2＋3＝7，解得b 2＝1.∴所求方程为x 24＋y 2＝1.20．(12分)已知椭圆的长轴长为2a ，焦点是F 1(－3，0)、F 2(3，0)，点F 1到直线x ＝－a 23的距离为33，过点F 2且倾斜角为锐角的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，使得|F 2B |＝3|F 2A |.(1)求椭圆的方程； (2)求直线l 的方程．解析： (1)∵F 1到直线x ＝－a 23的距离为33，∴－3＋a 23＝33.∴a 2＝4. 而c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝1. ∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴所求椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． ∵|F 2B |＝3|F 2A |，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝x 2＋3x 11＋3，0＝y 2＋3y 11＋3，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝43－3x 1，y 2＝－3y 1.∵A 、B 在椭圆x 24＋y 2＝1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 21＝1，(43－3x 1)24＋(－3y 1)2＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1033，y 1＝233(取正值).∴l 的斜率为233－01033－3＝ 2.∴l 的方程为y ＝2(x －3)， 即2x －y －6＝0.21．(12分)已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点．(1)若|AF |＝4，求点A 的坐标； (2)求线段AB 的长的最小值． 解析： 由y 2＝4x ，得p ＝2， 其准线方程为x ＝－1，焦点F (1,0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)由抛物线的定义可知．|AF |＝x 1＋p2，从而x 1＝4－1＝3.代入y 2＝4x ，解得y 1＝±2 3.∴点A 的坐标为(3,23)或(3，－23)． (2)当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x，消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 因为直线与抛物线相交于A 、B 两点， 则k ≠0，并设其两根为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝2＋4k 2.由抛物线的定义可知， |AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k2>4，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线交于A (1,2)，B (1，－2)，此时|AB |＝4.所以|AB |≥4，即线段AB 的长的最小值为4.22．(12分)如图，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，x 轴被曲线C 2：y ＝x 2－b截得的线段长等于C 1的长半轴长．(1)求C 1，C 2的方程．(2)设C 2与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E .证明：MD ⊥ME .解析： 由题意知e ＝c a ＝32，从而a ＝2b .又2b ＝a ，所以a ＝2，b ＝1.故C 1，C 2的方程分别为x 24＋y 2＝1，y ＝x 2－1.(2)证明：由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＝kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2－1，得x 2－kx －1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－1. 又点M 的坐标为(0，－1)，所以k MA ·k MB ＝y 1＋1x 1·y 2＋1x 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)x 1x 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1x 1x 2＝－k 2＋k 2＋1－1＝－1.故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME .。
(word完整版)高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案(2021年整理)
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圆锥曲线测试题及详细答案一、选择题：1、双曲线221102x y -=的焦距为（ ）D 。
2。
椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （ ）A ．23 B ．3 C ．27D ．4 3．已知动点M 的坐标满足方程|12512|1322-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是( ） A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对4．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （ )A 。
1或5 B. 1或9 C 。
1 D. 95、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△F 1PF 2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是（ )。
C. 21 6．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ）A ．163B ．83C ．316D ．387. 若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( ）（A)2 （B)3 (C ）4 8．如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2）平分,则这条弦所在的直线方程是（ ） A 02=-y x B 042=-+y x C 01232=-+y x D 082=-+y x 9、无论θ为何值，方程1sin 222=⋅+y x θ所表示的曲线必不是（ ）A 。
圆锥曲线综合练习题(有答案)
