第1章误差传播定律
28误差传播定律及其应用
误差传播定律及其应用一、误差传播定律前面已经叙述了衡量一组等精度观测值的精度指标，并指出在测算工作中通常以中误差作为衡量精度的指标。
但在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来。
例如，要测量不在同一水平面上两点间的距离D，可以用光电测距仪测量斜距S，并用经纬仪测量竖直角α，以函数关系来推算，显然，在此情况下，函数D的中误差与观测值S及α的中误差之间，必定有一定的关系。
阐述这种函数关系的定律，称为误差传播定律。
下面以一般函数关系来推导误差传播定律。
设有一般函数：（5-3-1）式中：（χ1、χ2、…、χn）为可直接观测的未知量；Z为不便于直接观测的未知量。
设独立观测值为ℓi，其相应的真误差为∆χi。
由于∆χi的存在，使函数Z亦产生相应的真误差∆Z。
将式（5-3-1）取全微分：因误差∆χi及∆Z都很小，故在上式中，可近似用∆χi及∆Z代替dχi及d Z，于是有：（5-3-2）式中：为函数F对各自变量的偏导数。
将χi=ℓi代入各偏导数中，即为确定的常数，设则式（5-3-2）可写成：（5-3-3）为了求得函数和观测值之间的中误差关系式，设想对各χi进行了k次观测，则可写出k个类似于式（5-3-3）的关系式：将以上各式等号两边平方后，再相加得：上式两端各除以k：（5-3-4）设对各χi的观测值ℓi为彼此独立的观测，则∆χi∆χj当i≠j时，亦为偶然误差。
根据偶然误差的第四个特性可知，式（5-3-4）的末项当κ→∞时趋近于零，即：故式（5-3-4）可写成：根据中误差的定义，上式可写成：当κ为有限值时，可写为：（5-3-5）即：（5-3-6）上式即为计算函数中误差的一般形式。
应用上式时，必须注意：各观测值必须是相互独立的变量，而当ℓi为未知量χi的直接观测值时，可认为各ℓi之间满足相互独立的条件。
式（5-3-6）就是一般函数的误差传播定律，利用它不难导出5-3-1所列简单函数的误差传播定律。
误差传播定律常用公式
误差传播定律：从公式到实际应用误差传播定律是应用于科学与工程领域的重要概念。
其核心是描述当测量结果与理论值之间存在差异时，如何通过合适的计算方法将误差从源头逐步传递下去，以便准确评估最终结果的可靠程度。
本文将详细介绍误差传播定律的常用公式，以及如何在实际应用中灵活运用。
首先，需要明确的是误差传播定律虽然表面上看起来比较抽象，但实际上有着非常直观的物理意义。
比如，在测量物体长度时，由于测量工具本身存在一定的误差，即仪器本身的精度，因此无论使用何种测量方法，都不可能达到绝对精确的结果。
此时，误差传播定律的作用就在于帮助我们分析和计算误差的来源及其对结果的影响。
在具体的计算中，误差传播定律通常使用多种公式来描述不同情况下的误差传递方式。
以下是常用的几种公式：1.基本误差传播公式：假设有一系列变量x1，x2，…，xn，每个变量的测量误差分别为d1，d2，…，dn。
则它们的函数y=f（x1，x2，…，xn）的测量误差为：delta y = sqrt（（delta f1/dx1）^2（delta x1）^2 +（delta f2/dx2）^2（delta x2）^2 + … + （delta fn/dxn）^2（delta xn）^2）其中，delta f1/dx1表示函数f对变量x1的偏导数，delta xi表示变量xi的测量误差。
2.一元函数误差传播公式：当只有一个自变量x和一个因变量y时，它们的误差传播公式为：delta y = abs（f’（x））* delta x其中，f’（x）表示y=f（x）的导数。
3.复合函数误差传播公式：对于多元函数复合的情况，误差传播公式为：delta y = （dy/dx1）^2（delta x1）^2 + （dy/dx2）^2（delta x2）^2 + … + （dy/dxn）^2（delta xn）^2其中，dy/dxi表示y关于xi的偏导数。
总之，误差传播定律在科研和工程实践中都有着广泛的应用。
计算方法-刘师少版第一章课后习题完整答案
分， 试给出此递推公式误差的传播规律， 计算 I 10 时误差被放大了多少倍？这个算法是数值稳定的 吗？ 解： I =
∫x
0 1 0
1
n
e x −1 dx ， n = 0,1,2,L,10 ，由分部积分法有
1 0
n −1 x −1 I n = ∫ x n e x −1 dx = x n e x −1 1 e dx 0 − n∫ x
er ( x n ) =
e( x n ) nx n −1 ( x − x * ) x − x* = = n = n ⋅ er ( x) = αn% x xn xn
x n 的相对误差为 an%
1.10 设 x＞0，x 的相对误差为 δ ，求 ln x 的误差。 解： e(ln x) ≈
1 ( x − x * ) = er ( x) = δ x
