3.2条件分布及其独立性
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§3.2 边际分布与独立性
i 3
pj
3 5
1 i 2 3-i j 1 j 2 3-j C ） ） C3 ） ） （ （ （ （ 3 3 3 3
i 3
i, j 0,1, 2,3.
1 i 2 3-i Pi P(Ｘ i) C ） ） （ （ i 0， 2 3 1，，。 3 3 j 1 j 2 3-j Pj =P(Ｙ j) C3 ） ） （ （ j 0， 2 3。 1，， 3 3
FX ( x)
xi x
j1
i=1
P(X xi , Y y j )
xi x
j1
yj y
Pij
Pij
同理：Y ( y) F
yj y
P(X xi , Y y j )
i=1
2、已知(X,Y)的密度函数，求边际分布函数。
1 i 2 3-i j 1 j 2 3-j （ （ （ （ P(Ｘ i)P(Ｙ j) C ） ） C3 ） ） 3 3 3 3 i j 1 i j 2 6 i j i, j 0,1, 2,3. C3C3 ( ) ( )
i 3
由上面的4个例题可以看出：
1、求(X,Y)的联合分布列的方法，是按照乘法公式进行的， P(X=xi，Y=y j ) P(X=xi )P(Y=y j | X=xi )
-2y
同理
1-e FY(y)= 0
y0 y0
2e-2y y 0 PY ( y ) y0 0
4
P(（X+Y） 1 )
1 1 y
x +y）1
P( x, y )dxdy
pj
3 5
1 i 2 3-i j 1 j 2 3-j C ） ） C3 ） ） （ （ （ （ 3 3 3 3
i 3
i, j 0,1, 2,3.
1 i 2 3-i Pi P(Ｘ i) C ） ） （ （ i 0， 2 3 1，，。 3 3 j 1 j 2 3-j Pj =P(Ｙ j) C3 ） ） （ （ j 0， 2 3。 1，， 3 3
FX ( x)
xi x
j1
i=1
P(X xi , Y y j )
xi x
j1
yj y
Pij
Pij
同理：Y ( y) F
yj y
P(X xi , Y y j )
i=1
2、已知(X,Y)的密度函数，求边际分布函数。
1 i 2 3-i j 1 j 2 3-j （ （ （ （ P(Ｘ i)P(Ｙ j) C ） ） C3 ） ） 3 3 3 3 i j 1 i j 2 6 i j i, j 0,1, 2,3. C3C3 ( ) ( )
i 3
由上面的4个例题可以看出：
1、求(X,Y)的联合分布列的方法，是按照乘法公式进行的， P(X=xi，Y=y j ) P(X=xi )P(Y=y j | X=xi )
-2y
同理
1-e FY(y)= 0
y0 y0
2e-2y y 0 PY ( y ) y0 0
4
P(（X+Y） 1 )
1 1 y
x +y）1
P( x, y )dxdy
《概率学》3.2_3.3二维随机变量的边缘分布及独立性
i, j=1, 2, ...,
连续型
f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x) = F（x,＋∞） F Y(y) = F（＋∞, y）
pi .=P{X= xi}= pij i=1, 2, ..., j 1
p.j=P{Y= yj}= pij j=1, 2, ..., i 1
连续型 f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x)=（
）
F Y(y) =（
）
pi .=P{X= xi}（=
）
p.j=P{Y= yj}=（
）
f X ( x) （
）
fY ( y) （
）
作答
1
8
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第2节 二维随机变量的边缘分布
第三章 多维随机变量及其分布
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
1
7
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主第观2节题二维随2机分变量的填边缘空分布 填空
( X, Y )联合分布 一般 F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
离散型 P{X=xi ,Y=y j}= pi j
i, j=1, 2, ...,
1
2
fX (x)
f (x, y)dy
1
exp{ 1 (u2 2u v2)}dv
21 1 2
2(1 2)
1
u2
e2
1
exp{ (v u)2 }dv
2 1
2 1 2
2(1 2)
连续型
f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x) = F（x,＋∞） F Y(y) = F（＋∞, y）
pi .=P{X= xi}= pij i=1, 2, ..., j 1
p.j=P{Y= yj}= pij j=1, 2, ..., i 1
连续型 f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x)=（
）
F Y(y) =（
）
pi .=P{X= xi}（=
）
p.j=P{Y= yj}=（
）
f X ( x) （
）
fY ( y) （
）
作答
1
8
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第2节 二维随机变量的边缘分布
第三章 多维随机变量及其分布
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
1
7
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主第观2节题二维随2机分变量的填边缘空分布 填空
( X, Y )联合分布 一般 F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
离散型 P{X=xi ,Y=y j}= pi j
i, j=1, 2, ...,
1
2
fX (x)
f (x, y)dy
1
exp{ 1 (u2 2u v2)}dv
21 1 2
2(1 2)
1
u2
e2
1
exp{ (v u)2 }dv
2 1
2 1 2
2(1 2)
第23讲 条件分布
N
1
1 2
(y
2 ),
2 1
(1
2
)
.
