第三章 导数与微分习题答案
经济管理类微积分龚德恩第二版参考答案 第三章导数与微分
（２） 已知 y ＝ f （３）
a ＋ x
２
x
４ ２
，则 y ′ ＝
f （ θn ） ＝
（５） 设 y ＝f （ x ） ＝x 在点 （１，１ ） 处的切线与 x 轴的交点为 （ θn ，０ ） ， 则 nｌｉｍ
n
１ （４） 曲线 y ＝ ２ 在点 （ － １，１） 的切线方程为 x ；
ｄ （ ａｒｃｓｉｎ x ） ＝ ｄ （ ａｒｃｃｏｓ x ）
１６．求下列各数的近似值 ： （１） ２ 解
１． ００１
（３） ｓｉｎ ２９° ；
； （２） ｌｎ１． ００２； （４）
３
７６ ．
（２ ｌｎ ２） Δ x． （１） 令 f （ x ） ＝ ２ ，ｄ f ＝
x x
取 x０ ＝ １，Δ x－ ０． ００１，则 ２
１． ００ １ １ １
≈ f （１） ＋ ｄf ｜ x ０ ＝１ ， Δ x ＝０ ． ０ ０１ ＝ ２＋ ０． ００２ × ｌｎ２≈２． ００１３８６（ ｌｎ２≈０． ６９３１） ． ｌｎ （１． ００２） ≈ f（１） ＋ ｄf
边际收益为
于是 ，边际利润为
１８．已知某产品的需求函数和总成本函数分别为 ： 其中 x 为销售量 ，P 为价格 ． 解 利润函数为
１ １０ ． L′ （ x） ＝ ［ R （ x） － C（ x） ］ ′ ＝ R′ （ x） － C′ （ x） ＝ ２ － （x ＋ ２） x p＝ １０００ － ２ x ，C （ x ） ＝ ５０００ ＋ ２０ x
２ ２
∴y ′ （ x） ＝ ｌｉｍ Δ x ０
→
＝ （x ＋ Δ x） － x ＋ ３Δ x＝ （２ x ＋ ３＋ Δ x） Δ x Δ y ＝ｌｉｍ （２ x ＋ ３＋ Δ x） ＝ ２x ＋ ３． Δ x Δx → ０
第三章 导数与微分 习题及答案
第三章 导数与微分同步练习 一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim=--→xf x f x x ，则)0(f '= 。
2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。
3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则1=x dxdy = 。
4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。
5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将 。
6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为 。
7、已知x x y ln =，则)10(y = 。
8、已知2arcsin )(),2323(x x f x x f y ='+-=，则：0=x dxdy = 。
9、设1111ln22++-+=x x y ，则y '= 。
10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。
11、已知()xke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dyxd 。
二、选择1、设f 可微，则=---→1)1()2(lim1x f x f x （ ）A 、)1(-'-x fB 、)1(-'fC 、)1(f '-D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→)()2(lim000x f x x f xx （ ）A 、41 B 、41- C 、1 D 、-1 3、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001arctan )(x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处（ ）A 、不连续B 、极限不存在 Ｃ、连续且可导 Ｄ、连续但不可导 ４、下列函数在[]1,1-上可微的有（ ） Ａ、x x y sin 32+= Ｂ、x x y sin =Ｃ、21x x y +=Ｄ、x x y cos += ５、设)(x f 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=（ ） Ａ、在0=x 处极限不存在 Ｂ、有跳跃间断点0=x Ｃ、在0=x 处右极限不存在 Ｄ、有可去间断点0=x６、设函数)(),(21x y x y 的弹性分别为)0(,≠b b a ，则函数)()(21x y x y y =的弹性为（ ） Ａ、b a - Ｂ、b aＣ、2112y by ay - Ｄ、以上都不对 ７、已知)(x f e y =，则y ''＝（ ）Ａ、)(x f e Ｂ、)]()([)(x f x f e x f ''+' Ｃ、)()(x f e x f '' Ｄ、)}()]({[2)(x f x f e x f ''+'８、设函数⎩⎨⎧≤+>+=11)ln()(2x bx x x a x f 在1=x 处可导。
《高等数学一》第三章 导数与微 试题模拟课后习题汇总(含答案解析)
第三章导数与微分[单选题]1、设函数，则高阶导数=（）A、12!B、11!C、10!D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察高阶导数计算.因为多项式的最高次幂为11，故=0.[单选题]2、f(x)=4x－x3在点(－1，－3)处的切线方程为( )A、y＝x－2B、y＝x＋2C、y＝－x＋2D、y＝－2x＋1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】f(x)＝4x－x3, f(－1)＝－4＋1＝－3,故(－1,－3)在所给的曲线上. 又f ' (x)＝4－3x2故f ' (－1)＝4－3＝1∴过(－1,－3)的切线方程为y＝(x＋1)－3＝x－2.[单选题]3、y＝cos3x－cos3x的导数为( )A、3(sin3x－sinxcos2x)B、3(sin3x＋sinxcos2x)C、3(sinx－sinxcos2x)D、3(sin3x－sin3xcos2x)【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】 y’＝(cos3x)' －(cos3x) '＝3cos2x(－sinx)－(－sin3x)×3＝3(sin3x－sinxcos2x)[单选题]4、设y＝x n＋e－x，则y(n)(0)＝（）A、n!＋(－1)nB、n!C、n!＋(－1)n－1D、n!－1【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】y(n)(x)＝n！＋(－1)n e－x，从而y(n)(0)＝n!＋(－1)n[单选题]5、设函数f(x)＝arctanx,求=( )A、-2B、1C、3D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]6、设y＝lnx，则y(n)＝()A、(－1)n n!x－nB、(－1)n(n－1)!x－2nC、(－1)n－1(n－1)!x－nD、(－1)n－1n!x－n＋1【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】y′＝x－1,y′′＝－1!x－2, y′′′＝2!x－3,…. y(n)＝ (－1)n－1(n－1)!x－n[单选题]7、已知函数，则f(x)在点x=0处()A、连续但导数不存在B、间断C、导数f ’(0)=－1D、导数f ’(0)=1【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】所以，f(x)在点x=0处间断，答案为B.[单选题]8、y＝(2x2－x＋1)2的导数为( )A、2(2x2－x＋1)(4x－1)B、(2x2－x＋1)(4x－1)C、(2x2－x＋1)(4x＋1)D、(2x2＋x＋1)(4x－1)【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】y’＝2(2x2－x＋1)(2x2－x＋1)’＝2(2x2－x＋1)(4x－1)[单选题]9、设函数f（x）在x0点可微是f（x）在该点可导的( )A、充分必要条件B、充分条件C、必要条件D、无关条件【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】设函数f（x）在x0点可导是f（x）在该点可微的充要条件，对于一元函数，两者是等价的。
