奥数群英会——外心和内心
内心、外心、重心、垂心定义及性质总结
内心、外心、重心、垂心定义及性质总结
1.内心：
（1）三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。
（2）性质：到三边距离相等。
2外心：
（1）三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
（2）性质：到三个顶点距离相等。
3 重心：
（1）三条中线的交点。
（2）性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。
4 垂心：三条高所在直线的交点。
5 重心 : 三条中线定相交，交点位置真奇巧，
交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；
长短之比二比一，灵活运用掌握好．
6 垂心 : 三角形上作三高，三高必于垂心交．
高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形，
四点共圆图中有，细心分析可找清.
7内心 : 三角对应三顶点，角角都有平分线，
三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆，
此圆圆心称“内心”如此定义理当然．
8外心 : 三角形有六元素，三个内角有三边．
作三边的中垂线，三线相交共一点．
此点定义为“外心”，用它可作外接圆．
“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．。
内心、外心、重心、垂心定义及性质总结
内心、外心、重心、垂心定义及性质在三角形中，有四个非常重要的点，它们是：内心、外心、重心和垂心。
这些点的性质在几何学和三角学中都非常重要。
在本文中，我们将对这些点进行定义和它们的性质。
内心内心是一个三角形内部的点。
它是由三条角平分线所确定的点，也就是说，它到三角形三条边的距离相等。
性质1.内心是三角形的唯一的内接圆心。
2.内心到三角形三边的距离相等。
3.连接内心与三角形三个顶点的线段分别垂直于三边。
4.内心和三角形顶点的连线相交于三角形的垂心。
5.内心是三角形的重心、外心和垂心的欧拉线的交点之一。
外心外心是一个三角形外部的点，它是由三边中垂线的交点所确定的点。
外心是三角形外接圆的圆心。
性质1.外心是三角形的唯一的外接圆心。
2.连接外心与三角形三个顶点的线段分别垂直于相应的边。
3.外心到三角形三个顶点的距离相等。
4.三角形的角上的中垂线恰好交于外心。
5.外心到三角形三边的距离相等。
重心重心是由三条中线的交点所确定的点。
性质1.重心到三角形三个顶点的距离相等。
2.连接重心和三角形三个顶点的线段相等。
3.重心将每条中线分成两个部分，中心到三角形各边上的点的距离之和相等。
4.重心是三角形垂心和外心的中点。
5.连接重心与三个角平分线的交点构成的三角形是原三角形的等价三角形。
垂心垂心是由三边的垂线所交的点。
性质1.垂心到三角形三个顶点的线段中，最短的是对应于最大角的那一段。
2.垂心到三角形三个顶点的线段之和是定值，即为三角形的半周长。
3.三角形的顶点与对面边上的垂足之间的线段互相垂直。
4.三角形的三个垂直平分线相交于垂心。
5.垂心是三角形内心、外心和重心的欧拉线的交点之一。
内心、外心、重心和垂心是三角形中非常重要的点。
它们有许多有趣的性质，这些性质在解决各种几何问题时非常有用。
内心、外心、重心、垂心定义及性质总结[借鉴]
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内心、外心、重心、垂心定义及性质总结[借鉴]内心、外心、重心、垂心是几何学中与三角形相关的四个重要概念。
以下是它们的定义及性质总结：1.内心（Incenter）定义：内心是三角形内切圆的圆心。
性质：o内心到三角形三个顶点的距离相等。
o内心与三角形各边之间的距离等于三角形半周长与内切圆半径之差的一半。
o在内心分线上，任意两边的向量之积等于另外两边向量之积的负值。
2.外心（Excenter）定义：外心是三角形外接圆的圆心。
性质：o外心到三角形三个顶点的距离相等。
o外心与三角形各顶点连线所成的角等于三角形内角和的一半。
o在外心分线上，任意两边的向量之积等于另外两边向量之积的值。
3.重心（Centroid）定义：重心是三角形三条中线的交点。
性质：o重心到三角形三个顶点的距离与到三条中线的距离相等。
o重心与三角形各边之间的距离等于三角形半周长与外接圆半径之差的一半。
o在重心分线上，任意两边的向量之积等于另外两边向量之积的值。
4.垂心（Hypotenuse）定义：垂心是三角形各边上的高线的交点。
性质：o垂心到三角形三个顶点的距离与到三条高的距离相等。
o垂心与三角形各顶点连线所成的角等于三角形内角和的一半。
o在垂心分线上，任意两边的向量之积等于另外两边向量之积的负值。
总结：内心、外心、重心和垂心在几何学中具有特殊的性质和重要性。
这些概念之间的关系可以用于证明定理和解决问题。
对于内心和外心，它们分别与三角形的内切圆和外接圆相关，而重心和垂心则分别与三角形的中线和高的交点相关。
这些概念及其性质在几何学中具有广泛的应用，例如在解决几何问题、绘制图形和证明定理等方面都有重要的应用价值。
奥数夏令营讲义之平面几何(4)三角形五心
四、三角形五心4.1 三角形的内心三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心. 性质1：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点.性质2：设I 为ABC ∆内一点，AI 所在直线交ABC ∆的外接圆于D ，I 为ABC ∆内心的充要条件是：ID =DB =DC （鸡爪定理）【证明】如图，必要性：连BI ，由DBI IBC CBD B A DIB ∠=∠+∠=∠+∠=∠2121 知ID =BD =DC充分性：由DB =DC ，即知AD 平分.BAC ∠由DI =DB ，有DBI DIB =∠ 即ABI IAB CBI DBC ∠+∠=∠+∠，而DBC IAC IAB ∠=∠=∠ 从而IBA CBI ∠=∠，即BI 平分ABC ∠ 故I 为ABC ∆的内心.性质3：设I 为ABC ∆内一点，I ABC ∆的内心的充要条件是：IAB ICA IBC ∆∆∆,,的外心均在ABC ∆的外接圆上.1. 已知，如图I 为ABC △的内心，过I 的BC 的垂线交ABC △的外接圆于P 、Q ，P A 、QA交BC 于E 、F ，求证：A ，I ，E ，F 四点共圆.【析】如图，连结AI 并延长交外接圆于S ，交BC 边于K ，连结SP 并延长与BC 所在直线交于点J ，连结AJ ，IJ ，IE ， 由性质2可知SC =SI =SB ， 因为C P J S A C A SC B ∠=∠=∠=∠21，所以SPC CPJ SCB SCJ ∠=∠-=∠-=∠ 180180.那么易知SCP ∆~SJC ∆，所以SAP SCP KJS ∠=∠=∠且SJ SP SC ⋅=2，所以A ，K ，P ，J 四点共圆.又因为SJ SP SC SI ⋅==22SIP ∆∴~SJI SIP SJI ∠=∠∴∆， 又因为KJPSAP ∠=∠，所以IPE IAP SIP SCP SIP KJS IJS IJB ∠=∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠. AP IJ BC IP ⊥∴⊥ ，所以E 为IPJ ∆的垂心，则 IAF QAS QPS IPJ IEB ∠=∠-=∠-=∠=∠ 180180所以A ，I ，E ，F 四点共圆.2. 已知：如图，O ，I 分别为ABC △的外心和内心，点B '为点B 关于OI 的对称点. 求证：过点,I B '作BIB '△外接圆的切线，交点在AC 上.