一元二次方程的应用之动点问题
一元二次方程的应用——动点问题
点Q的运动方向是由B 运动速度都是1cm⁄s C C
运动时间未定
运动距离
点P的运动距离即 AP的长度 点Q的运动距离即 BQ的长度
例：在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=8,BC=6.点P由A点出发沿AC方向向点C 匀速移动，点Q由B点出发沿BC方向向点C匀 速移动，它们的速度都是1cm⁄s，几秒后 △PCQ的面积为△ABC面积的一半？
设时间为x，, 则可表示出CP=2x，BQ=x，QC=25-x
等量关系：P、Q两点相距25cm
解：设x秒后P、Q两点相距25cm.
在Rt△QCP中 QC2+PC2=PQ2
（25-x）2+（2x）2=252
5x2-50x=0
x1=0 （舍） ，x2=10 答：10秒后PQ相距25cm。
答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.
例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm， BC=25cm，动点P沿CA方向运动，速度是 2cm⁄s；动点Q从B点出发，沿BC方向运动， 速度是1cm⁄s，几秒后P、Q两点相距25cm？
分析
运动 点P的运动方向是由C 方向
A问题需要注意几个问题： 1、有几个动点？
2、怎样运动？即向哪儿运动？
3、运动的速度、时间、距离分别是多少？
例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6. 点P由A点出发沿AC方向向点C匀速移动，点Q 由B点出发沿BC方向向点C匀速移动，它们的速 度都是1cm⁄s，几秒后△PCQ的面积为 △ABC面积的一半？
若设时间为x， 则可表示出AP=x，BQ=x 所以PC=8-x， QC=6-x
等量关系：△PCQ的面积为△ABC面积的一半
列一元二次方程解应用题的四种类型 利润、增长率、面积、动点问题
列一元二次方程解应用题的四种类型（利润、增长率、面积、动点问题）1、商品销售问题售价—进价=利润单价×销售量=销售额一件商品的利润×销售量=总利润某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．如果商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？分析：设每件衬衫应该降价x元，则每件衬衫的盈利元；商场每天可以多销售件，则商场降价后每天售出的数量为件。
根据：利润=单件的利润╳数量，我们可以列出方程：解这个方程得：答：；例1. 某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利3圆；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？练习：1、某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？2、某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。
在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价3、某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？4、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且ＲＰ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。
一元二次方程——动点问题
Day5：一元二次方程之动点问题一元二次方程解决问题1．动点问题几何图形应用题，关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.常见题型：选择题、解答题，求最值问题.易错点：找准动点的关系.中考回顾：常考，求最值或三角形为直角三角形等等.例1如图，点O 在线段AB 上，AO=1，OB=2，OC 为射线，且∠BOC=120°，动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 作匀速直线运动．设运动时间为t 秒，当△ABP 为直角三角形时，t 的值为（）A．t=1B．t=1或8﹣C．t=8D．t=1或8例2如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止，其中P、Q不与A、B重合.（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm2？请说明理由.