同理可得 fY|X ( y | x)
1
2 2 1 2
exp
2
2 2
1 (1
2
)
y
2
2 1
(
x
1
)
2
.
即在X =x条件下,Y的条件分布是正态分布
N
2
2 1
(
x
1
),
2 2
(1
2
)
.
结论：二维正态分布的条件分布仍为正态分布.
简记为 FX|Y ( x | y). 即：FX|Y ( x | y)=P( X x |Y =y）.
连续型随机变量的条件概率密度
定义2 设二维随机变量 ( X ,Y )的概率密度为 f ( x, y),Y 的边缘概率密度为fY ( y)是连续函数. 若对于固定的 y, fY ( y) 0, 则在Y y条件下， X的条件概率密度为
条件分布
条件分布
对于两个事件A,B,若P(B)>0,可以讨论条件概率
P( A | B) P( AB) P(B)
推广到随机变量
P(X
xi
|Y
yj)
P( X xi ,Y P(Y y j )
yj),
i 1,2, , P(Y yj ) 0.
这个分布就是条件分布.
离散型随机变量的条件分布列
定义 设 二维离散型随机变量(X,Y) 的分布列
X
,Y
)~N
(
1
,
2
;
2 1
,
22;
),
求条件概率密度
10条件分布与独立性
f (x,y)=fX(x)fY(y).
特别地,令x = μ1,y = μ2, 由上述等式得到
1
1,
2 1 2 1 2 2 1 2
从而ρ = 0.
综上所述, 得到以下的重要结论: 定理2 对于二维正态随机变量(X, Y), X与 Y相互独立的充要条件是参数ρ = 0.
讲评 随机变量的独立性往往由实际问题
PX≤ x Y y为随机变量X在条件Y= y下的条件
分布函数, 记作 FX Y ( x y).
即
x f (x, y)
FX Y ( x y)
dx. fY ( y)
则上式就是在给定条件Y= y下, 随机变量X的
条件分布函数.
而 f (x, y) 称为在给定条件
fY ( y)
Y= y下X的条件概率密度,
L
f (x1, x2,L , xn)dx2dx3L dxn,
(3.5)
fX1,X2 (x1, x2)
L
f (x1, x2,L , xn)dx3dx4L dxn.
(3.6)
定义2 若对于所有的实数x1,x2,…, xn有
F(x1, x2,L , xn) FX1 (x1)FX 2 (x2)L FXn (xn) (3.7) ，
随机变量的独立性是概率论与数理统计 中的一个很重要的概念,它是由随机事件的相 互独立性引申而来的.我们知道,两个事件A与B 是相互独立的,当且仅当它们满足条件 P(AB)=P(A)P(B).
由此, 可引出两个随机变量的相互独立性.
设X,Y为两个随机变量,于是{X≤x},{Y≤y}为 两个随机事件, 则两事件{X≤x},{Y≤y}相互独立, 相当于下式成立 P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x} P{Y≤y}, 或写成 F(x,y)=FX(x)FY(y).
概率论与数理统计3-4
1 当 0 x y , 0 y 20 200 f ( x, y ) 0 其他
20
O
20
x
图 3-12
求 （1）给定 Y＝y 条件下, X 的条件概率密度； （2）给定 Y＝10 条件下, X≤5 的概率； （3）如果 Y＝20 件呢?
