2014届高考数学创优导学案X4-5-3

(对应学生用书P238解析为教师用书独有) (时间：45分钟满分：100分)
1．设a>b>c，n∈N，且
1
a－b
＋
1
b－c
≥
n
a－c
恒成立，则n的最大值是________．
解析∵a－c
a－b
＋
a－c
b－c
＝
a－b＋b－c
a－b
＋
a－b＋b－c
b－c
＝2＋
b－c
a－b
＋
a－b
b－c
≥4，∴
1 a－b ＋
1
b－c
≥
4
a－c
.
又∵
1
a－b
＋
1
b－c
≥
n
a－c
恒成立，∴n≤4.
【答案】 4
2．若x＋y＋z＝6，则x2＋y2＋z2的最小值为________．
解析x2＋y2＋z2＝(x2＋y2＋z2)·(12＋12＋12)×
1
3≥(x＋y＋z)
2·1
3＝12，当且仅
当x＝y＝z＝2时取等号．∴x2＋y2＋z2≥12.
【答案】12
3．y＝4x＋16
x2(x>0)的最小值是________．
解析y＝2x＋2x＋16
x2≥3
3
64＝3×4＝12，
当且仅当2x＝16
x2，即x＝2时取等号，
∴当x＝2时，y＝4x＋16
x2的最小值为12.
【答案】12
4．设不相等的两个正数a，b满足a3－b3＝a2－b2，则a＋b的取值范围是________．
解析由已知易得a2＋ab＋b2＝a＋b，
∴(a＋b)2－(a＋b)＝ab.
∵0<ab<(a＋b)2
4，
∴0<(a ＋b )2
－(a ＋b )<(a ＋b )24， 解得1<a ＋b <43.
【答案】 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，43 5．若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝a (a 为常数)，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为________．
解析 ∵(12＋22＋32)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋2y ＋3z )2＝a 2，即14(x 2＋y 2＋z 2)≥a 2，
当且仅当1x ＝2y ＝3z ，即x ＝a 14，y ＝a 7，z ＝3a 14时取等号，∴x 2＋y 2＋z 2≥a 214.
【答案】 a 214
6．若a ，b ，c ，d 是正数，且满足a ＋b ＋c ＋d ＝4，用m 表示a ＋b ＋c ，a ＋b ＋d ，a ＋c ＋d ，b ＋c ＋d 中的最大者，则m 的最小值为________．
解析 由题意得4m ≥a ＋b ＋c ＋a ＋b ＋d ＋a ＋c ＋d ＋b ＋c ＋d ＝3(a ＋b ＋c ＋d )＝3×4＝12，
∴m ≥3，故m 的最小值为3.
【答案】 3
7．设a 1，a 2，…，a n 为实数，b 1，b 2，…，b n 是a 1，a 2，…，a n 的任一排列，则乘积a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的值不会超过________．
解析 ∵b 1，b 2，…，b n 是a 1，a 2，…，a n 的任一排列，
∴由排序不等式可得
a 1
b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤a 21＋a 22＋…＋a 2n .
【答案】 a 21＋a 22＋…＋a 2n
8．已知x 2＋4y 2＋kz 2＝36(其中k >0)，且t ＝x ＋y ＋z 的最大值是7，则k ＝________.
解析 ∵[x 2＋(2y )2＋(kz )2
]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2≥ ⎝
⎛⎭⎪⎫x ·1＋2y ·12＋kz ·1k 2，即(x ＋y ＋z )2≤(x 2＋4y 2＋kz 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＋1k ，∴t ≤45＋36k .依题意得45＋36k ＝7，解得k ＝9.
【答案】 9
9．(2013·银川模拟)某商店计划对某种商品进行提价，现有四种方案： 方案Ⅰ：先提价m %，再提价n %；
方案Ⅱ：先提价n %，再提价m %；
方案Ⅲ：分两次提价，每次提价⎝ ⎛⎭
⎪⎫m ＋n 2%； 方案Ⅳ：一次性提价(m ＋n )%.
已知m >n >0，四种提价方案中，提价最多的是方案________．
解析 提价之后的价格：
方案Ⅰ：(1＋m %)(1＋n %)＝1＋(m ＋n )%＋m %n %，
方案Ⅱ：(1＋n %)(1＋m %)＝1＋(m ＋n )%＋m %n %，
方案Ⅲ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2%2＝1＋(m ＋n )%＋⎣⎢⎡⎦
⎥⎤(m ＋n )24%%， 方案Ⅳ：1＋(m ＋n )%，
∵(m ＋n )42≥mn ，∴方案Ⅲ提价最高． 【答案】 Ⅲ
10．设a 、b 、c ∈R ＋，利用排序不等式证明：
(1)a a b b >a b b a (a ≠b )；
(2)a 2a b 2b c 2c ≥a b ＋c b c ＋a c a ＋b .
解析 (1)不妨设a >b >0，则lg a >lg b .
从而a lg a ＋b lg b >a lg b ＋b lg a .
∴lg a a ＋lg b b >lg b a ＋lg a b .
即lg a a b b >lg b a a b .故a a b b >b a a b .
(2)不妨设a ≥b ≥c >0，则lg a ≥lg b ≥lg c .
∴a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥b lg a ＋c lg b ＋a lg c ，
a lg a ＋
b lg b ＋
c lg c ≥c lg a ＋a lg b ＋b lg c .
∴2a lg a ＋2b lg b ＋2c lg c ≥(b ＋c )lg a ＋(a ＋c )lg b ＋(a ＋b )lg c .
∴lg(a 2a b 2b c 2c )≥lg(a b ＋c b a ＋c c a ＋b )．
故a 2a b 2b c 2c ≥a b ＋c b c ＋a c a ＋b .
11．已知x ＋y ＋z ＝1，求2x 2＋3y 2＋z 2的最小值．
解析 由柯西不等式，得
2x 2＋3y 2＋z 2
＝611(2x 2＋3y 2＋z 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋1 ≥611⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ·22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ·33＋z ·12 ＝611(x ＋y ＋z )2＝611，
当且仅当2x 22＝3y 33
＝z 1
， 即x ＝311，y ＝211，z ＝611时取等号．
∴2x 2＋3y 2＋z 2的最小值为611.
12．设a ，b ，c 均为正数，且a 2＋b 2＝c 2.求证：当n ≥3且n ∈N *时，a n ＋b n <c n . 解析 ①当n ＝3时，
由已知可知，0<a <c,0<b <c ，
所以a 3＋b 3＝a ·a 2＋b ·b 2<c (a 2＋b 2)＝c 3.
故原不等式成立．
②假设n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，a k ＋b k <c k .
当n ＝k ＋1时，
a k ＋1＋
b k ＋1＝a ·a k ＋b ·b k <
c (a k ＋b k )<c ·c k ＝c k ＋1.
故当n ＝k ＋1时，不等式也成立．
综合①②知，原不等式对n ≥3且n ∈N *恒成立．。