例3如图，在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0,2）、C（6,0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D.点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为t秒，则当t为何值时，△PBQ为直角三角形？参考答案1.【答案】B【考点】本题考查了动点问题，结合三角形，注意画出图形，帮助理解．【解析】如图1，当∠PAB=90°时，∵∠BOC=120°，∴∠AOP=60°，∴∠APO=30°，∴OP=2OA=2，∵OP=2t，∴t=1；如图2，当∠APB=90°，过P 作PD⊥AB，∵∠OPD=120°﹣90°=30°，∴OD=12∴AD=AO﹣OD=1﹣t，在Rt△ABP 中，根据勾股定理得：AP 2+BP 2=AB 2，即（2+t）222+（1﹣t）2=32，解得：t=8﹣（负值舍去）；当∠ABP=90°时，此情况不存在；综上，当t=1或t=8﹣时，△ABP 是直角三角形．2.【答案】（1）1秒（2）2秒（3）不能【考点】一元二次方程在三角形中动点问题的应用.【解析】（1）设x 秒后，△PBQ 的面积等于4cm².此时，AP=x cm，PB=（5-x）cm，BQ=2x cm，由S △PBQ =4BQ PB 21=∙得()42-521=∙x x ，整理得0452=+-x x ，解得x 1=1，x 2=4.当x=4时，2x=8>7，不合要求.所以1秒后，△PBQ 的面积等于4cm².（2）设x 秒后，PQ 的长度等于5cm.由PB 2+BQ 2=5²得（5-x）²+（2x）²=5²整理得x²-2x=0，解得x 1=0（舍去），x 2=2.经检验，x=2符合要求，所以2秒后，PQ 的长度等于5cm.（3）不能.理由：设x 秒后，△PBQ 的面积等于7cm²，由题意得()72-521=∙x x ，整理得x²-5x+7=0，03-28-25<==∆，此方程无解，所以△PBQ 的面积不可能等于7cm².3.【答案】t=2或55+=t 或5-5=t 【考点】该题考查的是一元二次方程与直角坐标系结合的动点应用题型.【解析】过点P 作PG⊥OC，垂足为G.在Rt△POG 中，∵∠POG=45°，∴∠OPG=45°，∵OP=t 2，∴OG=PG=t，∴点P（t，t），又∵Q（2t，0），B（6,2），根据勾股定理可得PB²=（6-t）²+（2-t）²，QB²=（6-2t）²+2²，PQ²=（2t-t）²+t²=2t².在P、Q 移动过程中，PQ 始终与OD 垂直，容易得知∠BPQ 不可能等于90°.①若∠PQB=90°，则有PQ²+QB²=PB²，即2t²+[（6-2t）²+2²]=（6-t）²+（2-t）²，整理得4t²-8t=0，解得t 1=0（舍去），t 2=2，∴t=2.②若∠PBQ=90°，则有PB²+QB²=PQ²，∴[（6-t）²+（2-t）²]+[（6-2t）²+2²]=2t²，整理得t²-10t+20=0，解得t=5±5.∴当t=2或55+=t 或5-5=t 时，△PQB 为直角三角形.。
一元二次方程的应用之动点问题
飞机航线问题
一架飞机以速度v0从机场起飞，以角度θ和速度v1改变航向，最终飞向位于d距离处的目的地。
集训队掉队问题
两个集训队进行长跑训练，已知甲队每分钟跑400米，乙队每分钟跑300米， 求甲队领先乙队的时间和距离。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一元二次方程的应用之动 点问题
了解一元二次方程在动点问题中的应用。介绍动点问题的概念和常见场景， 回顾一元二次方程的概念和求解方法，以及解决动点问题的思路。探讨各种 实际问题，从车辆行驶到射击训练。
动点问题的基本概念介绍
动点问题是指描述运动中物体位置随时间变化的数学问题。通过一元二次方 程模型，我们能够分析和解决各种动点问题。
动点问题的常见场景
某车辆行驶问题
人跑步问题
分析车辆的位移和速度随时间的变
研究人的速度和位置关系，解决跑
化，解决关于车辆行驶距离的问题。 步速度和时间的关联问题。
弹射问题
探讨弹射物的抛射高度与发射角度、 速度之间的关系。
某车辆行驶问题
一辆车以匀减速行驶，在t=0时刻开始减速，当速度减至0时停下。已知车辆 总行程为S，求车辆的减速度和总的减速时间。
人跑步问题
一个人跑步以恒定速度v1从起点出发，在t1时刻以恒定速度v2超过位于d距离 处的另一个人，求v1和v2之间的关系。
弹射问题
如果我们以速度v和角度θ把一个抛射物发射到水平面上某一目标点，求v和θ之间的关系。
抛物线下落问题
一个物体从某一高度h以速度v0抛出，求该物体抛出后的落地点和落地时间。
九年级数学上册复习专题05一元二次方程围栏问题与动点问题(1)
