【精品原创】四年级奥数培优教程讲义第18讲 重叠问题(教师版)
圆表示会游泳的人数， 圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影部分表示两项都不会的人数．
由图中可以看出，全班人数 至少会一项的人数 两项都不会的人数，至少会一项的人数为： (人)，全班人数为： (人)．
例3、在 人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有 人，既采了樱桃又采了杏的有 人，既没采樱桃又没采杏的有 人，问：只采了杏的有多少人？
重叠部分恰好是边长为 厘米的正方形，
如果利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，
那么重叠部分在长方形和正方形面积中各被计算了一次，
而实际上这部分只需计算一次就可以了．
所以，组合图形的面积 长方形面积 正方形面积 重叠部分．
于是，组合图形的面积： (平方厘米)．
5、甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆?
【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分，
所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长 (厘米)．
例2、两张长 厘米，宽 厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？
【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，
重叠部分恰好是边长为 厘米的正方形，
如果利用两个 的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，
【解析】如图，用长方形表示全体采摘人员 人， 圆表示采了樱桃的人数， 圆表示采了杏的人数．
长方形中阴影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数．
由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和，
则至少采了一种的人数为： (人)，
而至少采了一种的人数 只采了樱桃的人数 两种都采了的人数 只采了杏的人数，
【解析】越是中间，被重复计算的越多，
最中心的区域被重复计算四次，
将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中，
最大和为：13×4+（12+11+10+9）×3+（8+7+6+5）×2+（4+3+2+1）=240.
课堂狙击
1、芳草地小学四年级有 人学钢琴， 人学画画， 人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？
长方形内两圆外的部分表示既不是 的倍数也不是 的倍数的数．
由 可知， 中 的倍数有 个；
由 可知， 中 的倍数有 个；
由 可知， 既是 的倍数又是 的倍数的数有 个．
由包含排除法， 或 的倍数有： (个)．
从而不是 的倍数也不是 的倍数的数有 (个)．
考点五：容斥原理中的最值问题
例1、将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？
【解析】将图中的三个圆标上 、 、 ．根据包含排除法，
三个纸片盖住桌面的总面积 ( 圆面积 圆面积 圆面积 与 重合部分面积 与 重合部分面积 与 重合部分面积 三个纸片共同重叠的面积，
得： 与 重合部分面积 与 重合部分面积 与 重合部分面积 ，
得到 、 、 三个圆两两重合面积之和为： 平方厘米，
【解析】因 ， ，
所以必有人同时完成了这两项活动．
由于每个同学都至少完成了一项活动，
根据包含排除法知， (完成了两项活动的人数) 全组人数，
即 (完成了两项活动的人数) ．
由减法运算法则知，完成两项活动的人数为 (人)．（也可画图分析）
1、(第二届小学迎春杯数学竞赛)有 位旅客，其中有 人既不懂英语又不懂俄语，有 人懂英语， 人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？
所以没有数学成绩优秀的．
（2）上面分析可知，及格的 人中，每人都会两项运动；
会骑车的一定有一部分会游泳，一部分会滑冰；
会游泳的人中若不会骑车就一定会滑冰，
而会滑冰的人中若不会骑车就一定会游泳，
但既会游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车．所以，
全班有 (人)既会游泳又会滑冰．
考点三：图形中的重叠问题
例1、把长 厘米和 厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长 厘米，焊接后这根铁条有多长？
图示如下: 表示小圆部分， 表示大圆部分， 表示大圆与小圆的公共部分，记为： ，即阴影面积．
图示如下: 表示小圆部分， 表示大圆部分， 表示大圆与小圆的公共部分，记为： ，即阴影面积．
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合 的并集 的元素的个数，可分以下两步进行：
第一步：分别计算集合 的元素个数，然后加起来，即先求 (意思是把 的一切元素都“包含”进来，加在一起)；
【解析】阴影部分是有两块重叠的部分，被计算两次，
而三张纸重叠部分是被计算了三次．
所以三张纸重叠部分的面积 (平方厘米)．
5、四年级科技活动组共有 人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有 人，装配好一架飞机模型的同学有 人．每个同学都至少完成了一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？
（1）数学成绩优秀的有几个学生？
（2）有几个人既会游泳，又会滑冰？
【解析】（1）有 个数学不及格，那么及格的有： (人)，
即最多不会超过 人会这三项运动之一．
而又因为没人全会这三项运动，那么，
最少也会有： (人)至少会这三项运动之一．
于是，至少会三项运动之一的只能是 人，
而这 人又不是优秀，说明全班 人中除了 人外，剩下的 名不及格，
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．
考点一：两量重叠问题
例1、实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有 人，参加数学兴趣小组的有 人，有 人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？
【解析】如图所示， 圆表示参加语文兴趣小组的人， 圆表示参加数学兴趣小组的人， 与 重合的部分 (阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中 圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有 (人)；图中 圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有 (人)．