第三章 导数与微分习题
习 题 三1．根据导数的定义求下列函数的导数：（1）221x y -= （2）21x y = （3）32x y =2．给定函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、b 、c 为常量，求：)(x f '，)0(f '，)21(f '，)2(a b f -' 3．一物体的运动方程为s ＝t 3＋10，求该物体在t ＝3时的瞬时速度。
4．求在抛物线y ＝x 2上点x ＝3处的切线方程。
5．自变量x 取哪些值时，抛物线y ＝x 2与y ＝x 3的切线平行？6．函数⎪⎩⎪⎨⎧≤-<≤+=x x x x x f 113101)(2在点x ＝1处是否可导？为什么？7．讨论函数y ＝x|x|在点x ＝0处的可导性。
8．用导数定义求⎩⎨⎧≥+<=0)1ln(1)(x s x xx f 在点x ＝0处的导数。
9．设⎩⎨⎧<<--+≤<-+=101101)1ln()(x xx x x x f 讨论f （x ）在x ＝0处的连续性与可导性。
10．函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠=0)1ln(1sin )(12x s x x x f x 在点x ＝0处是否继续？是否可导？11．讨论⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<+≤<+≤=x xx x x x x x f 2212101201)(2在x ＝0，x ＝1，x ＝2处的连续性与可导性。
12．求下列各函数的导数（其中a ，b 为常量）：（1）532+-=x x y （2）b a x y +=（3）3412+-=xx y （4）2222x x y += （5）x x y 31-= （6）)12(2-=x x y（7）)11)(1(-+=x x y （8）x x y 2)1(+=（9）ba b ax y ++= （10）))((b x a x y --=（10）)1)(1(a b bx ax y ++=13．求下列各函数的导数（其中a ，b ，c ，d ，n 为常量）：（1）)3)(2)(1(+++=x x x y（2）x x y ln =（3）x x y n ln = （4）x y alog = （5）11-+=x x y （6）215xx y += （7）x x x y --=223 （8）n cx b a y += （9）x x y ln 1ln 1+-= （10）2211xx x x y +--+= 14．求下列各函数的导数：（1）x x x y cos sin += （2）xx y cos 1-=（3）x x x y tan tan -= （4）xx y cos 1sin 5+= （5）x x x x y sin sin += （6）x x x y ln sin ⋅= 15．求曲线x y sin =在点x ＝π处的切线方程。
第三章导数及其应用含详细答案
第三章导数及其应用刷速度一、选择题1. 已知曲线上一点，则（）A．B．C．D．答案.2. 已知′(1),则f′(0)等于( )A. B C D 2e解:由′(1),得:f′(x)′(1),取得:f′(1)′(1),所以,f′(1)故f′(0)′(1), 因此，本题正确答案是:B.3. 如图是导函数的图象，那么函数在下面哪个区间是减函数（）。
A: B: C: D:答案详解B解析:本题主要考查函数的单调性。
当函数为减函数时，函数的导数小于零，根据图象，在区间内导函数小于零，即为减区间。
故本题正确答案为B。
4. 函数,的最大值为( )A. B. 1 C. D.答案详解C解:令得或当时,或;当时,当时;当时,;当时,所以函数的最大值为所以C选项是正确的解析:求出函数的导函数,令导数为0求出根,判断根左右两边导函数的符号,求出函数的极值及端点值,在其中选出最大值.5. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )A. 3 B 2 C 1 D答案详解A解析:函数的定义域为，函数的导数为，由，得，解得或（舍去），选A.6. 函数有极值的充要条件是A、a≥1或a≤0B、a>1或a<0C、a≥1或a<0D、0<a<1答案B解析【分析】将函数f(x)有极值转化成f′(x)有两不等的根，再利用判别式进行判定即可．【解答】函数有极值则f′(x)=ax2+2ax+1=0有两不等的根当a=0时，无解当a≠0时，Δ>0．即4a2-4a>0解得a>1或a<0，故选B．7. 若在上是减函数，则的取值范围是（）。
A: B: C: D:答案详解D解析:本题主要考查导数的应用。
由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，令，因为，所以。
要使，即需要小于等于其最小值，所以。
8.9.函数有三个相异的零点,则a的取值范围是( )A. B C D答案C解:函数,,,,,,, ,,函数在单调递减,单调递增,,使得函数有三个零点,必须:,计算得出.所以C选项是正确的.10. 已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为________．答案2解析切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．三个方程联立即可求出a的值．解答：设切点P（x 0，y 0），则y 0=x 0+1，y 0=ln（x 0+a），又∵切线方程y=x+1的斜率为1，即，∴x 0+a=1，∴y 0=0，x 0=-1，∴a=2．故答案为：211.12，设是定义在R上的函数,其导函数为f′(x),若′(x) , ,则不等式(其中e为自然对数的底数)的解集为( )A. B C D解:设,则g′(x)′(x)′(x),′(x),, ′(x)′(x),是R上的增函数, 又,的解集为,即不等式的解集为所以B选项是正确的.二、填空题13.、曲线在点处的切线方程是。
高中数学导数与微分练习题及参考答案2023
高中数学导数与微分练习题及参考答案2023一、选择题1.设y=(x-2)^2, 则y的导数为A. 2(x-2)B. (x-2)^2C. 2(x-2)^2D. 1/(x-2)2.已知函数f(x)=2x^3+x^2-4x, 则f'(2) =A. 2B. 20C. -8D. 283. 设f(x)=3x^(1/3)+2x^(-1/3), 则f'(x)=A. (6/x)^(1/3)B. (9/x^(2/3))C. (1/x^(4/3))D. 3(x^2/3)-2(x^-4/3)4. 若y=log_2(x^2+1), 则y''=A. [2(x^2+1)]/[ln2(x^2+1)^3]B. [2(x^2-1)]/[ln2(x^2+1)^3]C. [2(x^2+1)]/[ln2(x^2+1)^2(x^2-1)]D. [2(x^2-1)]/[ln2(x^2+1)^2(x^2+1)]5. 已知f(x)=5^x-3x, 则f'(log_53)=A. 2ln5-3/ln5B. 2ln5+3/ln5C. 2ln5-1/ln5D. 2ln5+1/ln5二、计算题1. 求函数y=4x^3-6x^2+2x的导数。
2. 已知函数f(x)=e^x/(x^2-4), 求f'(x)。
3. 已知y=sinx/x, 求y'(0)。
4. 若f(x)=x^3-3x^2+2, 求f(x)在x=2处的切线方程。
5. 求函数y=xlnx的导函数。
6. 求函数y=ln(x^2+1)的导函数。
7. 求直线y=2x-5与函数y=x^2-x+2的交点坐标。
8. 已知f(x)=xlnx, 求f''(x)。
三、应用题1. 筒形的长为20cm，半径为5cm，求其外表面积变化率和体积变化率，当半径增加0.05cm时，长增加0.1cm。
2. 一枚铜币的半径为3cm，厚度为0.2cm，求其体积在半径扩大到4cm时的变化率。
第三章导数及其应用参考答案
数的单调递减区间为(0,1]．
7.答案 D
解析 依题意得，f′(x)＝aex＋cos x≥0，
即
a≥－coesx x对
x∈
－π，0 2
恒成立，
设
g(x)＝－coesx x，x∈
－π，0 2
，
x＋π
g′(x)＝ 2sin 4 ，令 g′(x)＝0，则 x＝－π，
ex
4
－π，－π 当 x∈ 2 4 时，g′(x)<0；
2 13.解 (1)∵f(x)＝4ln x－mx2＋1，
∴f′(x)＝4－2mx， x
∴f′(1)＝4－2m，
∵函数 f(x)在(1，f(1))处的切线与直线 2x－y－1＝0 平行，∴f′(1)＝4－2m＝2，
∴m＝1.