【析】设'O 为'BIB ∆外接圆圆心，则'O 在OI 上， 延长BI 交圆O 于M ，设'MB 交AC 于E ，由例1知''''2B IO IBB MIB MEI ∠=∠=∠=∠所以，'',,,B E O I 四点共圆，注意到'BB OI ⊥，MCE ∆~C MB '∆，于是''''MCB OIB CEM EM O EC O ∠-∠=∠-∠=∠ 90''=∠-∠=B IB OIB设过点I ，'B 的圆'O 切线交点为D ，则I D B O ,,,''四点共圆，从而I D B E O ,,,,''五点共圆. 从而EC O D B O ED O ''''90∠==∠=∠ 所以，D 在EC 上.3. 已知圆O '内切圆O 于点D ，A 为大圆O 上任意一点，圆O 的弦AB ，AC 分别切圆O '于点E ，F ，EF 交AO '于点I ，求证：I 为ABC △的内心.【析】延长'AO 交圆O 于点M ，设α2=∠BAC ，圆',O O 的半径依次为R ，r ，由性质2（鸡爪定理）知，只要证明αsin 2R MB MI ==即可. 由圆幂定理知：2'2222)(2OO R r R R r Rr -=--=-)(''''IO IM AO M O AO -⋅=⋅=2'''''E O IM AO IO AO IM AO -⋅=⋅-⋅=2sin r MI r -⋅=α整理得αsin 2R MI =F EIABCD4.2 三角形的外心三角形的外接圆的圆心简称为三角形的外心.性质1：三角形的外心是三角形三条边的中垂线的交点.性质2：三角形所在平面内的一点是其外心的充要条件是：该点到三顶点的距离相等 性质3：设O 为ABC ∆所在平面内的一点，则O 为ABC ∆的外心的充要条件是下述条件之一成立：（1）C AOB B AOC A BOC ∠=∠∠=∠∠=∠2,2,2 （2）A BOC OC OB ∠=∠=2,且4. 设O 为ABC △的外心，连结AO 并延长交ABC △的外接圆于D ，BC 的延长线与过D点的⊙O 的切线l 交于P ，直线PO 交AB 于N ，交AC 于M ，求证：OM =ON .【析】过B 作PO 平行线交AD 于F ，交AC 于G ，作BC OE ⊥ 于E ，则O ，E ，P ，D 四点共圆. OPE FDE ∠=∠∴FBE FDE FBE OPE PC PM ∠=∠∴∠=∠∴,// B D E F ,,,∴四点共圆，C BDA FEB ∠=∠=∠∴CG FE //∴因为E 为BC 中点，所以F 为BG 中点， 所以O 为MN 中点.P5. 设ABC △的外接圆O 上的劣弧BC 的中点为K ，优弧BC 的中点为S ，线段AK 与BC边交于点D ，点E ，F 分别为ACD △，ABD △的外心. 求证：A ，E ，O ，F ，S 五点共圆.【析】如图，由题意知S ，O ，K 三点共线，下面证明S ，E ，C 三点共线.易知CK SC ⊥，ECD KAC ECD KSC ECD DCK ∠+∠=∠+∠=∠+∠909022180=∠-+∠=∠-+∠KAC KAC KACKAC所以S ，E ，C 三点共线，同理S ，F ，B 三点共线. 设α=∠ADB ，那么由F 是ABD ∆的外心可知α2360-=∠BFA在AOK ∆中，αα2360)90(21802180-=--=∠-=∠ OKA AOK在AEC ∆中，α23602-=∠=∠ADC AEC所以AEC AOK AFB ∠=∠=∠ 所以AES AOS AFS ∠=∠=∠ 所以结论得证.6. 过B ，C 作ABC △的外接圆的切线交于D ，B 、B '关于AC 对称，C 、C '关于AB 对称，O 是DB C ''△的外心，求证：AO BC ⊥.【析】不妨设C B ∠≥∠，ABC A ABCDBC DBC ∠-∠-=∠-∠-=∠23602360'A C ∠+∠=2同理可得A C DCB ∠+∠=∠2' 所以''DCB DBC ∠=∠ 又因为DB =DC 且''BC CB CB == 所以''D C BDB C ∆≅∆，DC B BD C DB DC '''',∠=∠=∴所以BDC DB C ∠=∠''所以DBC ∆~''B DC ∆取DBC ∆的外心F ，则DFB ∆~'DOB ∆由于OD C C DB DBC A AC C ''''222∠=∠=∠=∠=∠所以AC C '∆~OD C '∆D CC O AC D OC C AC '''',∠=∠∴∠=∠∴且''''DCOC CC AC =所以AO C '∆~CD C '∆，所以FDC FBD D OC CD AO ∠=∠=∠=∠'),(D所以AO //DF ，而BC DF ⊥，所以BC AO ⊥.4.3 三角形的重心三角形三条中线的交点称为三角形的重心.性质1：设G 是ABC ∆的重心，连AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，AG :GD =2:1且222241)(21BC AC AB AD -+=性质2：设G 为ABC ∆的重心，P 为ABC ∆内任一点，则（1）22222223PG CG BG AG CP BP AP +++=++ （2）)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++证明：（1）设D 为BC 边上的中点，则对APG ∆和DPG ∆分别应用余弦定理可得AGP PG AG PG AG AP ∠⋅-+=cos 2222， DGP PG DG PG DG PD ∠⋅⋅-+=cos 2222而DGP AGP DG AG ∠-=∠=cos cos ,2，于是，22222322PG DG AG PD AP ++=+ 又因为PD ，DG 分别是BPC ∆的BC 边，BGC ∆的BC 边上的中线，有2222212BC PC PB PD -+=，2222212BC CG BG DG -+=从而22222223PG CG BG AG CP BP AP +++=++ （3）2222222241)(2149,41)(2149AC BC AB BG BC AC AB AG -+=-+= 222241)(2149AB AC BC CG -+=，此三式相加整理得 )(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++7. 证明：以锐角三角形各边为直径作圆，从相对的顶点作切线，得到的六个切点共圆.【析】如图，设ABC ∆的三边分别为a ，b ，c ，圆O 是以BC 为直径的圆，AT 切圆O 于T 点. （由AO 垂直平分ST 可知目标圆圆心在AO 上，同理其他两组也在对应中线上，所以探究重心是可行的了）连AO ，在AO 上取点G 使得AG =2GO ，则G 为ABC ∆的重心，连结OT ，GT ，由,2221222a c b AO -+=TOA OG OT OG OT TG ∠⋅⋅-+=cos 2222及,31,21,cos OA OG a OT OA OT TOA ===∠有)(1812222c b a TG ++=为定值，同理其他五个切点到G 的距离的平方均为)(181222c b a ++，证毕. 8. 证明：任意三角形的垂心H 、重心G 和外心O 三点共线，且HG =2GO .法1：如图1，设M 为AB 中点，连结CM ，则G 在CM 上，且CG =2GM ，连结OM ，则OM 垂直平分AB ，延长OG 到'H ，使得GO G H 2'=，连结'CH ，因为MGO CGH ∠=∠'，所以G CH '∆～MOG ∆，从而OM CH //'，即AB CH ⊥'，同理，BC AH ⊥'，即'H 为ABCMH GO垂心，命题得证.法2：如图2，作出圆O ，连结AO 并延长交圆O 于点N ，连结NB ，NC ，BH ， HG ，GO ，因为AB CH AB NB ⊥⊥,，所以CH NB //，同理，BH NC //所以四边形HBNC 是平行四边形. 所以CH =NB ，又因为OM 是ABN ∆的中位线，所以2:1:=NB OM ，所以2:1:=CH OMCHG GC GM OMG HCG ∆∴=∠=∠2:1:, ～MOG ∆ MGO CGH ∠=∠∴所以O ，G ，H 三点共线且HG =2GO .9. 已知ABC △的三边BC =a ，CA =b ，AB =c ，DEF △是ABC △的任意内接三角形，试以a ，b ，c 表示DEF △的三边平方和的最小值.