【浙江全A计划学业水平复习高中数学】考点3基本不等式
(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高中数学复习及知识点：基本不等式
x
（4）已知T x
4x2 2x
4x 1
5
,
x
>0,1@
，求函数
T
x
的值域
独家补充 2：已知 f x x a a ! 0 , x z 0
x
（1）判断 f x 的单调性并证明
B． ab 有最小值 D． 1 有最大值
a b
③狭义权方和不等式
独家补充 14：
（1）当 a,b, x,
y
!
0
时，求证：
a2 x
b2 y
t
a b 2
xy
（2）当 x, y ! 0 时，已知 1 2 2 ，求 x y 的最小值
xy
（3）当 x, y ! 0 时，已知 1 2 2 ，求 x 2y 的最小值
xy
（4）设 a ! 1,b ! 0, a b
2
，求
a
1
1
2 b
最小值
（5）已知实数
a
!
0
，
b
!
0
，
a
1
1
b
1
1
1 ，则 a 2b 的最小值为（
2
）
A． 2 2
B． 6 4 2
C． 3 2 2
D． 3 4 2
（6） x, y 为正实数，且 x y
1 ，则
x2 x2
（2）证明 f (x) 的奇偶性
（3）画出 g x x 4 x R, x z 0 的简图，并直接写出它单调区间
x
《基本不等式》 知识清单
《基本不等式》知识清单一、基本不等式的形式基本不等式是高中数学中的一个重要知识点，它有两种常见形式：1、对于任意两个正实数 a 和 b，有\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼），当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
2、如果\（a\gt 0\），＼（b\gt 0\），则\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
这两个形式本质上是等价的，它们都反映了两个正数的算术平均数不小于几何平均数的重要关系。
二、基本不等式的证明我们先来证明第一个形式\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼）。
因为\（（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2 ＼geq 0\），展开得到：＼＼begin{align}a 2\sqrt{ab} ＋b ＆＼geq 0\＼a ＋b ＆＼geq 2\sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（＼sqrt{a} ＼sqrt{b} ＝ 0\），即\（a ＝ b\）时，等号成立。
对于第二个形式\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），证明如下：因为\（（a b)＾2 ＼geq 0\），所以\（a^2 2ab ＋ b^2 ＼geq 0\），移项得到\（a^2 ＋ 2ab ＋ b^2 ＼geq 4ab\），即\（（a ＋ b)＾2 ＼geq 4ab\）。
因为\（a\gt 0\），＼（b\gt 0\），所以\（a ＋ b ＼gt 0\），两边同时除以 4 得到：＼＼begin{align}＼frac{（a ＋ b)＾2}｛4} ＆＼geq ab\＼＼frac{a ＋ b}｛2} ＆＼geq ＼sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
三、基本不等式的应用1、求最值基本不等式在求最值问题中有着广泛的应用。
例如，求函数\（y ＝ x ＋＼frac{1}｛x}＼）（＼（x\gt 0\））的最小值。
高三数学知识点总结3：基本不等式
基本不等式1.基本不等式：2b a ab +≤.（一正、二定、三相等） （1）基本不等式成立的条件：0,0≥≥b a .（2）等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号. 2.算术平均数与几何平均数设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为,2b a +几何平均数为,ab 基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数.3.几个重要的不等式（1）),(222R b a ab b a ∈≥+；（2）)0,0(2≥≥≥+b a ab b a ；（3）),(4)(2R b a b a ab ∈+≤；（4）222)()(2b a b a +≥+（R b a ∈,） 4.利用基本不等式求最值问题已知,0,0>>y x 则（1）如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p （2）如果和y x +是定值,s 那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.4s 2注：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正（各项均为正），二定（积或和为定值），三相等（等号能否取得）”，若忽略了某个条件，就会出现错误.解答题用基本不等式求最值一定要说明何时取等号，不说明会扣分。
如果多次用基本不等式求最值，必须保持每次取“=”的一致性.5.注意：正负要判断，等号要考虑例（1）已知,45<x 函数54124-+-=x x y 的最大值为_________答案：1. （2）函数4522++=x x y 的最小值是_________答案：.25 6.“1”的代换问题：例（3）设,32,0,0=+>>b a b a 则11a b+最小值是 答案：3223+. （4）已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足,,,R y x AC y AB x AP ∈+=则xy y x +4的最小值是 .答案：9.7.“y x +”与“xy ”的互相转化例（5）若正实数y x ,满足,62++=y x xy 则xy 的最小值是_________答案：18.（6）设y x ,为实数，若,1422=++xy y x 则y x +2的最大值是_________答案：.5102 8.巧妙运用换元法 例（7）设y x ,是正实数，且,1=+y x 则1222+++y y x x 的最小值是_________答案：41. （8）若,0,0>>b a 且,11121=+++b b a 则b a 2+的最小值为________答案：.321+ 9.灵活使用消元法例（9）已知正实数y x ,满足,42=++y x xy 则y x +的最小值为_____答案：62.3-（10）若ABC ∆的内角满足,sin 2sin 2sin C B A =+则C cos 的最小值是_____答案：.426-。