解: （1）
fY ( y )
f X |Y ( x | y ) f ( x, y ) fY ( y ) ；
同理，当 fX (x) >0 时，
fY |X ( y | x ) f ( x, y ) f X ( x) .
第3章 连续型随机变量
3.4.1 连续性随机变量的条件分布密度与独立性
定义 3.8 设(X， 是连续性随机变量，f ( x , y ) ，f X ( x ) ， Y)
f X ( z y ) f Y ( y ) dy ,
卷积公式
f X ( x ) f Y ( z x ) dx .
第3章 连续型随机变量
3.4.2二个连续型随机变量和分布
例 3.16 设 X 和 Y 独立, 有共同的概率密度
1 当 0 x 1 f ( x) 0 其他
z
2
1
f ( x , y ) dxdy . D＝{ (x, y): z y f ( x , y ) dx dy .
z f ( u y , y ) du dy
x+y ≤z }，
+
+
第3章 连续型随机变量
3.4.2二个连续型随机变量和分布
1 / f ( x, y ) 0 当x y 1
20
O
20
x
图 3-12
求 （1）给定 Y＝y 条件下, X 的条件概率密度； （2）给定 Y＝10 条件下, X≤5 的概率； （3）如果 Y＝20 件呢?
解: （1）
fY ( y )
f X |Y ( x | y ) f ( x, y ) fY ( y ) ；
同理，当 fX (x) >0 时，
fY |X ( y | x ) f ( x, y ) f X ( x) .
第3章 连续型随机变量
3.4.1 连续性随机变量的条件分布密度与独立性
定义 3.8 设(X， 是连续性随机变量，f ( x , y ) ，f X ( x ) ， Y)
f X ( z y ) f Y ( y ) dy ,
卷积公式
f X ( x ) f Y ( z x ) dx .
第3章 连续型随机变量
3.4.2二个连续型随机变量和分布
例 3.16 设 X 和 Y 独立, 有共同的概率密度
1 当 0 x 1 f ( x) 0 其他
z
2
1
f ( x , y ) dxdy . D＝{ (x, y): z y f ( x , y ) dx dy .
z f ( u y , y ) du dy
x+y ≤z }，
+
+
第3章 连续型随机变量
3.4.2二个连续型随机变量和分布
1 / f ( x, y ) 0 当x y 1
§3.2边际分布、独立性
例3.2.6
边际密度函数 p(x, y) pX (x) pY ( y)
例3.2.7
根据独立性能找到联合分布 例3.2.8 若无独立性，则不能直接找到联合分布
END
例3.2.6
X P
Y P
-1 0 1/4 1/2
0
1
1/2 1/2
1 1/4
P(XY 0) 1 求(1) pij (2) X ,Y独立？
按列相加
i
i
例3.2.2 已知( X ,Y ) ~ pij ,求pi , p j
Y0
X
0
0.09
1 0.21
3 0.24
pi P(X i)
0.09 0.21 0.24 0.54
1
0.07
0.09 0.07 p j P(Y j) 0.16
0.12
0.21 0.12 0.33
0.27
只有 不同的二维，那它们的边际分布一样
习题3.2 第2题
2、边际分布列
已知（X，Y）的联合分布列，求X,Y的分布列
pi P(X xi ) P(X xi ,Y ) P(X xi ,Y y j ) pij
按行相加
j
j
p j P(Y y j ) P( X ,Y y j ) P( X xi ,Y y j ) pij
例3.2.1 二维指数分布的边际分布也是 一维指数分布
二维指数分布的分布函数
1 ex e y exyxy x 0, y 0
F(x, y)
0
else
0
边际分布
1 ex F(x) F(x,)
一维指数分布 0
x0 else
1 e y F( y) F(, y)
边际密度函数 p(x, y) pX (x) pY ( y)
例3.2.7
根据独立性能找到联合分布 例3.2.8 若无独立性，则不能直接找到联合分布
END
例3.2.6
X P
Y P
-1 0 1/4 1/2
0
1
1/2 1/2
1 1/4
P(XY 0) 1 求(1) pij (2) X ,Y独立？
按列相加
i
i
例3.2.2 已知( X ,Y ) ~ pij ,求pi , p j
Y0
X
0
0.09
1 0.21
3 0.24
pi P(X i)
0.09 0.21 0.24 0.54
1
0.07
0.09 0.07 p j P(Y j) 0.16
0.12
0.21 0.12 0.33
0.27
只有 不同的二维，那它们的边际分布一样
习题3.2 第2题
2、边际分布列
已知（X，Y）的联合分布列，求X,Y的分布列
pi P(X xi ) P(X xi ,Y ) P(X xi ,Y y j ) pij
按行相加
j
j
p j P(Y y j ) P( X ,Y y j ) P( X xi ,Y y j ) pij
例3.2.1 二维指数分布的边际分布也是 一维指数分布
二维指数分布的分布函数
1 ex e y exyxy x 0, y 0
F(x, y)
0
else
0
边际分布
1 ex F(x) F(x,)
一维指数分布 0
x0 else
1 e y F( y) F(, y)
3.2条件分布与随机变量的独立性
3e3 ydy e3
1
19
例5 甲乙两人约定中午12:30分在某地会面. 如果甲 来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布, 乙独立 地到达, 而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分 布, 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分 钟的概率, 又甲先到的概率是多少?