【析】首先，证明一个结论：若G 为ABC ∆内的任意一点，G 到三边BC ，CA ，AB 的距离分别为x ，y ，z ，则当c b a z y x ::::=时，222222224)())((ABC S cz by ax c b a z y x ∆=++≥++++ 所以222z y x ++的最小值为22224c b a S ABC ++∆设G 为DEF ∆的重心，则由中线长公式可知B])(2[91],)(2[9122222222DF EF DE GE EF DF DE GD -+=-+=])(2[912222DE DF EF GF -+=三式相加得)(3222222GF GE GD FD EF DE ++=++从G 点向ABC ∆的三边BC ，AC ，AB 引垂线，垂足分别为000,,F E D ，则202020202020222(3FF GF EE GE DD GD FD EF DE +++++=++ 222220202012)(3cb a S GF GE GD ABC++≥++≥∆ 4.4 三角形的垂心三角形三边上的高线的交点称为三角形的垂心. 性质1：设H 为ABC ∆的垂心，则C AHB B CHA A BHC ∠-=∠∠-=∠∠-=∠ 180,180,180性质2：设H 为ABC ∆的垂心，则H ，A ，B ，C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（这样的四点组为一垂心组，且一个垂心组的四个外接圆的圆心组成另一垂心组） 性质3：设H 为ABC ∆的垂心，则①H 关于三边的对称点均在ABC ∆的外接圆上 ②ACH BCH ABH ABC ∆∆∆∆,,,的外接圆是等圆 ③H 关于三边中点的对称点均在ABC ∆的外接圆上性质4：在ABC ∆中，H 是垂心，L ，M ，N 分别为BC ，CA ，AB 的中点，D ，E ，F 分别为三高之垂足，P ，Q ，R 分别是AH ，BH ，CH 的中点，则L ，M ，N ，D ，E ，F ，P ，Q ，R 九点共圆，称为ABC ∆的九点圆.10. △ABC 的外心O 与垂心H 的连线段的中点恰是九点圆圆心. 证明：九点圆半径是其外接圆半径的一半.【分析】如图，连结NP ，LR ，PR ，NL ，PL 因为NP 是△ABH 的中位线，所以NP //BH ，而NL 是△ABC 的中位线则NL //AC ，所以NP ⊥NL ;同理，NP ⊥PR ，RL ⊥NL ，RL ⊥PR ，所以四边形PNLR 是矩形，所以P ，N ，L ，R 共圆且以NR 为直径，易知点F 也在这个圆上，又因为PL 也是该圆的直ACB径，所以点D 也在该圆上连结PM ，LM ，由PM //CH ，LM //AB 可知PM ⊥LM ，所以M 也在该圆上，连结PQ ，LQ 可知PQ ⊥LQ ，所以Q 也在该圆上，由QM 也是圆的直径可知点E 也在该圆上.如图，由四边形HCXB 是平行四边形可知，A ，O ，X 三点共线且Y ，H ，L ，X 四点共线，由欧拉线性质可知OL AH PH ==21且因为PH //OL ，则LOT PHT OLT HPT ∠=∠∠=∠,所以PL 与OH 的交点T 恰好平分OH （LOT PHT ∆≅∆） 所以T 也是PL 中点，恰好也是九点圆圆心，同时由于 PL 是HAX ∆的中位线，可得出OA TP 21=【注】由图中连线及推出的比例关系可知AL 连线与OH 的交点为ABC ∆的重心G ，且G 就是外接圆和九点圆的内位似中心而H 是外位似中心.11. 设ABC △的内切圆与边BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F . 求证：ABC △的外心O 、内心I 、DEF △的垂心H 三点共线.【析】连结AI 并延长交圆O 于点M ，连结OM ，DH ，IDOI ，IH ，要证O ，I ，H 三点共线，因为IM //DH ，所以只要IHD OIH ∠=∠即可. 而ID //OM ，所以转化为去证明OIM ∆~IHD ∆证：设外接圆半径为R ，内切圆半径为r ， 由题意知IDH OMI ∠=∠连结BM ，2sin 22sin 2A R AR OM BMOM IM ∠=∠==FDE r FEDFDE FED r DH ∠=∠∠⋅∠=cos 2sin cos sin 2所以2s in 2c os 2c os 2A AFE FDE ID DH ∠=∠=∠=，所以ID DH OM IM =，所以OIM ∆~IHD ∆.所以原命题成立.12. 如图，设H 为ABC △的垂心，L 为BC 边的中点，P 为AH 的中点，过L 作PL 的垂线交AB 于G ，交AC 的延长线于S .求证：G ，B ，S ，C 四点共圆.【析】如图，要证G ，B ，S ，C 四点共圆，只要证：BCS BGS ∠=∠，即要证：ACB AGL ∠=∠.由题意知PL 是ABC ∆的九点圆的直径，考虑作出ABC ∆的外心O ，取AB 的中点M ，连结OM ，OA ，那么ACB AOM ∠=∠，由九点圆性质知：H ，O ，N 三点共线， 且N 为OH 中点，所以PN //AO ，又因为GL PN ⊥， 所以GL AO ⊥，所以ACB AOM AGL ∠=∠=∠. 证毕.SG PHLBC13. 如图，AD ，BE 分别是锐角ABC △边BC ，AC 上的高，M 是AB 中点，AD ，BE 交于H ，圆ABH 交圆MDE 于P ，Q . 求证：MQ ，ED ，PH 共点，且交点在ABC △外接圆上.【析】分析：考虑用同一法，结合九点圆性质延长MQ 分别交圆O 、圆ABH 于点X ，U ;连结MP 并双向延长交圆O 、圆ABH 于点Y ，V .可以观察出X ，Y 地位等同，故只需证明D ，E ，Y 三点共线便可完成第一步：MQ 和DE 交点在圆O 上.由垂心的性质知圆O 和圆ABH 是等圆，所以MX =MU ，MV =MP ，所以2MD =MA •MB =MV •MY =MP •MY ，所以△MDP ∼△MYD ， 所以∠DPM =∠YDM ，又因为∠DPM =∠DEM =∠DEH +∠MEH =∠DCH +∠ABH =∠MAH +∠ABH =∠MDH +∠ECH =∠MDH +∠EDH =∠MDE ，所以∠MDY =∠MDE ，所以D ，E ，Y 三点共线；同理，X ，D ，E 三点共线，所以MQ 和DE 交点X 在圆O 上.设XH 交圆MDE 于点T ，P '，由九点圆的性质知XT =TH ，而由圆幂定理知XT •XP '=XQ •XM ，则2XT •XP '=XQ •2XM ，即XH •XP '=XQ •XU ，所以点P '也在圆ABH 上 所以P ，P '重合，证毕.4.5 三角形的旁心与三角形的一边外侧相切，又与另两边的延长线相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为三角形的旁心. 性质1：AC BI C BI A C BI c B A ∠=∠=∠∠-=∠21,2190 （对于顶角B ，C 也有类似的式子） 性质2：：AC C B B A CB AC B A A B C r r r r r r r r r r c p r b p r a p S ++=-=-=-=∆)()()(（其中，)(21c b a p ++=） 性质3：2cot 2cot ,2cot 2cot ,2cot 2cot BA r r A C r r CB r rC B A ===（其中，A r 表示BC 外侧相切的旁切圆的半径，C B r r ,类推，r 表示ABC ∆的内切圆半径）【析】性质:2：易知p AE AD ==，AE ADI r p S A ⋅=，而A A BC FC E I FB D I A BC EAD I ar S S S S S A A A +=++=∆∆，所以A ABC r a p S )(-=∆.性质4：1()2B A C I I I B C ∠=∠+∠，1()2A B C I I I A C ∠=∠+∠，1()2A CB I I I A B ∠=∠+∠.14. 如图，⊙1O 与⊙2O 和ABC △的三边所在的直线都相切，E 、F 、G 、H 为切点，直线EG 与FH 交于点P ，求证：PA BC ⊥.