03 第三节 分部积分法
第3节 分部积分法
1 所以 sec xdx (sec xtanx ln sec x tanx ) C . 2
3
34
高等数学
●
戴本忠
17
1 例10 求 I n 2 2 n dx , 其中 n 为正整数 . (x a ) 解 当 n 1 时, 根据分部积分法 1 ( x 2 a 2 ) n 1 dx
高等数学
●
戴本忠
例9 解
求 sec 3 xdx .
3 sec xdx sec xdtan x
(tan x)sec2x (sec x)secxtanx
sec xtanx sec xtan 2 xdx sec xtanx sec x (sec 2 x 1)dx sec xtanx sec 3 xdx sec xdx sec xtanx ln sec x tanx sec 3 xdx .
●
戴本忠
10
例2
解
求 xe x dx .
令 u x, dv e dx,
x
那么 du dx, v e x .
x x x x x x x e d x x e e d x x e e C e ( x 1) C .
例3 解
求 x 2e x d x .
1 x 2 arctan x 1 x 2 d(arctan x )
1 x arctan x
2
34
1 1 x 2 dx 1 x
2
高等数学
●
戴本忠
21
1 x arctan x
2
1 dx 2 1 x 令 x tan t
第三节不定积分的分部积分法
( x 2 2 x 2 ) sx i2 c n x ( o x 1 ) s C .
说明１： 口诀（反、对、幂、三、指）
例5 求不定积分 xarctxadxn. 解 xarcxtda xnarcx td a(x2 n2)
2 x 1 c 2 x o 1 s s 2 x i 1 n C .
说明４： 有时应结合换元积分，先换元后再分部；
例 1 2已 知 f(x )的 一 个 原 函 数 是 e x 2,
求 x f(x )d x . 解 xf(x)dxxdf(x)x(fx)f(x)d x,
例1 求不定积分 xexdx.
解 设 ux,dvexdxdex,
xexdx xd(ex)xex exdxxxe exC .
u d vu v vd u,
分部积分法的关键是正确选择 u 和 v .
选择 u 和 v 的原则是: 1)v不v比 复,杂 2)u比u更简. 单
2
说明３： 不定积分可通过解方程求得，但要注意 结果+C；
可连续几次利用多次分部，但每次应 选同一类函数；
例9 求不定积分 se3cxdx. 解 sec3 xdx sexcse2x cdxsexcd(tax)n
se x tca x n ta x d ( nsx ) ec sx e tc a x n ta 2 x s n x e d x c sx e tc a x ( n s 3 x e sx c e ) d x c
f1(x)dxxf1(x)Ff1(x) C.
练习题答案
一 、 1、 xcox ssix nC；
第三节 分部积分法
第三节分部积分法问题∫=?dx xex解决思路利用两个函数乘积的求导法则.设函数)(x u u =和)(x v v =具有连续导数,(),v u v u uv ′+′=′(),v u uv v u ′−′=′,dx v u uv dx v u ∫∫′−=′.du v uv udv ∫∫−=分部积分公式)()()((x dv x u dx x v u ⋅=′∫∫分部积分法主要过程如下：∫dxx f )(所求积分∫∫−=)()()()()()(x du x v x v x u x dv x u ∫∫′−=dxx v x u x v x u dx x f )()()()()((3)计算新积分(2)分部积分公式(1)拆分被积表达式中, 如果某部分求导后能得到简化，可考虑选为u ，剩下的部分就是dv 。
范围：一般处理含有多种类型的混合函数。
关键：对被积表达式的适当拆分。
（求导数或微分）∫′⋅dx x v x u )()(旧积分∫′⋅⇒dxx u x v )()(新积分,)()(dx x u x du u ′=⇒)()(x v dx x v dv ⇒′=（求积分或凑微分）u.cos ∫xdx x 求解（1）令,x u =x d xdx dv sin cos ==∫xdx x cos ∫=udv ∫−=vdu uv ∫−=xdx x x sin sin xv dx du sin ,:==则.cos sin C x x x ++=例1解（2）令,cos x u=∫xdx x cos ∫+=xdx x x x sin 2cos 222显然，u,dv 选择不当，积分更难进行.22,sin :xv xdx du =−=则∫xdx x cos ∫−=vdu uv总结若被积函数是幂函数与正(余)弦函数或指数函数的乘积, 可考虑设幂函数为u例2求积分.2∫dx e x x解,2x u =,xxde dx e dv ==∫dx e x x 2∫−=dx xe e x x x 22.)