立体几何一

立体几何一
一、选择题
1.设a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ
B．若a，b与α所成的角相等，则a∥b
C．若a⊥α，a∥β，则α⊥β
D．若a∥b，a⊂α，则b∥α
2.已知两个平面垂直，下列命题中：
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；
②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．
其中正确命题的个数有( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )
A．①是棱台 B．②是圆台 C．③是棱锥 D．④不是棱柱
4.一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )
A． B． C． D．
5.多面体MN﹣ABCD的底面ABCD为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则AM的长( )
A．B．C．D．
6.棱长都是1的三棱锥的表面积为( )
A．B．C．D．
7.点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为( )
A．7πB．14π C． D．
8在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A﹣BD﹣C的余弦值为( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣
二、填空题
11.一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的
____ 倍．
12.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为υ1，υ2，若它们的侧面积相等，且
的值为．
13.一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积V= ．
14.已知矩形ABCD顶点都在半径为R的球O的表面上，且，棱锥O﹣ABCD的体积为，则R= ．
三、解答题
15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为23的菱形，120BAD ∠=
且PA ABCD ⊥面，26PA =，,M N 分别为,PB PD 的中点.
(1)证明://MN ABCD 面
(2)设Q 为PC 的中点 ,求三棱锥M ANQ -的体积. M
N
A
D B P
C Q
16.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，
点E 在棱AB 上移动．
(1)证明：D 1E ⊥A 1D ；
(2)当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离；
17.长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，
，AB=BC=2，O 是底面对角线的交点．
（Ⅰ）求证：B 1D 1∥平面BC 1D ；
（Ⅱ）求证：A1O⊥平面BC1D；
（Ⅲ）求三棱锥A1﹣DBC1的体积．
18.如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC 和A1C的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1BA；
（Ⅱ）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；
（Ⅲ）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．
试卷答案
1.C
2.B
3.C
4.C
5.C
6.A
7.B
8.B
9.2
10. 11. 12.3
解： 13.
（2）因为高6h =，113363884MNQ ABCD S S ∆==⋅= 324
V = 14.（1）证一：A D 1是E D 1在平面1AD 上的射影，由三垂线定理，11AD D A ⊥，所以D 1E ⊥D A 1；
证二：建立如图的坐标系，则 ()1,0,11=DA ，设)0,,1(t E ，
则 ()1,,11-=t E D ，01111=-=⋅E D DA ，所以D 1E ⊥D A 1；
（2）此时，)0,1,1(E ，()1,1,11-=E D ，设平面ACD 1的法向量是()y x n ,,1=， ()1,0,11-=AD ，()0,2,1-=AC ，由0,01=⋅=⋅AC N AD n ，得⎪⎭
⎫
⎝⎛=1,21,1n 取()2,1,2=n ，31|||
|1=⋅=n E D n d ，求点E 到面ACD 1的距离是3
1． 15.【解答】解：（Ⅰ） 证明：依题意：B 1D 1∥BD，且B 1D 1在平面BC 1D 外．（2分） ∴B 1D 1∥平面BC 1D （3分）
（Ⅱ） 证明：连接OC 1
∵BD⊥AC，AA 1⊥BD
∴BD⊥平面ACC 1A 1（4分）
又∵O 在AC 上，∴A 1O 在平面ACC 1A 1上
∴A1O⊥BD（5分）
∵AB=BC=2∴
∴
∴Rt△AA1O中，（6分）
同理：OC1=2
∵△A1OC1中，A1O2+OC12=A1C12
∴A1O⊥OC1（7分）
∴A1O⊥平面BC1D（8分）
（Ⅲ）解：∵A1O⊥平面BC1D
∴所求体积（10分）
=（12分）
16.【解答】（Ⅰ）证明：连接A1B，在△A1BC中，
∵E和F分别是BC和A1C的中点，∴EF∥A1B，
又∵A1B⊂平面A1B1BA，EF⊄平面A1B1BA，
∴EF∥平面A1B1BA；
（Ⅱ）证明：∵AB=AC，E为BC中点，∴AE⊥BC，
∵AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，∴BB1⊥平面ABC，
∴BB1⊥AE，又∵BC∩BB1=B，∴AE⊥平面BCB1，
又∵AE⊂平面AEA1，∴平面AEA1⊥平面BCB1；
（Ⅲ）取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，
∵N和E分别为B1C和BC的中点，∴NE平行且等于B1B，∴NE平行且等于A1A，∴四边形A1AEN是平行四边形，
∴A1N平行且等于AE，
又∵AE⊥平面BCB1，∴A1N⊥平面BCB1，
∴∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，
在△ABC中，可得AE=2，∴A1N=AE=2，
∵BM∥AA1，BM=AA1，∴A1M∥AB且A1M=AB，
又由AB⊥BB1，∴A1M⊥BB1，
在RT△A1MB1中，A1B1==4，
在RT△A1NB1中，sin∠A1B1N==，
∴∠A1B1N=30°，即直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为30°。