圆锥曲线综合练习一、 选择题：1.已知椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4,则m 等于( )A.4 Ｂ.5 C ．7 D.8【解析】由242(10)()2m m ---=，得8m =,故选：D2．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ )A B.12 C D ．23【解析】直线220x y -+=与坐标轴的交点为(20)(01)-，，，，依题意得21c b ==，,a所以e . 3.设双曲线22219x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）Ａ.４ B.３ C ．2 D ．１ 答案:C4．若m 是2和８的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ )A B D 答案:D５．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N ，两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为( ）A 答案:Ｄ6.已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（ )Ａ．0 Ｂ.1 C ．2 D ．答案:Ｃ7．双曲线221259x y -=上的点到一个焦点的距离为1２，则到另一个焦点的距离为（ )A ．22或２ Ｂ.7 Ｃ．２２ Ｄ.2【解析】由双曲线定义知，12||||||10PF PF -=,所以1||22PF =或2||2PF =，故选A ．8．P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点,则||||PM PN -的最大值为（ ) Ａ．6 B ．７ Ｃ．８ D.9【解析】设双曲线221916x y -=的左、右焦点分别为12F F ，,则圆22(5)4x y ++=的圆心为1F ,半径12r =.圆22(5)1x y -+=的圆心为2F ,半径21r =．所以max 111||||||2PM PF r PF =+=+,min 222||||||1PN PF r PF =-=-． 由双曲线定义得12||||6PF PF -=，所以max 12(||||)||2(||1)9PM PN PF PF -=+--=．故选:D9．已知点(8)P a ，在抛物线24y px =上，且P 到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为( )A ．2 B.４ C.8 D ．1６【解析】准线方程为x p =-,由已知得810p +=,所以2p =，所以焦点到准线的距离为24p =．1０．在正ABC △中，D AB E AC ∈∈，,向量12DE BC =，则以B C ，为焦点，且过D E ，的双曲线离心率为( ） AB1 C11 【解析】设正ABC △的边长为2，向量12DE BC =,则D E ，分别是AB AC ，的中点.由双曲线定义知||||2BE EC a -=，所以a 1c =所以离心率1ce a=．故选：Ｄ 11.两个正数a b ，的等差中项是92,一个等比中项是且a b >,则抛物线2by x a=-的焦点坐标是（ ) A ．5(0)16-， Ｂ.2(0)5-， C ．1(0)5-， D ．1(0)5， 【解析】依题意得920a b ab a b +=⎧⎪=⎨⎪>⎩,解得54a b ==，,所以抛物线方程为254y x =-，其焦点坐标为1(0)5-，,故选：C1２.已知12A A ，分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点,椭圆C 上异于12A A ，的点P恒满足1249PA PA k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为( ）Ａ.49 B ．23 C ．595【解析】设00()P x y ，，则000049y y x a x a ⋅=-+-,化简得220022149x y a a+=，可以判断2249b a =，2451()19b e a =--故选:Ｄ13.已知2212221(0)x y F F a b a b+=>>、分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点,点B 也在椭圆 上,且满足0OA OB +=（O 为坐标原点)，2120AF F F ⋅=,若椭圆的离心率等于22， 则直线AB 的方程是（ ) Ａ． 2y = B ．2y = Ｃ.3y = D ．3y 答案:A14.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(02)M ，的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 A ．3 B 17 Ｃ5 D ．92答案:B15.若椭圆221x y m n+=与双曲线221(x y m n p q p q -=，，，均为正数)有共同的焦点F 1,F ２,Ｐ 是两曲线的一个公共点,则12||||PF PF ⋅等于ﻩﻩ( ）A ．m p +ﻩB ．p m - C.m p - D ．22m p -答案：Ｃ16.若()P a b ，是双曲线22416(0)x y m m -=≠上一点,且满足20a b ->，20a b +>,则该点P 一定位于双曲线（ )A.右支上 B ．上支上 C ．右支上或上支上 Ｄ．不能确定 答案:Ａ１7.如图,在ABC △中，30CAB CBA ∠=∠=,AC BC ，边上的高分别为BD AE ，，则以A B ， 为焦点,且过D E ，的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（ ） A.3 ﻩＢ.1 ﻩC ．32Ｄ.2答案:A【解析】设c AB 2||=， 则在椭圆中,而在双曲线中,1８.221+=表示的曲线是（ )A.焦点在x 轴上的椭圆 Ｂ.焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的双曲线【解析】即又方程表示的曲线是椭圆。
圆锥曲线综合训练题(分专题-含答案)
圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程．（2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程．（1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -=（2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程． 2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）． （2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系． 】解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+b y a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程.解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-k y k x . ,由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为∴所求椭圆方程为1315422=+yx 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即（1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程． — 解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1. （2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ， 即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =， 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠， 由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=，即 ()11,OP x y =，()22,OQ x y =，于是12120x x y y +=，<即()()21212110k y y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=， 2224(1)40k k k k k +-+=，解得4k =-或0k =（舍去）， 又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ） e c a =∴=2422，c a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±33 4分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即;则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分）（III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[] OP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩………3分 由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. ,9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。
数列-圆锥曲线-导数 专题训练
数列、圆锥、导数1. 已知椭圆125100:22=+y x E 的上顶点为A ，直线4-=y 交椭圆E 于点B ，C （点B 在点C 的左侧），点P 在椭圆E 上。
（Ⅰ）求以原点为顶点，椭圆的右焦点为焦点的抛物线的方程；（Ⅱ）若四边形ABCP 为梯形，求点P 的坐标；（Ⅲ）若n m ⋅+⋅=（m ，n 为实数），求n m +的最大值及对应的P 的坐标。
解：（Ⅰ）设此抛物线的方程为22y px =…1 分，椭圆的右焦点为2p∴=即p =…2分，∴此抛物线的方程为2y =…3分（Ⅱ）(0,5),(6,4),(6,4)A B C ---…4分，要使四边形ABCP 为梯形，当且仅当||CP AB 32AB k =∴直线CP 的方程为34(6)2y x +=-即3132y x =-…5分，把3132y x =-代入22110025x y +=得：25782880x x -+=…6分 ，解得：6x =或485（由韦达定理求得也可…7分487(,)55P ∴…8分 （Ⅲ）方法一：设(,)P x y ，易知(6,9),(12,0),(6,4)BA BC BP x y ===++n m ⋅+⋅=6612,49x m n y m ∴+=++= …9分，则432103226,,93636y x y x y m n m n +-+++==+= …10分令32x y t +=，由2232110025x y tx y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得：221061000x tx t -+-=…11分，由0∆≥得：223640(100)0t t --≥即21000t ≤，t ∴-≤≤…12分max ()m n ∴+==，…13分，此时x y ==即P …14分方法二：设(,)P x y ，易知(6,9),(12,0),(6,4)BA BC BP x y ===++n m ⋅+⋅=6612,49x m n y m ∴+=++=…9分则432103226,,93636y x y x y m n m n +-+++==+=…10分 由(,)P x y 在22110025x y +=上可设10cos 5sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数，02θπ≤<）3230cos 10sin )x y θθθα∴+=+=-， (11)分，其中cos 1010αα==（α为锐角）max (32)x y ∴+=…12分，max 2613()3618m n ∴+== …13分 此时θα=，即2x y ==即2P ……………14分 2. 巳知数列{}n a 中，1(),{}n a t t a =为非零常数的前n 项和n S 满足13n n S S +=.（Ⅰ）当1t =时，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若对任意*n N ∈，都有(1)nn n a λ+>，求实数λ的取值范围。
高考数学数列、导数、圆锥曲线综合题
综合题(答案在文章最后面)1、设n S 为数列}{n a 的前n 项和，对任意的∈n N *，都有()1n n S m ma =+-m (为常数，且0)m >．（1）求证：数列}{n a 是等比数列；（2）设数列}{n a 的公比()m f q =，数列{}n b 满足()1112,n n b a b f b -==(2n ≥，∈n N *)，求数列{}n b 的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列12n n b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．2、已知函数)0,()(≠+=a b a bax xx f 为常数且满足1)2(=f 且x x f =)(有唯一解。
（1）求)(x f 的表达式；（2）记)1)((1>∈=-n N n x f x n n 且，且1x ＝()f 1，求数列{}n x 的通项公式。
（3）记1n y +⋅=n n x x ，数列｛n y ｝的前n 项和为n S ，求证34<n S3、在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得11n k nk a a a a ++≤对任意n *∈N 均成立．4、设数列).(3,3,3}{},{*111N n n P P P b b P b n n n n nn n n ∈+===++且满足（1）求数列}{n b 的通项公式；（2）若存在实数t ，使得数列})21({,1)41(n C n n n C n n t b C ⋅++⋅-=记数列成等差数列的前n 项和为n T ，证明：3(1)nn n T b -<（3）设25,}{,)1(1<+=n n n n n S S n A T n n A 求证项和为的前数列5、已知函数32()3f x x ax x =--.(1)若()f x 在区间[1,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若13x =-是()f x 的极值点，求()f x 在[1,]a 上的最大值；(3)在(2)的条件下，是否存在实数b ，使得函数()g x bx =的图象与函数()f x 的图象恰有3个交点？若存在，请求出实数b 的取值范围；若不存在，试说明理由．6、已知函数(),()2ln mf x mxg x x x=-=. （1）当2m =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）当m=1时，求方程f(x)=g(x)实数根个数；（3）若(1,]x e ∈时，不等式()()2f x g x -<恒成立，求实数m 的取值范围.7、已知函数2(2)()().x x x x e f x g x e e-==, （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求证：当1x >时，()()f x g x >；（Ⅲ）如果21x x <，且12()()f x f x =，求证：12()(2)f x f x >-．8、设函数()e x f x =(e 为自然对数的底数)，23()12!3!!nn x x x g x x n =+++++（*n ∈N ）． （1）证明：()f x 1()g x ≥；（2）当0x >时，比较()f x 与()n g x 的大小，并说明理由；（3）证明：()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤（*n ∈N ）．9、已知椭圆2214y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 的双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ． （1）求曲线C 的方程；（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=；（3）设TAB ∆与POB ∆（其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且15PA PB ≤，求2212S S -的取值范围。
