3 第三节 二维随机变量条件分布

∑P(X = x | Y = y ) =1
1 i= i j
∞
一射手进行射击， 例1 一射手进行射击，击中目标的概率为 p，(0<p<1)， 射击进行到击中目标两次为 ， 止. 以X 表示首次击中目标所进行的射击次 表示总共进行的射击次数. 试求X 数，以Y 表示总共进行的射击次数 试求 的联合分布及条件分布. 和Y的联合分布及条件分布 的联合分布及条件分布 依题意， 表示在第n次射击时击 解：依题意，{Y=n} 表示在第 次射击时击 中目标,且在前 次射击中有一次击中目标. 且在前n-1次射击中有一次击中目标 中目标 且在前 次射击中有一次击中目标 {X=m}表示首次击中目标时射击了 次 表示首次击中目标时射击了m次 表示首次击中目标时射击了
2 1− x2 , | x |≤1 fX (x) = ∫ f (x, y)dy = π −∞ 0, | x |>1
f (x, y) 1π fY|X ( y | x) = = fX (x) (2 π) 1− x2 1 , = 2 − 1− x2 ≤ y ≤ 1− x2 2 1− x
X作为已知变量 作为已知变量
2
n=m+1
p (1− p) = p2 ∑2 n2m+ −2 1
∞
n=m+1
∑P(X = m,Y = n)
n=m+1
∑(1− p)
∞
n−2
m=1,2, …
Y的边缘概率函数是： 的边缘概率函数是：
P{ = n = ∑P(X = m,Y = n) Y } = ∑p (1− p)
2 m= 1 m= 1 n− 1 n−2
∫
∞
1
fX|Y (x | y)dx
为此, 为此 需求出 fX|Y (x | y)
由于
∞
fY ( y) = ∫ f (x, y)dx
e
−x y − y
∞
−∞
e e −x y ∞ [−ye ] =∫ dx= 0 0 y y −y 0< y <∞ =e ,
−y
f (x, y) e−x y = , x >0 于是对y>0, fX|Y (x | y) = 于是对 fY ( y) y −x y ∞e 故对y>0, P(X>1|Y=y) = ∫ 故对 dx 1 y
= −e
−x y ∞
=e 1
− y 1
服从单位圆上的均匀分布， 例3 设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率 服从单位圆上的均匀分布 1 密度为 , x2 + y2 ≤1 f (x, y) = π 求 fY|X ( y | x)
0, 其 它
解：X的边缘密度为 的边缘密度为
∞
当|x|<1时,有 时有
这一讲， 这一讲，我们介绍了条件分布的概 念和计算， 念和计算，并举例说明对离散型和连续 型随机变量如何计算条件分布. 型随机变量如何计算条件分布 请课下 通过练习进一步掌握. 通过练习进一步掌握
第三节 二维随机变量条件分布
• 3.3.1 二维离散型随机变量的条件分布律 • 3.3.2 二维连续型随机变量的条件分布律
在第一章中， 在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 . 在事件B发生的条件下事件 发生的条件概率 在事件 发生的条件下事件A发生的条件概率 发生的条件下事件
P(AB) P(A| B) = P(B)
即 当|x|<1时,有 时有
1 , − 1− x2 ≤ y ≤ 1− x2 fY|X ( y | x)= 2 1− x2 0, y取 它 其 值
X已知下 的 已知下Y的 已知下 条件密度 这里是y的取值范围 这里是 的取值范围
前面， 我们已经知道， 前面 ， 我们已经知道 ， 二维正态分布的 两个边缘密度仍是正态分布. 两个边缘密度仍是正态分布 可以证明，对二维正态分布， 可以证明，对二维正态分布，已知 X=x下， 下 Y 的条件分布，或者已知 Y=y下，X的条件 的条件分布， 下 的条件 分布都仍是正态分布. 分布都仍是正态分布
运用条件概率密度， 运用条件概率密度，我们可以在已知某 一随机变量值的条件下， 一随机变量值的条件下，定义与另一随机变 量有关的事件的条件概率. 量有关的事件的条件概率 是连续型r.v, 则对任一集合 ， 则对任一集合 集合A， 即: 若(X,Y)是连续型 是连续型
P(X ∈A| Y = y) = ∫ fX|Y (x | y)dx
的分布
身高Y 身高 的分布
体重X 体重
现在若限制1.7<Y<1.8(米), 在这个条件下 米 现在若限制 去求X的条件分布 的条件分布， 去求 的条件分布，这就意味着要从该校的学 生中把身高在1.7米和 米和1.8米之间的那些人都挑 生中把身高在 米和 米之间的那些人都挑 出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布. 出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布 容易想象，这个分布与不加这个条件 容易想象， 时的分布会很不一样. 时的分布会很不一样 例如， 例如，在条件分布中体重取大值的概 率会显著增加 .
