2018年河南省信阳市高考数学二模试卷(文科)

2018年河南省信阳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数的实部与虚部分别为（）A．7，﹣3 B．7，﹣3i C．﹣7，3 D．﹣7，3i2．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣或x＞1}，B={x|﹣1≤x≤2，x∈Z}，则图中阴影部分所表示的集合等于（）A．{﹣1，2}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{1，2}3．（5分）已知命题p：∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0，则￢p为（）A．∀x∉R，e x﹣x﹣1＞0 B．∀x∈R，e x﹣x﹣1≥0C．∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0 D．∃x∈R，e x﹣x﹣1＞04．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，），则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．或2 D．或25．（5分）某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xoy中，以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A．y=x+f（x）B．y=xf（x）C．y=x2+f（x）D．y=x2f（x）7．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1+a3=，且a2+a4=，则等于（）A．4n﹣1 B．4n﹣1 C．2n﹣1 D．2n﹣18．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的y的值为5，则判断框中可以填入的条件是（）A．i＜6？B．i＜5？C．i＜4？D．i＜3？9．（5分）一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）A．甲B．乙C．丙D．丁10．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则B等于（）A． B．C． D．11．（5分）已知x=﹣与x0分别是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的一条对称轴和零点，且|x0+|min=，则φ等于（）A．﹣B．﹣C．D．12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=8﹣f（4+x），函数g（x）=，若函数f（x）与g（x）的图象共有168个交点，记作P i（x i，y i）（i=1，2，…，168），则（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x168+y168）的值为（）A．2018 B．2017 C．2016 D．1008二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（5分）设向量=（1，﹣2），+=（0，2），则|﹣2|=．14．（5分）已知椭圆C：x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m=．15．（5分）直线ax+by+c=0与圆C：x2﹣2x+y2+4y=0相交于A，B两点，且||=，则•=．16．（5分）某化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产一车皮甲种肥料需要磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产一车皮乙种肥料需要磷酸盐1吨、硝酸盐15吨．已知生产一车皮甲种肥料产生的利润是10万元，生产一车皮乙种肥料产生的利润是5万元．现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨．如果该厂合理安排生产计划，则可以获得的最大利润是．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB+bsinA=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a+c=4，b=，求△ABC的面积．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=45，S6=60．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n﹣b n=a n（n∈N*），且b1=3，求的前n项和T n．+119．（12分）某二手车交易市场对某型号的二手汽车的使用年数x（0＜x≤10）与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据：（1）试求y关于x的回归直线方程：（参考公式：=，=﹣．）（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为ω=0.05x2﹣1.75x+17.2万元，根据（1）中所求的回归方程，预测x为何值时，销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大？20．（12分）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A、B两点．且以AB为直径的圆M与直线y=﹣1相切于点N．（1）求C的方程；（2）若圆M与直线x=﹣相切于点Q，求直线l的方程和圆M的方程．21．（12分）已知函数f（x）=4x2+﹣a，g（x）=f（x）+b，其中a，b为常数．（1）若x=1是函数y=xf（x）的一个极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）有2个零点，f（g（x））有6个零点，求a+b的取值范围．选考题：共10分．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（其中t为参数），曲线C1：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ﹣3=0，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位．（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C1的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C1上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最大？若存在，求出距离的最大值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求实数m的取值范围；（Ⅱ）解不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0．2018年河南省信阳市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数的实部与虚部分别为（）A．7，﹣3 B．7，﹣3i C．﹣7，3 D．﹣7，3i【解答】解：=，∴z的实部与虚部分别为7，﹣3．故选：A．2．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣或x＞1}，B={x|﹣1≤x≤2，x∈Z}，则图中阴影部分所表示的集合等于（）A．{﹣1，2}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{1，2}【解答】解：∵A={x|x＜﹣或x＞1}，全集U=R，∴∁U A={x|﹣≤x≤1}，∵B={﹣1，0，1，2}，∴由图象可知阴影部分对应的集合为B∩（∁U A）={0，1}．故选：C．3．（5分）已知命题p：∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0，则￢p为（）A．