完整版)圆锥曲线综合练习题(有答案)
完整版)圆锥曲线综合练习题(有答案)圆锥曲线综合练1.已知椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 的长轴在 $y$ 轴上，焦距为 4，则 $m$ 等于（）A。
4B。
5C。
7D。
82.直线 $x-2y+2=0$ 经过椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$ 的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为frac{\sqrt{5}}{2}3.设双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0)$ 的渐近线方程为$3x\pm 2y=0$，则 $a$ 的值为24.若 $m$ 是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线$x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 的离心率是frac{\sqrt{5}}{2}5.已知双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0)$，$N$ 两点，$O$ 为坐标原点，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 $M$ 点。
若 $OM\perp ON$，则双曲线的离心率为frac{\sqrt{5}+1}{2}6.已知点$F_1,F_2$ 是椭圆$x^2/2+y^2/2=1$ 的两个焦点，点 $P$ 是该椭圆上的一个动点，则 $|PF_1+PF_2|$ 的最小值是sqrt{2}7.双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ 上的点到一个焦点的距离为 12，则到另一个焦点的距离为2\sqrt{5}8.$P$ 为双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ 的右支上一点，$M$，则 $|PM|-|PN|$ 分别是圆 $(x+5)^2+y^2=4$ 和 $(x-5)^2+y^2=1$ 上的点，的最大值为99.已知点 $P(8,a)$ 在抛物线 $y^2=4px$ 上，且 $P$ 到焦点的距离为 10，则焦点到准线的距离为210.在正三角形 $ABC$ 中，$D\in AB$，$E\in AC$，$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{BC}$，则以 $B$，$C$ 为焦点，且过 $D$，$E$ 的双曲线离心率为frac{3+\sqrt{5}}{2}11.两个正数 $a$，$b$ 的等差中项是 $5$，一个等比中项是 $25$，且 $a>b$，则抛物线 $y^2=-x$ 的焦点坐标是left(-\frac{5\sqrt{21}}{21},0\right)12.已知 $A_1$，$A_2$ 分别为椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$ 的左右顶点，椭圆 $C$ 上异于$A_1$，$A_2$ 的点 $P$ 恒满足 $k\cdot PA_1\cdot k\cdotPA_2=-1$，则椭圆 $C$ 的离心率为frac{3}{5}13.已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，点 $A$ 在第一象限内且在椭圆上，点 $B$ 也在椭圆上。
圆锥曲线与导数综合练习题
圆锥曲线与导数综合练习题：1、已知直线20ax by --=与曲线3y x =在点P （1，1）处的切线互相垂直，则ab为（ D ）A ．13B ．23 C ．23- D ．13- 2、设动直线x m =与函数3()f x x =，()ln g x x =的图象分别交于点M 、N ，则||MN 的最小值为（ A ）A ．1(1ln 3)3+ B ．1ln 33 C ．1(1ln 3)3- D ．ln 31-3、设曲线11x y x +=-在点（3，2）处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =( B )A.2B.2-C.12-D.124、三次．．函数3()f x mx x =-在(,)-∞+∞上是减函数，则m 的取值范围是 ( A ) A ．0m < B ．1m < C ．0m ≤ D ．1m ≤5、已知直线1+=x y 与曲线)ln(a x y +=相切，则a 的值为_________22【解析】()''1y x a x a x a =+=++，设切点为()00,1x x +，则()00011, 2.1ln x a a x x a ⎧=⎪+=⎨⎪+=+⎩ 6、已知函数f (x )的图像在点M (1,f (1))处的切线方程是2x -3y +1=0，则f (1)+f ′(1)= .537、已知点12,F F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若2ABF ∆是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（D ） A ．)3,1( B ．)22,3( C ．),21(+∞+ D ．)21,1(+【解析】22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22222,,2,.b b F A c F B c a a ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222240,210,11b F A F B c e e e a ⎛⎫⋅=->--<<<+ ⎪⎝⎭8、以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆222690x y x y +-++=圆心的抛物线方程是(D ) A .2233y x y x ==-或 B .23y x = C .2293y x y x =-=或 D .22-9y x y x ==或9、已知实数m 是2,8的等比中项,则双曲线221y x m-=的离心率为 （ A ） ABCD10、与椭圆2214x y +=共焦点且过点(2,1)P 的双曲线方程是 ( B )A ．2214x y -=B ．2212x y -=C ．22133x y -=D ．2212y x -=11、设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2212221)(e e e e +的值为 ( C ) A ．21B ．1C ．2D ．不确定12、点P 是曲线2y x x =-上任意一点,则点P 到直线3y x =-的距离的最小值是 ；213、已知正六边形ABCDEF 的两个顶点A 、D 为椭圆的两个焦点，其余4个顶点在椭圆上，则该椭圆的离心率为_______31-；14、双曲线的渐近线方程为34y x =±，则双曲线的离心率是 。