第24讲 圆的有关性质(含答案点拨)

第七单元圆

第24讲圆的有关性质

纲要求命题趋势

1．理解圆的有关概念和性质，了解

圆心角、弧、弦之间的关系．

2．了解圆心角与圆周角及其所对弧

的关系，掌握垂径定理及推论.

中考主要考查圆的有关概念和

性质，与垂径定理有关的计算，与圆

有关的角的性质及其应用．题型以选

择题、填空题为主.

知识梳理

一、圆的有关概念及其对称性

1．圆的定义

(1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做________，定长叫做________；

(2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径．

2．圆的有关概念

(1)连接圆上任意两点的________叫做弦；

(2)圆上任意两点间的________叫做圆弧，简称弧．

(3)________相等的两个圆是等圆．

(4)在同圆或等圆中，能够互相________的弧叫做等弧．

3．圆的对称性

(1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；

(2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；

(3)圆是旋转对称图形：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合．这就是圆的旋转不变性．

二、垂径定理及推论

1．垂径定理

垂直于弦的直径________这条弦，并且________弦所对的两条弧．

2．推论1

(1)平分弦(________)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过________，并且平分弦所对的________弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

3．推论2

圆的两条平行弦所夹的弧________．

4．(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项．

三、圆心角、弧、弦之间的关系

1．定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________．

2．推论

同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．

四、圆心角与圆周角

1．定义

顶点在________上的角叫做圆心角；顶点在________上，角的两边和圆都________的角叫做圆周角．

2．性质

(1)圆心角的度数等于它所对的______的度数．

(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对________的度数的一半．

(3)同弧或等弧所对的圆周角________，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧________．

(4)半圆(或直径)所对的圆周角是______，90°的圆周角所对的弦是________．

五、圆内接四边形的性质

圆内接四边形的对角互补．

自主测试

1．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB＝6，则⊙O的半径为()

A． 2 B．2 2

C．

2

2D．

6

2

2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为()

5．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M，N两点，若点M的坐标是(－4，－2)，则弦MN的长为__________．

(第5题图)

【例1】在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一

些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为()

A ．6分米

B ．8分米

C ．10分米

D ．12分米

分析：如图，油面AB 上升1分米得到油面CD ，依题意得AB ＝6，CD ＝8，过O 点作

AB 的垂线，垂足为E ，交CD 于F 点，连接OA ，OC ，由垂径定理，得AE ＝1

2

AB ＝3，

CF ＝1

2CD ＝4，设OE ＝x ，则OF ＝x －1，在Rt △OAE 中，OA 2＝AE 2＋OE 2，在Rt △OCF 中，

OC 2＝CF 2＋OF 2，由OA ＝OC ，列方程求x 即可求得半径OA ，得出直径MN .

解析：如图，依题意得AB ＝6，CD ＝8，过O 点作AB 的垂线，垂足为E ，交CD 于F 点，连接OA ，OC ，

由垂径定理，得AE ＝12AB ＝3，CF ＝1

2CD ＝4，

设OE ＝x ，则OF ＝x －1， 在Rt △OAE 中，OA 2＝AE 2＋OE 2， 在Rt △OCF 中，OC 2＝CF 2＋OF 2，

∵OA ＝OC ，∴32＋x 2＝42＋(x －1)2，解得x ＝4，∴半径OA ＝32＋42＝5，∴直径MN ＝

2OA ＝10(分米)．故选C.

答案：C

方法总结 有关弦长、弦心距与半径的计算，常作垂直于弦的直径，利用垂径定理和解直角三角形来达到求解的目的．

触类旁通1 如图所示，若⊙O 的半径为13 cm ，点P 是弦AB 上一动点，且到圆心的最短距离为5 cm ，则弦AB 的长为__________ cm.

考点二、圆心(周)角、弧、弦之间的关系

【例2】如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD ，AD .