【析】易知21,,O A O 三点共线，设21O O 交EF 于点D ，连F O H O DH BD B O E O 2211,,,,,，由题意知CE =CG ，C CEG ∠-=∠2190 ，BH =BF ，B BHF ∠-=∠2190 又因为)360(1801801BED ABE DAB ADEDE O ∠-∠-∠--=∠-=∠)2190()180()2190(180C B A ∠-+∠-+∠-+-=BE O B 12190∠=∠-=所以D B E O ,,,1四点共圆，901=∠∴DB O 又因为BHF B DE O PDA ∠=∠-=∠=∠21901 所以A ，H ，P ，D 四点共圆. 所以ADH APH ∠=∠又因为90222=∠=∠=∠DB O FB O HB O 所以F O H D B ,,,,2五点共圆，即有FH O ADH 2∠=∠，所以F O PA 2//所以BC PA ⊥FC15. 如图，O ，I 分别为ABC △的外心和内心，AD 是BC 边上的高，I 在线段OD 上. 求证：△ABC 的外接圆半径等于BC 边上的旁切圆半径.【析】连AO ，作BC IE ⊥于E ，作BC OF ⊥于F ，设c AB b CA a BC ===,,，外接圆、旁切圆半径分别为R ，A r ，再作AB ON ⊥于N ，由三角形外心性质OAN BAD ABD AON ∠=∠∠=∠, 所以AI 平分DAO ∠，那么BDBE BEBF DE EF ID OI AD R --=== ac b a b c ab ac a c b acb c a c b c a b c a a -+=+---=-+⋅--+-+-=22222)(2222 所以A r ac b Sa cb aAD R =-+=-+=2证毕16. 已知ABC △的内心为I ，内切圆与BC 边的切点为D ，A ∠所对的旁心为A I ，A I D 所在直线与圆I 交于另一点K ，H 是线段A I D 的中点，求证：K ，B ，C ，H 四点共圆.【析】过A I 作BC 边的垂线，垂足为'D ，连结IK ，ID ，AA r c b K I D IDK ||tan tan '-=∠=∠所以2222)()(2cos cos AAr c b r c b IDK KID +---=∠-=∠ 所以DHrr DI rr KID r r KD AA A ==∠-=2cos 2222，即A rr DH KD =⋅. 又因为'''cot DI CD D I BD BD I BD r A A A ==∠=，所以DH KD rr CD BD A ⋅==⋅所以K ，B ，C ，ACH 四点共圆. 证毕.17. 如图，已知∠ACE ＝∠CDE ＝90︒，点B 在CE 上，且CA ＝CB ＝CD ，过A 、C 、D 三点的圆交AB 于点F . 求证：F 为△CDE 的内心.证明：连CF 、DF 、BD . ∵AC ＝CB ，∠ACB ＝90︒，∴ ∠BAC ＝∠CAB ＝45︒，∴ ∠CDF ＝∠CAF ＝45︒，但∠CDE ＝90︒，∴ DF 是∠CDE 的角平分线.∵ CB ＝CD ，∴∠CBD ＝∠CDB ，但∠CBF ＝∠CDF ＝45︒，∴ ∠FBD ＝∠FDB ，∴ BF ＝DF ，又∵CB ＝CD ，CF ＝CF ，BF ＝DF ，∴ △CBF ≌△CDF ，∴∠BCF ＝∠DCF ，即CF 是∠ECD 的平分线.∴ F 是△CDE 的内心.18. △ABC 的外心为O ，AB ＝AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD 的重心. 证明：OE 丄CD .证明：设AM 为高亦为中线，取AC 中点F ，E 必在DF 上且DE ：EF ＝2：1. 设CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心. 连GE ，MF ，MF 交DC 于K .易证：DG ：GK ＝31DC ：(3121-)DC ＝2：1. ∴DG ：GK ＝DE ：EF ⇒GE ∥MF . ∵OD 丄AB ，MF ∥AB ，∴OD 丄MF ⇒OD 丄GE . 但OG 丄DE ⇒G 又是△ODE 之垂心.易证OE 丄CD .CBAD FEODE BA ABCD E FOKG C BADFE19. △ABC 是一个锐角三角形，过顶点B 与外心O 的一个圆分别与BC ，BA 交于点P ，Q (P ≠B ，Q ≠B ).求证：∆OPQ 的垂心在直线AC 上.证明：作OD ⊥PQ ，交PQ 于点D ，交直线AC 于点H . 连PH ，延长QO 交PH 于点E ，连OA ，OB ，OC . B ，P ，O ，Q 共圆⇒∠POE ＝∠QBP (＝∠ABC ).∠OQP ＝∠OBP ＝90︒－∠BAC ；∠OPQ ＝∠OBQ ＝90︒－12∠AOB ＝90︒－∠ACB ⇒∠POD ＝∠ACB ；∴ P ，O ，H ，C 共圆.∴ ∠OPH ＝∠OCH (＝∠OCA )＝90︒－∠ABC .∴ ∠OPE ＋∠POE ＝90︒⇒PH ⊥QE . 即PH 是OQ 边上的高. 从而H 为∆OPQ 的垂心.20. 在平行四边形ABCD (∠A ＜90︒)的边BC 上取点T 使得∆ATD 是锐角三角形. 令O 1，O 2，O 3分别是∆ABT ，∆DAT ，∆CDT 的外心.求证：三角形O 1O 2O 3的垂心位于直线AD 上.证明：作O 1H ⊥O 2O 3，交AD 于点H ，连O 2H ，O 3H .连O 1A ，O 1T ，O 2D ，O 2A ，O 3D .O 1，O 2都在AT 的中垂线上，故O 1O 2是AT 的中垂线.同理，O 2O 3是DT 的中垂线. 如图位置有∠ O 1O 2O 3＝180︒－∠ATD .∴ ∠ O 2O 1O 3＋∠O 1O 3O 2＝180︒－∠ O 1O 2O 3＝∠ ATD . ①又O 1H ∥TD (都与O 2O 3垂直)，∴ ∠AHO 1＝∠ADT ，又，∠AO 2O 1＝∠ADT ＝∠AHO 1⇒A ，H ，O 2，O 1共圆.∵ ∠AO 1O 2＝∠TO 1O 2＝∠B .∴ ∠AHO 2＝180︒－∠AO 1O 2＝180︒－∠B ＝∠C ＝∠O 2O 3D .∴ H ，O 2，O 3，D 共圆.∴∠HO 3O 2＝∠HDO 2＝90︒－∠ATD . ②由①②，∠O 2O 1O 3＋∠HO 3O 1＝∠O 2O 1O 3＋∠ O 1O 3O 2＋∠HO 3O 2＝90︒.∴ O 3H ⊥O 1O 2.∴ H 为∆O 1O 2O 3的垂心. HO 3T O 1O 2B C D A O 3T O 1O 2B C DA。
奥数专题之平面几何
第一讲 三角形中的心一、重心1.定义：三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心.2.性质：（1）重心到顶点的距离是其到对边中点距离的2倍；（2）重心与三角形任意两个顶点组成的三个小三角形的面积相等； （3）重心到三角形三个顶点距离的平方和最小；（4）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则①22221(22)4AD AB AC BC =+- ②)3,3(CB AC B A y y y x x x G ++++.二、外心1.定义：三角形外接圆圆心叫做三角形的外心.2.性质：（1）外心是三角形三条中垂线的交点，它到三角形各顶点距离相等； （2）设R 为三角形ABC 的外接圆半径，则4ABCabcR S ∆=；三、垂心1.定义：三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心；2.性质： （1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍； （2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆； 注：（1）欧拉线：三角形的外心O 、重心G 、垂心H 三点共直线（欧拉线），且GH =2OG ． （2）欧拉公式(定理)：设三角形的外接圆半径为R ,内切圆半径为r ,外心与内心的距离为d ,则d 2=R 2－2Rr ． 注：欧拉不等式R ≥2r ．四、内心1.定义：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．2.