(新课程)高中数学《第三章 导数及其应用》质量评估 新人教A版选修1-1
人教a版数学【选修1-1】：第三章《导数及其应用》章末检测(b)(含答案)
第三章 章末检测(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)1. 已知函数y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定2．任一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是( )A ．0B ．3C ．－2D ．3－2t3．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点(a ，3)，则该曲线在该点处的切线方程为( ) A ．y ＝－4x －1 B ．y ＝4x －1 C ．y ＝4x －11 D ．y ＝－4x ＋74．若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π2B.⎣⎡⎦⎤0，π2 ∪2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.⎣⎡⎦⎤0，2π3 5．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．[－3，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)6．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －27．已知a >0，函数f (x )＝－x 3＋ax 在[1，＋∞)上是单调减函数，则a 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．若函数f (x )＝a sin x ＋13cos x 在x ＝π3处有最值，那么a 等于( )A.33 B ．－33 C.36 D ．－369．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1 B.π2－1C ．πD ．π＋110. 函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．函数f (x )＝x1－x的单调增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)，(1，＋∞)D ．(－∞，－1)，(1，＋∞)12．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k (k >0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x (x ∈(0,0.048))，则存款利率为多少时，银行可获得最大利益( )A ．0.012B ．0.024C ．0.032D ．0.036 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________________________________________________________________________.14．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0，则实数a 的值为________________________________________________________________________．15. 如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A 、B 在抛物线上运动，C 、D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．16．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表示过原点的曲线，且在x ＝±1处的切线的倾斜角均为34π，有以下命题：①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]． ②f (x )的极值点有且只有一个．③f (x )的最大值与最小值之和等于零． 其中正确命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．18．(12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值．(1)求a ，b 的值与函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围．19.(12分)某大型商厦一年内需要购进电脑5 000台，每台电脑的价格为4 000元，每次订购电脑的其它费用为1 600元，年保管费用率为10%(例如，一年内平均库存量为150台，一年付出的保管费用60 000元，则60 000150×4 000＝10%为年保管费用率)，求每次订购多少台电脑，才能使订购电脑的其它费用及保管费用之和最小？20．(12分)已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x .(1)当x 为何值时，f (x )取得最小值？证明你的结论； (2)设f (x )在[－1,1]上是单调函数，求a 的取值范围．21.(12分)设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.22．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方．第三章 导数及其应用(B) 答案1．B [f ′(x A )和f ′(x B )分别表示函数图象在点A 、B 处的切线斜率，故f ′(x A )<f ′(x B )．] 2．B [物体的初速度即为t ＝0时物体的瞬时速度，即函数s (t )在t ＝0处的导数． s ′(0)＝s ′|t ＝0＝(3－2t )|t ＝0＝3.]3．B [∵曲线过点(a ，3)，∴3＝2a 2＋1，∴a ＝1， ∴切点为(1,3)．由导数定义可得y ′＝4ax ＝4x ， ∴该点处切线斜率为k ＝4，∴切线方程为y －3＝4(x －1)，即y ＝4x －1.] 4．B5．B [f ′(x )＝3x 2＋a .令3x 2＋a ≥0， 则a ≥－3x 2，x ∈(1，＋∞)，∴a ≥－3.]6．A [∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2，∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.] 7．C8．A [f ′(x )＝a cos x －13sin x ，由题意f ′⎝⎛⎭⎫π3＝0， 即a ·12－13×32＝0，∴a ＝33.]9．C [y ′＝1－cos x ≥0，所以y ＝x －sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上为增函数．∴当x ＝π时， y max ＝π.]10．