(22C e xe e x xxx+−−=再次使用分部积分法,x u =dxe dv x =),2(xe v xdx du ==),(xe v dx du ==例3求积分.arctan ∫xdx x ∫⋅=xdx x arctan 原式)(arctan 2arctan 222x d xx x ∫−=dx xx x x 222112arctan 2+⋅−=∫dx x x x )111(21arctan 222+−⋅−=∫.)arctan (21arctan 22C x x x x +−−=u dv 2v u ⋅du v ⋅v 熟练以后的写法例4求积分.ln 3∫xdx x 解,ln x u =,443dv xd dx x ==∫xdx x ln 3∫−=x d x x x ln 41ln 4144.161ln 4144C x x x +−=总结若被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为.u∫−=dx x x x 3441ln 41例6求积分.sin ∫xdx e x解∫xdx exsin ∫=xxdesin ∫−=)(sin sin x d e x e x x ∫−=xdx e x e xxcos sin ∫−=xxxdex e cos sin ∫−−=)cos cos (sin x d e x e x e xx x ∫−−=xdx e x x e xx sin )cos (sin ∫∴xdx e xsin .)cos (sin 2C x x ex+−=注意循环形式)0,(.)(122>∈+=∫a N n dx a x I nn 求解利用分部积分公式得：时当,1>n ∫−+dx a x n 122)(1例7∫+−++=−dxa x xn a x x n n )()1(2)(222122∫+−+−++=−−dx a x a a x n a x x n n n ])()(1[)1(2)(222122122))(1(2)(211221n n n n I a I n a x x I −−++=∴−−−∫+=dx ax I 2211Q C ax a +=arctan 1])32()([)1(2111222−−−++−=∴n n n I n a x xn a I 的递推公式。
第三节分部积分法58535精品
x
对比 P370 公式(128) , (129)
25
作业
P213
1---24
26
备用题. 1.求不定积分
解：方法1 (先分部 , 再换元)
d (ex 1)
令 u ex 1, 则
u2 11
4
4(u arctan u) C
27
方法2 (先换元,再分部)
令 u ex 1, 则
∴ 原式 xsin x sin x dx
xsin x cos x C
思考: 如何求
提示: 令 u x2 , v sin x, 则
原式
3
例2. 求 x ln x dx.
解: 令 u ln x , v x
则 u 1 , v 1 x2
x
2
原式 = 1 x2 ln x 1 x dx
x
x
sin x 2 cos x C
x
说明: 此题若先求出
再求积分反而复杂.
x
f
( x)
dx
cos
x
2 sin x
x
2 cos x2
x
d
x
20
内容小结
分部积分公式 u vdx u v uv dx
1. 使用原则 : v易求出, uv dx易积分
则
u
(
x2
2nx a2 )n1
,
v
x
In
(x2
x a2)n
2n
(x2
x2 a2 )n1
dx
第三节 分部积分
1 3 解: 原式 = ∫ arctan x d x 3 1 3 1 x3 = x arctan x −∫ ⋅ dx 2 3 3 1+ x
1 1 3 x2 1 2 = x arctan x − ∫ dx 2 3 1+ x 2 3 1 1 3 1 (1− ) dx2 = x arctan x − ∫ 2 1+ x 3 6
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例3. 求
∫ x ln xdx .
x2 x2 x2 1 dx = ln x−∫ 解: 原式 = ∫ ln x d 2 2 2 x
1 2 1 x2 x2 = ln x − ∫ x dx = ln x − x + C 4 2 2 2
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例4. 求
∫x
2
arctan x dx .
∫e
− x2
dx , dx, ∫ ln x
sin x ∫ cos x dx, ∫ x dx,
2
它们的积分可以借助无穷级数来计算,或运用数学软件 它们的积分可以借助无穷级数来计算 或运用数学软件 快速算出. 快速算出
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x cos x − sin x 例11. 求 ∫ d x. 2 x
x cos x − sin x cos x sin x 解: ∫ dx = ∫ d x −∫ 2 d x 2 x x x
1 sin x = ∫ dsinx −∫ 2 d x x x 1 sin x 1 = sinx −∫ sinx (− 2 )d x −∫ 2 d x x x x 1 = sinx +C. x
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本章主要内容
高等数学课件 4第三节 分部积分法ppt
令 x tan t ( t ), 则
I
et sec3
t
2 sec2 t d t
2
e t cos t d t
e t sin t e t sin t d t
e t sin t e t cos t e t cos t d t
故 I 1 (sin t cos t)e t C
1 x2
2
2.