N +1
N
1 dx = arctan( N + 1) − arctan N 1+ x2 1 = arctan 1 + N ( N + 1) 1 2 gt ，假定 g 是准确的，而对 t 的测量有±0.1s 的误差，证明当 t 增加时，s 的绝对误差 2
1.12 设 s =
增加，而相对误差减少。 解：由题意知， e( s ) = s − s = gt (t − t ) = gt ⋅ e(t ) = 0.1gt
5
计算方法
于是
* * * * e( I 10 ) = −10e( I 9 ) = 10 ⋅ 9e( I 8 ) = L = 10!e( I 0 )
计算 I 10 时的误差被扩大了 10 倍，显然算法是数值不稳定的 1.14 设 f ( x) = 8 x − 0.4 x + 4 x − 9 x + 1 ，用秦九韶算法求 f (3)
误差传播定律
测值中误差乘积的平方和的平方根。
例4：已知矩形的宽x=30m,其中误差mx=±0.005m,矩形的长y=50m, 其中误差my=±0.008m,计算矩形面积S及其中误差ms。
解：矩形面积 S=xy 由题意：求各观测值偏导数： f y
x
f x y
mz
(
f X 1
)2
m12
(
二、和或差的函数
设和或差函数为： z x y
即： mz
m
2 x
m
2 y
式中：Z为x、y的和或差的函数；x、y为独立观测值；mx、my为x、y的
中误差，mZ为Z的中误。
结论：两观测值代数和或差的函数中误差等于两观测值的中误差的 平方和的平方根。
z x1 x2 xn
即：
mz
(
f X 1
)2
m12
(
f X 2
)2
m
2 2
(
f X n
)2
m
2 n
式中:xi (i=1，2…n)为独立观测值；已知其中误差为mi(i=1 2…n)， mz为z的中误差；xf（i i=l，2…n）是函数对各个变量所取的偏导数。
结论：一般函数中误差等于按每个观测值所求的偏导数与相应观
阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，就称为误差传播定律。
一、倍数函数
设倍数函数为：zm2 z kk x2mx2
即：mz kmx
式中：Z为观测值X的函数（也就是未知量的间接观测值）；K为常数；X为 直接观测值；mx为X的中误差；mZ为Z的中误差。
结论：倍数函数的中误差（观测值与常数乘积的中误差），等于 观测值中误差乘常数。
4第四讲误差传播定律(精)
误差传播定律在实际工作中有许多未知量不能直接观测而求其值，需要由观测值间接计算岀来。
例如某未知点B的高程H B，是由起始点A 的高程比加上从A点到B点间进行了若干站水准測量而得来的观測高差h】……厲求和得出的。
这时未知点B的高程H。
是各独立观测值的函数。
那么如何根据观测值的中误差去求观测值函数的中课差呢？阐述观測值中谋莖与观测值函数中谋差之间关系的定律，称为误差传播定律。
1、和差函数设有函数：z=x±yZ 为x 、y 的和或差的函数，x 、y 为独立观测值，已知其中课差为 m& m y ,求Z 的中泯差mz 。
设x 、y^z 的真课差分别为亠、△舟亠则 A. =△、+△、, 若对x 、y 均观测了n 次，则(2 1,2……对将上式平方，得= A 2.… + △［讨 ±2A r A v ,(i = 1,2……n)由于亠、亠均为假然误差，其符号为正或负的机会相 同，因为Ay 为独立误差，它们出现的正・负号互不相 关，所以其乘积亠Ay 也具有正负机会相同的性质，在求 ［心］时其正值与负值有互相抵消的可能；当n 愈大时， 上式中最后一项［g ］ /n 将趋近于零，即 lim lA r A r l 1 - ^ = 0/? —>oo n将满足上式的误差A 禺为互相独立的误差，简称独立 误差，相应的观测值称为独立观測值。
对于独立观测值来说， 即使n 是有限量，由于 罰 式残存的值不大，一般就 观测值的函数求和，并除以n,得k J =忽视它的影响。
根据中谀療是义；得两观测值代数和的中谋差平方，等于两观测值中误差的平方之和。
当z是一组观测值X】、兀…％代数和（差）的函数时，即Z = X}±X2^^^±X n可以得出函数Z的中误差平方为7H：= 〃彳+加；+・・・+加［Z X| x2 xn结论：n个）WU值代数和（差）的中谋差平方，等于n个观灣值中误差平方之和。
11第十一讲 误差传播定律
因为 x
L1 n
L2 n
xX
…
Ln n
称为算术平均值，是 未知量的最或然值
m mx n
算术平均值的中误差为 1 观测值的中误差的 n 倍
二、误差传播定律及应用
1、算术平均值及其中误差
同精度观测值中误差公 式： m
观测值改正数为： vi x Li
n i Li X
函数名称 倍数函数 和差函数 函数式
z kx
函数的中误差
mz kmx
2 2 2 mz m1 m2 mn
z x1 x2 xn