A [由图象看，在图象与x 轴的交点处左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0的点才满足题意，这样的点只有一个B 点．]11．C [∵f ′(x )＝x ′(1－x )－x (1－x )′(1－x )2＝1－x ＋x (1－x )2＝1(1－x )2>0，又x ≠1， ∴f (x )的单调增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)．]12．B [由题意知，存款量g (x )＝kx (k >0)，银行应支付的利息h (x )＝xg (x )＝kx 2， x ∈(0，0.048)．设银行可获得收益为y ，则y ＝0.048kx －kx 2.于是y ′＝0.048k －2kx ，令y ′＝0，解得x ＝0.024，依题意知y 在x ＝0.024处取得最大值．故当存款利率为0.024时，银行可获得最大收益．]13．3解析 由切点(1，f (1))在切线y ＝12x ＋2上，得f (1)＝12×1＋2＝52.又∵f ′(1)＝12，∴f ′(1)＋f (1)＝12＋52＝3.14．4解析 若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0，显然成立；当x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可转化为a ≥3x 2－1x3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤12，1上单调递减， 因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4； 当x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可转化为a ≤3x 2－1x3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间[－1,0)上单调递增． 因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4， 综上所述，a ＝4. 15.439解析 设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝⎛⎭⎫x2，0. 点B 坐标为⎝⎛⎭⎫x2，1－⎝⎛⎭⎫x 22， ∴矩形ABCD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫x 22 ＝－x34＋x (x ∈(0,2))．由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－23(舍)，x 2＝23，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，23时，f ′(x )>0，f (x )是递增的，x ∈⎝⎛⎭⎫23，2时，f ′(x )<0，f (x )是递减的， 当x ＝23时，f (x )取最大值439.16．①③解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 由题意得f (0)＝0，f ′(－1)＝f ′(1)＝tan 3π4＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝03－2a ＋b ＝－13＋2a ＋b ＝－1，∴a ＝0，b ＝－4，c ＝0.∴f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]．故①正确．由f ′(x )＝3x 2－4＝0得x 1＝－233，x 2＝233.根据x 1，x 2分析f ′(x )的符号、f (x )的单调性和极值点.x ＝233是极小值点也是最小值点．f (x )min ＋f (x )max ＝0.∴②错，③正确． 17．解 f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，由题意知f ′(x )≤0在(1,4)上恒成立， 且f ′(x )≥0在(6，＋∞)上恒成立． 由f ′(x )≤0得x 2－ax ＋a －1≤0， 即x 2－1≤a (x －1)．∵x ∈(1,4)，∴x －1∈(0,3)，∴a ≥x 2－1x －1＝x ＋1.又∵x ＋1∈(2,5)，∴a ≥5， ① 由f ′(x )≥0得x 2－ax ＋a －1≥0， 即x 2－1≥a (x －1)．∵x ∈(6，＋∞)，∴x －1>0，∴a ≤x 2－1x －1＝x ＋1.又∵x ＋1∈(7，＋∞)，∴a ≤7， ② ∵①②同时成立，∴5≤a ≤7.经检验a ＝5或a ＝7都符合题意， ∴所求a 的取值范围为5≤a ≤7. 18．解 (1)f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由f ′⎝⎛⎭⎫－23＝129－43a ＋b ＝0， f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝－12，b ＝－2.f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，令f ′(x )>0，得x <－23或x >1，令f ′(x )<0，得－23<x <1.所以函数f (x )的递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间是⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，由(1)知，当x ＝－23时，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c 为极大值， 而f (2)＝2＋c ，则f (2)＝2＋c 为最大值， 要使f (x )<c 2，x ∈[－1,2]恒成立，则只需要c 2>f (2)＝2＋c ，得c <－1或c >2.19．解 设每次订购电脑的台数为x ，则开始库存量为x 台，经过一个周期的正常均匀销售后，库存量变为零，这样又开始下一次的订购，因此平均库存量为12x 台，所以每年的保管费用为12x ·4 000·10%元，而每年的订货电脑的其它费用为5 000x·1 600元，这样每年的总费用为5 000x ·1 600＋12x ·4 000·10%元．令y ＝5 000x ·1 600＋12x ·4 000·10%，y ′＝－1x 2·5 000·1 600＋12·4 000·10%.令y ′＝0，解得x ＝200(台)．也就是当x ＝200台时，每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值，最小值为80 000元．20．解 (1)对函数f (x )求导数，得 f ′(x )＝(x 2－2ax )e x ＋(2x －2a )e x ＝[x 2＋2(1－a )x －2a ]e x .令f ′(x )＝0，得[x 2＋2(1－a )x －2a ]e x ＝0， 从而x 2＋2(1－a )x －2a ＝0.解得x 1＝a －1－1＋a 2，x 2＝a －1＋1＋a 2， 其中x 1<x 2.