性质：（1）内心是三角形三条角分线的交点，即内心到三角形各边距离相等；（2）设,,,c AB b AC a BC ===内切圆⊙I 的半径为r ， ⊙I 切AB 于点P ，AI 的延长线交BC 于N ，交△ABC 外接圆于点D ，则①902ABIC ∠∠=︒+； ②DB =DI =DC ； ③2ABC a b c S r ∆++=⋅；五、旁心1.定义：三角形旁切圆的圆心叫做旁心．2.性质：（1）旁心是三角形的一内角平分线与两外角平分线交点；（2）设△ABC 的旁切圆圆心分别记为,,a b c I I I ，其半径分别记为C B A r r r ,,．则1190,,22a b c BI C A BI C BI C A ∠=︒-∠∠=∠=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）；1()2a b c I I I A C ∠=∠+∠.例1点A 在∠KMN 的内部，点B 在KM 上，点C 在MN 上，如果∠CBM =∠ABK ，∠BCM =∠CAN ，求证：△BCM 的外心在AM 上．例2（2002第23届IMO 试题）已知BC 为⊙O 的直径，A 为⊙O 上一点，0°<∠AOB <120°，D 是弧AB （不含C 的弧）的中点，过O 平行于DA 的直线交AC 于I ，OA 的垂直平分线交⊙O 于E ，F ，证明：I 是△CEF 的内心．例3已知在等腰△ABC 中，CD 是∠BCA 的角平分线，O 是它的外心．过O 作CD 的垂线交BC 于点E ，过E 作CD 的平行线交AB 于点F ，求证：BE =FD ．第二讲 几个重要定理一、梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R ，则有 1AR BP CQRB PC QA⋅⋅=．注：梅涅劳斯（Menelaus ）定理的逆定理也成立，即由1AR BP CQRB PC QA ⋅⋅=可推P 、Q 、R 三点共线．二、塞瓦(Ceva)定理：设P 、Q 、R 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的一点，则AP 、BQ 、CR 所在直线交于一点，则1AR BP CQRB PC QA ⋅⋅=．例4（1996年全国高中数学联赛试题）设⊙O 1与⊙O 2和△ABC 的三条边所在直线都相切，切点分别为E ，F ，G ，H ，直线EG 与FH 交于点P ，求证：P A ⊥BC ．M例5一个圆与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 所在直线分别相交于点P 与P /、Q 与Q /、R 与R /，如果AP 、BQ 、CR 三线共点，求证：AP /、BQ /、CR /三线共点或互相平行．三、西姆松（Simson ）定理：从△ABC 的外接圆上任意一点P 向三边BC 、CA 、AB 或其延长线作垂线，设其垂足分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 共线，（这条直线叫西摩松线）．例6(2003年IMO 试题)设四边形ABCD 是一个圆内接四边形，从点D 向直线BC , CA 和AB 作垂线，其垂足分别为P ,Q 和R ，求证：PQ =QR 等价于∠ABC 的平分线，∠ADC 的平分线和AC 这三条直线相交于一点．四、托勒密（Ptolemy ）定理：圆内接四边形ABCD 对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ．注：（1）逆命题成立； （2）（广义托勒密定理）在凸四边形ABCD 中，有 AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD ．例7（1998年IMO 预赛试题）设M ，N 是△ABC 内部的两个点，且满足∠MAB =∠NAC ，∠MBA =∠NBC ，求证：1.AM AN BM BN CM CNAB AC BA BC CA CB ⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅五、根轴定理根轴：到任意的两个圆(不是同心圆)的幂相等的点的集合是一条直线，这条直线称为这两圆的根轴． 根轴定理：根轴是一条垂直于两圆连心线的直线．注：若两圆相交，则根轴就是两圆公共弦所在直线；若两圆相切，则根轴就是两圆的公切线所在直线．例8(2001年全国高中数学联赛加试试题)已知在△ABC中，O 为外心，三条高线AD ,CE ,CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，直线FD 和AC 交于点N ，求证：（1）OB ⊥FD ，OC ⊥DE ；（2）OH ⊥MN ．例9设⊙O 与直线l 相离，作OP ⊥l ，垂足为P ，点Q 是直线l 上不同于P 的任一点，过点Q 作⊙O 的两条切线QA ，QB ，切点分别为A ，B ，AB 与OP 相交于点K ，过点P 作PM⊥QB ， PN ⊥QA ，垂足分别为M ，N ，求证：直线MN 平分线段KP ．六、定差幂线定理定差幂线定理：若线段PQ 与MN 相交于H ，则PQ ⊥MN 的充要条件是MP 2-NP 2= MQ 2-NQ 2. 推论1 已知两点A 和B ，则满足MA 2- MB 2=k (k 为常数)的点M 的轨迹是垂直于的一条直线. 推论2(施坦纳定理)由△ABC 所在平面上的点A 1,B 1,C 1分别向边BC ,CA , AB 作垂线，则垂线共点的充要条件的：A 1B 2-BC 12+ C 1A 2-AB 12+B 1C 2-CA 12=0.例10在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AC ，E 为垂足，F 是DE 的中点，求证：BE ⊥AF .例11在四边形ABCD 中，AB ,CD 的垂直平分线相交于点P ，AD , BC 的垂直平分线相交于Q ，M ,N 分别是AC , BD 的中点，求证：PQ ⊥MN .例12△ABC 的三条高线AA 1, BB 1, CC 1相交于点H ，求证：从A ,B ,C 分别作B 1C 1,C 1A 1, A 1B 1的垂线也必相交于一点，且该点为△ABC 的外心.例13(2003年国家队集训)凸四边形ABCD 的对角线相交于点M ，P ,Q 分别是△AMD 和△CMB 的重心，R ,S 分别是△CMD 和△AMB 的垂心，求证：PQ ⊥RS .七、密克尔定理 定理1(三角形的密克尔定理)设在一个三角形每一边所在直线上取一点，过三角形的每一顶点与两条邻边所在直线上所取的点作圆，则这三个圆共点. 定理2(完全四边形的密克尔定理)四条一般位置的直线形成的四个三角形，它们的外接圆共点. 例14(2009年第35届俄罗斯)A 1和C 1分别是平行四边形ABCD 的边AB 和BC 上的点，线段AC 1和A 1C 相交于点P ，△AA 1P 和△CC 1P 的外接圆的第二个交点Q 位于△ACD 内部，求证：∠PDA =∠QBA .1BB例15(第35届IMO) △ABC 是一个等腰三角形，AB =AC ，假如 （1）M 是BC 的中点，O 是直线AM 上的点，使得OB 垂直于AB ； （2）Q 是线段BC 上不同于B 和C 的任意点； （3）E 在直线AB 上，F 在直线AC 上，使得E ,G 和F 是不同的三个共线点.八、帕斯卡定理帕斯卡定理:设六边形ABCDEF 内接于圆(与顶点次序无关, 即ABCDEF 无需为凸六边形), 直线AB 与DE 交于点X ,直线CD 与FA 交于点Z , 直线EF 与BC 交于点Y . 则X 、Y 、Z 三点共线.将直线XYZ 称做帕斯卡线.例16 如图,过△ABC 的顶点A 、B 、C 各作一直线使之交于一点P , 而分别交△ABC 的外接圆于A 1、B 1、C 1.又在外接圆上任取一点Q , 则QA 1、QB 1、QC 1与BC 、CA 、AB 对应的交点X 、Z 、Y 三点共线.例17 (第48届IMO 预选题)已知△ABC 为确定的三角形, A 1、B 1、C 1 分别为边BC 、CA 、AB 的中点, P 为△ABC 外接圆上的动点, PA 1、PB 1、PC 1分别与△ABC 的外接圆交于另外的点A 2、B 2、C 2.若A 、B 、C 、A 2、B 2、C 2是不同的点, 则直线AA 2、BB 2、CC 2 交出一个三角形. 证明: 这个三角形的面积不依赖于点P .。