解 由 X 与Y 独立性知
0
0, x 0
x0
ex , x 0
0, x 0
18
当 x 0时，有
fY|X ( y | x)
f (x, y) fX (x)
xe x(1
ex 0
y)
y
y 0
0
xexy y 0
0 y0
(2)当 X 3时，有
P(Y 1 X 3)
1 fY|X ( y | 3)dy
的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表 中的空白处.
X
Y y1 y2 y3 P{ X xi } pi .
x1
1/ 8
x2
1/ 8
P{ y yj } p j 1/ 6
1
解 由于 P{ X x1,Y y1} P{Y y1} P{X x2 ,Y y1} 1/ 6 1/ 8 1/ 24,
1 p• j
i 1
pij
p• j p• j
1
同样， P{Y y j | X xi }也具有这两点性质。
9
例2 设 X与Y的联合概率分布如右表.
求Y 0 时, X 的条件概率 X Y -1 0 2 分布以及 X 0 时, Y 的条件 0 0.1 0.2 0
概率分布;
1 0.3 0.05 0.1 2 0.15 0 0.1
f ( x, y),( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为fY ( y).若
3.2条件分布及其独立性
fX|Y (x| y)
f (x,y) fY (y)
1
2π 1 2
e
1 2(1
2
[ )
(
x1
2 1
)2
2
(x1)( y2 1 2
)
(
y2)2
2 2
]
1 2
1
e
(
y2
2
2 2
)2
2π 2
1
e
1 2(1
2)(
x1 1
y2 2
)2
2π 1 1 2
1
e
212
1 (1
2
[ )
x1
1 2
(
y 2 )]2
P{X xi,Y yj} P{Y yj}
pij pYj
(323)
其中P{Xxi|Yyj}是在事件“Yyj ”发生的条件下 事件“Xxi”
发生的条件概率 通常记作pi|j
不难验证 数列pi|j(i1 2 )满足概率分布所要求的性质
(1) pi|j 0 (2) pi| j 1 i
二、离散型随机变量的条件概率分布与独立性
一、条件分布与独立性的一般概念
条件分布函数 对每个给定的实数x 我们记条件概率P{Xx|A}为F(x|A)
并称F(x|A)(x)为在A发生的条件下X的条件分布函数 设A{Yy} 且P{Yy}0 则有
F(x|Y y) P{X x,Y y} F(x,y) P{Y y} FY (y)
(320)
说明 一般地 两个随机变量X和Y之间存在着相互联系 因而一
F(x y)和f(x y) 我们希望考虑在Yy的条件下X的条件分布
P{X x|Y y} lim P{X x| yΔ y Y y} Δ y0
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解 当x0.5时 P{Xx X0.5}0
当x0.5时
P{X
x, X
0.5} x 0.05.,5,
0.5 x1, x 1.
从而可得
F (x|
X
0.5)
P{X x, X 0.5} P{X 0.5}
P{X
x, X 0.5
0.5}
F(x| X
0.5) 2x0, 1,
x 0.5, 0.5 x1,
1, x 1.