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化如下表：12当a ≥0时，x 1<－1，x 2≥0.f (x )在(x 1，x 2)为减函数，在(x 2，＋∞)为增函数． 而当x <0时，f (x )＝x (x －2a )e x >0；当x ＝0时，f (x )＝0，所以当x ＝a －1＋1＋a 2时，f (x )取得最小值．(2)当a ≥0时，f (x )在[－1,1]上为单调函数的充要条件是x 2≥1，即a －1＋1＋a 2≥1，解得a ≥34.综上，f (x )在[－1,1]上为单调函数的充分必要条件为a ≥34.即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫34，＋∞.21．(1)解 由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2. 于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )．(2)证明 设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ， 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a >ln 2－1时，g ′(x )取最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增． 于是当a >ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>0， 即e x －x 2＋2ax －1>0， 故e x >x 2－2ax ＋1.22．(1)解 ∵f (x )＝x 2＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋1x.∵x >1时，f ′(x )>0，∴f (x )在[1，e]上是增函数，∴f (x )的最小值是f (1)＝1，最大值是f (e)＝1＋e 2. (2)证明 令F (x )＝f (x )－g (x ) ＝12x 2－23x 3＋ln x ， ∴F ′(x )＝x －2x 2＋1x ＝x 2－2x 3＋1x＝x 2－x 3－x 3＋1x ＝(1－x )(2x 2＋x ＋1)x.∵x >1，∴F ′(x )<0，∴F (x )在(1，＋∞)上是减函数，∴F (x )<F (1)＝12－23＝－16<0.∴f (x )<g (x )．∴当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方．小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
人教A版高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》单元检测题(含答案).docx
第三章《导数及其应用》检测题一、选择题(每小题只有一个正确答案)1.已知曲线y = |x2-2上一点P(屈一$,则过点P切线的倾斜角为()乙乙A.30°B. 45°C. 60°D. 120°2.设P为曲线C： y = F+2x + 3上的点，且曲线c在点P处切线倾斜角的取值范围7T 7T为则点P横坐标的取值范围为()4 2( JiA. —co,—B. [—1,0]1D. , + 823.定义在(0, +8)上的函数f(x)的导函数为广(无)，且对VxG (0,+oo)都有c. [0,1]/z(x)lnx<^/'(x),则(A. 4/(e) > e3/(e4) > 2e/(e2) C. e3/(e4) > 4/(e) > 2e/(e2) )(其中e«2. 7)B.e3/(e4) > 2e/(e2) > 4/(e) D. 4/(e) > 2e/(e2) > e3/(e4)4.曲线/(x) = (x + l)e x在点(0, f(0))处的切线方程为()A. y = % 4- 1B. y = 2x 4- 1C. y = + 1D.y 弓x+15.对于函数/(x)=—,下列说法正确的有()①f(兀)在x = €处取得极大值》②f(x)有两个不同的零点；③门4) < f (兀)< /(3); @7T4 < 4兀.A.4个B.3个C.2个D. 1个6.定义在R上的奇函数f (x)满足f (・1)=0,且当x>0时，f (x) >xf (x),则下列关系式中成立的是()A. 4f (i) >f (2)B. 4f (2) <f (2)C. f (i) >4f (2)D. f (i) f (2) > 2 2 2 27.定义在［0, +oo)的函数fO)的导函数为f(x),对于任意的%>0,恒有/Xx) </(%),m = n = 则m, zi的大小关系是()・e e zA. m > nB. m < nC. m = nD.无法确定&函数/(x) = e x + x3 - 2在区间(0,1)内的零点个数是().A. 0B. 1C. 2D. 39 .在平面直角坐标系xOy中，已知好一In%! - = 0 , x2 - y2 ~ 2 = 0 ,则(%i -x2)2 +(7i -y2)2的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 410.已知直线2是曲线y = e x与曲线y = e2x-2的一条公切线，2与曲线y =/x 一2切于点(a,b),且a是函数£仗)的零点，贝”仗)的解析式可能为()A. /(%) = e2x(2x + 21n2 -1)-1B. f(x) = e2x(2x + 21n2 -1)-2C.f(x) = e2x(2x一21n2 -1)-1D. /(x) = e2x(2x一21n2 -1)-2二、填空题设函数fd)的导数为f f (x),且f(x)=f‘(^sinx + cosx,则f' (? = _____________________ 12.如图，函数y = f(x)的图象在点P处的切线方程是y = -兀+ 5,则/'⑶+厂⑶=_. Array13._____ 函数y=f (x)的导函数y = f(jc)的图象如图所示，则函数y=f (x)的图象可能是_________ (填序号).(D ②③④14.已知函数/(x)=xlnx + i%2, %是函数f(x)的极值点，给出以下几个命题：乙@0 < %0 < -；②尢o>2；+ X o < 0；④fOo) + Xo>0;e e其中正确的命题是______________ •(填出所有正确命题的序号)、215 .已知函数/(X)= X3 +OT2 +/?JC+C在X =——与兀=1时都取得极值，若对xe[-l,2],不等式f(x)<c2恒成立，则c的取值范围为___________________________ o三、解答题16.求下列函数的导函数®y = X4—3x2—5x + 6 ③y = x2cos x ②y二x+古@y = tan x17.已知函数/'(兀)=|%2一(a + l)x + a\nx.(1)当a VI时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若不等式f(X) + (a + l)x n牛+対+ 1 一对于任意x G [e~1,e]成立，求正实数a 的取值范围.18.已知函数f (尤)=^x3— ax1 2 + l(a 6 /?).