(2)∵对于任意 x∈[1，e]，f(x)≤0 恒成立，
∴4ln x－mx2＋1≤0，在 x∈[1，e]上恒成立，
由 f′(x)<0，得 x>－1， a
0，－1
－1，＋∞
函数 f(x)在
a 上单调递增，在 a
上单调递减.
(2)①当 a＝0 时，函数 f(x)在(0，1]内有 1 个零点 x0＝1;
0， 1
1 ，＋∞
②当 a>0 时，由(1)知函数 f(x)在 2a 上单调递增，在 2a
上单调递减．
若 1 ≥1，即 0<a≤1时，f(x)在(0,1]上单调递增，由于当 x→0 时，f(x)→－∞且 f(1)＝－a2－a<0
e4
(e4 ,e)
g′(x)
＋
0
－
g(x)
极大值
1
∴函数
g(x)在区间[1，e]上的最大值
高等数学习题详解-第3章 导数与微分.
习题3-11．设某产品的总成本C是产量q的函数:C=q2+1，求(1) 从q=100到q=102时，自变量的改变量∆q；(2) 从q=100到q=102时，函数的改变量∆C；(3) 从q=100到q=102时，函数的平均变化率；(4) 总成本在q=100处的变化率.解：(1) ∆q=102-100=2,(2) ∆C=C(102)-C(100)=(1022+1)-(1002+1)=404(3) 函数的平均变化率为∆CC(q0+∆q)-C(q0)404∆q=∆q=2=202.(4) 总成本在q=100处的变化率为C(q)-C(100)21002qlim→100q-100=qlimq-→100q-100=qlim→100(q+100)=2002．设f(x)=f'(4). 解f'(4)=limf(x)-f(4)x→4x-4=limx→4x-4=lim1x→4=23．根据函数导数定义，证明(cosx)'=-sinx. 证根据函数导数定义及“和差化积”公式，得h(cosx)'=limcos(x+h)-cosxhsin=-sinx. h→0h=-hlim→0sin(x+2)⋅h24．已知f'(a)=k，求下列极限： (1) limf(a-x)-f(a)x→0x; (2) limf(a+x)-f(a-x)x x→0解 (1) limf(a-x)-f(a)x=-limf(a-x)-f(a)-x=-f'(a)=-k;x→0x→0(2) limf(a+x)-f(a-x)x→0x=limf(a+x)-f(a)+f(a)-f(a-x)x→0x=limf(a+x)-f(a)f(a-x)-f(a)x+limx→0x→0-x=f'(a)+f'(a)=2k5．已知f(0)=0.f'(0)=1，计算极限limf(2x)x→0x.解 limf(2x)f(2x)-f(0)x=2limx→0x→02x=2f'(0)=26．求下列函数的导数：(1) y=x5；(2) y=- 1 -(3) y=e-x； (5) y=lgx；(4) y=2xex; (6) y=sin 34x-π4解(1) (x5)'=5x4；314；(2) '=(x4)'=(3) (e-x)'=e-xlne-1=-e-x；1xln10(4) (2xex)'=[(2e)x]'=(2e)xln(2e)=2xex(ln2+1); (5) (lgx)'= (6) (sin π4；)'=0⎧sinx,⎩x,7．问函数f(x)=⎨x<0x≥0在x=0处是否可导？如可导，求其导数.解考察x=0处的左、右导数f-'(0)=lim-h→0f(0+h)-f(0)f+'(0)=lim+h→0hf(0+h)-f(0)h=lim-h→0sinhhhh=1,=lim+h→0=1,所以，函数在x=0处的可导，且f'(0)=1. 8．讨论函数⎧-x,x≤0⎪f(x)=⎨2x,0<x<1⎪2⎩x+1,x≥1在点x=0和x=1处的连续性与可导性.解 (1)考察x=0处的左、右导数f-'(0)=lim-h→0f(0+h)-f(0)hf(0+h)-f(0)h=lim-h→0-hh2hh=-1, =2,f+'(0)=lim+h→0=lim+h→0所以，函数在x=0处不可导；又limf(x)=limf(x)=0=f(0),所以，函数在x=0处连续. x→0-x→0+(2) 考察x=1处的左、右导数f-'(1)=lim-x→1f(x)-f(1)x-1x-1=lim-x→12x-2x-1=2,f+'(1)=lim+x→1f(x)-f(1)=lim+x→1(x+1)-2x-1=2,所以，函数在x=1处的可导，且f'(1)=2.9．求等边双曲线y=线方程.- 2 -1x在点⎛1⎫,2⎪处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法⎝2⎭解由导数的几何意义，得切线斜率为'1⎛1⎫k=y'x=3= ⎝x⎪⎭x=1/2=-x2x=1/2=-4. 所求切线方程为y-2=-4 ⎛x-1⎫⎝2⎪, 即⎭4x+y-4=0. 法线方程为y-2=1⎛4 x-1⎫⎪, 即⎝2⎭2x-8y+15=0.10．求曲线y=lnx在点(e,1)处的切线与y轴的交点. 解曲线y=lnx在点(e,1)处的切线斜率为k=y'=⎛1x=1 ⎫⎪=1⎝x⎭x=ee故切线方程为y-1=1e(x-e).上式中，令x=0，得y=0.所以，曲线y=lnx在点(e,1)处的切线与y轴的交点为(0,0).习题3-21．求下列函数的导数：(1) y=x2+3x-sinx；(2) y=x(3) s=t+ln2； (4) y=xcosx⋅lnx x(5) y=x+1x-1； (6) y=ex2+1解 (1) y'=2x+3-cosx; (2) y'=(x3)'+2(x-52)'-(x-3)'=3x2+5x-72-3x-4;(3) s'='sint+t)'+0=t;(4) y'=x'cosx⋅lnx+x(cosx)'⋅lnx+xcosx(lnx)'=cosx⋅lnx-xsinx⋅lnx+cosx (5) y'=(x+1)'(x-1)-(x+1)(x-1)'- (x-1)2=2； (x-1)2x(6) y'=eex)'(x2+1)-(x2+1)'exx2+1=((x2+1)2ex(x2+1)-2xex2ex=(x2+1)2=(x-1)(x2+1)2 .2．求下列函数在给定点处的导数：(1) y=xarccosx,求y'；x=12(2) ρ=θtanθ+secθ，求dρdθ;θ=π4- 3 -(3) f(x)=lnf'(0).解 (1) y'=x'arccosx+x(arccosx)'=arccosx-1y'=arccos1πx=122-3- (2) dρ2dθ=tanθ+θsecθ+secθtanθdρdθπ=1+ππθ=44⋅2+1=2 (3) f(x)=3x-122ln(e3x+1)，f'(x)=332-2(e3x+1)故f'(0)f'(0)=32-32(1+1)=33．