高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高考数学-基本不等式(知识点归纳) 高中数学基本不等式的巧用一、基本不等式1.若$a,b\in\mathbb{R}$，则$a+b\geq 2ab$，$ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}$（当且仅当$a=b$时取“=”）2.若$a,b\in\mathbb{R}$，则$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$（当且仅当$a=b$时取“=”）3.若$x>1$，则$x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$时取“=”）；若$x<1$，则$x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当$x=-1$时取“=”）；若$x\neq 0$，则$x+\frac{1}{x}\geq 2$或$x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当$x=1$或$x=-1$时取“=”）4.若$a,b>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当$a=b$时取“=”）；若$ab\neq 0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$或$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\leq -2$（当且仅当$a=b$时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最大值，正所谓“积定和最小，和定积最大”。
2）求最值的条件“一正，二定，三取等”。
3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用。
应用一：求最值例1：求下列函数的值域1.$y=3x+\frac{11}{2}$2.$y=x+\frac{1}{2x}$解：（1）$y=3x+\frac{11}{2}\geq 6$，所以值域为$[6,+\infty)$。
2）当$x>0$时，$y=x+\frac{1}{2x}\geq 2$；当$x<0$时，$y=x+\frac{1}{2x}\leq -2$；当$x=0$时，$y$无定义。
2020年浙江高三数学总复习：基本不等式复习讲义
3
3
ab
2
3. 若实数 x,y 满足 xy=1, 则 x2+2y2 的最小值为
.
解析 : 因为 x2+2y2≥ 2 =2 x2 2 y2 2 ,
当且仅当 x2=2y2 时取“ =” ,
所以 x2+2y2 的最小值为 2 2 .
答案 :2 2
4. 已知 a,b 为正数且 a+b=1, 则(1+ 1 )(1+ 1 ) 的最小值为
能成立 , 才能利用基本不等式求最值 .
2. 与基本不等式相关联的结论
用 f(x)+ b ≥2 b (b>0) 或 f(x)+ b ≤-2 b (b>0), 求最值时 , 若使等
f (x)
f (x)
号成立的条件不存在 , 常借助函数 y=x+ b (b>0) 的图象和单调性求式 x
子的最值 .
1. 已知 a,b ∈R,a,b ≠0, 则“ a>0,b>0”是“ a b ≥ ab ”的 ( C ) 2
.
a
b
解析 : 因为 a+b=1,
所以原式 =(1+ a b )(1+ a b )
a
b
=(2+ b )(2+ a )
a
b
=5+2( b + a ) ≥9, ab
当且仅当 a=b=1 时取等号 , 2
所以最小值52 页)
考点一 利用基本不等式求最值
【例 1】 (1)(2018 ·浙江六校联考 ) 已知 x>0,y>0, 且 x+y+ 1 + 1 =5, 则 xy
a1 b1 a1 a 1 a1
高中数学基础之基本不等式
高中数学基础之基本不等式理解基本不等式ab ≤a ＋b2(a ＞0，b ＞0)，会利用不等式的性质证明，发展逻辑推理素养；了解基本不等式的几何解释，发展直观想象素养；结合具体实例，形成用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题的基本模型，发展数学运算核心素养．高中数学，基本不等式在不等式部分处于核心地位，学生需要掌握它的“正、定、等”的特征及它在解决求最值、比较大小、证明不等式等方面的巧妙应用．高考中考查利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等，常与函数结合命题，解题时要注意应用基本不等式ab ≤a ＋b 2的三个前提条件：(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b 2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．不等式链：21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0).即：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数 利用基本不等式求最值已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记：积定和最小).(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值s 24(简记：和定积最大).一、利用基本不等式求最值例1 已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 答案 23解析 x (4－3x )＝13(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋（4－3x ）22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时取等号．