线性函数 z k1x1 k2 x2 kn xn 一般函数
Z f ( x1 , x2 , xn )
1,2n)
k 2 2x (i 1,2n)
2 z
z k x (i 1,2n) i i
n n
(4 )转换为中误差关系式 即m 2 k 2 m 2 z x 观测值与常数乘积的中误差， m z km x 等于观测值中误差乘以常数
2、和或差的函数
应用倍数函数、和差函数的误差传播定律可得
2 2 2 2 2 2 2 m z k1 m1 k 2 m 2 k n m n
4、一般函数（非线性函数）
设有函数z=f( x1, x2, xn ) xi 为独立观测值
已知m xi m z ?
(1)求偏导真误差的关系式为：
f f f z x1 x2 xn x1 x 2 x n
令x x X
2
vv
2
n
n
x 2
x 2
误差传播定律 (2)
mZ2
f x1
2 0
m12
f x2
2 0
m22
...
f xn
2
mn2 0
6
例题一：对某一个量进行n了 次等精度观测，设每次观测量的中误差m
为 ，求其算术平均值的中误差。 解：第一步，列函数关系式
x l1 l2 ... ln n
7
第二步，运用误差传播定律：
2
2
2
mZ2
f x1
m12 0
1. 非线性函数的一般表达式:
Z f x1, x2 ,..., xn
式x中1 x2 ， x，n …， 为独立观测值，相
应的中m1误差m2为
、mn 、… 、
。
4
2. 非线性函数的中误差的计算步骤
是：
1)
dZ
非 (线xf性1 )0函dx数1 的(线xf2 性)0 d化x2
...
(
f xn
)0
dxn
(
f xi
)0
dxi
表示函数 Z 对各个变量取偏 导数，并以 xi (i 1,2,..., n) 的近似 值（观测值）代入计算所得至的数 值，它们都是常数。
5
全微分表达式的系数项是函 数对各自变量的偏导数，并以变量的 近似值（观测值）代入，其值为确定 的常数。非线性函数线性化后，可运 用误差传播定律的一般形式：
f x2
m22 0
...
f xn
0 mn2
则：
mx2
1 n2
m12
1 n2
m22
...
1 n2
mn2
即：
mx
m n
vv
nn 1
8
例题二：设有函数关系式
误差传播定律——观测值函数的中误差
误差传播定律 ——观测值函数的中误差
1. 误差传播定律的定义 在实际工作中，某些未知量不能直接观
测而求得，而是需要用观测值间接求得， 如HB=HA+∑h中，HB是独立观测值 h1,h2,…,hn的函数，那么就需要由观测值 的中误差求出函数的中误差。 定义：阐述观测值中误差与观测值函数中误 差之间关系的定律，称为误差传播定律。
推导:
zz
N
k12
x1x1
N
k22
x2x2
N
kn2
xnxn
N
2
nn
j 1 i 1
ki
kj
xix j N
i j
………………………（5）
可以证明，当i≠j时，独立观测量xi,xj的随 机误差△xi,△xj之乘积△xi·△xj也表现
为随机误差的性质。依据随机误差的抵偿
性有
lim
N
ki
k
j
i j
2
误差传播定律 ——观测值函数的中误差
2. 一般函数误差传播定律 分别设为有m独x1 , m立x2观,测, m值xn x1,x2,…,xn，其中误差
现有函数 z f (x1, x2,, xn ) …（1）
求函数值z的中误差mz。
推导
3
误差传播定律 ——观测值函数的中误差
z f (x1, x2 ,, xn )
则有
mz2
k12
m2 x1
k22
m2 x2
kn2
m2 xn
z f ( x1, x2 ,, xn )
mz2
k12
m2 x1
k22
m2 x2
kn2
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2017/3/9
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第一章 观测误差及其传播
§1-3偶然误差的规律性
二、偶然误差的表示方法
1. 表格法：见上页 2. 直方图：以横坐标表示误差的大小，纵坐标代表各区间内误差出现的频率除以 区间的间隔值，每一误差区间上的长方条面积就代表误差出现在该区间内的频率。 3. 误差分布曲线：在n无限大时，如果把误差区间间隔无限缩小，左图中各长方 条顶边所形成的折线将变成右图所示的光滑曲线。这种曲线也就是误差的概率分 布曲线，或称为误差分布曲线。
i 180 ( L1 L2 L3 )i
将计算的真误差按大小和符号列于下表：
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第一章 观测误差及其传播
§1-3偶然误差的规律性
误差的 区间″
0.00-0.20
Δ 为 负 值
个数vi 频率vi/n
vi / n d
Δ 为 正 值
个数
vi
频率 vi / n
0.20-0.40