奥数第五讲 三角形的五心
第五讲 三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. 一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP=NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点 N 是△P ′PC 的外心.有 ∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ，∠PP ′C =21∠PNC =21∠BAC .∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心，作出六边形 O 1PO 2QO 3S 后再由外 心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C .∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K=21(∠O 2O 1S +∠SO 1K ) =21(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2) =21∠PO 1S =∠A ；同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC .A BCPP MN'A B C QK P O O O ....S123二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例3．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克)分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别 作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′， D ′，E ′，F ′. 易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+CC ′， ∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF .两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF .例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF .(1)a 2，b 2，c 2成等差数列⇒△∽△′. 若△ABC 为正三角形，易证△∽△′. 不妨设a ≥b ≥c ，有 CF =2222221c b a -+， BE =2222221b a c -+， AD =2222221ac b -+.将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得 CF =a23，BE =b 23，AD =c23.∴CF :BE :AD =a23:b 23:c23=a :b :c .故有△∽△′.(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列. 当△中a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′， ∴∆∆S S '＝(aCF )2.AA 'FF 'G E E 'D 'C'P C B D据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有∆∆S S '=43.∴22aCF =43⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c 2 ⇒a 2+c 2=2b 2.三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.例5．设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.(1992，全国高中联赛) 分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知13212sin H A A H A ∠=2R ⇒A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4； 由△A 1A 3A 4得A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4.但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2. 易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2，故得H 1H 2 A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称.同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称.故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.例6．H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2.求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2. (1989，加拿大数学奥林匹克训练题) 分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可.设 BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外接圆半径为R ，⊙H 的半径为r . 连HA 1，AH 交EF 于M . A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2=r 2+(AM 2-MH 2)， ①又AM 2-HM 2=(21AH 1)2-(AH -21AH 1)2∥=∥=.OA A A A 1234H H12H H HMA B BA ABC CC F12111222D E=AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2， ② 而ABH AH∠sin =2R ⇒AH 2=4R 2cos 2A ,Aasin =2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . ∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. ③ 由①、②、③有 A 21A =r 2+bcac b 2222-+·bc -(4R 2-a 2)=21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.同理，21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2，21CC =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.故有AA 1=BB 1=CC 1.四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设I 为△ABC 的内心，射线AI 交△ABC 外接圆于A ′，则有A ′I =A ′B =A ′C .换言之，点A ′必是△IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用).例7．ABCD 为圆内接凸四边形，取△DAB ，△ABC ，△BCD ， △CDA 的内心O 1， O 2，O 3， O 4.