3.1.1方程的根与函数的零点(1)

x
(4)函数
）
探究二
-1 <
5
-4
3
<
有 有 有
< < <
零点存在定理：
y
O
a
c
b
x
如果函数 y f ( x) 在区间 a, b 上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有 f (a) f (b) 0 ， 那么， 函数 y f ( x) 在区间 a , b 内有零点，
即存在 c a, b ，使得 f (c) 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x) 0 的根.
例1：函数 f ( x) x 3x 3 有零点的区间是( D )
3
A、(-1,0) C、(1,2)
B、(0,1) D、(2,3)
探究一
二次函数
二次方程 判别式 二次方程 根的情况
y ax2 bx c(a 0) ax2 bx c 0(a 0)
0
两个不相等的实 数根x1 、x2
f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点. （ ）
y
O
a
b
x
(3)已知函数y=f(x)在区间[a,b]满足f(a)·f(b)<0，
则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（
y
）
a O
b
x
1、函数零点的概念 2、等价关系 3、零点存在性定理
思考：根据以上探索，你能得出什么结论？ 若函数在某区间内存在零点，则函数在该区间 上的图象是 连续 （间断／连续）；含零点的某一 较小区间中以零点左右两边的实数为自变量，它们 各自所对应的函数值的符号是 相异 （相同／互异）
（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]满f(a)·f(b)<0，则f(x)在
区间(a,b)内存在零点.（
）
解：（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且 f(a)·f(b) < 0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一 个零点. （ ）
y
a O b x
（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且
y
0
有两个相等的 实数根x1 = x2= x0
y
0
没有实数根
y
二次函数的 图像 ( a 0)
x1
0
x2
x
0 x0
x
0
x
图象与 x 轴 的交点
(x1,0) , (x2,0)
(x0,0)
没有交点
思考：方程的根与函数图象与x轴的交点坐标有什么关系？
辨析练习：
判断下列说法的正误： 1、函数
y x 1 有零点 x 1 。
例： 已知函数 f ( x) ln x 2 x 6的图像是连续的，根 据下表给出的函数值，试确定函数零点所在区间。
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f ( x) -4.0 -1.3 1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2
你能进一步确定函数 f ( x) 零点的个数吗？
f ( x) ln x 2 x 6
思考:判断正误，若不正确，请使用 函数图象举出反例。
(1)已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)&l点.（ ）
(2)已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，f(a)·f(b)≥0，则 f(x)在区间(a,b)内没有零点.（ ）
探究一
预习自测
1、根据下列函数的图像，判断下列函数是否存在零点：
y
y
y
o
x
o
x
o
x
(1)
(2)
(3)
2、判断下列说法的正误： (1)函数
y x 1有零点 x 1 。
（
）
(2)函数 y x 2 (3)函数
2
（ ） 2x 3的零点是 (1,0) ，(3,0) 。
）
y x 2x 3 的零点是-1 和3 。（ y 2 有零点为0。 （
第三章
3.1
函数的应用
函数与方程
长春市朝鲜族中学 权美英
车瑞元
苏彦达
文星姬
俞成明
零点是一个点吗？
函数的零点：
对于函数 y f ( x)使 f ( x) 0 的实数 x 叫做函数 y f ( x) 的零点。
等价关系： 方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图像与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
2
（
）
2、函数y x
（ ） (3,0) 。 2x 3的零点是 (1,0) ，
3、函数 y x
2
2x 3的零点是-1 和3 。（
）
1 4、函数 y 有零点为0。 （ x
y
）
o
x