第六章 量纲分析和相似理论

6.2 量纲分析法
量纲分析法：应用量纲和谐原理来探求物理量之间的函数关系的方法。
将物理现象所涉及的物理量组成无量纲综合量，利用量纲和谐原理使无量 纲综合量构成函数关系，并使待求的函数的自变量数目减到最少。
常用的量纲分析方法有瑞利法和布金汉法（也称π定理）。
布金汉定理可以表述如下：设有个变量的物理方程式
度类，用[L]表示；小时、分、秒等同属于时间类，用[T]表示；公斤、 克等同属于质量类，用[M]表示。 基本量纲：具有独立性、唯一性 在工程流体力学中，若不考虑温度变化，则常取质量[M]、长度[L] 和时间[T]三个作为基本量纲。 导出量纲：由基本量纲导出的物理量的量纲 流速 dimv＝[L][T-1] 密度 dimρ＝[M][L-3 ] 力 dimF＝[M][L][T-2 ] 压强 dim p=[M][ L-1][ T-1]
f ( x 1 , x 2 , x 3 ,......., x n ) 0
其中可以选出个m 变量在量纲上是互相独立的，其余 n m ) 个变量是 （ 非独立的，那么，此物理方程必然可以表示为 n m ) 个独立无量纲的物理 （ 方程式，即： F ( 1 , 2 , 3 ,......., n m ) 0 ——布金汉定理 应用该定理时，关键问题时如何确定独立的无量纲数。确定方法如下： 1、如果n个物理量的基本量纲为M、L、T，即基本量纲数m＝3，则在 这n个物理量中取m个作为循环量。 2、用这三个循环量与其他n-m个物理量中的任一量组合成无量纲数，这 样就得到n-m个独立的无量纲数。
佛劳德数——重力的相似准数
6.3 流动相似原理
柯西准则——弹性力是主要的力
F EP F Em F IP F Im
改成
F IP F EP

F Im F Em
F E El
2
2
——弹性模量
2
FI l v
无量纲数
——惯性力
v
E
2
Pv p
2

mvm
2
E
p
Em
（*）
Ca
气体：
a
这两个独立的无量纲数的关系是
FD
Vd
V d
2
2
f(
Vd
)
6.3 流动相似原理
原型：天然水流和实际建筑物等。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物。 几何相似：即是要求模型和原型所对应线段之比等于一常数。
lp lm d
p
dm
l
——长度比尺
v pl p v m lm
改用水 水
1 . 007 10
6
vm v p
v pl p
lp lm
300
20 1
6000 km / h
m /s m /s
2
2
空 气 15 . 7 10
6


v m lm
p
m
vm v p
l p m l m
p
385 km / h
口直径为0.6/5=0.12m，原型是空气υp=15.7×10-6m2/s
Re vd 3 10
7

属阻力平方区（自模区）
因此采用粗糙度较大的管子，提前进入自模区（Re=50000）
Re v m 0 . 12 15 . 7 10
6
50000 v m 6 . 5 m / s
改变压强（30at），温度不变 等温过程p∝ρ，且μ相同
Re
vl
pvl
p pv pl p pm v m lm vm v p
lp pp l m Pm
200 km / h

雷诺数——粘性力的相似准数
6.3 流动相似原理
佛劳德准则——重力是主要的力
F GP F Gm F IP F Im
改成
F IP F GP
3

F Im F Gm
F G mg gl
FI l v
2 2
——重力
vp g pl p
2

vm g m lm
2
——惯性力
无量纲数
Fr
v
2
gl
运动相似：即指对应时间间隔成比例，且等于一常数。
vp vm up um v
——速度比尺
动力相似：即是要求在模型流动和原型流动的对应点上作用的各种
同名力（如惯性力、粘性力、重力、压差力、表面张力等）方向相同， 大小互成比例，且均等于一比例常数。
Fp Fm F
——力的比尺
6.3 流动相似原理
柯西数——弹性力的相似准数
E
代入（*）式，得

vP aP

vm am
无量纲数
M
v a
马赫数——弹性力的相似准数
6.3 流动相似原理
例：某车间长30m，宽15m，高10m，用直径为0.6m的风口送风，要
求风口风速8m/s，如取λl=5，确定模型尺寸及模型的出口风速。
解：λl=5，则模型长为30/5=6m，宽为15/5=3m，高为10/5=2m，风
[d ] [ L ]
c 3
1
]
选ρ、V、d为循环量，与余下的FD、μ组合成无量纲数π1、π2。
1 V d F D ( ML
) ( LT
a 1
) L MLT
b
c
2
M
1 a
L
1 3 a b c
T
2 b
2
1 a 0 ,1 3 a b c 0 , 2 b 0 a 1, b 2 , c 2 , 1 FD
第六章 量纲分析和相似原理
量纲分析和相似原理是简化复杂问题及 指导模型实验的理论，不仅在流体力学中有
广泛的应用，而且也广泛地应用于传热、传
质问题中。
6.1 单位和量纲
单位：表征各物理量的大小。如长度单位m、cm、mm；时间单
位小时、分、秒等。
量纲：表征各物理量单位的种类。如m、cm、mm等同属于长
6.2 量纲分析法
[例] 球形物体在粘性流体中运动所受阻力FD与球体直径d、球体运动速度V、流
体的密度ρ和动力粘度μ有关，试用π定理量纲分析法建立FD的公式结构。
[解]
a b
本问题的物理量共有5个：FD、d 、V 、ρ 、μ ，即n=5，基本量 纲M、L、T，即m=3，故应该有2个独立无量量纲。则有： [V ] [ LT
9.3 流动相似原理
雷诺准则——粘性力是主要的力
F TP F Tm F IP F m
改成
F IP F TP

F Im F Tm
FT A
dv dy
lv lv
2 2
——粘性力
F I ma l v ——惯性力
v
Re
vl
无量纲数
[ F D ] [ MLT [ ] [ ML
3 1
]
]
1
V d
2
2
[ ] [ ML T
1 a
]
2 V d ( ML
a b c
3
) ( LT
a
1
) L ML T
b
c
1
1
M
L
1 3 a b c
T
1 b
1 a 0 , 1 3 a b c 0 , 1 b 0 a 1, b 1, c 1, 2
流动相似的含义：
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。
相似准则
常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比，
组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数）在相 似流动中应该是相等的。
此时
v
8 6 .5
1 . 23
6.3 流动相似原理
例：弦长为3m的机翼以300km/h的速度在温度为20℃、压强为1at的静
止空气中飞行，用λl=20的模型在风洞中作试验：（1）如果风洞中空气 的温度和压强不变，风洞中空气速度应为多少？
解：风洞实验中粘性力是主要的——雷诺准则
υ相同
难以实现，要改变实验条件