曲线y=x3-x+2上哪一点的切线与直线2x-y-1=0平行？解 y'=3x2-1,令y'=2，即3x2-1=2，得x=1或x=-1，代入原曲线方程都有：y=2，故所求点为：(1,2)或(-1,2).4．求下列函数的导数：(1) y=lnsinx； (2) y=(x3-1)10；(3) y=(x+cos2x)3；(4) y=ln(5) y=sin2x⋅sinx2； (6) y=tan[ln(1+x2)] ； x(7) y=2sin1x ; (8)y=elnx；(9)y=ln(x+； (10)y=xa2-x22+a22arcsinxa(a>0)解(1) y'=1sinx⋅(sinx)'=cosxsinx=cotx；(2) y'=10(x3-1)9(x3-1)'=30x2(x3-1)9；(3) y'=3(x+cos2x)2(x+cos2x)'=3(x+cos2x)2(1+2cosx⋅(-sinx))=3(x+cos2x)2(1-sin2x)；(4) y=ln=1ln(x-2)-1ln(x2+1)32y'=13(x-2)-1122x2+1(x+1)'=13(x-2)-xx2+1;(5) y'=2sinxcosx⋅sinx2+sin2x⋅cosx2⋅2x=sin2x⋅sinx2+2xsin2x⋅cosx2；- 4 -(6) y'=sec2[ln(1+x2)]⋅[ln(1+x2)]'12x=sec2[ln(1+x2)]⋅2221+x2(1+x)'=1+x2sec[ln(1+x)] ；1(7) y'=2sin11sinxln2⋅(sin1sin xx)'=2ln2⋅cos1x(1 x)'=-2xln2x2 cos1x; xx(8)y'=elnx(x xxx'lnx-x(lnx)' xlnx)' =elnln22eln；x=lnx-1lnx 22 (9)y'= x+'=+'=+(10)y'= 22+2=2+5．已知f(u)可导，求下列函数的的导数：(1) y=f(cscx)； (2) y=f(tanx)+tan[f(x)].解 (1) y'=f'(cscx)⋅(cscx)'=-f'(cscx)⋅cscx⋅cotx (2) y'=f'(tanx)⋅(tanx)'+sec2[f(x)]⋅f'(x) =sec2x⋅f'(tanx)+sec2[f(x)]⋅f'(x).习题3-31．求下列由方程所确定的隐函数y=y(x)的导数dydx：(1) x4-y4=4-4xy； (2)； ysinx+cos(x-y)=0;(3) ex-ey-sinxy=0；(4) arctanyx=ln.解 (1)方程两边同时对自变量x求导，得4x3-4y3dydx=-4y-4xdydx, (y3-x)dy3dx=x+y,故dydx=x3整理得 +yy3-x；(2) ycosx+sinx⋅dydydx-sin(x-y)⋅(1-dx)=0整理求得dy-y)-ycosxdx=sin(xsin(x-y)+sinx(3) ex-eydydydx-cosxy(y+xdx)=0求得dyxdx=e-ycosxyey+xcosxy- 5 -(4) 1.xy'-y111+(y2x2=2x2+y2(2x+2yy') x)整理求得 xy'-yx+yy'x2+y2=x2+y2故 dyydx=x+x-y.2．求曲线x3+3xy+y3=5在点(1,1)处的切线方程和法线方程. 解方程两边同时对自变量x求导，得3x2+3y+3xy'+3y2y'=0解得 dy+x2dx=-y2， y+x在点(1,1)处，y'(1,1)=-1，于是，在点(1,1)处的切线方程为y-1=-1(x-1)，即x+y-2=0,法线方程为 y-1=1(x-1)即y=x.3．用对数求导法求下列各函数的导数dydx:(1) y=xsinx(x>0)； (2) y=xa+ax+xx；(3) y= (4) (sinx)y=(cosy)x. 解 (1)等式两边取对数lny=sinx⋅lnx两边对x求导得1yy'=cosx⋅lnx+sinx⋅1x,故 dydx=xsixn⎛ cosx⋅lnx+sinx⋅1⎫⎝x⎪.⎭(2) y'=axa-1+axlna+(xx)'=axa-1+axlna+xx(x⋅lnx+1) (3) y=12[ln(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4)] 11⎛1111yy'=2 +-2-x-3-⎫⎝x-1xx-4⎪⎭得y'=11⎫+-1-1x-1x-2x-3x-4⎪.⎭(4) ylnsinx=xlncosyy'lnsinx+ycotx=lncosy-xtany⋅y' dydx=lncosy-ycotxxtany+lnsinx4．求下列参数方程所确定的函数的导数dy dx：- 6 -⎧x=t-t2(1) ⎨； (2) ⎧⎨x=acos3θ⎩y=1-t2⎩y=asin3θ. 解 (1) dyy'(t)-2tdx=x'(t)=1-2t (2) dyy'(θ)asin2θ⋅cosθdx=x'(θ)=33acos2θ⋅(-sinθ)=-tanθ5．求椭圆⎨⎧x=6cost⎩y=4sint在t=π4相应点处的切线方程.解 dy(4sint)'dx=y'(t)4cost2x'(t)==-6sint=-3cott.(6cost)'t=π4时，切线斜率为dyπdxt=π=-243，x(4)=y(π4)=.故所求切线方程为y-=-23(x- .习题3-41．求函数y=x2当x由1改变到1.005的微分. 解因为dy=y'dx=2xdx, 由题设条件知 x=1，dx=∆x=1.005-1=0.005 故所求微分为 dy=2⨯1⨯0.00=50 .2．求函数y=sin2x在x=0处的微分. 解所求微分为dy=(sin2x)'x=0dx=2cos2xx=0dx=2dx3．求下列各微分dy:(1) y=e3xcosx； (2) y=sin2xx2；(3) y=ln(1+e-x2)；(4) y=arctan(5) exy=3x+y2； (6) xy2+x2y=1. 解 (1) dy=cosxd(e3x)+e3xd(cosx)=cosx⋅3e3xdx-e3x⋅sinxdx=e3x(3cosx-sinx)dx；22xdx2(2) dy=xdsin2x-sin2x2cos2xdx-2xsin2xx4=x4dx=2(xcos2x-sin2x)x3dx； -x2(3) dy=1(1+e-x2)=-2xe1+-x2d1+e-x2dx； (4)dy==12) (1+x- 7 -=;(5)方程两边对求微分exy(xdy+ydx)=3dx+2ydy.