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去 (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
二、三量重叠问题
类、 类与 类元素个数的总和 类元素的个数 类元素个数 类元素个数 既是 类又是 类的元素个数 既是 类又是 类的元素个数 既是 类又是 类的元素个数 同时是 类、 类、 类的元素个数．用符号表示为： ．图示如下：
【解析】只考虑甲乙两人情况，
有甲、乙都浇过的最少为：78+68-100=46盆，
此时甲单独浇过的为78-46=32盆，
乙单独浇过的为68-46=22盆；
欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时，应将丙浇过的花尽量分散在两端．
于是三者都浇过花最少为58-32-22=4盆．
课后反击
1、实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人．这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？
那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，
而实际上这部分只需计算一次就可以了．
所以，被覆盖面积 长方形面积之和-重叠部分．
于是，被覆盖面积 (平方厘米)．
例3、三个面积均为 平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是 平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是 厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？
第18讲重叠问题
了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容
掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用
一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，
用式子可表示成： ，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．
【解析】如图， 圆表示学画画的人， 圆表示学钢琴的人， 表示既学钢琴又学画画的人，
图中 圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有： (人)，
图中 圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有： (人)．
2、科技活动小组有 人．在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：制作好一架飞机模型的同学有 人，制作好一艘舰艇的同学有 人．每个同学都至少完成了一项制作．问两项制作都完成的同学有多少人？
方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有： (人)．
方法二：根据包含排除法，直接可得：
参加语文或数学兴趣小组的人 参加语文兴趣小组的人 参加数学兴趣小组的人 两个小组都参加的人，即： (人)．
例2、对全班同学调查发现，会游泳的有 人，会打篮球的有 人．两项都会的有 人，两项都不会的有 人．这个班一共有多少人？
【解析】方法一：在 人中懂英语或俄语的有： (人)．
又因为有 人懂英语，所以只懂俄语的有： (人)．
从 位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，
剩下的 (人)就是既懂英语又懂俄语的旅客．
方法二：学会把公式进行适当的变换，由包含与排除原理，得：
(人)．
容斥原理的基本思想是象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
本节课我学到了
我需要努力的地方是
【解析】因为 ， ，所以必有人两项制作都完成了．
由于每个同学都至少完成了一项制作，根据包含排除法可知：
全组人数 完成了两项制作的人数，
即 完成了两项制作的人数．
所以，完成了两项制作的人数为： (人)．
3、五年级一班共有 人，每人参加一个兴趣小组，共有 、 、 、 、 五个小组，若参加 组的有 人，参加 组的人数仅次于 组，参加 组、 组的人数相同，参加 组的人数最少，只有 人．那么，参加 组的有_______人．
小学奥数教案-第18讲-重叠问题(教)
教师辅导讲义 学员编：年 级：四年级 课 时 数：3 学员姓名：辅导科目：数学 教师： 授课主题第18讲-重叠问题 授课类型T 同步课堂 P 实战演练 S 归纳总结 教学目标① 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容 ② 掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用 授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成：A B A B A B =+-，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理． 图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB ，即阴影面积． 图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类知识梳理1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去．的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．考点一：两量重叠问题例1、实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？ C BA【解析】如图所示，A 圆表示参加语文兴趣小组的人，B 圆表示参加数学兴趣小组的人，A 与B 重合的部分C (阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中A 圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有281216-=(人)；图中B 圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有291217-=(人)．方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16121745++=(人)．方法二：根据包含排除法，直接可得：参加语文或数学兴趣小组的人=参加语文兴趣小组的人+参加数学兴趣小组的人-两个小典例分析图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次．2．再排除：A B C A B B C A C ++---重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++-A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．