高等数学 第一节 不定积分的概念与性质

⌠ 1+ x = dx ⌡ 1 − x2 ⌠ 1 ⌠ −x = d x − dx 2 2 ⌡ 1− x ⌡ 1− x
= arcsin x − 1 − x 2 + c
12
c − 任意常数 .
( f ( x)在区间I 上的导数恒为0 ⇐ f ( x) 在区间I 上为一常数. ) ⇒
∴ G( x ) = F ( x ) + c .
由 G ( x ) 的任意性 , ⇒ F ( x ) + c 是 f ( x ) 的全体原函数 .
3
定义 1. 在 x 的一个区间内 , 如果 :
dx = ln | x | + c . ∫x
x 3dx = 1 ∫ 4 x 3dx = 1 x 4 + c . ∫ 4 4 (e x − tan x sec x ) dx = e x − sec x + c . ∫
例1中应用了不定积分如下 性质 :
1.
2.
证2 .
(∫ [ f ( x ) ± g( x )]dx )′ = f ( x ) ± g( x ) , ′ ′ ′ (∫ f ( x ) dx ± ∫ g( x ) dx ) = (∫ f ( x ) dx ) ± (∫ g( x ) dx )
1 dx = ln x + c ( x ≠ 0) x
14 .
4.
⋯⋯ 13 . ∫ a x dx = 1 a x + c ln a
1 dx = arctan x + c ∫ 1+ x 2 ⋯⋯
∫ sh x dx = ch x + c
15.
⌠ 1 *补充: 16. dx = arsh x + c = ln x + x2 +1 + c ⌡ x2 +1 ⌠ 1 17. dx = arch x + c = ln x + x2 −1 + c ⌡ x2 −1 ⌠ 1 dx = th x + c 18 . 2 8 ⌡ ch x
证明 . 显然 , F ( x ) + c 是 f ( x )的原函数 . 其次 , 在 f ( x )的原函数中任取 G ( x ) ,
则 [G ( x ) − F ( x )]′ = G ′( x ) − F ′( x ) = f ( x ) − f ( x ) = 0 .
∴ G( x ) − F ( x ) = c
∫ ch x dx = sh x + c
(
(
)
)
⌠ 1 例 3. dx = ∫ x 3 ⌡x x x
−
5 3
dx =
+c = −3 x 2 − 5 +1 3
x
− 5 +1 3
−2 3
+c .
1 ⌠ 例 4 . 3 sin x − + 4 dx 5 x ⌡
= 3∫ sin x dx − 1 ⌠ x 5⌡
∫ − 积分号 , (拉长的s) ;
f ( x ) dx − 被积表达式 ;
例如 .
∫ cos xdx = sin x + c .
c − 任意 常数,叫 做积分 常数.
存在定理 . 区间I 上的连续函数一定有原 函数.
(以 证 ) 后 明
4
例1 .
sec 2 x dx = tan x + c . ∫
′
← 求导和不 − 定积分互为 运算. 逆
∫ f ′( x ) dx = ∫ d f ( x ) = f ( x ) + c .
7
基本微分公式可直接转成基本积分表 : ( p 186 , 15条)
1.
3.
∫ kdx = kx + c
∫
2.
x µ dx = 1 x µ +1 + c ( µ ≠ −1) ∫ µ +1
高 等 数 学 PPT 课件
(
第 四 章
)
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第一节 不定积分的概念与性质
微分 : d [ ln(1 + x ) ] = 1 d x . 1+ x
1 的原函数 1+x
ln(1+ x)的微分
P 182 −
ln(1+ x)的导函 数 ( )
逆运算 :
1 d x = ln (1 + x ) + c . ∫ 1+ x
F ′( x ) = f ( x )
或
dF ( x) = f ( x) d x .
则称在这个区间上 F ( x ) 是 f ( x ) 的原函数 . 定义 2 . 在区间 I 内 f ( x ) 的全体原函数叫做 f ( x ) 的
不定积分 , 记为
∫ f ( x)dx .
f ( x ) − 被积函数 ; x − 积分变量 .
= f ( x ) ± g( x ) ,
∫ k f ( x)dx = k∫ f ( x)dx . ( k −常数) ∫[ f ( x) ± g( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g( x)dx .
∴
2 式两端同是 f ( x ) ± g ( x ) 的全体原函数 .
5
例 2 . 已知曲线过点 ( 0 , 0 ) , 曲线上点 ( x , y ) 处的切线斜率
⌠ = 1 − 1 − 22 dx = ∫ dx − ⌠ 1 dx − 2⌠ 12 dx x x x ⌡ ⌡ ⌡x = x − ln | x | + 2 + c . x
2 x + x3 + c . 例 6 . ∫ ( 2 + x ) dx = ∫ 2 dx + ∫ x dx = ln 2 3
x 2 x 2
例7.
tan 2 x dx = ∫ (sec 2 x − 1) dx ∫
= ∫ sec 2 x dx − ∫ dx = tan x − x + c .
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⌠ ⌠ 例 8 . sin 2 x dx = 1 − cos x dx 2 2 ⌡ ⌡
= ∫ 1 dx − 1 ∫ cos x dx 2 2
注意 :
∫ f ( x ) dx = F ( x ) + c
( 上面左式两端积分 )
∫ d F ( x) = F ( x) + c ,
d ∫ f ( x )dx = f ( x ) dx ,
d f ( x ) dx = f ( x ) , 右式两端微分 ) dx( ∫
( ∫ f ( x ) dx ) = f ( x )
说明 . ln(1 + x ) 的导函数是唯一的 , (极 如果存 , 必 限 在 唯一. )
1 的原函数不唯一 , 1+ x
对于任意常数c , ln(1+ x) + c 都是 1 的原函数. 1+x 并且, ln(1+ x) + c 是 1 的全体原函数. 1+x
2
定理1 设F( x)是 f ( x) 在区间I 上的 一个原函数, 则F( x) + c是 f ( x) 在区间I 上的全体原函数.
∴
所求曲线方程为 y = e x − 1 .
#
注 . 曲线族 y = e x + c 称为 e x 的积分
曲线 , 这是一族"平行"的曲线 .
(由一条曲线平移而得. )
6
计算不定积分是微分的 逆运算 , 也是求导数的逆运算 ,
∫ 和 d 是两个互逆的算子 :
d F ( x ) = f ( x ) dx ⇒
= x − 1 sin x + c 2 2
1 *. ⌠ 例9 dx = ar sh x + c 2 ⌡ x +1
= ln x + x 2 + 1 + c .
11
(
)
⌠ 1+ x (1 + x ) 2 dx 例 10 . ⌠ d x = ⌡ 1− x ⌡ (1 − x ) (1 + x )
−1 2
dx + ∫ 4dx
1 1 ⋅2x 2 + c + 4x + c = −3 cos x + c1 − 2 3 5 = −3 cos x − 2 5 x + 4x + c .
9
( x + 1)( x − 2) ⌠ x2 − x − 2 例 5. ⌠ dx = dx 2 2 ⌡ x x ⌡
k = e x , 求此曲线的方程 .
解 . 设所求方程为 y = F ( x )
则 F ′( x ) = e x , 即 F ( x ) 是 e x 的一个原函数 .
F ( x ) = ∫ e x dx = e x + c , y = ex + c ,
又因为曲线过 ( 0 , 0 ) 点 , 所以 0 = e 0 + c , ⇒ c = −1 .