∀x∉R，e x﹣x﹣1＞0 B．∀x∈R，e x﹣x﹣1≥0C．∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0 D．∃x∈R，e x﹣x﹣1＞0【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0，则￢p为∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0．故选：C．4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，），则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．或2 D．或2【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，），可得，即，可得，解得e=．故选：A．5．（5分）某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xoy中，以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6=36种结果，满足条件的事件是（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上，当x=1，y=1，x=2，y=3；x=3，y=5，共有3种结果，∴根据古典概型的概率公式得到以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率：P=．故选：A．6．（5分）如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A．y=x+f（x）B．y=xf（x）C．y=x2+f（x）D．y=x2f（x）【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．对于A，g（﹣x）=﹣x+f（﹣x）=﹣x﹣f（x）=﹣g（x），∴y=x+f（x）是奇函数．对于B，g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=xf（x）=g（x），∴y=xf（x）是偶函数．对于C，g（﹣x）=（﹣x）2+f（﹣x）=x2﹣f（x），∴y=x2+f（x）为非奇非偶函数，对于D，g（﹣x）=（﹣x）2f（﹣x）=﹣x2f（x）=﹣g（x），∴y=x2f（x）是奇函数．故选：B．7．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1+a3=，且a2+a4=，则等于（）A．4n﹣1 B．4n﹣1 C．2n﹣1 D．2n﹣1【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和S n，且a1+a3=，a2+a4=，∴两式相除可得公比q=，∴a1=2，∴a n==，S n==4（1﹣），∴=2n﹣1，故选：D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的y的值为5，则判断框中可以填入的条件是（）A．i＜6？B．i＜5？C．i＜4？D．i＜3？【解答】解：模拟执行程序，可得x=1，y=1，i=1满足条件，执行循环体，y=2，x=1，i=2满足条件，执行循环体，y=3，x=2，i=3满足条件，执行循环体，y=5，x=3，i=4由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出y的值为5．故判断框中可填入的条件是i≤3？或i＜4？．故选：C．9．（5分）一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【解答】解：在甲、乙、丙、丁四人的供词不达意中，可以看出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙、丁两人的供词应该是同真或同假（即都是真话或者都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论；显然这两个结论是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯，乙、丙、丁中有一人是罪犯，由丁说假说，丙说真话，推出乙是罪犯．故选：B．10．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则B等于（）A． B．C． D．【解答】解：△ABC中，asinBcosC+csinBcosA=b，由正弦定理得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，且sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=，∴sin（A+C）=；又A+B+C=π，∴sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB=；又a＞b，∴B=．故选：D．11．（5分）已知x=﹣与x0分别是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的一条对称轴和零点，且|x0+|min=，则φ等于（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：x=﹣与x0分别是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的一条对称轴和零点，则：①，ω•x0+φ=kπ②，②﹣①得：ω|ω•x0+φ|=，由于：|x0+|min=，解得：ω=2．故：（k∈Z），解得：φ=（k∈Z），当k=﹣1时，．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=8﹣f（4+x），函数g（x）=，若函数f（x）与g（x）的图象共有168个交点，记作P i（x i，y i）（i=1，2，…，168），则（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x168+y168）的值为（）A．2018 B．2017 C．2016 D．1008【解答】解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=8﹣f（4+x），可得：f（﹣x）+f（4+x）=8，即函数f（x）关于点（2，4）对称，函数g（x）===4+可知图象关于（2，4）对称；∴函数f（x）与g（x）的图象共有168个交点即在（2，4）两边各有84个交点．而每个对称点都有：x1+x2=4，y1+y2=8，∵有168个交点，即有84组．故得：（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x168+y168）=（4+8）×84=1008．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（5分）设向量=（1，﹣2），+=（0，2），则|﹣2|=．【解答】解：根据题意，向量=（1，﹣2），+=（0，2），则=+﹣=（﹣1，4），则﹣2=（3，﹣10），则|﹣2|==；故答案为：．14．（5分）已知椭圆C：x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m=．【解答】解：根据题意，椭圆C：x2+my2=1的焦点在y轴上，则其标准方程为：+=1，其中a=，b=1，若长轴长是短轴长的两倍，则a=2b，则有=2，解可得m=；故答案为：．15．（5分）直线ax+by+c=0与圆C：x2﹣2x+y2+4y=0相交于A，B两点，且||=，则•=﹣．【解答】解：圆C：x2﹣2x+y2+4y=0⇔（x﹣1）2+（y+2）2=5，如图，过C作CD⊥AB于D，AB=2AD=2AC•sin∠CAD，∴，∴∠CAD=30°，∴∠ACB=120°，则•==﹣．故答案为：﹣．16．（5分）某化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产一车皮甲种肥料需要磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产一车皮乙种肥料需要磷酸盐1吨、硝酸盐15吨．已知生产一车皮甲种肥料产生的利润是10万元，生产一车皮乙种肥料产生的利润是5万元．