专题05围栏问题与动点问题【1】围栏问题解题技巧：围墙问题与面积问题相比，因存在围墙的原因，多一个判断未知数取值范围的过程，具体步骤为：①根据题意，列等量关系式；②设未知数；（一般设垂直于墙的边为x，另一半为总长减去垂直于墙的边数乘以x）③列方程；④求解方程；⑤依据围墙的限制，求未知数的取值范围；（0＜水平墙的长度≤墙长）⑥根据未知数的取值范围，确定答案。
【2】动点问题解题技巧：解决动点问题的一般方法为：设运动的时间或路程为x，再用含x的代数式表示相关的线段或几何关系，从而建立方程或函数关系。
方法：①首先找出动点的路程所表示线段；②设时间为x（或t）；③表示出动点的路程（路程=动点速度×时间x）；④表示出剩下的线段长；⑤由题目中的等量关系列方程（面积或者勾股定理列方程）；1．如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为50m2的矩形ABCD场地？能围成一个面积为52m2的矩形ABCD场地吗？如能，说明围法；若不能，说明理由．【答案】详解见解析；不能，理由见解析【解析】【分析】设垂直于墙的一边AB长为xm，那么另一边长为（20﹣2x）m，可根据长方形的面积公式即可列方程进行求解．【详解】解：设垂直于墙的一边AB长为xm，那么另一边长为（20﹣2x）m，由题意得x（20﹣2x）＝50，解得：x1＝x2＝5，（20﹣2×5）＝10（m）．围成一面靠墙，其它三边分别为5m，10m，5m的矩形．答：不能围成面积52m2的矩形ABCD场地．理由：若能围成，则可列方程x（20﹣2x）＝52，此方程无实数解．所以不能围成一个面积为52m2的矩形ABCD场地．【点睛】本题主要考查了一元二次方程及其实际应用，其中根据题目信息列出相应的方程式是解题的关键．2．列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m 长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．【答案】30m，20m【解析】【分析】设当茶园垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据茶园的面积为600m2，列出方程并解答．【详解】设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600，整理，得x2﹣35x+300＝0，解得x1＝15，x2＝20，当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出方程是解题的关键．3．如图，要建一个面积为150平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙平行的一边，要开一扇3米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库与墙垂直的一边应长多少米？【答案】10米【解析】【分析】设垂直于墙的一边长为x 米，结合题意可得到平行于墙的一边长为3223x -+米，再通过面积150平方米列出等式，从而计算得到答案．【详解】设垂直于墙的一边长为x 米，则平行于墙的一边长为()3223x -+米，由题意得()3223150x x ⨯-+=∴22351500x x -+= ∴1152x =，210x = 当10x =时，32231518x -+=＜ 当152x =时，32232018x -+=＞（152x =不符合题意，舍去） ∴这个仓库与墙垂直的一边应长10米．【点睛】本题考察了二元一次方程的知识；求解的关键是熟练掌握二元一次方程并运用到实际问题的求解过程中，即可得到答案．4．如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长33m 的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过6米（围栏宽忽略不计)．()1每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园的边长；()2每个生态园的面积_ (填“能”或“不能”）达到108平方米．(直接填答案）【答案】（1）每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米；理由见详解（2）不能，理由见详解．【解析】【分析】（1）设每个生态园垂直于墙的边长为x 米，根据题意可知围栏总长33m ，所围成的图形是矩形，可得平行于墙的边长为()33+1.523x ⨯- 米，由此可得方程为()33+1.523482x x ⨯-=⨯，解方程即可．（2）由（1）可知生态园的面积为：()33+1.523S x x =⨯-，把每个生态园的面积为108平方米代入解析式，然后根据根的判别式来得出答案．【详解】（1）解：设每个生态园垂直于墙的边长为x 米， 根据题意得：()33+1.523482x x ⨯-=⨯整理，得：212320x x +=﹣，解得：1=4x 、2=8x （不合题意，舍去），∴ 当=4x 时，33+1.523363424x ⨯-=-⨯=，∴242=12÷．