A B【解析】如图，用长方形表示1~100的全部自然数，圆表示1~100中3的倍数，B圆表示1~100中5的倍数，长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．由1003331÷=可知，1~100中3的倍数有33个；由100520÷=可知，1~100中5的倍数有20个；由10035610（）可知，1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个．÷⨯=由包含排除法，3或5的倍数有：3320647+-=(个)．从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有1004753-=(个)．考点五：容斥原理中的最值问题例1、将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？【解析】越是中间，被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次，将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中，最大和为：13×4+（12+11+10+9）×3+（8+7+6+5）×2+（4+3+2+1）=240.P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？AC B【解析】如图，A圆表示学画画的人，B圆表示学钢琴的人，C表示既学钢琴又学画画的人，图中A圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：43376-=(人)，图中B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：583721-=(人)．2、科技活动小组有55人．在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：制作好一架飞机模型的同学有40人，制作好一艘舰艇的同学有32人．每个同学都至少完成了一项制作．问两项制作都完成的同学有多少人？AC B【解析】因为403272>，所以必有人两项制作都完成了．+=，7255由于每个同学都至少完成了一项制作，根据包含排除法可知：全组人数4032=+-完成了两项制作的人数，即5572=-完成了两项制作的人数．所以，完成了两项制作的人数为：725517-=(人)．3、五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组，若参加A组的有15人，参加B组的人数仅次于A组，参加C组、D组的人数相同，参加E组的人数最少，只有4人．那么，参331，100610．根据包含排除法，能被中任一个整除的数有3320+、如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于张板盖住的总面积是张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？5、四年级科技活动组共有63人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人．每个同学都至少完成了一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？【解析】因423476+=，7663>，所以必有人同时完成了这两项活动．由于每个同学都至少完成了一项活动，根据包含排除法知，4234+-(完成了两项活动的人数)=全组人数，即76-(完成了两项活动的人数)63=．由减法运算法则知，完成两项活动的人数为766313-=(人)．（也可画图分析）1、(第二届小学迎春杯数学竞赛)有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？【解析】方法一：在100人中懂英语或俄语的有：1001090-=(人)．又因为有75人懂英语，所以只懂俄语的有：907515-=(人)．从83位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的8315- 68=(人)就是既懂英语又懂俄语的旅客．方法二：学会把公式进行适当的变换，由包含与排除原理，得：75839068A B A B A B =+-=+-=(人)．(Summary-Embedded)——归纳总结容斥原理的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
四年级数学《重叠问题》说课稿
四年级数学《重叠问题》说课稿
四年级数学《重叠问题》说课稿
各位老师好：
下面我简单说下整节课。
先说教学意图：一、谈话中引入，通过迎六一学生参加的英语话剧和合唱中让学生初步感受在生活中的重复现象。
二、从两项活动中选出5人和6人引出本节课的教学内容，从而研究韦恩图的形成过程和比较中体会韦恩图的优越性，同时理解韦恩图各部分的含义并会列算式计算，在各算式中突出5+6-2这种方法的优势。
三、练习中，先呈现“图片”形式的奖品中的问题，并做相关练习；接着讨论，如果没有图片，则会出现哪些情况。
在这练习中培养学生解决此类问题的模型。
再谈磨课过程：先感谢**二小朱**在磨课过程中提供了试教的场地，谢谢池老师、冯老师和我们学校数学教研组各同事给我提供了非常宝贵的意见。
在磨课过程中体会最深的是数学广角的课真的不好上，也深深的体会到教学中的每一个细节决定了这堂课是否成功，同时也发现了自身平时教学中的不足，如教师的提问指向性不明确、课堂中评价语的缺乏。
最后谈本节课中不足之处：1、学生对于韦恩图各部分的含义理解不是很透彻，所以在练习中出现了学生把一种重复的东西分别天真韦恩图的3个部分。
2、在学生作品的对比评价中的细节部分还存在着不足。
课中还有很多的不足，请各位老师们多多批评和指证。
四年级数学 第18讲-重叠问题(学)
学科教师辅导讲义知识梳理
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合
第一步：分别计算集合A B
、的元素个数，然后加起来，即先求来，加在一起)；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去
大圆表示
1．先包含：
2．再排除：
3．再包含：
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．
典例分析
考点一：两量重叠问题
例1、实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有
参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？
育才小学画展上展出了许多幅画，其中有25幅画，其他年级的画共有多少幅？
乙甲
丙
A
B
实战演练
、科技活动小组有55人．在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：制作好一架飞机模型的同学有40
项制作都完成的同学有多少人？
A
C B
、五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有
、甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了最少有多少盆?