(1)若曲线y = /(%)在(l,f(l))处的切线与直线x-y + l = 0垂直，求a的值.(2)若a>0,函数y = /(%)在区间(a,a2 - 3)±存在极值，求a的取值范圉.(3)若a >2,求证：函数y = f(x)在(0,2)上恰有一个零点.19.已知函数f^x) = a x^-x2-x\na (a>0,且aHl).(I )求函数/(兀)的单调区间；(II)求函数/(兀)在［-2,2］上的最大值.20.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P~A\B\G从, 下部的形状是正四棱柱ABCD-A限Cd (如图所示)，并要求正四棱柱的高"0是正以棱锥的高％的4倍.1 若AB=6 m, n =2 m,则仓库的容积是多少？2 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当〃为多少时，仓库的容积最大?参考答案I.C2. D3. D4・ B5. C6. A7. B8. B9. B10・ BII.- A/212. 113.④14.①③15.(-00,-1) U(2,4-oo)16.解析：(l)y z = 4x3— 6x — 5(2)y‘ = % 4- x~2(3)y‘ = (x2ycosx + x2(cosx)f = 2xcosx-x2sinx, sinx , (sinx),cosx — sinx(cosx)' cos2% + sin2% 1(4)-------------- y =( ----------------- )= ----- = = :—cos2%cosx cos2%cos2% cos2%17.(1)当a<0时，函数门切在(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减；当ova VI时, 函数f(x)在@,1)上单调递减，在(0卫)和(1,+8)上单调递增.(2) (0,1]解析：(1)函数/'仗)的定义域为(0,+s),广(％)=兀 _ @ + 1)+ 兰=*一@+1央+。
高中数学选修1-1(人教A版)第三章导数及其应用3.3知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用一、学习任务1. 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间．2. 了解函数的极大（小）值、最大（小）与导数的关系；会求函数的极大（小）值，以及在指定区间上函数的最大（小）值．二、知识清单导数与函数的图象 利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值三、知识讲解1.导数与函数的图象（1）导数 表示函数 在点 处的切线斜率．当切线斜率为正值时，切线的倾斜角小于 ，函数曲线呈上升状态；当切线的斜率为负值时，切线的倾斜角大于 且小于 ，函数曲线呈下降状态．（2）如果在区间 内恒有 ，那么函数 在区间 内是常函数．()f ′x 0y =f (x )(,f ()x 0x 090∘90∘180∘(a ,b )(x )=0f′y =f (x )(a ,b ) 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能是下列选项中的（ ）解：C导函数的图象在 轴的上方，表示导函数大于零，原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在 轴的下方，表示导函数小于零，原函数的图象呈下降趋势．由 时导函数图象在 轴的上方，表示在此区间上，原函数图象呈上升趋势，可排除 B、D 选项；由 时导函数图象在 轴的下方，表示在此区间上，原函数的图象呈下降趋势，可排除 A 选项．(x )f ′f (x )y =(x )f ′f (x )x x x ∈(−∞,0)x x ∈(0,1)xy=f(x)已知函数 的图象如图所示，则导函数f(x)(a,b)则函数 在开区间答案：解析：3. 已知函数 ， 的导函数的图象如下图，那么 ， 的图象可能是．A．B ．C ．D ．D 和 都是单调递增的，但 增长的越来越慢， 增长的越来越快，并且在 处， 的切线的斜率应该相等．y =f (x )y =g (x )y =f (x )y =g (x )()f (x )g (x )f (x )g (x )x 0f (x ),g (x)高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
最新整理高中数学人教A版选修1-1 第三章导数及其应用 学业分层测评13 Word版含答案.doc
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a ＝( )A ．－3B ．2C ．3D ．－2【解析】 根据平均变化率的定义，可知Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b )2－1＝a ＝3.故选C.【答案】 C2．若函数f (x )＝－x 2＋10的图象上一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，314及邻近一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx ，314＋Δy ，则Δy Δx ＝( ) A ．3B ．－3C ．－3－(Δx )2D ．－Δx －3 【解析】 ∵Δy ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－3Δx －(Δx )2，∴Δy Δx ＝－3Δx －(Δx )2Δx＝－3－Δx .故选D. 【答案】 D3．若质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( )A ．6B ．18C ．54D ．81【解析】因为ΔsΔt＝3(3＋Δt)2－3×32Δt＝18Δt＋3(Δt)2Δt＝18＋3Δt，所以limΔt→0ΔsΔt＝18.【答案】 B4.如图3－1－1，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是()图3－1－1A．1 B．－1C．2 D．－2【解析】ΔyΔx＝f(3)－f(1)3－1＝1－32＝－1.【答案】 B5．已知函数f(x)＝13－8x＋2x2，且f′(x0)＝4，则x0的值为() A．0 B．3C．3 2 D．6 2【解析】f′(x0)＝limΔx→0Δy Δx＝lim Δx→0[13－8(x0＋Δx)＋2(x0＋Δx)2]－(13－8x0＋2x20)Δx＝limΔx→0－8Δx＋22x0Δx＋2(Δx)2Δx＝limΔx→0(－8＋22x0＋2Δx)＝－8＋22x0＝4，所以x0＝3 2. 【答案】 C二、填空题6．一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1.【解析】 Δs Δt ＝7(t 0＋Δt )2＋8－(7t 20＋8)Δt ＝7Δt ＋14t 0，当lim Δt →0 (7Δt ＋14t 0)＝1时，t 0＝114.【答案】 1147．