答：每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米．（2）由（1）及题意可知：()33+1.5231082x x ⨯-=⨯整理得：212720x x +=﹣()22=41241721440b ac ∆-=--⨯⨯=-＜ ∴原方程无实数根∴每个生态园的面积不能达到108平方米．故答案为：不能．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是通过题意设出未知数得到平行于墙的边长，要注意每个生态园开有1.5m 的门，然后根据题意列出一元二次方程即可；在解第二问时要注意利用一元二次方程根的判别式来分析． 5．如图，有长为30m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m ），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB ）的长方形花圃．（1）设花圃的一边AB 为xm ，则BC 的长可用含x 的代数式表示为______m ；（2）当AB 的长是多少米时，围成的花圃面积为63平方米？【答案】（1）30－3x ；（2）7【解析】【分析】（1）由AB 的长为xm ，结合长为30m 的篱笆即可表示出BC 的长为：（30﹣3x ）m ；（2）根据AB 及BC 的长可表示出花圃的面积，令该面积等于63，求出符合题意的x 的值，即是所求AB 的长．【详解】解：（1）由题意得：BC ＝30﹣3x ，故答案为：30﹣3x ；（2）由题意得：﹣3x 2+30x ＝63．解此方程得x 1＝7，x 2＝3．当x ＝7时，30﹣3x ＝9＜10，符合题意；当x ＝3时，30﹣3x ＝21＞10，不符合题意，舍去；故当AB 的长为7m 时，花圃的面积为63m 2．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解．6．某农场要建一个饲养场（长方形ABCD ），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为27米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，设饲养场（长方形ABCD ）的宽为a 米（1）饲养场的长为________米（用含a 的代数式表示）（2）若饲养场的面积为2882m ，求a 的值【答案】（1）603a -；（2）12【解析】【分析】（1）用总长减去3a 后加上三个1米宽的门即为所求；（2）根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可，注意a 的范围讨论．【详解】（1）∵如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，∴饲养场的长为57133603a a +⨯-=-，故答案为：603a -；（2）根据（1）的结论，饲养场面积为()603288a a -=，解得12a =或8a =；当8a =时，60360243627a -=-=>，故8a =不全题意，舍去，当12a =时，6032427a -=<，则12a =；答：a 的值为12．【点睛】本题考查了列代数式、一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．7．如图,现有长度100米的围栏，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，BC 的长度不大于墙长。
一元二次方程的应用题分类题型汇总
一元二次方程的应用（设未知数——找等量关系——求解——检验）一、商品销售问题售价—进价=利润单价×销售量=销售额一件商品的利润×销售量=总利润1、某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？2、某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。
在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价3、某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？4、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且ＲＰ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。