原式
ex 1 cos
dx x
ex sin x dx
1 cos x
ex
tan
x 2
C.
(第一个积分分部积分)
3. 求 sin(ln x)dx.
解: sin(ln x)dx x sin(ln x) xd[sin(ln x)]
x
sin(ln
x)
x cos(ln
x)
1 x
dx
x2 a2
(x2 a2) a2 dx
x2 a2
x2 a2 dx x x2 a2 x2 a2 dx
a2
dx
x2 a2
x x2 a2 a2 ln | x x2 a2 | x2 a2 dx
∴ 原式 = 1 x x2 a2 a2 ln ( x x2 a2 ) C.
1
earctanx
1 x2
x dearctanx 1 x2
1 1
x2
earctanx (1
x)
I
I 1 x earctanx C . 2 1 x2
例16.
求
(1
xe x x)2
dx.
解:
(1
xe x x)2
dx
xe
xd
1
1
x
xex 1 d( xex ) 1 x 1 x
分部积分法
= 1 + x arctan x − ∫
2
1 1+ x
2
dx
令 x = tan t
∫
1 1+ x
dx = ∫ 2
1 1 + tan 2 t
sec 2 tdt = sec tdt ∫
= ln(sec t + tan t ) + C = ln( x + 1 + x 2 ) + C
∴
∫
x arctan x 1 + x2
= x sin(ln x ) − x cos(ln x ) + ∫ xd[cos(ln x )] = x[sin(ln x ) − cos(ln x )] − ∫ sin(ln x )dx
x ∴ ∫ sin(ln x )dx = [sin(ln x ) − cos(ln x )] + C . 2
例7 求积分 解 ∵
4. 6.
3 x e ∫ dx ；
∫ cos(ln x )dx ；
∫
xe arctgx (1 + x )
3 2 2
dx .
sin x 三、 已知 是 f ( x ) 的原函数， 的原函数，求 ∫ xf ' ( x )dx . x 四、 设 ∫ f ( x )dx = F ( x ) + C ， f ( x ) 可微， 可微，且 f ( x ) 的反
x 5. [cos(ln x ) + sin(ln x )] + C ； 2 x −1 arctan x 6. e + C； 2 2 1+ x x 2e x 7. + xe x − e x + C . x+2 2 sin x 三、 cos x − + C. x
第三节 分部积分法
例2 求 xx22eexxddxx..x sin x cos解x C .x arctan反xd对x 幂第1三三节指ar分ct部an积1x x a2rcsin x
例若 解 解选3 求x求择cxxol2unsexxxxx=ddlldnxxn三xxx角ddxxxxxc函2x22..loee2nc第sdxx数oxe三xsdx，dx节22xx2v2分2xxxd=e2部eexxd幂xx例解 例 2积xx2xs2分2函i66cnl法noe数求求xsxxdedx，xxxs2则ieenxxxx2x2ss2iid反11d22更dnnxlcxxnxx对难o22xddsaa幂x积 xastt三i出 rsaancinnnsx指ixxxndex
解
令 x2
sxe=ca32ax22dtdatexxentxst(e12,aecat2(xxsdsetexaCcc1n=)22| 解sttldednctt|x,sIee则nacxt2taxn1(sxxd(etax2cx|en23xxtdxadxs2|a21)et)2c,n)2t3xCn2xt.2d2x1nln(dx(tt(22x
第三节 分部积分法
一、分部积分公式 二、举例
第三节 分部积分法
一、分部积分公式
由第一节我们已知道，对应于一个求导公式，就有 一个积分公式，在第二节中，利用复合函数的求导法则 得到了换元积分法，在本节中，将利用两个函数乘积 的求导法则，来推导另一个求积分的基本方法 分部积 分法.
第三节 分部积分法
(2) vdu 要比 udv 容易积出.
第三节 分部积分法
udv uv vdu
当被积函数是两类基本初等函数的乘积时， 可用如 下的办法来选择 u 和 dv :
选择 u 和 dv 时，可按照反三角函数、对数 函数、幂函数、三角函数、指数函数的顺序 (即“反、对、幂、三、指”的顺序)，把排 在前面的那类函数选作 u，而把排在后面的 那类函数选作 v .