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________．【解析】 Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝12＋Δx －12＝2－(2＋Δx )2(2＋Δx )＝－Δx2(2＋Δx )，∴Δy Δx ＝－Δx2(2＋Δx )Δx ＝－12(2＋Δx )，即k ＝Δy Δx ＝－12(2＋Δx ).∴当Δx ＝1时，k ＝－12×(2＋1)＝－16.【答案】 －168．已知函数f (x )＝1x ，则f ′(2)＝________.【解析】 lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝limΔx →0 －Δx2(2＋Δx )Δx＝limΔx →0 －12(2＋Δx )＝－14.【答案】 －14三、解答题9．求y ＝x 2＋1x ＋5在x ＝2处的导数． 【解】 ∵Δy ＝(2＋Δx )2＋12＋Δx ＋5－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＋5 ＝4Δx ＋(Δx )2＋－Δx 2(2＋Δx )， ∴Δy Δx ＝4＋Δx －14＋2Δx， ∴y ′|x ＝2＝lim Δx →0 Δy Δx＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋Δx －14＋2Δx＝4＋0－14＋2×0＝154. 10．若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx ＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的范围. 【导学号：26160069】【解】 因为函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为： Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－4Δx ＋Δx －(Δx )2Δx＝－3－Δx ， 所以由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2.又因为Δx ＞0，即Δx 的取值范围是(0，＋∞)．[能力提升]1．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定【解析】 k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ， k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx . 因为Δx 可大于零也可小于零，所以k 1与k 2的大小不确定．【答案】 D2．设函数在x ＝1处存在导数，则lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx＝( ) A ．f ′(1)B ．3f ′(1) C.13f ′(1) D ．f ′(3)【解析】 lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝13f ′(1)． 【答案】 C3．如图3－1－2是函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．图3－1－2【解析】 由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为：f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34. 【答案】 344．一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2(s 的单位是：m ，t 的单位是：s)．(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2 s 时的瞬时速度；(3)求t ＝0 s 到t ＝2 s 时的平均速度. 【导学号：26160070】【解】 (1)s (Δt )－s (0)Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt＝3－Δt . 当Δt →0时，s (Δt )－s (0)Δt→3， 所以v 0＝3.(2)s (2＋Δt )－s (2)Δt＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22)Δt＝－Δt －1. 当Δt →0时，s (2＋Δt )－s (2)Δt →－1， 所以t ＝2时的瞬时速度为－1.(3)v ＝s (2)－s (0)2＝6－4－02＝1.。
高中新课程数学(新课标人教A版)选修1-1《第三章 导数及其应用》归纳整合
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2．曲线的切线方程 利用导数求曲线过点 P 的切线方程时应注意： (1)判断 P 点是否在曲线上； (2)如果曲线 y＝f(x)在 P(x0， f(x0))处的切线平行于 y 轴(此时导数 不存在)，可得方程为 x＝x0；P 点坐标适合切线方程，P 点处的 切线斜率为 f′(x0)． 3． 利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数， 熟记 基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会 给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变 形是优化解题过程的关键．
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(2)由 f(x)＝x3－3x2＋2 得，f′(x)＝3x2－6x. 由 f′(x)＝0 得，x＝0 或 x＝2. ①当 0<t≤2 时， 在区间(0， t)上 f′(x)<0， f(x)在[0， t]上是减函数， 所以 f(x)max＝f(0)＝2， f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2. ②当 2<t<3 时，当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
(x1，x2) －
x2 0 极小值
(x2，＋∞) ＋
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此时
a－ f(x)在0，
a2－8 上单调递增， 2
a－ 在 a＋ 在
a2－8 a＋ a2－8 ， 上单调递减， 2 2
a2－8 ，＋∞ 上单调递增． 2
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4．判断函数的单调性 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义 域，解决问题的过程只能在函数的定义域内进行，通过讨论导 数的符号，来判断函数的单调区间； (2)注意在某一区间内 f′(x)＞0(或 f′(x)＜0)是函数 f(x)在该区间上 为增(或减)函数的充分条件．