推广到随机变量 设有两个r.v 在给定Y取某个或某 设有两个 X,Y ， 在给定 取某个或某 些值的条件下， 的概率分布. 些值的条件下，求X的概率分布 的概率分布 这个分布就是条件分布. 这个分布就是条件分布
例如，考虑某大学的全体学生， 例如，考虑某大学的全体学生，从其中随 机抽取一个学生，分别以X和 机抽取一个学生，分别以 和Y 表示其体重和 都是随机变量， 身高 . 则X和Y都是随机变量，它们都有一定 和 都是随机变量 的概率分布. 的概率分布 身高Y 身高 体重X 体重
2
由此得X和 的联合概率函数为 由此得 和Y的联合概率函数为
P(X = m,Y = n) = p (1− p)
n−2
n=2,3, …; m=1,2, …, n-1
为求条件分布，先求边缘分布 为求条件分布，先求边缘分布. X的边缘概率函数是： 的边缘概率函数是：
∞
P{X = m = }
=
(1− p) m− 1 =p = p(1− p) 1−(1− p)
, 特别， 特别，取 A = (−∞ u),
A
的条件分布函数为 定义在已知 Y=y下，X的条件分布函数为 下 的条件分布函数
FX|Y (u| y) = P(X ≤ u| Y = y)
= ∫ fX|Y (x | y)dx
−∞ u
例2 设(X,Y)的概率密度是 的概率密度是 −x y − y e e , 0 < x < ∞, 0 < y < ∞ f (x, y) = y 0 , 其 它 求 P(X>1|Y=y) 解: P(X>1|Y=y) =
1 2 ………………. n-1 n m
n次射击 击中
击中
m 1 2 ………………. n-1 n
n次射击 不论m(m<n)是多少， 是多少， 不论 是多少 P(X=m,Y=n)都应等于 都应等于
2
击中 击中 每次击中目标的概率为 p
P(X=m,Y=n)=？ ？
n−2
P(X = m,Y = n) = p (1− p)
一、离散型r.v的条件分布i条件下 离散型 类似定义在 的条件分布 类似定义在X=x 实际上是第一章讲过的条件概率概念在 另一种形式下的重复. 另一种形式下的重复 定义1 是二维离散型随机变量， 定义 设 (X,Y) 是二维离散型随机变量， 对于固定的 j，若P(Y=yj)>0，则称 ， ， P(X = xi ,Y = yj ) pi j P(X=xi|Y=yj)= = ，i=1,2, … P(Y = yj ) p• j
作为条件的那个r.v,认为取值是 作为条件的那个 认为取值是 为在Y=yj条件下 的条件概率函数 条件下X的条件概率函数 的条件概率函数. 为在 给定的，在此条件下求另一 的 给定的，在此条件下求另一r.v的 概率分布. 概率分布 Y 的条件概率函数 的条件概率函数.
条件分布是一种概率分布， 条件分布是一种概率分布，它具有概率 分布的一切性质. 正如条件概率是一种概率， 分布的一切性质 正如条件概率是一种概率， 具有概率的一切性质. 具有概率的一切性质 例如： 例如：P(X = xi | Y = yj ) ≥ 0, i=1,2, …
定义2 定义 设X和Y的联合概率密度为 f (x,y), 和 的联合概率密度为 边缘概率密度为 fX (x), fY ( y) 则对一切使 ，
fX (x) > 0的x , 定义已知 X=x下，Y 的条件 下
密度函数为
f (x, y) fY|X ( y | x) = fX (x) 同样， 同样，对一切使 fY ( y) > 0的 y, 定义 f (x, y) fX|Y (x | y) = fY ( y) 为已知 Y=y下，X的条件密度函数 . 下 的条件密度函数
n− 1
= (n−1 p (1− p) )
2
n−2
n=2,3, …
于是可求得： 于是可求得： 当n=2,3, …时， 时
P(X = m| Y = n)
P{X = m,Y = n } = P{ = n Y }
2 n−2
联合分布 边缘分布
p (1− p) = 2 n−2 (n−1 p (1− p) ) 1 = , m=1,2, …,n-1 n−1
当m=1,2, …时， 时
P(Y = n| X = m)
P{X = m,Y = n } = P{X = m }
p (1− p) = m− 1 p(1− p)
2
n−2
= p(1− p)
n−m− 1
,
n=m+1,m+2, …
二、连续型r.v的条件分布 连续型 的条件分布 是二维连续型 设 (X,Y)是二维 连续型 ， 由于对任意 是二维 连续型r.v x, y, P(X=x)=0, P(Y=y)=0 ，所以不能直接 用条件概率公式得到条件分布， 用条件概率公式得到条件分布，下面我们 直接给出条件概率密度的定义. 直接给出条件概率密度的定义