2019-2020学年浙江省杭州高中高一(上)期末数学试卷

2019-2020学年浙江省杭州高中高一（上）期末数学试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 已知集合P＝{−1, 0, 1}，Q＝{x|−1≤x<1}，则P∩Q＝（）A.{0}B.[−1, 0]C.{−1, 0}D.[−1, 1)2. 若一个幂函数的图象经过点(2,14)，则它的单调增区间是（）A.(−∞, 1)B.(0, +∞)C.(−∞, 0)D.R3. 下列函数既是奇函数，又在区间[−1, 1]上单调递减的是（）A.f(x)＝sin xB.f(x)＝−|x+1|C.f(x)=12(a x+a−x) D.f(x)＝ln2−x2+x4. 函数y＝ln x+2x−6零点的个数为（）A.0B.1C.2D.35. 已知函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x2+1x，则f(−1)=( ) A.−2 B.0 C.1 D.26. 已知θ∈[π2,π]，则√1+2sin(π+θ)sin(π2−θ)=()A.sinθ−cosθB.cosθ−sinθC.±(sinθ−cosθ)D.sinθ+cosθ7. 在下列函数①y=sin(2x+π6)②y=|sin(x+π4)|③y＝cos|2x|④y=tan(2x−π4)⑤y＝|tan x|⑥y＝sin|x|中周期为π的函数的个数为（）A.3个B.4个C.5个D.6个8. 函数f(x)=2x2+3x2e x的大致图象是（）A. B.C. D.9. 已知函数f(x)＝2sin ωx （其中ω>0），若对任意x 1∈[−3π4,0)，存在x 2∈(0,π3]，使得f(x 1)＝f(x 2)，则ω的取值范围为（ ） A.ω≥3 B.0<ω≤3C.ω≥92D.0<ω≤9210. 已知函数f(x)是R 上的增函数，且f(sin ω)+f(−cos ω)>f(−sin ω)+f(cos ω)，其中ω是锐角，并且使得g(x)=sin (ωx +π4)在(π2, π)上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A.(π4, 54]B.[54, π2)C.[12, π4)D.[12, 54]二．填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）sin π6=________；cos α≥√22，则α∈________．函数y =(14)−|x|+1的单调增区间为________；奇偶性为________（填奇函数、偶函数或者非奇非偶函数）．若lg x ＝m ，lg y ＝n ，则lg √x −lg (y10)2=________；若a m ＝2，a n ＝6(a >0, m, n ∈R)，则a 3m−n2=2√33．函数y ＝cos x −sin 2x −cos 2x +74的值域为________−14,2] ；函数f(x)=3−sin x2+sin x 的值域为________23,4] ．设函数f(x)={√x(x ≥0)(12)x (x <0) ，则f （f(−4)）＝________．若α∈(π2,π)，sin (α+π4)=13，则sin α＝________已知函数f(x)=√x 2+a x 2−9，若f(x)的值域为[0, +∞)，则a 的取值范围________．三．解答题（本大题有5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）设全集为R ，A ＝{x|3<x <7}，B ＝{x|4<x <10}， （1）求∁R (A ∪B)及(∁R A)∩B ；（2）C ＝{x|a −4≤x ≤a +4}，且A ∩C ＝A ，求a 的取值范围．如图是f(x)＝A sin (ωx +φ)，(x ∈R,A >0,ω>0,0<φ<π2)在区间[−π6,5π6]上的图象，(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)若把函数f(x)图象向左平移β个单位(β>0)后，与函数g(x)＝cos 2x 重合，求β的最小值．已知函数f(x)=cos (x −π3)+2sin 2x2 (Ⅰ)求函数f(x)在区间[−π3,π2]上的值域(Ⅱ)把函数f(x)图象所有点的上横坐标缩短为原来的12倍，再把所得的图象向左平移φ个单位长度(0<φ<π2)，再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数g(x)，若函数g(x)关于点(3π4,0)对称(i)求函数g(x)的解析式；(ii)求函数g(x)单调递增区间及对称轴方程．已知m ≠0，函数f(x)＝sin x +cos x −m sin x cos x +1(Ⅰ)当m＝1时，求函数f(x)的最大值并求出相应x的值；(Ⅱ)若函数f(x)在[−π2,2π]上有6个零点，求实数m的取值范围．已知a为正数，函数f(x)＝ax2−12x−34,g(x)=log22x−log2x2+14．(Ⅰ)解不等式g(x)≤−12；(Ⅱ)若对任意的实数t，总存在x1，x2∈[t−1, t+1]，使得|f(x1)−f(x2)|≥g(x)对任意x∈[2, 4]恒成立，求实数a的最小值．参考答案与试题解析2019-2020学年浙江省杭州高中高一（上）期末数学试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1.【答案】 C 2. 【答案】 C 3. 【答案】 D 4. 【答案】 B 5. 【答案】 A 6. 【答案】 A 7. 【答案】 B 8. 【答案】 B 9. 【答案】 C 10.