例2 已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．答案 1解析 因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 例3 函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．答案 23＋2解析 y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2，当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立． 例4 已知正数m ，n 满足m ＋2n ＝8，则2m ＋1n 的最小值为________，等号成立时m ，n 满足的等量关系是________．答案 1 m ＝2n解析 因为m ＋2n ＝8，所以2m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1n ·m ＋2n 8＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋4n m ＋m n ≥18⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋24n m ·m n ＝18×(4＋4)＝1，当且仅当4n m ＝mn ，即m ＝2n 时等号成立．例5 已知x >0，y >0且x ＋y ＝5，则1x ＋1＋1y ＋2的最小值为________． 答案 12解析 令x ＋1＝m ，y ＋2＝n ，∵x >0，y >0，∴m >0，n >0，则m ＋n ＝x ＋1＋y ＋2＝8，∴1x ＋1＋1y ＋2＝1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ·18(m ＋n )＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ＋2≥18×(21＋2)＝12.当且仅当n m ＝m n ，即m＝n ＝4时等号成立．∴1x ＋1＋1y ＋2的最小值为12.例6 已知正实数a ，b 满足ab －b ＋1＝0，则1a ＋4b 的最小值是________． 答案 9解析 由ab －b ＋1＝0，得a ＝b －1b ，由a ＝b －1b >0且b >0，得b >1， 所以1a ＋4b ＝b b －1＋4b ＝1b －1＋4(b －1)＋5.易知1b －1＋4(b －1)≥4，所以1a ＋4b ≥9，当且仅当1b －1＝4(b －1)，即b ＝32，a ＝13时等号成立，故1a ＋4b 的最小值是9.例7 已知实数x >0，y >0，且x 2－xy ＝2，则x ＋6x ＋1x －y 的最小值为( )A ．6B ．6 2C ．3D ．32 答案 A解析 由x >0，y >0，x 2－xy ＝2得x －y ＝2x ，则1x －y ＝x 2，所以x ＋6x ＋1x －y ＝x ＋6x ＋x 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x ≥3×2x 2·2x ＝6，当且仅当x 2＝2x ，即x ＝2，y ＝1时等号成立，所以x ＋6x ＋1x －y 的最小值为6.例8 (多选)下列说法正确的是( )A ．若x >0，y >0，x ＋y ＝2，则2x ＋2y 的最大值为4B ．若x <12，则函数y ＝2x ＋12x －1的最大值为－1C ．若x >0，y >0，x ＋y ＋xy ＝3，则xy 的最小值为1D ．函数y ＝1sin 2x ＋4cos 2x 的最小值为9 答案 BD解析 对于A ，取x ＝32，y ＝12，可得2x ＋2y ＝32>4，A 错误；对于B ，y ＝2x ＋12x －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋11－2x ＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立，B 正确；对于C ，易知x ＝2，y ＝13满足等式x ＋y ＋xy ＝3，此时xy ＝23<1，C 错误；对于D ，y ＝1sin 2x ＋4cos 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2x ＋4cos 2x (sin 2x ＋cos 2x )＝cos 2x sin 2x ＋4sin 2x cos 2x ＋5≥24＋5＝9，当且仅当cos 2x ＝23，sin 2x ＝13时等号成立，D正确．故选BD.总结：利用不等式求最值的方法 1．配凑法配凑法的实质是代数式的灵活变形，即将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、凑系数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．利用基本不等式求最值应满足的三个条件要谨记：(1)一正：各项或各因式均为正；(2)二定：和或积为定值；(3)三相等：各项或各因式能取到使等号成立的值．利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．2．配凑法求解最值应注意的问题(1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件．3．常数代换法（乘1法）常数代换的实质是x×1＝x，所以关键是找到常数，从而找到结果为1的式子，然后通过乘积的运算，利用基本不等式解题．4．常数代换法（乘1法）求最值时应注意的两个方面(1)注意目标代数式的结构特征，看是否需要整体乘以“1”的替身；(2)注意常数的获得方式，要根据已知代数式的结构特征灵活处理．5．换元法求最值消元法，即先根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式，再进行最值的求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解，但应注意各个元的范围．对于含有多个变量的条件最值问题，若直接运用基本不等式无法求最值时，可尝试减少变量的个数，即根据题设条件建立两个变量之间的函数关系，然后代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值问题，即减元(三元化二元，二元化一元).6．