Yy
的条件下
X
的条件密度函数
类似地 可以讨论在Xx的条件下 Y的条件分布
三、连续型随机变量的条件密度函数与独立性
条件密度函数
设(X Y)是连续型随机向量 密度函数为f(x y)
如果fX(x)0 fY(y)0 则
fX|Y (x| y)
f (x, y) fY (y)
fY|X (y| x)
f (x, y) fX (x)
解 在X0时 Y的条件概率分布为
P{Y
1|
X
0}
P{Y 1, X P{X 0}
0}
0.1 0.10.20
1 3
P{Y
0|
X
0}
P{Y 0, X P{X 0}
0}
0.2 0.3
2 3
P{Y
2|
X
0}
P{Y 2,X 0} P{X 0}
0 0.3
0
定理33(独立性的判断)
设X Y是离散型随机变量 其联合概率分布为
§32 条件分布与随机变量的独立性
一、条件分布与独立性的一般概念 二、离散型随机变量的条件概率分布与独立性 三、连续型随机变量的条件密度函数与独立性
一、条件分布与独立性的一般概念
条件分布函数 对每个给定的实数x 我们记条件概率P{Xx|A}为F(x|A)
并称F(x|A)(x)为在A发生的条件下X的条件分布函数 设A{Yy} 且P{Yy}0 则有
解 由§3 1 知 X ~ N(1, 12),Y ~ N(2, 22), 于是
fX |Y (x| y)
f (x,y) fY (y)
1
e
212
1 (1
2
[ )
x
1
12
(
y 2 )]2
2π 1 1 2
故 在Yy的条件下 X服从正态分布
X~
N
(1
1 2
(
y
2),
12(1
2))
对称地 在Xx的条件下 Y服从正态分布
fY (y)
(329)
对给定的y 如果fY(y)0 则称P{Xx|Yy}为Yy的条件下 X的条件分布函数 记作FX|Y (x|y) 由(329)知
FX|Y (x| y)
x
f (u, y) du fY (y)
(330)
记
fX|Y (x| y)
f (x, y) fY (y)
称
fX|Y(x|y)为
条件分布行不通 为此 我们通过极限来定义条件分布
三、连续型随机变量的条件密度函数与独立性
分析 设(X Y)是连续型随机向量 分布函数和密度函数分别为
F(x y)和f(x y) 我们希望考虑在Yy的条件下X的条件分布
P{X x|Y y} lim P{X x| yΔ y Y y} Δ y0
lim P{X x, yΔ y Y y} Δy0 P{yΔ y Y y}
0, 其他,
于是其边缘密度函数fX(x)为
fX (x)
f (x, y)dy 2
1 x2 , π 0,
| x|1, 其他.
于是 对一切x(|x|1) 有
fY|X (y| x)
f (x, y) fX (x)
2
1, 1 x2 0,
| y| 1 x2, 其他.
例38(2) 设(X Y)是在D{(x y)|x2y21}上服从均匀分布 的随机向量 求fX|Y (x|y)
条件分布函数 对每个给定的实数x 我们记条件概率P{Xx|A}为F(x|A)
并称F(x|A)(x)为在A发生的条件下X的条件分布函数 设A{Yy} 且P{Yy}0 则有
F(x|Y y) P{X x,Y y} F(x,y) P{Y y} FY (y)
(320)
对给定的x和y 如果事件{Xx}与事件{Yy}独立 则有
P{Xxi Yyj}pij (i j1 2 ) 边缘概率分布分别为piX和pjY(i j1 2 ) 则X与Y相互独立的 充要条件是
pijpiXpjY (i j1 2 )
(327)
例37 设X与Y的联合概率分布如下表 判断X与Y是否相 互独立?
解 因为
P{X0}010203
P{Y1}0103015055
由条件密度函数的定义 我们容易知道 密度函数有下列
乘法公式
f(x y)fX(x)fY |X(y|x)fY (y)fX|Y(x|y)
(333)
例38(1) 设(X Y)是在D{(x y)|x2y21}上服从均匀分布 的随机向量 求fY|X(y|x)
解 由于(X Y)的密度函数为
f
(x,
y)
1 π
,
x2 y2 1,
| x| 1 y2, 其他.