整理得 (xexy-2y)dy=(3-yexy)dx 解得 dy=3-yexy； xexy-2ydx(6) 方程两边对求微分y2dx+2xydy+2xydx+x2dy=0.整理得 (2xy+x2)dy=-(y2+2xy)dx 解得 dy=-2xy+y2x2+2xydx4．计算下列各数的近似值: (1) e0.03；(2) 解(1) e0.03≈1+0.03=1.03；(2)===≈2(1-15⋅116)=1.975.5．在下列等式的括号中填入适当的函数, 使等式成立.(1) d()=3dx; (2) d()=2xdx;(3) d()=sinωt dt；(4) d(cosx2)=()d. 解(1) 3x+c;(2) x2+c; (3) -1ωcosωt；(4) d(cosx2)=-2xsinx2dxd=即dx=，x故d(cosx2)=-4x2d.习题3-51．求下列函数的二阶导数：(1) y=x3+8x-cosx； (2) y=(1+x2)arctanx；(3) y=xex2； (4) y=xx.解(1) y'=3x2+8+sinx,y''=6x+cosx；(2) y'=2xarctanx+1,y''=2arctanx+2x1+x2；(3) y'=ex2+2x2ex2,y''=2xex2+4xex2+4x2ex2=2xex2(3+2x2)；(4) lny=xlnx,1yy'=lnx+1,y'=xx(lnx+1)y''=(xx)'(lnx+1)+xx(lnx+1)'=xx(1+lnx)2+xx-12. 验证函数y=C2x-3x1e+C2e(其中C1,C2为任意常数)满足方程- 8 -y''+y'-6y=0.证：y'=2C1e2x-3C2e-3x,y''=4C1e2x+9C2e-3x(4C1e2x+9C2e-3x)+(2C1e-3C2e2x-3x)-6(C1e2x+C2e-3x)=0.3．设函数y=f(x)二阶可导，求下列函数的二阶导数： (1) y=f(sinx)； (2) y=x2f(lnx). 解 (1)求导数dydx22dydx=f'(sinx)⋅(sinx)'=cosx⋅f'(sinx)，于是=(cosx)'⋅f'(sinx)+cosx⋅f''(sinx)⋅(sinx)'=cos2x⋅f''(sinx)-sinx⋅f'(sinx) (2) dydx22dydx=2xf(lnx)+xf'(lnx)=2f(lnx)+2f'(lnx)+f'(lnx)+f''(lnx)=2f(lnx)+3f'(lnx)+f''(lnx).dydx224．对下列方程所确定的函数y=y(x)求(1) ey+xy=e2；(2) ln解 (1)方程两边对x求导：yx=arctan.ey'+y+xy'=0y得 y'=-因此求得dydx22ye+xy.=-y'(e+x)-y(e⋅y'+1)(e+x)-yyyyyy2-yy(e+x)-y(e⋅(e+x)y2yy2y+1)=-=2xy+2ye-ye(e+x)y3；(2) 方程两边对x求导1x+y22(x+yy')=11+yx22xy'-yx2得 y'=因此求得dydx22x+yx-y.=(1+y')(x-y)-(x+y)(1-y')(x-y)2(x+y)(x-y)3222=- 9 -5．对下列参数方程所确定的函数y=y(x)求d2y： dx2 (1) ⎧⎪x=t2-2t⎨⎧x=a(t-sint).⎪⎩y=t3-3t(t≠1)； (2) ⎨⎩y=a(1-cost)解(1) dy)t2-33dx=y'(tx'(t)=32t-2=2(t+1).321)'故 dy(t+3； dx2=2t-2=4(t-1)(2) dy'(t)a(1-cost)'dx=yx'(t)==sint1-cost.a(t-sint)'(sint2)'故 dycostdx2=1-a(1-cost)cost(1-cost)-sint⋅sint2=(1-cost)a(1-cost)-1a(1-cost)2(t≠2nπ,n∈Z).6．求下列函数的n阶导数：(1) y=sin2x； (2) y=ln(x+1)； (3) y=1(4) x2； -1y=x(x+1)(x+2) (x+n). 解(1) (sin2x)(n)=(1-cos2xn)2)((1-cos2x)'=-12x)=-122⋅2(-sin2⋅2cos⎛π 2x+⎫⎝2⎪,⎭(1+cos2x2)''=-12⋅22⎡-sin⎛π⎫⎤1⎫⎢2⎛ππ⎣ 2x+⎝2⎪⎭⎥=-⋅2cos⎦2 2x++⎝22⎪,⎭(sin2x)(n)=(1+cos2x(n)nπ2)=-2n-1cos(2x+2)；(2) [ln(x+1)]'=1x+1[ln(x+1)]''=-1(x+1)2 ,[ln(x+1)](3)=2(x+1)3[ln(x+1)](n)=(-1)n-1(n-1)!(x+1)n； (3) y=11x2-1=12(x-1-1x+1), n故y(n)=(-1)n!⎡11⎤2⎢⎣(x-1)n+1-(x+1)n+1⎥;⎦(4) y=x(x+1)(x+2) (x+n)=xn+1+(1+2+ +n)xn+ - 10 -y(n)=(n+1)!x+n(n+1)2n!=(x+n2)(n+1)!复习题3（A）1．已知f'(x0)=k(k为常数)，则 (1) lim=;∆x1(2) limn[f(x0+)-f(x0)]=n→∞n∆x→0f(x0+2∆x)-f(x0)(3) limf(x0+h)-f(x0-2h)hf(x0+2∆x)-f(x0)∆xh→0= .1.解 (1)2k; (2) k; (3) 3k. (1) lim ∆x→0=2limf(x0+2∆x)-f(x0)2∆x∆x→0=2k;(2) limn[f(x0+n→∞1nf(x0+)-f(x0)]=limn→∞1)-f(x0)n=k; 1(3) lim=limf(x0+h)-f(x0-2h)h→0hf(x0+h)-f(x0)h=limnf(x0+h)-f(x0)+f(x0)-f(x0-2h)h-2hh→0h→0+2limh→0f(x0-2h)-f(x0)=3k.2．函数y=f(x)在点x0处的左导数f-'(x0)和右导数f+'(x0)都存在，是f(x)在x0可导的( )A. 充分必要条件；B. 充分但非必要条件；C. 必要但非充分条件；D. 既非充分又非必要条件. 2 ．答C. f(x)在x0可导的充分必要条件是f-'(x0)和f+'(x0)都必须存在且相等；反之，f-'(x0)和f+'(x0)都存在，不能保证f(x)在x0可导.3．函数f(x)=sinx在x=0处 ( A. 可导； C. 不连续；)B. 连续但不可导； D. 极限不存在.3．答B. 