（１）当日产量为多少时每日获得的利润为１７５０元？（２）若可获得的最大利润为１９５０元，问日产量应为多少？二、行程问题路程=速度*时间相遇路程=速度和*相遇时间追及问题=速度差*追及时间顺水速度=船速（静水中的速度）+ 水流速度逆流速度=船速（静水中的速度）—水流速度1、甲乙二人分别从相聚20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果甲到达B地后乙还需30分钟才能到达A地，求乙每小时走多少千米？2、甲、乙两个城市间的铁路路程为1600公里，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加20公里/小时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有的安全条件下安全行驶速度不得超过140公里/小时.请你用学过的数学知识说明在这条铁路现有的条件下列车还可以再次提速.3、一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35千米/时的速度前进，突然，1号队员以45千米/时的速度独自前进，行进10千米后调转车头，仍以45千米/时的速度往回骑，直到与其他队员会合，1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了多少时间。
秋九年级数学上册 第2章 一元二次方程 2.5 一元二次方程的应用 第2课时 图形面积和动点几何问题
第2课时 图形面积和动点几何问题知|识|目|标1．通过讨论、探究，会用一元二次方程解决图形面积问题．2．在理解直角三角形面积计算的基础上，能够建立一元二次方程解决与动点有关的几何问题．目标一 能利用一元二次方程解决图形面积问题例1 教材例3针对训练如图2－5－2，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一块长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a 米．(1)用含a 的式子表示花圃的面积；(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的38，求出此时通道的宽． 图2－5－2【归纳总结】利用图形的面积建立一元二次方程模型的步骤(1)设元；(2)用未知数表示各边的长度；(3)利用面积公式列一元二次方程；(4)解一元二次方程；(5)针对实际情况舍去负根和超X围的根，从而得出结果．目标二利用一元二次方程解决动点几何问题例2 教材补充例题在矩形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t s(t>0)．(1)填空：BQ＝________ cm，PB＝________ cm(用含t的代数式表示)．(2)当t为何值时，PQ的长度等于5 cm?(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【归纳总结】利用一元二次方程解决动点问题的方法(1)构造直角三角形法，利用勾股定理建立一元二次方程．(2)等线段法，利用三角形全等构造两线段相等，建立一元二次方程；(3)等面积法，利用三角形面积(或三角形高)的变化建立面积等式．实现将几何问题转化为代数问题，从而加以解决．知识点利用一元二次方程解几何图形问题常用的等量关系有：(1)勾股定理；(2)面积的等量关系．[点拨] 在建立一元二次方程模型解几何图形实际问题的过程中，必须检验方程的根的实际意义，所求得的根应该保证几何图形的存在．如图2－5－3，某农场有一块长40 m ，宽32 m 的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140 m 2，求小路的宽．图2－5－3解：解法1：设小路的宽为x m ，则东西方向小路的面积为40x m 2，南北方向小路的面积为32x m 2. 则40×32－40x －32x ＝1140，解得x ＝3518. 所以小路的宽为3518m. 解法2：设小路的宽为x m ，将4块种植地平移为一个矩形，其长为(40－x )m ，宽为(32－x )m.根据矩形面积公式，得(40－x )(32－x )＝1140，整理得x 2－72x ＋140＝0.解得x 1＝2，x 2＝70.答：小路的宽应是2 m 或70 m.以上两种解法正确吗？若不正确，出现错误的原因是什么？请给出正确的答案．详解详析【目标突破】例1 解：(1)由图可知，花圃的面积为(40－2a)(60－2a)平方米．(2)由已知可列方程：60×40－(40－2a)(60－2a)＝38×60×40，解得a 1＝5，a 2＝45(舍去)．答：此时通道的宽为5米．例2 解：(1)2t (5－t)(2)由题意得(5－t)2＋(2t)2＝52，解得t 1＝0(不合题意，舍去)，t 2＝2.∴当t ＝2时，PQ 的长度等于5 cm .(3)存在．