高中数学 第3章 导数及其应用 3.3.3 习题(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题
选修1-1第三章3.3一、选择题1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是导学号 92600712 ( )A．12；－8 B．1；－8C．12；－15 D．5；－16[答案] A[解析]y′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时y＝1，x＝－1时y＝12，x＝1时y＝－8.∴y max＝12，y min＝－8.故选A．2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)导学号 92600713( )A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值[答案] D[解析]f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∵x∈(－1,1)，∴f′(x)<0，即函数在(－1,1)上是减少的，∴既无最大值，也无最小值．3．函数f(x)＝3x－x3(－3≤x≤3)的最大值为导学号 92600714( )A．18 B．2C．0 D．－18[答案] B[解析]f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0，得x＝±1，－3≤x<－1时，f′(x)<0，－1<x<1时，f′(x)>0,1<x≤3时，f′(x)<0，故函数在x＝－1处取极小值，在x＝1处取极大值．∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，又f(－3)＝0，f(3)＝－18，∴[f(x)]max＝2，[f(x)]min＝－18.4．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M－N的值为导学号 92600715( )A ．2B ．4C ．18D ．20[答案] D[解析]f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1.f (0)＝－a, f (1)＝－2－a, f (3)＝18－a ，∴f (x )max ＝18－a ，f (x )min ＝－2－a ， ∴18－a －(－2－a )＝20.5．下列说法正确的是导学号 92600716( ) A ．函数的极大值就是函数的最大值 B ．函数的极小值就是函数的最小值 C ．函数的最值一定是极值D ．在闭区间上的连续函数一定存在最值 [答案] D[解析] 根据最大值、最小值的概念可知选项D 正确．6．函数f (x )＝ln x －x 在区间[0，e]上的最大值为导学号 92600717( ) A ．－1 B ．1－e C ．－e D ．0[答案] A[解析]f ′(x )＝1x －1＝1－xx，令f ′(x )>0，得0<x <1， 令f ′(x )<0，得1<x <e ，∴f (x )在(0,1)上递增，在(1，e)上递减，∴当x ＝1时，f (x )取极大值，这个极大值也是最大值．∴f (x )max ＝f (1)＝－1.二、填空题7．当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝x 2e x 的值域是________.导学号 92600718[答案] [0，e][解析]f ′(x )＝2x ·e x －x 2·e x e x 2＝2x －x2e x ， 令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝2.f (－1)＝e, f (0)＝0, f (1)＝1e，∴f (x )max ＝e, f (x )min ＝0， 故函数f (x )的值域为[0，e]． 8．若函数f (x )＝3x －x 3＋a ，－3≤x ≤3的最小值为8，则a 的值是________.导学号 92600719[答案] 26[解析]f ′(x )＝3－3x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝±1.f (1)＝2＋a ，f (－1)＝－2＋a .又f (－3)＝a ，f (3)＝－18＋a .∴f (x )min ＝－18＋a .由－18＋a ＝8.得a ＝26. 三、解答题9．(2016·某某某某市高二检测)已知函数f (x )＝x 3－2ax 2＋3ax 在x ＝1时取得极值.导学号 92600720(1)求a 的值；(2)若关于x 的不等式f (x )－k ≤0在区间[0,4]上恒成立，某某数k 的取值X 围． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－4ax ＋3a ， 由题意得f ′(1)＝3－4a ＋3a ＝0，∴a ＝3. 经检验可知，当a ＝3时f (x )在x ＝1时取得极值． (2)由(1)知， f (x )＝x 3－6x 2＋9x ， ∵f (x )－k ≤0在区间[0,4]上恒成立， ∴k ≥f (x )max 即可．f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x 2－4x ＋3)＝3(x －1)(x －3)，令f ′(x )>0，得3<x <4或0<x <1， 令f ′(x )<0，得1<x <3.∴f (x )在(0,1)上递增，(1,3)上递减，(3,4)上递增，∴当x ＝1时， f (x )取极大值f (1)＝4，当x ＝3时， f (x )取极小值f (3)＝0. 又f (0)＝0，f (4)＝4， ∴f (x )max ＝4，∴k ≥4.一、选择题1．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为导学号 92600721( ) A ．239B ．229C ．329D ．38[答案] A[解析]f ′(x )＝1－3x 2＝0，得x ＝33∈[0,1]， ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫33＝239，f (0)＝f (1)＝0. ∴f (x )max ＝239.2．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上图象连续不断且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为导学号 92600722( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )[答案] A[解析] 令u (x )＝f (x )－g (x )， 则u ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0， ∴u (x )在[a ，b ]上为单调减少的， ∴u (x )的最大值为u (a )＝f (a )－g (a )．3．