如何正确选用方法来求最值(1)已知关于变量的等式，求解相关代数式的最值问题，采用配凑法；(2)已知两变量之间的和或倒数的和为常数时，求解有关代数式的最值问题，采用常数代换法（乘1法）．二、基本不等式的综合应用例9 已知f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x ＋1(a >0，b >0)在x ＝1处取得极值，则2a ＋1b 的最小值为( )A ．3＋223 B ．3＋22 C ．3 D ．9答案 C解析 因为f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x ＋1(a >0，b >0)，所以f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b －4. 因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以f ′(1)＝0，所以1＋2a ＋b －4＝0，解得2a ＋b ＝3. 所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·13(2a ＋b )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ＋2a b ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋22b a ·2a b ＝3(当且仅当a ＝b ＝1时取等号).故选C.例10 已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B解析 已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值大于或等于9，∵1＋a ＋y x ＋axy ≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立，∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4，即正实数a 的最小值为4.故选B.例11 在△ABC 中，A ＝π6，△ABC 的面积为2，则2sin C sin C ＋2sin B＋sin Bsin C 的最小值为( )A ．32B ．334C ．32D ．53 答案 C解析 由△ABC 的面积为2，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc sin π6＝2，得bc ＝8，在△ABC 中，由正弦定理得2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C ＝2c c ＋2b ＋b c ＝2·8b8b ＋2b ＋b 8b＝168＋2b 2＋b 28＝84＋b 2＋b 2＋48－12≥284＋b2·b2＋48－12＝2－12＝32，当且仅当b＝2，c＝4时，等号成立．故选C.例12若直线l：ax－by＋2＝0(a>0，b>0)经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，则1a＋1b的最小值为()A．2 2 B． 2 C．22＋1 D．2＋3 2答案D解析直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，所以圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心(－1，2)在直线ax－by＋2＝0上，可得－a－2b＋2＝0，即a＋2b＝2，所以1a＋1b＝12(a＋2b)⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b＝32＋12⎝⎛⎭⎪⎫2ba＋ab≥32＋2ba·ab＝32＋2，当且仅当2ba＝ab，即a＝22－2，b＝2－2时等号成立，所以1a＋1b的最小值为32＋ 2.故选D.总结：当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值．求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定成立的相关条件，从而得到参数的值或范围．基本不等式中“1”代换主要运用于知道“和为定值或者倒数的和为定值”，再将定值化为“1”．比如知道“a＋2b＝2”，求1a ＋1b的最小值，就可以用“1”代换．最后，在学生数学学科素养的培养上，通过如下具体措施来实现．数学抽象素养：基本不等式的形式以及推导过程；逻辑推理素养：基本不等式的证明；数学运算素养：利用基本不等式求最值；数据分析素养：利用基本不等式解决实际问题；数学建模素养：利用函数的思想和基本不等式解决实际问题．。
基本不等式考点总结
稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊基本不等式这个重要的考点哟！先来说说啥是基本不等式，其实就是那个大名鼎鼎的\(a^2 + b^2 \geq 2ab\)。
这可是个很厉害的家伙，能帮咱们解决好多数学问题呢！比如说，在求最值的时候，它可就派上大用场啦。
如果给了两个正数的和是一个定值，那它们的乘积就有最大值；反过来，如果两个正数的乘积是定值，那它们的和就有最小值。
这就像一个神奇的魔法，是不是很有趣？还有哦，在证明不等式的时候，基本不等式也能大展身手。
通过巧妙的变形和运用，就能轻松地得出结论。
做题的时候，可一定要注意条件，两个数得是正数哟，要不然这个魔法可就不灵啦！另外，要多做几道练习题，这样才能真正掌握基本不等式的精髓。
别害怕犯错，错了就改正，这样才能进步嘛！怎么样，小伙伴们，对基本不等式有没有多一些了解呀？稿子二嗨呀，小伙伴们！今天咱们好好唠唠基本不等式这个考点哈。
基本不等式，就像数学世界里的一把秘密武器。
你看，它简单的样子\(a^2 + b^2 \geq 2ab\)，却有着大大的能量。
比如说，碰到那种要你求面积最大、周长最小之类的问题，基本不等式一上场，就能帮咱们找到答案。
而且呀，它和函数也有关系呢。
有时候能通过基本不等式找到函数的最值，是不是很神奇？还有呢，在实际生活中，像计算成本最低、利润最高的时候，也能用到基本不等式。
感觉它就像个小，随时能帮咱们出谋划策。
不过要注意哟，用基本不等式的时候，可要看清楚条件。
要是不小心忽略了正数这个前提，那可就得出错误答案啦。
咱们得多琢磨琢磨例题，多思考思考，把基本不等式用得溜溜的。
相信自己，一定能搞定这个考点！好啦，小伙伴们，加油哦，让基本不等式成为咱们数学战场上的得力战将！。