函数f(x)=sinx在x=0连续；但f-'(0)=-1≠f+'(0)=1，故f(x)=x在x=0不可导.4．设f(x)对定义域中的任意x均满足f(x+1)=mf(x)，且f'(0)=n则必有 ( )A. f'(1)不存在；B. f'(1)=m；C. f'(1)=n； 4．答D. f'(1)=limh→0D. f'(1)=mn.hf(1+h)-f(1)=mlimf(h)-f(0)hh=mf'(0)=mnh→0=limmf(h)-mf(0)h→05．解答下列各题： (1)设y=ln2，求y'；- 11 -(2) 设y=xa+ax+xx+aa(a>0,a≠1)，求dydx；(3)设y=x2⋅f(e2x)，f(u)可导，求dy；(4) y=，求dy；dx(5) 求曲线xy-sin(x+y)=0在点(π，0)的切线与法线方程;(6) 已知函数y=y(x)由方程⎧⎨x=acos3tdyd2y⎩y=asin3t 确定，求dx，dx2;(7) 设f'(sinx)=cos2x+cscx，求f''(x);(8) 设y=x3，求x+1y(n)(n≥3).25.解(1)y'='=2x2x⋅cot(2) y'=axa-1+axlna+(xx)' 由对数求导法，可求得(xx)'=xx(1+lnx) 故y'=axa-1+axlna+xx(1+lnx)；(3) dy=2xdx⋅f(e2x)+x2⋅f'(e2x)de2x=2xf(e2x)dx+x2⋅f'(e2x)⋅2e2xdx =2x[f(e2x)+xe2x⋅f'(e2x)]dx；(4)取对数 lny=1⎡2⎢xlnb+b(lna-lnx)+a(lnx-lnb)⎤⎣a⎥⎦两边求导 11⎛bbayy'=2 ln-+⎫⎝axx⎪⎭故y'=1⎛ba-b2 ln+⎫⎝ax⎪⎭(5) 两边求导y+xy'-cos(x+y)(1+y')=0 得y'=cos(x+y)-y，故1x-cos(x+y)y'(π，0)=-π+1 因此切线方程为 y=-1π+1(x-π),法线方程为y=(π+1)(x-π); (6) dy)3asin2t⋅costdx=y'(tx'(t)=3acos2t⋅(-sint)=-tant d2y(-tant)'-sec2tsec4tdx2=3acos2t⋅(-sint)=3acos2t⋅(-sint)=3asint；(7) 由f'(sinx)=cos2x+cscx=1-2sin2x+1sinx 知f'(x)=1-2x2+1x故f''(x)=-4x-1x2;- 12 -(8) y=y(n)x3x+1n+1=x-1+1x+13=x-x+1+21x+1=(-1)⋅n!n(x+1)(n≥3).⎧ax+b,x<16．设函数f(x)=⎨2 在x=1处可导，求a,b的值.x≥1⎩x,6．解：因可导必连续，所以lim-(ax+b)=lim+x=1,得a+b=1x→1x→12考察x=1处的左、右导数f-'(1)=lim-x→1f(x)-f(1)x-1f(x)-f(1)x-1=lim-x→1ax+b-1x-1=lim-x→1ax-ax-1=af+'(1)=lim+x→1=lim+x→1x-1x-12=2,所以，得到a=2,b=-1.7. 设函数g(x)在x=a点连续, 且f(x)=(x-a)g(x), 证明f(x)在x=a的可导，并求出f'(a).7.证:因g(x)在x=a点连续,故limg(x)=g(a)，x→a又limf(x)-f(a)x-ax-a故f(x)在x=a的可导，f'(a)=g(a) x→ax→a=lim(x-a)g(x)-0=limg(x)=g(a)x→a8．验证函数y=C11+C2e其中C1,C2为任意常数)满足方程4xy''+2y'-y=0.8．证：因y'=y''=-C1-C2e, (C1C1-C2e+14x+C2e故4xy''+2y'-y=4x⎢- ⎣+2C1(4C1e2x⎡C1-C2e+14x(C1+C2e⎤⎥⎦-C2e⎤⎥-C1⎦(+C2e=02x+9C2e-3x)+(2C1e-3C2e2x-3x)-6(C1e+C2e-3x)=0.（B）1. 设函数f(x)在x=0连续，下列命题错误的是( ) A. 若limB. 若lim f(x)xf(x)xx→0存在，则f(0)=0；存在，则f'(0)存在；x→0C. 若limf(2x)+f(x)xf(x)-f(-x)xx→0存在，则f(0)=0；存在，则f'(0)存在.D. 若limx→01.答：D.- 13 -A.正确，因为limf(0)=x→0f(x)xx→0存在，则limfx()=，0又f(x)在x=0连续，所以x→0limfx()；= 0f(x)B.正确，因为若limC.正确，因若limx→0x→0xf(2x)+f(x)xx→0存在，则f'(0)=limx→0f(x)-f(0)x=limf(x)x存在；x→0存在，x→0x→0则lim［f(2x)+f(x)］=limf(2x)+limf(x)=2f(0)=0,故f(0)=0； D.错，如f(x)=x, lim2. 若f(t)=limt(1+x→∞f(x)-f(-x)xx→02tx=0，但f'(0)不存在.1x)，则f'(t)= .1x)2tx2. (1+2t)e2t，f(t)=limt(1+x→∞=te,所以f'(t)=(te)'=(1+2t)e.f(1)-f(13x-)x=1，则曲线y=f(x)2t2t2t3．设周期函数f(x)在(-∞,∞)周期为3，且lim在点(4,f(4))的切线斜率为 . 3． -3，f'(4)=lim=limf(x+4)-f(4)x=-3limx→0x→0x→0=limf(x+1)-f(1)x=-3,x→0=-limf(1)-f(x+1)xx→0=f(1)-f(1-t)-tf(1)-f(1-x)x→04. 已知f(x)=3x(x-1)(x-2) (x-10)(x+1)(x+2) (x+10)f(x)-f(1)，求f'(1).(x-1)(x-2) (x-10)4. 解：f'(1)=limx-11-1⋅(-2) (-9)=- =lim=x→1(x+1)(x+2) (x+10) 110 2⋅3 9⋅10⋅11 x-1(x-2) (x-10)x→1=lim(x+1)(x+2) (x+10)x→15.设f'(a)存在，求limxf(a)-af(x)x-axf(a)-af(x)xf(a)-af(a)+af(a)-af(x)=lim5. 解：limx→ax→ax-ax-af(x)-f(a)=f(a)-alim=f(a)-af'(a)x→ax-ax→a.6.设f(x)=max{x6.