∵矩形ABCD 的面积是5×6＝30(cm 2)，五边形APQCD 的面积等于26 cm 2，∴△PBQ 的面积为30－26＝4(cm 2)，∴(5－t)×2t×12＝4， 解得t 1＝4(不合题意，舍去)，t 2＝1.即当t ＝1时，五边形APQCD 的面积等于26 cm 2.备选题型 用一元二次方程解决存在性问题例 用一根长22 cm 的铁丝，能不能恰好折成一个面积为32 cm 2的矩形？试分析你的结论．解：设折成的矩形的长为x cm ，则宽为(11－x)cm ，矩形的面积为x(11－x)cm 2，依题意，得x(11－x)＝32，化简为x 2－11x ＋32＝0， Δ＝b 2－4ac ＝(－11)2－4×1×32＝121－128＝－7＜0，因此方程无实数根，则用长为22 cm 的铁丝不能折成一个面积为32 cm 2的矩形．【总结反思】[反思] 解：两种解法都不正确，解法1多减去了两条小路交叉重叠的小正方形的面积，因此正确的方程是40×32－40x －32x ＋x 2＝1140；解法2没有考虑方程的根是否符合实际意义，因为x＜32，显然x＝70不符合题意．正确的答案为x＝2，即小路的宽为2 m.。
第21章一元二次方程的应用-面积、动点、小应用题(教案)
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，特别是在面积和动点问题中的应用，增强学生的数学应用意识。
2.提升学生逻辑思维和推理能力，通过分析问题、建立一元二次方程模型，培养学生严谨的数学思维。
3.培养学生的空间想象力和图形感知能力，结合坐标系和几何图形，提高学生对几何问题的理解和解决能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程在实际问题中的基本应用。一元二次方程是描述两个变量之间二次关系的数学模型，它在解决面积计算、动点问题等方面具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何利用一元二次方程解决实际的面积问题，以及如何计算动点的位置。
其次，在小应用题的讲解中，我发现学生们对一些题型的解题策略掌握不够熟练。这可能是因为我在教学中对这类问题的讲解不够详细，或者练习量不足。为此，我计划在接下来的课程中，增加一些具有代表性的小应用题，让学生们多加练习，提高解题能力。
此外，在实践活动和小组讨论环节，学生们表现出了很高的积极性，能够主动参与到讨论和实验操作中。这说明他们对于动手实践和合作学习的方式非常感兴趣。但在这一过程中，我也发现有些学生在讨论中过于依赖同伴，独立思考能力有待提高。因此，我将在后续的教学中，注重培养学生的独立思考能力，鼓励他们大胆提出自己的观点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一元二次方程的应用-面积、动点、小应用题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算面积或解决移动点位置的问题？”（如户外活动场地面积的测量、机器人路径规划等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程在这些方面的奥秘。
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例题赏析
（2）如果P、Q分别从A、B出发，并且P到B后又继续在BC边上前
一元二次方程在 质点运动中的应 用
进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒钟后使△PCQ的面积等 于12.6cm ？ C
2 解:(2)经x秒，点 P移动到BC上，并且有CP=(14-x) 厘米，
点Q移动到CA上，并且使CQ=(2x- 8)厘米，
例题赏析
如图2-8,某海军基地位于点A处,在其正南方向200海里处有一 重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D位 于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC上且恰好处于小 岛D的正南方向.一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给 船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送 达军舰. A (1) 小岛D和小岛F相距多少海里?
过Q作QD⊥CB，垂足为D，由△CQD∽△CAB， 注意 DQ AB 3 ( 2 x 8 ) 得 . 即 QD = . 验算
Q
D
2 x 8 AC 5 1 3(2 x 8) (14 x) 12.6. 注意隐 得 A 2 5 含条件 即 x 2 18x 77 0. 解之得: x1 7, x2 11.
P B
经7秒，点P在BC上距离C点7cm处，点Q在CA上距离C点6cm处， 使△PCQ的面积等于12.6cm 2 .