例 39 设(X ,Y)~ N(1, 2;12, 22; ) 求 fX|Y (x|y)和 fY|X (y|x)
解 由§3 1 知 X ~ N(1, 12),Y ~ N(2, 22), 于是
fX |Y (x| y)
f (x,y) fY (y)
1
2π 1 2
e
1 2(1
设X1 X2 Xn是n个随机变量 其联合分布函数为F(x1 x2 xn) 边缘分布函数为Fi (xi)(i1 2 n) 如果对任意实数 x1 x2 xn恒有
F(x1 x2 xn)F1(x1)F2(x2) Fn(xn) 则称X1 X2 Xn相互独立
二、离散型随机变量的条件概率分布与独立性
设随机变量X Y的联合分布函数为F(x y) 边缘分布函数 分别为FX(x) FY(y) 如果对任意实数x和y 恒有
F(x y)FX(x)FY (y) 则称随机变量X和Y相互独立
例35 设X服从[0 1]上的均匀分布 求在已知X0.5的条 件下X的条件分布函数
解 当x0.5时 P{Xx X0.5}0
解 由于(X Y)的密度函数为
f
(x,
y)
1 π
,
x2 y2 1,
0, 其他,
于是其边缘密度函数fY(y)为
fY (y)
f (x, y)dx 2
1 y2 , π 0,
| y|1, 其他.
于是 对一切y(|y|1) 有
fX|Y (x| y)
f (x, y) fY (y)
2
1, 1 y2 0,
而
P{X0 Y1}01
可见 P{X0 Y1}P{X0}P{Y1}
所以X与Y不独立
应注意的问题 在前一节讨论中 我们得知 由联合概率分布可以确定边
缘概率分布 但是由边缘概率分布一般不能确定联合概率分 布 比较表32中的两个不同联合概率分布 我们注意到它们具 有相同的边缘概率分布
表32 具有相同边缘概率分布的两个不同的联合概率分布
发生的条件概率 通常记作pi|j
不难验证 数列pi|j(i1 2 )满足概率分布所要求的性质
(1) pi|j 0 (2) pi| j 1 i
二、离散型随机变量的条件概率分布与独立性
条件概率分布
设(X Y)是二维离散型随机向量 其概率分布为
P{Xxi Yyj}pij i j1 2 则由条件概率公式 当P{Yyj}0时 有
此时
F(x y) P{Xx Yy}P{Xx}P{Yy} FX(x)FY(y)
F(x|Yy)FX(x)
(321)
一、条件分布与独立性的一般概念
条件分布函数 对每个给定的实数x 我们记条件概率P{Xx|A}为F(x|A)
并称F(x|A)(x)为在A发生的条件下X的条件分布函数 定义36(随机变量的相互独立性)
F(x|Y y) P{X x,Y y} F(x,y) P{Y y} FY (y)
(320)
说明 一般地 两个随机变量X和Y之间存在着相互联系 因而一
个随机变量的取值可能会影响另一随机变量取值的统计规律 性 (320)表明联合分布函数包含了X与Y相互联系的内容
一、条件分布与独立性的一般概念
P{X
xi |Y
y j}
P{X xi,Y yj} P{Y yj}
pij pYj
(323)
其中P{Xxi|Yyj}是在事件“Yyj ”发生的条件下 事件“Xxi”
发生的条件概率 通常记作pi|j
我们称
P{Xxi |Yyj}pi|j i1 2 为已知Yyj的条件下X的条件概率分布
例36 设X与Y的联合概率分布如下表 求Y0时X的条件 概率分布以及X0时Y的条件概率分布
(334)
证明 充分性 若f(x y)fX(x)fY(y) 则
xy
F(x, y) fX (u) fY (t)dudt
x
y
fX (u)du fY (t)dt
FX (x)Fy(y)
Y
~
N
(2
2 1
(x
1),
22(1
2))
定理34(独立性的判断)
设连续型随机向量(X Y)的密度函数为f(x y) 边缘密度函
数分别为fX(x)和fY(y) 则X与Y相互独立的充要条件是
f(x y)fX(x)fY(y)
(334)
证明 必要性 如果X与Y相互独立 则对任意x y 有
x
y
F(x, y) FX (x)FY (y) fX (u)du fY (t)dt