【答案】 A二．填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 【答案】12,[−π4+2kπ, π4+2kπ]，k ∈Z 【答案】[0, +∞),偶函数 【答案】 12m −2n +2【答案】[,[【答案】4【答案】4+√26【答案】[814, +∞)三．解答题（本大题有5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【答案】∵全集为R，A＝{x|3<x<7}，B＝{x|4<x<10}，∴A∪B＝{x|3<x<10}，∁R A＝{x|x≤3或x≥7}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤3或x≥10}，(∁R A)∩B＝{x|7≤x<10}．∵A＝{x|3<x<7}，C＝{x|a−4≤x≤a+4}，且A∩C＝A，∴A⊆C，∴{a−4≤3a+4≥7，解得3≤a≤7．∴a的取值范围是[3, 7]．【答案】（1）根据f(x)＝A sin(ωx+φ)，(x∈R,A>0,ω>0,0<φ<π2)在区间[−π6,5π6]上的图象，可得A＝1，2πω=5π6−(−π6)，∴ω＝2．再根据五点法作图，可得2⋅π3+φ＝π，∴φ=π3，∴f(x)＝sin(2x+π3)．（2）∵把函数f(x)图象向左平移β个单位(β>0)后，可得y＝sin(2x+2β+π3)的图象，由于所得图象与函数g(x)＝cos2x＝sin(2x+π2)的图象重合，∴2β+π3=2kπ+π2，k∈Z，故β的最小值为π12．【答案】（1）∵函数f(x)=cos(x−π3)+2sin2x2=12cos x+√32sin x+2⋅1−cos x2=√32sin x−12cox+1＝sin(x−π6)+1，在区间[−π3,π2]上，x−π6∈[−π2, π3]，故当x−π6=−π2时，f(x)取得最小值为0；当x−π6=π3时，f(x)取得最大值为√32+1，故函数f(x)在区间[−π3,π2]上的值域为[0, √32+1]．(2)(i)把函数f(x)＝sin(x−π6)+1图象所有点的上横坐标缩短为原来的12倍，可得y＝sin(2x−π6)+1的图象；再把所得的图象向左平移φ个单位长度(0<φ<π2)，可得y＝sin(2x+2φ−π6)+1的图象；再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数g(x)＝sin(2x+2φ−π6)的图象．若函数g(x)关于点(3π4,0)对称，则2×3π4+2φ−π6=kπ，k∈Z，∴φ=−π6，∴g(x)＝sin(2x−π2)＝−cos2x．(ii)对于函数g(x)＝−cos2x，令2kπ−π≤2x≤2kπ，求得kπ−π2≤x≤kπ，可得函数g(x)的单调递增区间为[kπ−π2, kπ]，k∈Z．令2x＝kπ，求得x=kπ2，可得函数g(x)的图象的对称轴方程为x=kπ2，k∈Z．【答案】（1）当m＝1时，f(x)＝sin x+cos x−sin x cos x+1，令t＝sin x+cos x=√2sin(x+π4)∈[−√2, √2]，且t2＝1+2sin x cos x，所以sin x cos x=t 2−12，则f(t)＝t−t 2−12+1=−12(t−1)2+2，因为t∈[−√2, √2]，所以当t＝1时，函数f(x)取最大值为2，此时√2sin(x+π4)＝1，解得x＝2kπ或π2+2kπ(k∈Z)；（2）∵x∈[−π2,2π]，∴x+π4∈[−π4,9π4]，则t＝sin x+cos x=√2sin(x+π4)∈[−√2, √2]，令f(x)=g(t)=t−m⋅t 2−12+1=0，故t+1=m⋅t2−12，易知t＝−1是方程g(t)＝0的一个解，且−1=√2sin(x+π4)在x+π4∈[−π4,9π4]有三个x与之对应，当t≠−1时，由t+1=m⋅t 2−12可得t=2m+1，故t=2m +1=√2sin(x+π4)在x+π4∈[−π4,9π4]也需有三个x与之对应，故2m+1∈(−1,1]，解得m<−1，所以实数m的取值范围为(−∞, −1)．【答案】（I）令log2x＝u(u∈R)，则不等式g(x)≤−12⇔u2−2u+14≤−12，∴4u2−8u+3≤0，∴12≤u≤32，∴12≤log2x≤32，∴√2≤x≤2√2．∴不等式g(x)≤−12的解集为[√2, 2√2]．(II)令m＝log2x，则1≤m≤2，g(x)=m2−2m+14，∴g(x)max=14．因为对任意的实数t，总存在x1，x2∈[t−1, t+1]，使得|f(x1)−f(x2)|≥14．设f(x)=ax2−12x−34在[t−1, t+1]上最大值为M(t)，最小值为m(t)，f(x)的对称轴为直线x=1a．令ℎ(t)＝M(t)−m(t)，则对任意的实数t，ℎ(t)≥14．①当14a≤t−1时，M(t)＝f(t+1)，m(t)＝f(t−1)，则ℎ(t)＝M(t)−m(t)＝4at−1，此时ℎ(t)≥4a(14a +1)−1=4a≥14，∴a≥116；②当t−1<14a ≤t时，M(t)＝f(t+1)，m(t)=f(1a)=12a−34，ℎ(t)=M(t)−m(t)≥f(1a +1)−(12a−34)=a+52≥14，∴a≥−94．③当t<14a <t+1时，M(t)＝f(t−1)，m(t)=f(1a)=12a−34，ℎ(t)=M(t)−m(t)≥f(1a −1)−(12a−34)=a−32≥14，∴a≥74；④当14a≥t+1时，M(t)＝f(t−1)，m(t)＝f(t+1)，则ℎ(t)＝M(t)−m(t)＝−4at+ 1，此时ℎ(t)≥−4a(14a −1)+1=4a≥14，∴a≥116，综上，实数a的最小值为74．。