观测误差及其分类
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第一章 观测误差及其传播
§1-3偶然误差的规律性
一、真值与真误差
1.真值 任何一个被观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小的数值。这一数 ~ 表示真值。 值就称为该观测量的真值。通常用 L 2.真误差 ~ ~ ~ L 设进行了n次观测，各观测值为L1、 L2、…、Ln，真值为 ， 1 、 L2 Ln ，， 每一个观测值的真值与观测值之间必存在一个差数，称为真误差，即： ~ i Li Li (1-3-1） 用向量表示： ~ ~ ~ L L1 L2
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第一章 观测误差及其传播
§1-3偶然误差的规律性
三、偶然误差的概率分布密度函数
1 f ( ) e 2 2 2
式中 为中误差。当上式中的参数确定后，即可画出它所对应的 误差分布曲线。由于 E () 0 ，所以该曲线是以横坐标为 0处的 纵轴为对称轴。当 不同时，曲线的位置不变，但分布曲线的形 状将发生变化。偶然误差Δ是服从 N (0, 2 ) 分布的随机变量。
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第一章 观测误差及其传播
§1-2 观测误差及其分类
在同一量的各观测值之间，或在各观测值与其理论上的应有值之间存在差异的现象 ，在测量工作中是普遍存在的，这是由于观测值中包含有观测误差的缘故。
一、观测误差产生的原因
1．测量仪器 2．观测者 3．外界条件： 测量仪器、观测者、外界条件三方面的因素是引起误差的主要来源。通常把 这三方面的因素合起来称为观测条件。 观测条件好---误差小----观测成果质量高。反之亦然。 如果观测条件相同，观测成果的质量也就可以说是相同的。 不管观测条件如何，测量中产生误差是不可避免的。
，，
0.40-0.60 0.60-0.80 0.80-1.00 1.00-1.20 1.20-1.40 1.40-1.60 1.60以上
45 40 33 23 17 13 6 4 0 181
0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011 0.000 0.505
备注
0.575
=0.02″
0.225 间左端 3. 绝对值相等的正负误 0.180 值的误 差出现的概率相同。 0.070 差算入 4. 偶然误差的数学期望为 0.030 零，即： 该区间 0.000
和
内。 E () E ( E ( L) L) E ( L) E ( L ) 0
附有条件的条件平差。介绍平差计算的基本原理和相应
的精度评定方法。 4、误差椭圆（第六章） 5、测量平差的统计假设检验方法（第七章） 6、近代平差理论简介。
2017/3/9 第一章 观测误差及其传播 3
学习本课程必须具备的基本理论知识
《高等数学》、《线性代数》、 《概率论与数理统计》、 《现代测量学》等。
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第一章 观测误差及其传播
Hale Waihona Puke 预 习1.§1-42.§1-5
精度和衡量精度的指标
协方差传播律及其应用
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第一章 观测误差及其传播
作 业
无
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第一章 观测误差及其传播
上节内容回顾
1. 观测值都是含有误差的，测量误差分为系统误差和偶 然误差，除此之外还有粗差； 2. 测量平差所处理的观测值是仅含有偶然误差的观测值； 3. 偶然误差服从正态分布，且具有四个规律特性； 4. 测量平差的两大任务：求出观测量的最可靠结果，评 定测量成果的精度。 5. 偶然误差的数学期望（真值）为零。
授课周数：1-14周 周学时 ：6学时 总学时 ：84学时 最后进行闭卷考试。
2017/3/9 第一章 观测误差及其传播 2
本课程的主要内容
1. 误差及误差传播理论（第一章） 2. 平差模型的建立、最小二乘原理（第二章） 3. 测量平差基本方法（第三、四、五章）包括条件平差、 间接平差、附有参数的条件平差、附有条件的间接平差、
《误差理论与测量平差基础》
The theory of errors and adjustment of observations foundation
学时： 64学时
主讲： 魏峰远
河南理工大学测量工程系 2005年2月
2017/3/9 第一章 观测误差及其传播 1
本课程的任务