设在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，且在区间[a ，b ]上存在导数，有下列三个命题：①若f (x )在[a ，b ]上有最大值，则这个最大值必是[a ，b ]上的极大值； ②若f (x )在[a ，b ]上有最小值，则这个最小值必是[a ，b ]上的极小值； ③若f (x )在[a ，b ]上有最值，则最值必在x ＝a 或x ＝b 处取得． 其中正确的命题个数是导学号 92600723( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] A[解析] 由于函数的最值可能在区间[a ，b ]的端点处取得，也可能在区间[a ，b ]内取得，而当最值在区间端点处取得时，其最值必不是极值，因此3个命题都是假命题．4．当x ∈[0,5]时，函数f (x )＝3x 2－4x ＋c 的值域为导学号 92600724( ) A ．[f (0)，f (5)] B ．[f (0)，f (23)]C ．[f (23)，f (5)]D ．[c ，f (5)][答案] C[解析]f ′(x )＝6x －4，令f ′(x )＝0，则x ＝23，0<x <23时，f ′(x )<0，x >23时，f ′(x )>0，得f (23)为极小值，再比较f (0)和f (5)与f (23)的大小即可．二、填空题5．函数f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值的和是________.导学号 92600725[答案] －10[解析]f ′(x )＝6x 2－6x －12，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝2.但x ∈[0,3]，∴x ＝－1舍去，∴x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表，知f (x )max ＝5，f (x )min ＝－15， 所以f (x )max ＋f (x )min ＝－10.6．函数f (x )＝ax 4－4ax 3＋b (a >0)，x ∈[1,4]，f (x )的最大值为3，最小值为－6，则a ＋b ＝________.导学号 92600726[答案]103[解析]f ′(x )＝4ax 3－12ax 2.令f ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)，或x ＝3.1<x <3时，f ′(x )<0,3<x <4时，f ′(x )>0，故x ＝3为极小值点． ∵f (3)＝b －27a ，f (1)＝b －3a ，f (4)＝b ，∴f (x )的最小值为f (3)＝b －27a ，最大值为f (4)＝b .∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，b －27a ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝3，∴a ＋b ＝103.三、解答题7．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.导学号 92600727(1)求a 、b 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值．[解析] (1)依题意可知点P (1，f (1))为切点，代入切线方程y ＝3x ＋1可得，f (1)＝3×1＋1＝4，∴f (1)＝1＋a ＋b ＋5＝4，即a ＋b ＝－2，又由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5得，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 而由切线方程y ＝3x ＋1的斜率可知f ′(1)＝3， ∴3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－22a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－4.∴a ＝2，b ＝－4.(2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝－2.当x 变化时，f (x )、 f ′(x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f (23)＝9527，又f (－3)＝8，f (1)＝4， ∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13.8．设f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5.导学号 92600728(1)求函数f (x )的单调递增、递减区间；(2)当x ∈[－1,2]时， f (x )<m 恒成立，某某数m 的取值X 围． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，即3x 2－x －2＝0⇒x ＝1或x ＝－23.所以当x ∈(－∞，－23)时f ′(x )>0, f (x )为增函数；当x ∈(－23，1)时， f ′(x )<0, f (x )为减函数．当x ∈(1，＋∞)时， f ′(x )>0, f (x )为增函数．所以f (x )的递增区间为(－∞，－23)和(1，＋∞)，f (x )的递减区间为(－23，1)．(2)当x ∈[－1,2]时， f ′(x )<m 恒成立，只需使f (x )在[－1,2]上的最大值小于m 即可．由(1)知f (x )极大值＝f (－23)＝5＋2227，f (x )极小值＝f (1)＝72.又f (－1)＝112， f (2)＝7，所以f (x )在[－1,2]上的最大值为f (2)＝7. 所以m >7.。
高中数学选修1-1(人教A版)第三章导数及其应用3.1知识点总结含同步练习及答案
当点 Pn 趋近于点 P (x 0 , f (x 0 )) 时，割线 P Pn 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P T 称为点 P 处的切线（tangent line）． 割线 P Pn 的斜率是
kn =
f (x n ) − f (x 0 ) . xn − x0
当点 Pn 无限趋近于点 P 时， kn 无限趋近于切线 P T 的斜率． 函数 f (x) 在 x0 处的导数 f ′ (x0 ) 的几何意义，就是曲线 y = f (x) 在点 (x0 , f (x 0 ) 处的导数就是切线 P T 的斜率 k ，即
y ′ ，即 f ′ (x) = y ′ = lim
Δx→0
f (x + Δx) − f (x) ． Δx
例题： 求函数 y = 2 2 + 5 在区间 [2, 2 + Δx] 上的平均变化率，并计算当 Δx = 1 时，平均变化率的值． x 解：因为
2
Δy = 2 × (2 + Δx)2 + 5 − (2 × 2 2 + 5) = 8Δx + 2(Δx)2 ,
高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数
一、学习任务 1. 2.