求证：O 1O 2O 3O 4为矩形.(1986，中国数学奥林匹克集训题)证明见《中等数学》1992；4例8．已知⊙O 内接△ABC ，⊙Q 切AB ，AC 于E ，F 且与⊙O 内切.试证：EF中点P 是△ABC 之内心.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：在第20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB =AC .当AB ≠AC ，怎样证明呢？如图，显然EF 中点P 、圆心Q ，BC 中点K 都在∠BAC 平分线上.易知AQ =αsin r .∵QK ·AQ =MQ ·QN ， ∴QK =AQQN MQ ⋅=αsin /)2(r r r R ⋅-=)2(sin r R -⋅α.由Rt △EPQ 知PQ =r ⋅αsin .A B C D O O O 234O1AααMBC KN ER OQ Fr P∴PK =PQ +QK =r ⋅αsin +)2(sin r R -⋅α=R 2sin ⋅α. ∴PK =BK .α利用内心等量关系之逆定理，即知P 是△ABC 这内心. 五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切.例9．在直角三角形中，求证：r +r a +r b +r c =2p .式中r ，r a ，r b ，r c 分别表示内切圆半径及与a ，b ，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：设Rt △ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p (p -c )=(p -a )(p -b ).∵p (p -c )=21(a +b +c )·21(a +b -c )=41[(a +b )2-c 2] =21ab ；(p -a )(p -b )=21(-a +b +c )·21(a -b +c )=41[c 2-(a -b )2]=21ab .∴p (p -c )=(p -a )(p -b ). ① 观察图形，可得 r a =AF -AC =p -b ， r b =BG -BC =p -a ， r c =CK =p . 而r =21(a +b -c )=p -c . ∴r +r a +r b +r c=(p -c )+(p -b )+(p -a )+p =4p -(a +b +c )=2p . 由①及图形易证.例10．M 是△ABC 边AB 上的任意一点.r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明：11q r ·22q r =qr .(IMO -12)分析：对任意△A ′B ′C ′，由正弦定理可知K r r r r O O O 213AOECBabcOD =OA ′·2'sinA=A ′B ′·'''sin 2'sinB O A B ∠·2'sin A =A ′B ′·2''sin2'sin2'sinB A B A +⋅，O ′E = A ′B ′·2''sin2'cos2'cosB A B A +.∴2'2''B tgA tg EO OD =.亦即有11q r ·22q r =2222B tgCNB tgCMA tgA tg∠∠=22B tgA tg=qr .六、众心共圆这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心. 例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =FA .试证：(1)AD ，BE ，CF 三条对角线交于一点；(2)AB +BC +CD +DE +EF +FA ≥AK +BE +CF . (1991，国家教委数学试验班招生试题)分析：连接AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ACE 的三条内角平分线，I 为△ACE 的内心.从而有ID =CD =DE ，IF =EF =FA ， IB =AB =BC . 再由△BDF ，易证BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用 不等式有： BI +DI +FI ≥2·(IP +IQ +IS ).不难证明IE =2IP ，IA =2IQ ，IC =2IS . ∴BI +DI +FI ≥IA +IE +IC .∴AB +BC +CD +DE +EF +FA =2(BI +DI +FI )≥(IA +IE +IC )+(BI +DI +FI ) =AD +BE +CF . I 就是一点两心.例12．△ABC 的外心为O ，AB =AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD 的重心.证明A ...'B'C'O O 'EDE rdos..I P ABCD E FQSOE 丄CD .(加拿大数学奥林匹克训练题) 分析：设AM 为高亦为中线，取AC 中点F ，E 必在DF 上且DE :EF =2:1.设 CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心. 连GE ，MF ，MF 交DC 于K .易证：DG :GK =31DC :(3121-)DC =2:1.∴DG :GK =DE :EF ⇒GE ∥MF . ∵OD 丄AB ，MF ∥AB ，∴OD 丄MF ⇒OD 丄GE .但OG 丄DE ⇒G 又是△ODE 之垂心. 易证OE 丄CD .例13．△ABC 中∠C =30°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D 点与边BC 上的E 点使得AD =BE =AB .求证：OI 丄DE ，OI =DE .(1988，中国数学奥林匹克集训题)分析：辅助线如图所示，作∠DAO 平分线交BC 于K . 易证△AID ≌△AIB ≌△EIB ，∠AID =∠AIB =∠EIB . 利用内心张角公式，有 ∠AIB =90°+21∠C =105°，∴∠DIE =360°-105°×3=45°. ∵∠AKB =30°+21∠DAO=30°+21(∠BAC -∠BAO ) =30°+21(∠BAC -60°)=21∠BAC =∠BAI =∠BEI .∴AK ∥IE .由等腰△AOD 可知DO 丄AK ，∴DO 丄IE ，即DF 是△DIE 的一条高. 同理EO 是△DIE 之垂心，OI 丄DE . 由∠DIE =∠IDO ，易知OI =DE .例14．锐角△ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外，重心到三边距 离和为d 重，垂心到三边距离和为d 垂.求证：1·d 垂+2·d 外=3·d 重. 分析：这里用三角法.设△ABC 外接圆半径为1，三个内角记为A ，B ， C . 易知d 外=OO 1+OO 2+OO 3 =cos A +co sB +cos C ，∴2d 外=2(cos A +cos B +cos C ). ①AB CDE FOKG O A BC DEFIK30°B CO IA O G H O G H G O G H 123112233∵AH 1=sin B ·AB =sin B ·(2sin C )=2sin B ·sin C ， 同样可得BH 2·CH 3.∴3d 重=△ABC 三条高的和=2·(sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B ) ② ∴BCHBH sin =2，∴HH 1=cos C ·BH =2·cos B ·cos C . 同样可得HH 2，HH 3. ∴d 垂=HH 1+HH 2+HH 3=2(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B ) ③ 欲证结论，观察①、②、③，须证(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B )+( cos A + cos B + cos C )=sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B .