经11秒，点P在BC上距离C点3cm处，点Q在CA上距离C点14厘米处， 14>10，点Q超出CA的范围，此解不存在．
如图,已知A、B、C、D为矩 A 形的四个顶点,AB=16㎝,AD=6㎝,动 P 点P、Q分别从点A、C同时出发,点P 以3㎝/s的速度向点B移动,一直到点 B为止,点Q以2㎝/s的速度向点D移动. B 问:P、Q两点从出发开始几秒时,四边形 PBCQ的面积是33c㎡
(2) 已知军舰的速度是补给船的2 倍,军舰在由B到C的途中与补给船 相遇于E处,那么相遇时补给船航行 了多少海里?（结果精确到0.1海里）
B
北 D 东
E
F
C
图
2-8
例题赏析
如图2-8,某海军基地位于点A处,在其正南方向200海里处有一 重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D位 于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC上且恰好处于小 岛D的正南方向.一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给 船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送 达军舰. (1) 小岛D和小岛F相距多少海里? 图 2-8 A 分析: 连接DF,根据题意得,
点P从点A沿AB向点B以1cm/s的速度移动； 同时，点Q从点B沿BC向点C以2cm/s的速 度移动，
（1）几秒后△PBQ的面积 等于8 cm2？ （2）几秒后PQ⊥DQ? （3）△PDQ的面积能为 8cm2吗?为什么
例题赏析
1．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm， 点P从点A开始沿AB边向B以1厘米/秒的速度移动， 点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动． C （1）如果P、Q分别从A、B同时出发， 经几秒钟，使△PBQ的面积为8cm 2 ？ （2）如果P、Q分别从A、B出发，并 且P到B后又继续在BC半上前进，Q到C后 又继续在CA边上前进，经过几秒钟后使 △PCQ的面积等于12.6cm 2 . A P
DF BC, AB BC DFC 90, ABC 90 200 AB 200海里 , BC 200海里 ΔABC为等腰直角三角形 C 45 B DC 1 另外易证, DFC ABC 且相似比 AC 2 1 DF AB 100 (海里) 2
1 s军舰 2 ∴相同时间内两船的行程之比为 B s补给船 1 v补给船
东
? 若设相遇时补给船的行程DE为x海里,则相遇时军舰 200 的行程应为 2x 海里.图上哪一部分对应的是军舰的行程?
E
F
45º C
例题赏析
答:相遇时补给船航行了约118.4海里. (2) 已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰 在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么 相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确 到0.1海里,其中 )
例
D
Q C
A P 问(1)P、Q两点从出发开始几秒时, 四边形PBCQ的面积是33c㎡ B
D
Q C
分析:四边形PBCQ的形状是梯形,上下底,高 各是多少?
（2）P,Q两点从出发开始经过几秒，两点 之间的距离为 53
6 2.449A来自图D2-8
北
200
东
解: 若设相遇时补给船的行程DE为x海里, 则相遇时军舰的行程应2x为海里, , AB BE 2 x海里 即 DE x海里 另外易证 ΔDFC为等腰直角三角形
x
B
100 F 200 45º C
E
?
FC DF 100(海里 ) 100 6 EF BC BE FC 118 .4 x1 200 3 200 2 x 200 100 100 6 300 2 x (海里 ) x2 200 3 在RtDEF中, 根据勾股定理可得方程 2 281 .6 >200 x 2 1002 300 2x 2 ∵ DE<AB 即DE<200 整理,得 3x 1200x 100000 0 (不合题意,舍去)
Q
B
例题赏析
1．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从 点A开始沿AB边向B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿BC 边向点C以 2厘米/秒的速度移动． （1）如果P、Q分别从A、B 同时出发，经几秒钟，使△PBQ的面积为 8cm 2？
解:(1)设x秒时,点P在AB上,点Q在BC上,并且使△BPQ 的面积为8cm, PB=（6-x)cm，BQ=2x cm. 得
D
北
东
?
45º
~
E
F 200
C
例题赏析
如图2-8,某海军基地位于点A处,在其正南方向200海里处有一 重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D位 于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC上且恰好处于小 岛D的正南方向.一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给 船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送 达军舰. (2) 已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰 A 图 2-8 北 在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么 相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确 D 到0.1海里,其中 6 2.449 ) 200 v军舰 2 分析: ∵两船速度之比为 x 100
2 1 (6 x) 2 x 8， 2
C
x 6 x 8 0，
解得
2
注意 检验
Q
A P B
x1 2, x2 4.
2
经过2秒钟,点P距离B点4cm,点Q距离B点4cm;或经过4秒, 点P距离B点2cm,点Q距离B点8cm处,△BPQ的面积为8cm2 . 答：经几秒钟，使△PBQ的面积为 8cm
练一练
如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm， 点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移 动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度 移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么 几秒后五边形APQCD的面积为64cm？
P A B
Q
D
C
• 思考与探索： • 如图在矩形ABCD中，AB=6，BC=12，