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第三节 分部积分法分布图示★ 分部积分公式 ★ 几点说明★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13★ 分部积分的列表法★ 例14 ★ 例15 ★ 例16 ★ 例17★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题4-3内容要点:分部积分公式: ⎰⎰-=vdu uv udv (3.1)⎰⎰'-='vdx u uv dx v u (3.2)分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m , n 都是正整数)..arctan arccos arcsin )(ln cos sin cos sin 等mx x mxx mxx x x e x mx e mx e mx x mx x n n n nmxn nx nx n n例题选讲：例1（E01）求不定积分⎰xdx x cos . 解一 令,2,cos 2dv x d xdx x u =⎪⎪⎭⎫⎝⎛== ⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,sin 2cos 22cos cos 222xdx x x x x xd xdx x 显然, ν',u 选择不当，积分更难进行.解二 令,sin cos ,dv x d xdx x u ===⎰⎰=x xd xdx x sin cos ⎰-=xdx x x sin sin .cos sin C x x x ++=例2（E02）求不定积分⎰dx e x x 2. 解 dv de dx e x u x x ===,2x x de x dx e x ⎰⎰=22⎰-=dx xe e x x x 22⎰-=x x xde e x 22.)(22C e xe e x x x x +--=注：若被积函数是幂函数(指数为正整数)与指数函数或正(余)弦函数的乘积, 可设幂函数为u , 而将其余部分凑微分进入微分号, 使得应用分部积分公式后, 幂函数的幂次降低一次.例3（E03）求不定积分⎰xdx x arctan . 解 令,2,arctan 2dv x d xdx x u =⎪⎪⎭⎫⎝⎛== ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2arctan arctan 2x xd xdx x ⎰-=)(arctan 2arctan 222x d x x x dx x x x x ⎰+⋅-=222112arctan 2 dx x x x ⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-⋅-=2211121arctan 2.)arctan (21arctan 22C x x x x +--=例4（E04）求不定积分⎰xdx x ln 3. 解 令,4,ln 43dv x d dx x x u =⎪⎪⎭⎫⎝⎛== ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰4ln ln 43x d x xdx x ⎰-=dx x x x 3441ln 41.161ln 4144C x x x +-= 注：若被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积, 可设对数函数或反三角函数为u , 而将幂函数凑微分进入微分号, 使得应用分部积分公式后, 对数函数或反三角函数消失.例5（E05）求不定积分⎰xdx e x sin . 解⎰⎰=x xde dx esin sin )(sin sin x d e x e x x ⎰-=⎰-=xdx e x e x x cos sin⎰-=x x xde x e cos sin )cos cos (sin ⎰--=x d e x e x e x x x ⎰--=xdx e x x e x x sin )cos (sin.)cos (sin 2sin C x x e dx e xx+-=∴⎰注：若被积函数是指数函数与正(余)弦函数的乘积, u , dv 可随意选取, 但在两次分部积分中, 必须选用同类型的u , 以便经过两次分部积分后产生循环式, 从而解出所求积分.例6（E06）求不定积分⎰dx x )sin(ln . 解)][sin(ln )sin(ln )sin(ln x xd x x dx x ⎰⎰-=dx xx x x x 1)cos(ln )sin(ln ⋅-=⎰)][cos(ln )cos(ln )sin(ln x d x x x x x ⎰+-= dx x x x x ⎰--=)sin(ln )]cos(ln )[sin(ln.)]cos(ln )[sin(ln 2)sin(ln C x x xdx x +-=∴⎰灵活应用分部积分法, 可以解决许多不定积分的计算问题. 下面再举一些例子,请读者悉心体会其解题方法.例7（E07）求不定积分⎰xdx 3sec . 解⎰⎰=x xd xdx tan sec sec 3⎰-=x d x x x x 2t a n s e c t a n s e c⎰--=dx x x x x )1(sec sec tan sec 2⎰⎰+-=xdx xdx x x sec sec tan sec 3 ⎰-++=xdx x x x x 3sec |tan sec |ln tan sec由于上式右端的第三项就是所求的积分⎰,sec 3xdx 把它移到等号左端去，再两端各除以2，便得.