解：f(x)=max{x，在区间(0，2)内求f'(x).0<x≤1, =1<x<2⎪⎩x,f(x)-f(1)x-1考察x=1处的左、右导数f-'(1)=lim-x→1=lim-x→1x-1=lim-x→1=12,- 14 -f+'(1)=lim+x→1f(x)-f(1)x-1=lim+x→1x-1x-1=1,所以，函数在x=1处不可导.故所求导数为：⎧⎪0<x<1' f(x)=⎨1<x<2⎪⎩1,7. 设函数g(x)在x=x0点连续, 且f(x)=x-ag(x), 讨论f(x)在x=x0的可导性. 7. 解：f'(x0)=limf(x)-f(x0)x-x0x→x0x→x0=limx-x0g(x)x-x0x→x0(1)若g(x0)≠0，则g(x0)limx-x0x-x0不存在，此时f(x)在x=x0不可导=0，此时f(x)在x=x0可导.(2)若g(x0)=0，则 f'(x0)=limx-x0g(x)x-x0x→x08. 验证下列命题：(1) 若定义在(-∞,∞)内以周期为T的周期函数f(x)可微，则f'(x)也是以周期为T的周期函数.(2) 若函数f(x)在(-a,a)内是可微奇(偶)函数，则f'(x)(-a,a)内必为偶(奇)函数. 8. 证: (1)因f(x+T)=f(x),又f'(x)=limf(x+h)-f(x)h→0f'(x+T)=limhf(x+T+h)-f(x+T)h,因此h→0=limf(x+h)-f(x)hh→0=f'(x)(2) 若函数f(x)在(-a,a)内是可微奇函数，则有f'(-x)=lim=limf(-x+h)-f(-x)hh→0=lim-f(x-h)+f(x)hh→0f(x-h)-f(x)-hh→0=f'(x),即证得：若函数f(x)在(-a,a)内是可微奇函数，则f'(x)(-a,a)内必为偶函数. 同理可证得：若函数f(x)在(-a,a)内是可微偶函数，则f'(x)(-a,a)内必为奇函数.9. 设函数f(x)可微，且f(x+y)=f(x)+f(y)-2xy，f'(0)=3，求f(x). 9. 解：由f(x+y)=f(x)+f(y)-2xy，令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0)，得f(0)=0f'(x)=lim=limf(y)yf(x+y)-f(x)yy→0=limf(x)+f(y)-2xy-f(x)yy→0y→0-2x=f'(0)-2x=3-2x22因此f(x)=3x-x+C(C为任意常数)，又f(0)=0则C=0，故f(x)=3x-x 10. 设在(-∞,∞)内函数f(x)有定义, 且f(0)=0，f'(0)=C(C≠0)，又g(x)=esinx+x2co, sx对任意x,y有关系式f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)成立，证明f'(x)=C⋅g(x)10. 证：f'(x)=limf(x+y)-f(x)yy→0=limf(x)g(y)+f(y)g(x)-f(x)yy→0- 15 -=f(x)limg(y)-1yyy→0+g(x)limf(y)yf(y)-f(0)y y→0=f(x)limg(y)-g(0)y→0+g(x)limy→0=f(x)g'(0)+g(x)f'(0) 又 g'(x)=exsin2x+exsin2x-sinx，得g'(0)=0 故f'(x)=C⋅g(x).- 16 -。
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第三章 导数与微分习题答案练习题3.11. 根据导数定义，求下列函数的导数： （1）12+=x y ，求1='x y 。
解：111|x x x y =→→'===（2）()ln f x x =，求()f x '。
解：()()100ln ln 1limlim ln 1xx x x x x x f x x x x∆∆→∆→∆+-∆⎛⎫'==+=⎪∆⎝⎭。
2. 求抛物线22y x =在点()2,8-处的切线方程和法线方程。
解：在()2,8-处的切线斜率为2|8x y =-'=-，法线斜率为18， 在()2,8-处的切线方程为88y x =--；法线方程为13384y x =+。
3. a 为何值时，2y ax =与ln y x =相切？解：设2y ax =与ln y x =在0x 相切，则有0020012ln ax x ax x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得 12a e =。
4. 试求出曲线1y x x=-与x 轴交点处的切线方程。
解：曲线1y x x=-与x 轴的交点为()1,0，()1,0-；切线斜率为1|2x y =±'=， 切线方程为()21y x =±。
5. 讨论()ln 1,10()01x x f x x +-<≤⎧⎪=<<在0x =处的连续性和可导性。
解：由于()0lim ln 10x x -→+=，0lim 0x +→=，(0)0f =，则()f x 在0x =处连续。
又()0ln 1(0)lim 1x x f x--→+'==，0(0)lim 1x f ++→'==，(0)(0)1f f -+''==， 所以 ()f x 在0x =处可导且'(0)1f =。
6. 讨论21,021,01()2,12,2x x x f x x x x x ≤⎧⎪+<≤⎪=⎨+<≤⎪⎪>⎩ 分别在0x =，1x =，2x =处的连续性与可导性，并求出()f x '。
解：在0x =处，0lim 11x -→=，()0lim 211x x +→+=，()01f =，故()f x 在0x =处连续。
又011(0)lim 00x f x --→-'==-，0211(0)lim 20x x f x ++→+-'==-，故()f x 在0x =处不可导。
在1x =处，()1lim 213x x -→+=，()21lim 23x x +→+=，()13f =，故()f x 在1x =处连续。
又()12131lim 21x x f x --→+-'==-，()21231lim 21x x f x ++→+-'==-，故()f x 在1x =处可导。
在2x =处，()22lim 26x x -→+=，2lim 2x x +→=，则()f x 在2x =处不连续，从而()f x 在2x =处不可导。
且 ()0,02,012,121,2x x f x x x x <⎧⎪<≤⎪'=⎨<<⎪⎪>⎩ 。