即可.练 习 题1.I 为△ABC 之内心，射线AI ，BI ，CI 交△ABC 外接圆于A ′， B ′，C ′.则AA ′+BB ′+CC ′＞△ABC 周长.(1982，澳大利 亚数学奥林匹克)2.△T ′的三边分别等于△T 的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克)3.I 为△ABC 的内心.取△IBC ，△ICA ，△IAB 的外心O 1，O 2，O 3.求证：△O 1O 2O 3与△ABC 有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)4.AD 为△ABC 内角平分线.取△ABC ，△ABD ，△ADC 的外心O ，O 1，O 2.则△OO 1O 2是等腰三角形.5.△ABC 中∠C ＜90°，从AB 上M 点作CA ，CB 的垂线MP ，MQ .H 是△CPQ 的垂心.当M 是AB 上动点时，求H 的轨迹.(IMO -7)6.△ABC 的边BC =21(AB +AC )，取AB ，AC 中点M ，N ，G 为重心，I 为内心.试证：过A ，M ，N 三点的圆与直线GI 相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克) 7.锐角△ABC 的垂心关于三边的对称点分别是H 1，H 2，H 3.已知：H 1，H 2，H 3，求作△ABC .(第7届莫斯科数学奥林匹克)8.已知△ABC 的三个旁心为I 1，I 2，I 3.求证：△I 1I 2I 3是锐角三角形.9.AB ，AC 切⊙O 于B ，C ，过OA 与BC 的交点M 任作⊙O 的弦EF .求证：(1)△AEF 与△ABC 有公共的内心；(2)△AEF 与△ABC 有一个旁心重合.[相关优质课视频请访问：教学视频网 /] [文章来源：教师之家 / 转载请保留出处]。
三角形的外心与内心
三角形的外心与内心三角形是几何学中最基本的图形之一，具有丰富的性质和特征。
在三角形中，有两个特殊的点，分别是外心和内心。
本文将介绍三角形的外心与内心的定义、性质以及它们在几何学中的重要应用。
一、外心的定义与性质外心是指一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
具体地说，对于一个任意的三角形ABC，三条边的垂直平分线分别为AD、BE和CF，其中D、E和F分别为边BC、AC和AB上的垂直平分线的交点。
那么，AD、BE和CF的交点O就是三角形ABC的外心。
对于任意的三角形，其外心具有以下重要性质：1. 外心到三角形的每个顶点的距离相等。
即OA=OB=OC，其中O 为外心，A、B、C为三角形的顶点。
2. 外心是三角形三边上垂直平分线的交点，也是边上延长线的垂直平分线的交点。
3. 外心是外接圆的圆心，外接圆的半径等于外心到三角形任意一顶点的距离。
三角形的外心在几何学的三角形构造、证明以及求解问题中具有重要的应用价值。
二、内心的定义与性质内心是指一个三角形的三条边的角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。
具体地说，对于任意的三角形ABC，三个内角的平分线分别为AE、BF和CD，其中E、F和D为各边的角平分线的交点。
那么，AE、BF和CD的交点I就是三角形ABC的内心。
对于任意的三角形，其内心具有以下重要性质：1. 内心到三角形的每个顶点的距离相等。
即IA=IB=IC，其中I为内心，A、B、C为三角形的顶点。
2. 内心是三角形三边的角平分线的交点，也是边上延长线的角平分线的交点。
3. 内心是内切圆的圆心，内切圆的半径等于内心到三角形任意一边的距离。
内心在几何学的三角形证明、推导以及面积计算等方面具有重要的应用价值。
三、外心与内心的关系外心和内心这两个特殊点在三角形中具有一定的关系。
具体来说，对于任意的三角形ABC，其外心O、内心I和重心G（三条中线的交点）三点共线，并且这条直线称为三角形的欧拉线。
数学竞赛辅导(三角形的五心)
Exercise ten
横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/3
A
F
E
G
B
D
C
五、旁心的性质
A
BD
C
F
E
Ia
三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)
三角形的三个旁心与内心构成一垂心组，反过来，一个三角形的顶点与垂心是高的垂足三角形的 旁心与内心。
倍。
等价于证明
三、内心的性质
三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径 设三角形面积为S， 设I为ΔABC的内心，则∠BIC = 90 °+∠A/2,类似地还有两式。
A
M
F
E
K I
B
DH
C
四、重心的性质
三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心 三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2 空间直角坐标系：
数学竞赛辅导 三角形的五心
Preview one
一、外心的性质
A
O
B
C
Example one
二、垂心的性质
斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心 就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．
锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2
六、三角形的五心的综合性质
（1）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心； （2）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； （3）三角形的外心是它的中点三角形的垂心； （4）三角形的重心也是它的中点三角形的重心； （5）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心． （6）鸡爪定理 （7）鸭爪定理
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从垂直平分线，角平分线到三角形的“四心”（1）
【垂直平分线，角平分线综合运用】
例1如图所示，正方形ABCD 中，M 在CD 上，N 在DA 延长线上，CM=AN ，点E 在BD 上，EN 平分∠DNM ，EF ⊥MN 于点F ，问MN 、AD 、EF 有什么数量关系？
B
【内心和外心】
一些基本性质
1. 三角形的内心到三边距离相等
2. 设I 是△ABC 的内心，则∠BIC=90°＋2
1∠A 3. 直角三角形内切圆的半径r=2
c b a -+ 4. 内切圆半径r ，和三角形面积S 间的关系是c b a s r ++=
2 5. 三角形的外心到三个顶点距离相等，直角三角形的外心是斜边的中点，锐角三角形外心
在三角形内部，钝角三角形外心在三角形外部
6. 设O 是△ABC 的外心，则∠BOC=2∠A
7. 外切圆半径R 和三角形面积S 的关系是s
abc R 4= 例2 在△ABC 中，I 是内心，且CA+AI=BC ，若∠A=80°，求∠B
例3 在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，在斜边AB上分别截取AD=AC，BE=BC，O是△ABC 的内心
（1）当DE=6，求O到△ABC的三边距离之和
（2）试猜测：∠B,∠A和∠DOE间的数量关系，并说明理由
C
B
例4 在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC，DC于点F,E,O是△CEF的外心。
求证：∠ABC=2∠OBD
D B。