了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义． 了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵．
二、知识清单
数列极限与函数极限 变化率与导数
三、知识讲解
1.数列极限与函数极限 描述： 数列极限 设 {xn } 为实数数列，a 为常数．若对任意给定的正数 ε ，总存在正整数 N ，使得当 n > N 时，有 |x n − a| < ε ，则称 数列 {x n }收敛于 a ，常数 a 称为数列 {x n } 的极限．并记作
人教新课标版(A)高二选修1-1 第三章导数及其应用综合例题
人教新课标版（A ）高二选修1-1 第三章 导数及其应用综合例题例1. 求下列函数的导数：（1）32x 3x 2y +=；（2）()()2x 33x 2y 2-+=；（3）2xcos 2x sinx y ⋅-=。
解：由函数的和（或差）与积的求导法则，可得（1）()()43433232x 9x 4x 9x 4x 3x 2x 3x 2y --=--='+'='⎪⎭⎫⎝⎛+'⎪⎭⎫ ⎝⎛='----。
（2）方法1：()()()()'-++-'+='2x 33x 22x 33x 2y 22()()33x 22x 3x 42⋅++-=9x 8x 182+-=。
方法2：∵()()6x 9x 4x 62x 33x 2y 232-+-=-+=， ∴9x 8x 18y 2+-='。
（3）∵x sin 21x 2x cos 2x sin x y -=⋅-=， ∴x cos 211y -='。
点拨：在可能的情况下，求导时应尽量少用甚至不用乘法的求导法则，所以，在求导之前，应利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可减少运算量。
例2. 求函数()11x y 32+-=的单调区间。
分析：先化成基本初等函数后再利用求导法则求导。
解：()24632x 3x 3x 11x y +-=+-=，所以()()2224351x x 61x 2x x 6x 6x 12x 6y -=+-=+-='，令0y ='，则0x =或1x ±=。
由上表可得函数()11x y 32+-=的递减区间为()0,∞-；递增区间为（0，∞+）。
点拨：有多个极值时，可用列表的方法求极值或单调区间。
例3. （2005·湖北）在函数x 8x y 3-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是 A. 3 B. 2C. 1D. 0解：由1y 0<'<得，18x 302<-<，即3x 362<<。
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《第三章 导数及其应用》质量评估
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．曲线y ＝12x 2－2x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线的倾斜角为( D )． A ．－135° B ．45° C ．－45° D ．135° 2．下列求导运算正确的是( B )． A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋3x ′＝1＋3x
2
B ．(log 2x )′＝
1
x ln 2
C ．(3x )′＝3x
log 3e
D ．(x 2
cos x )′＝－2x sin x
3．函数y ＝x 4
－2x 2
＋5的单调减区间为( A )． A ．(－∞，－1)及(0，1) B ．(－1，0)及(1，＋∞) C ．(－1，1)
D ．(－∞，－1)及(1，＋∞)
4．函数y ＝1＋3x －x 3
有(D )． A ．极小值－1，极大值1 B ．极小值－2，极大值3 C ．极小值－2，极大值2 D ．极小值－1，极大值3
5．函数f (x )＝
x 2
x －1
( B )．
A ．在(0，2)上单调递减
B ．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增
C ．在(0，2)上单调递增
D ．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减
6．函数y ＝x 4
－4x ＋3在区间[－2，3]上的最小值为(D )． A ．72 B ．36 C ．12 D ．0
7．已知f (x )＝x 3
＋ax 2
＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( D )． A ．－1＜a ＜2 B ．－3＜a ＜6 C ．a ＜－1或a ＞2
D ．a ＜－3或a ＞6
8．已知f (x )的导函数f ′(x )图象如右图所示， 那么f (x )的图象最有可能是图中的( A )．
9．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为( A )． A.827π B.1627π C.89π D.169π 10．设曲线y ＝x
n ＋1
(n ∈N *
)在(1，1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2 010x 1＋log 2
010x 2
＋…＋log 2 010x 2 009的值为( B )．
A ．－log 2 0102 009
B ．－1
C ．(log 2 0102 009)－1
D ．1
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 11．若f (x )＝x 3
，f ′(x 0)＝3，则x 0的值为________． 答案 ±1
12．曲线y ＝ln x 在点M (e ，1)处的切线的斜率是________，切线的方程为________． 答案 1
e
x －e y ＝0
13．函数y ＝x 3
＋x 2－5x －5的单调递增区间是________． 答案 ⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－35，(1，＋∞) 14．设x ＝－2与x ＝4是函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx 的两个极值点，则常数a －b 的值为________． 答案 21
三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(10分)设函数f (x )＝2x 3
－3(a ＋1)x 2
＋6ax ＋8，其中a ∈R .已知f (x )在x ＝3处取得极值．
(1)求f (x )的解析式；
(2)求f (x )在点A (1，16)处的切线方程．
16．(10分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2
＋x ＋1，试讨论函数f (x )的单调区间．
17．(10分)给定函数f (x )＝x 3
3－ax 2
＋(a 2
－1)x 和g (x )＝x ＋a 2
x
.
(1)求证：f (x )总有两个极值点；
(2)若f (x )和g (x )有相同的极值点，求a 的值．
18．(12分)已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋c 在x ＝－1与x ＝2处都取得极值． (1)求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间；
(2)若对x ∈[－2，3]，不等式f (x )＋32c <c 2
恒成立，求c 的取值范围．
19．(12分)若函数f (x )＝ax 3
－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.
(1)求函数的解析式．
(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，求实数k 的取值范围．。