练习题3.21. 求下列函数的导数（其中,a b 为常量）：（1）101010lg 10xy x x =+++： 9110ln1010ln10x y x x '=++（2）(2)a b y u+=：()212a b y a b u+-'=+（3）3333x y x =+：249y x x'=- （4）3y =：153322225122y x x x x --'⎛⎫'=-=-- ⎪⎝⎭（5）2()(21)f t t t =-：2()62f t t t '=-（6）y =718878y x x -'⎛⎫'== ⎪⎝⎭2. 求下列函数在指定点的导数：（1）已知()ln 2cos 7f x x x x =+-，求2f π⎛⎫'⎪⎝⎭，()f π'。
解：1()2sin 7f x x x '=--，292f ππ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，1()7f ππ'=-。
（2）已知1()sin x x x ϕ=+，求2πϕ⎛⎫'- ⎪⎝⎭，2πϕ⎛⎫' ⎪⎝⎭。
解：21()cos x x x ϕ'=-+，2422ππϕϕπ⎛⎫⎛⎫''-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
练习题3.31. 求下列函数的导数：（1）2(23y x =+223326296x xa x x y +--'==（2）(log a y x =+：1y ⎛'== ⎝ （3）y =：y ''==（4）22sin sin xy x =：()22222sin 2sin 2cos sin sin x x x x x y x -'= （5）ln ln ln y x =：()11ln ln ln ln ln ln ln y x x x x x''=⋅=⋅ （6）ln tan 2x y =：21111tan sec csc 222sin tan tan 22x x y x x x x '⎛⎫'=⋅=⋅⋅== ⎪⎝⎭（7）21siny x x =：22111112sin cos 2sin cos y x x x x x x x x'=-⋅=- （8）2arcsin 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭：arcsin 2x y '=（9）y =21ln x y '+'==（10）2sin()()ax bx c g x e++=：()()2sin()2()cos 2axbx c g x eax bx c ax b ++'=⋅++⋅+（11）y =1111111222y x y y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤'''=⋅+=⋅++=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（12）()23sin cosy xx ⎡⎤=+⎣⎦：()()()233322cos cos ()cos sin 31y x x x x x x x '⎡⎤=-+⋅+⋅+⋅+⎣⎦2. 若函数()2()f x x a ϕ=，且()()1ln f x f x a'=⋅，求()x ϕ'。
解：()()()()()222()()()1ln 2ln 22ln f x fx f x x aa f x f x a a f x a f x aϕ''=⋅⋅=⋅⋅=⋅。
3. 证明：（1）可导的偶函数的导数是奇函数。
证明：设()f x 为偶函数且可导，则有()()f x f x =-，两边对x 求导，有()()()()1f x f x f x '''=-⋅-=--，即 ()()f x f x ''-=-，得证。
（2）可导的奇函数的导数是偶函数。
证明：设()f x 为奇函数且可导，则有()()f x f x -=-，两边对x 求导，有()()()1f x f x ''-⋅-=-，即 ()()f x f x ''-=，得证。
（3）可导的周期函数的导数是具有相同周期的周期函数。
证明：设()f x 为可导周期函数，周期为T ，则有()()f x T f x +=，两边再对x 求导， 得到()()f x T f x ''+=，得证。
4. 设()f x 在0x =处连续，且()limx f x x→=A （A 为常数），证明：()f x 在0x =处可导。
证明：由于()f x 在0x =处连续，则()()0lim 0x f x f →=，又因为()0limx f x x→=A ，极限存在，则必有()0lim 0x f x →=，即()00f =，从而()()()000limlim 0x x f x f f x x x→→-==A -，即()f x 在0x =处可导。
5. 求下列隐函数的导数：（1）3330x axy y -+=：()223330x a y xy y y ''-++=，22ay x y y ax-'=-（2）ln ln 0x y y x +=：ln ln 0y y y x y x y x''+⋅++=，2'2ln ln y xy y y x xy x --=+6. 利用对数求导法求下列函数的导数：（1）2y =)1ln 2y x y''=，ln 22122x y y x x +⎫'=+=⎪⎭（2）()()cos sin sin 0xy x x =>：()1cos ln sin y x x y''=⋅， ()()cos 1'22cos sin ln sin cos sin sin ln sin cos sin x x y y x x x x x x x x -⎛⎫=-⋅+=-⋅+ ⎪⎝⎭（3）y x =()()111ln ln 1ln 122y x x x y '⎡⎤'=+--+⎢⎥⎣⎦；()()1112121y y x x x ⎡⎤'=--⎢⎥-+⎣⎦ （4）21x y x=- ()()()112ln ln 1ln 3ln 32y x x x x y '⎡⎤'=--+--+⎢⎥⎣⎦()21111233y y x x x x ⎡⎤'=+--⎢⎥--+⎣⎦7. 求下列函数的高阶导数： （1）()2ln 1y x =-，求y ''。
解：221xy x '=--，22222(1)x y x --''=-。
（2）()2y f x b =+，求y ''。
解：()22y f x b x ''=+⋅，()()()()2222222242y xf x b x f x b x f x b f x b ''''''''=+⋅++=+++。
（3）arcsin y x =，求y ''。
解：y '=，y ''=（4）22arctan1xy x=-，求y ''。
解()()()2222222222222112224211214111x x x x y x x x x x x x '--+⎛⎫'=⋅=⋅= ⎪-+⎝⎭⎛⎫-+-+ ⎪-⎝⎭ ()241xy x ''=-+。