本课程的主要任务是讲授测量平差的基本理 论和基本方法，为进一步学习和研究测量数据处 理奠定基础。
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第一章 观测误差及其传播
§1-4精度和衡量精度的指标
二、衡量精度的指标
1. 方差和中误差
误差Δ的概率密度函数为： f ( )
2 2
1 2
e
2 2 2
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第一章 观测误差及其传播
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学习方法
课程特点：
公式多、计算量大，所需数学知识多，比较枯燥 学习方法：
复习测量学、线性代数、高等数学、概率论及数 理统计等课程知识，
对本课程的知识要通过预习-----听课----复习----完 成作业---编写计算机程序 等步骤来掌握所学知识。
2017/3/9
0.063 0.560 0.460 0.320 0.235 0.180 0.085 0.055 0.000
46 41 33 21 16 13 5 2 0 177
0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0.000 0.495
1. 在一定的观测条件下， 误差的绝对值有一定的 vi / n d 限值，或者说，超出一 定限值的误差，其出现 0.064 d 的概率为零。 2. 绝对值较小的误差比 0.460 绝对值较大的误差出现 0.295 的概率大。 等 于 区
观测误差及其分类
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第一章 观测误差及其传播
§1-2
三、误差处理措施
观测误差及其分类
错误的存在不仅大大影响测量成果的可靠性，而且往往造成返工浪费，给工 作带来难以估量的损失，必须采取适当的方法和措施，保证观测结果中不存在错 误。 系统误差对于观测结果的影响一般有累积的作用，它对观测成果的质量影响 也特别显著。在实际工作中，应该采用各种方法来消除或减弱系统误差对观测成 果的影响，达到实际上可以忽略不计的程度。 当观测序列中已经排除了系统误差的影响，或者说系统误差与偶然误差相比 已处于次要地位，即该观测序列中主要是存在着偶然误差。对于这样的观测序列， 就称为带有偶然误差的观测序列。这样的观测结果和偶然误差便都是一些随机变 量，如何处理这些随机变量，是测量平差这一学科所要研究的内容。
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第一章 观测误差及其传播
4
参考文献
1. 测量平差， 中国矿业大学出版社 ，2005年 2. 误差理论与测量平差基础，武汉大学出版社，2003年 3. 测量平差基础，测绘出版社，1996年 4. 测量平差基础，测绘出版社，1981年
5. 测量平差通用习题集，武汉测绘科技大学出版社，1999。 6. 观测与最小二乘法，测绘出版社，1984。 7. Observations and Least Squares, E.M.MIKHAIL, New York, 1976. 8. 近代平差理论及其应用，解放军出版社，1992年
2
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第一章 观测误差及其传播
小 结
1. 观测值都是含有误差的，测量误差分为系统误差和偶 然误差，除此之外还有粗差； 2. 测量平差所处理的观测值是仅含有偶然误差的观测值； 3. 偶然误差服从正态分布，且具有四个规律特性； 4. 测量平差的两大任务：求出观测量的最可靠结果，评 定测量成果的精度。 5. 偶然误差的数学期望（真值）为零。
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第一章 观测误差及其传播
§1-2
四、测量平差的任务
由于观测结果不可避免地存在着偶然误差的影响，在实际工作中，为了提高 成果的质量防止错误发生，通常要使观测值的个数多于未知量的个数，也就是要 进行多余观测。 由于偶然误差的存在，通过多余观测必然会发现在观测结果之间不相一致， 或不符合应有关系而产生的不符值。因此，必须对这些带有偶然误差的观测值进 行处理，消除不符值，得到观测量的最可靠的结果。由于这些带有偶然误差的观 测值是一些随机变量，因此，可以根据概率统计的方法来求出观测量的最可靠结 果，这就是测量平差的一个主要任务。测量平差的另一个主要任务是评定测量成 果的精度。
第一章 观测误差及其传播
6
第一章 观测误差及其传播
§1-1
测量平差的基本任务
概述
1. 处理一系列带有偶然误差的观测值，求出未知量的最可靠值 （也称为平差值、最佳估值、估值、最或是值、最或然值等）。