现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨．如果该厂合理安排生产计划，则可以获得的最大利润是30万元．【解答】解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：再设分别生产甲、乙两种肥料各x、y车皮产生的利润为z=10000x+5000y=5000（2x+y），由得两直线的交点M（2，2）．令t=2x+y，当直线L：y=﹣2x+t经过点M（2，2）时，它在y轴上的截距有最大值为6，此时z=30000．故分别生产甲、乙两种肥料各2车皮时产生的利润最大为30万元．故答案为：30万元．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB+bsinA=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a+c=4，b=，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵且acosB+bsinA=0．由正弦定理可得：sinAcosB+sinAsinB=0∵sinA≠0，∴sinB=﹣cosB，∴tanB=﹣．∴B=120°．（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣ac，∵a+c=4，b=，∴ac=3．∴△ABC的面积S=．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=45，S6=60．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；﹣b n=a n（n∈N*），且b1=3，求的前n项和T n．（Ⅱ）若数列{b n}满足b n+1【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵S5=45，S6=60．∴=45，d=60，解得a1=5，d=2．∴a n=5+2（n﹣1）=2n+3．﹣b n=a n=2n+3，且b1=3，（II）b n+1∴b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=2（n﹣1）+3+2（n﹣2）+3+…+2×1+3+3==n2+2n．∴==．∴的前n项和T n=+…+==．19．（12分）某二手车交易市场对某型号的二手汽车的使用年数x （0＜x ≤10）与销售价格y （单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据：（1）试求y 关于x 的回归直线方程：（参考公式：=，=﹣．）（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为ω=0.05x 2﹣1.75x +17.2万元，根据（1）中所求的回归方程，预测x 为何值时，销售一辆该型号汽车所获得的利润z 最大？【解答】解：（1）由已知：， 则 ，所以回归直线的方程为．（2）z=﹣1.45x +18.7﹣（0.05x 2﹣1.75x +17.2） =﹣0.052x 2+0.3x +1.5=﹣0.05（x ﹣3）2+1.95，所以预测当x=3时，销售利润z 取得最大值．20．（12分）已知抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线C 于A 、B 两点．且以AB 为直径的圆M 与直线y=﹣1相切于点N ．（1）求C 的方程；（2）若圆M 与直线x=﹣相切于点Q ，求直线l 的方程和圆M 的方程．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|=y1+y2+p=2p，又∵以AB为直径的圆M与直线y=﹣1相切，∴|FN|=|AB|=+1，即|AB|=p+2，∴p=2，∴抛物线C的方程为x2=4y．（2）设直线l的方程为y=kx+1，代入x2=4y中，化简整理得x2﹣4kx﹣4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4，∴，∴圆心的坐标为M（2k，2k2+1），∵圆M与直线相切于点Q，∴|MQ|=|MN|，∴，解得，此时直线l的方程为，即x﹣2y+2=0，圆心，半径，∴圆M的方程为．21．（12分）已知函数f（x）=4x2+﹣a，g（x）=f（x）+b，其中a，b为常数．（1）若x=1是函数y=xf（x）的一个极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）有2个零点，f（g（x））有6个零点，求a+b的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=4x2+﹣a，则y=xf（x）=4x3+1﹣ax的导数为y′=12x2﹣a，由题意可得12﹣a=0，解得a=12，即有f（x）=4x2+﹣12，f′（x）=8x﹣，可得曲线在点（1，f（1））处的切线斜率为7，切点为（1，﹣7），即有曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+7=7（x﹣1），即为y=7x﹣14；（2）由f（x）=4x2+﹣a，导数f′（x）=8x﹣，当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜0或0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．可得x=处取得极小值，且为3﹣a，由f（x）有两个零点，可得3﹣a=0，即a=3，零点分别为﹣1，．令t=g（x），即有f（t）=0，可得t=﹣1或，则f（x）=﹣1﹣b或f（x）=﹣b，由题意可得f（x）=﹣1﹣b或f（x）=﹣b都有3个实数解，则﹣1﹣b＞0，且﹣b＞0，即b＜﹣1且b＜，可得b＜﹣1，即有a+b＜2．则a+b的范围是（﹣∞，2）．选考题：共10分．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（其中t为参数），曲线C1：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ﹣3=0，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位．（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C1的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C1上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最大？若存在，求出距离的最大值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（其中t为参数），转化为直角坐标方程为：x﹣y+1=0．曲线C1：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ﹣3=0，转化为直角坐标方程为：．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：C1的参数方程为：（θ为参数）．所以：点P到直线l的距离d==，则：，此时：cos（）=1，解得：（k∈Z）．所以：，故P（）到直线l的距离最大．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求实数m的取值范围；（Ⅱ）解不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|=，当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3，所以﹣3≤f（x）≤3，∴m≥﹣3；（Ⅱ）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0，即﹣f（x）≥x2﹣8x+15由（1）可知，当x≤2时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣10x+22≤0，∴5﹣≤x＜5；当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6；综上，原不等式的解集为{x|5﹣≤x≤6}．。