|)tan sec |ln tan (sec 21sec 3C x x x x xdx +++=⎰例8 求不定积分.1arcsin dx xx ⎰-解x d x dx xx --=-⎰⎰1arcsin 21arcsinx d x x x arcsin 12arcsin 12⎰-+--=dx xx x x x ⎰--+--=11arcsin 12.2arcsin 12C x x x ++--=例9（E08）求不定积分⎰dx e x. 解 令,x t =则,2,2tdt dx t x ==于是tdt e dx et x⎰⎰=2t de t ⎰=2dt e te t t ⎰-=22C e te t t +-=22C t e t +-=)1(2.)1(2C x ex+-=例10 求不定积分⎰+dx x )1ln(. 解 令,x t =则,2t x =2)1ln()1ln(dt t dx x ⎰⎰+=+)1ln()1ln(22t d t t t +-+=⎰dt tt t t ⎰+-+=1)1ln(22⎰⎰+---+=tdt dt t t t 1)1()1ln(2.)1ln(2)1ln(22C t t t t t ++-+-+= .2)1ln()1(C xx x x +-++-=例11 求.33/1dx xe I x⎰=解法 1 先分部积分，后换元.设,1,33/1dx xdv e u x ==则,23,313/23/23/1x v dx e x du x =⋅=-于是 ⎰-⋅=dx e e x I x x 3/13/121233/2 再设,3t x =则,32dt t dx =于是dt te e t dt e t dx e t t t x ⎰⎰⎰-=⋅=633223/1().)22(36322C e t t dt e te e t t t t t ++-=--=⎰代入上式, 得C e x x e x I x x ++--⋅=3/13/1)22(23233233/2.)1(33/13C e x x +-= 解法 2 先换元, 后分部积分.设,3t x =,32dt t dx =则dt e t dt t te I t t ⎰⎰=⋅=332再设,,dt e dv t u t ==则c e te dt e te I t t t t +-=-=⎰3333.)1(33/13c e x x+-=例12（E09）求不定积分⎰+=nn a x dxI )(22, 其中n 为正整数.解 用分部积分法，当1>n 时有dx a x x n a x x a x dx nn n ⎰⎰+-++=+--)()1(2)()(222122122,)()(1)1(2)(222122122dx a x a a x n a x x n n n ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-++=-- 即 ),)(1(2)(211221n n n n I a I n a x xI --++=--- 于是 .)32()()1(2111222⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-=--n n n I n a x xn a I以此作递推公式，并由,arctan 11C axa I +=即可得.n I例13（E10）已知)(x f 的一个原函数是2x e -, 求⎰'dx x f x )(. 解⎰⎰=')()(x x d f dx x f x ⎰-=,)()(dx x f x xf 根据题意,)(2C e dx x f x +=-⎰再注意到 ()),()(x f dx x f ='⎰两边同时对x 求导，得,2)(2x xe x f --= ⎰⎰-='∴dx x f x xf dx x f x )()()(.2222C e e x x x +--=--例14计算不定积分⎰.ln xdx x解 x ln 不易求积分，只能放在左列，而x 放在右列,列表如下:x x →+ln )(2211)(x x →- ⎰⎰⋅-⋅=∴dx x x x x xdx x 2221121ln ln .41ln 2121ln 21222c x x x xdx x x +-=-=⎰例15 计算不定积分⎰.ln xdx解 x ln 可看作乘积形式,ln 1x ⋅将x ln 放在左列,1放在右列，列表如下:1ln )(→+xx x→-1)( ⎰⎰+-=⋅-=∴.ln 1ln ln c x x x xdx xx x xdx例16计算不定积分⎰.sin xdx x解 函数x 和x sin 都是易求原函数的函数,都可放右列，但考虑到左列的函数应是求导后逐渐简单的，故x 放左列, x sin 放右列列表如下:x x sin )(→+1)(- x c o s -x sin 0)(-→+⎰+-⋅--=∴c x x x xdx x )sin (1cos sin .sin cos c x x x ++-=例17 计算不定积分.cos xdx e x ⎰解 函数x e x cos ,都是易求原函数的函数，且它们的导函数分别是稳定的x e 和x sin (或x cos )形式，故它们的左右位置可随意选取.例如选取x e 为左, x cos 为右, 可得x e x cos )(→+ x e )(- x i nx e x cos )(-→+⎰⎰-+--=∴dx x e x e x e xdx e x x x x )cos ()cos (sin cos ， 移项得.)cos (sin 2cos c x x e xdx e xx++=⎰课堂练习1. 求不定积分⎰+dx x )3ln(2. 求不定积分⎰-xdx e x2sin .。