课后反击
、实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有个表演队共有多少人能登台表演歌舞？
四年级科技活动组共有
发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有
活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？
直击赛场
第二届小学迎春杯数学竞赛
俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？
名师点拨学霸经验。
《重叠问题》(教案)-四年级下册数学青岛版
教案：《重叠问题》-四年级下册数学青岛版一、教学目标1. 让学生理解重叠问题的概念，知道什么是重叠问题，并能用数学语言描述出来。
2. 培养学生运用集合的思想解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。
3. 通过对重叠问题的探究，激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。
二、教学内容1. 重叠问题的概念2. 重叠问题的解决方法3. 重叠问题的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：掌握重叠问题的概念和解决方法，能够运用集合的思想解决实际问题。
2. 教学难点：理解重叠问题的实质，运用集合的思想解决实际问题。
四、教学过程1. 导入通过生活中的实例，如家庭成员、学校社团等，引导学生发现重叠现象，激发学生对重叠问题的兴趣。
2. 新课导入（1）讲解重叠问题的概念，让学生理解什么是重叠问题。
（2）通过实例，让学生了解重叠问题的解决方法，如韦恩图等。
3. 实践操作让学生分组讨论，找出生活中的重叠问题，并尝试用所学方法解决。
4. 小结对本节课所学内容进行小结，让学生明确重叠问题的概念、解决方法及应用。
5. 作业布置布置一些与重叠问题相关的练习题，让学生巩固所学知识。
五、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。
1. 是否达到教学目标，学生是否掌握了重叠问题的概念和解决方法。
2. 教学过程中是否存在不足，如讲解是否清晰、实例是否恰当等。
3. 学生在实践操作中是否积极参与，合作意识和探究精神是否得到培养。
通过以上反思，教师可以不断提高教学质量，为学生的数学学习奠定坚实基础。
重点关注的细节是“教学过程”部分，尤其是实践操作环节。
这个环节是学生将理论知识应用到实际问题中的关键步骤，也是检验学生学习效果的重要环节。
以下是对这个重点细节的详细补充和说明：实践操作环节的详细补充和说明1. 分组讨论在实践操作环节，教师应先将学生分成小组，每组3-5人。
分组时要注意学生的个性、能力等因素，力求使每组学生都能在讨论中发挥作用。
《重叠问题》说课稿教案
《重叠问题》说课稿教案重叠问题说课稿一、教材分析:《重叠问题》是青岛版小学数学一年级上册74——75页智慧广场的内容。
本节课是学生在已经认识了10以内的数、掌握了数的顺序、能正确读写、会比较大小，并且熟练掌握10以内加减法的基础上进行教学的。
本节课的设计目的是从一年级开始向学生渗透画直观图的方法，引导学生从低年级开始初步养成解决问题的策略，为后续学习打下基础，促进学生养成善于思考的好习惯，提高数学素养，激发学生对数学学习的欲望和兴趣，体现数学的价值。
二、教学目标:结合教材特点和学生已有的认知结构、心理特征，制定如下教学目标：1.结合具体情境,学习借助直观图解决简单的重叠问题。
2. 经历独立思考、合作探究的过程，提高思维能力，促进思维发展，形成运用几何直观的方法解决问题的策略，增长学生的聪明才智，发展学生的智力。
3. 通过活动激发学生学习数学的兴趣和欲望，体验成功的乐趣，产生学好数学的自信心。
三、教学重难点本节课的教学重点是:理解简单的重叠问题的意义及解决问题的计算方。
教学难点是：理解前面的数量+中间部分+后面数量=总数。
数了两次的部分是重复的部分，要从总数中去掉四、教学模式本节课采用合作探究教学模式。
主要有：创设教学情境、找出有价值的数学信息、提出有效的数学问题并解决、巩固练习、总结反思四大环节。
其中提出问题和解决问题是核心环节，主要是通过学生自主、合作、探索，建立数学模型。
这样的教学模式，强调学生的自主探究与合作的意识，在参与数学活动的过程中去感知和体验，体现“以人为本”的教学理念。
五、说教学设计：我以激发学生的学习兴趣为目的，让孩子在快乐中学习，在学习中感受数学的乐趣，确定本节课的教学设计如下：一、创设情境，导入新知二、小组合作，探究新知三、自主练习，巩固新知四、总结反思，深化认知一、创设情境导入新知多媒体出示信息图，让学生说一说观察到了哪些数学信息？根据信息，引导学生提出数学问题：从前面数花雁排第6，从后面数排第3，一共有多少只大雁呢？【设计意图】通过创设生动的情景，让学生更容易理解和接受直观、具体的感性材料，调动起学生自主探索解决问题的热情，为学生理解问题奠定基础。
北师大版四年级数学下册重叠问题
北师大版四年级数学下册重叠问题
北师大版四年级数学下册的重叠问题主要是通过集合的知识来讲解的。
在重叠问题中，我们经常会遇到两个或多个集合，这些集合之间有共同的元素，这些共同元素就是重叠部分。
例如，我们有两组学生，第一组有5个人，第二组有7个人，当我们把两组学生放在一起时，发现有3个学生是两组都有的。
我们要找出这3个学生是谁。
这就是一个重叠问题。
为了解决这个问题，我们可以使用集合的概念。
假设第一组学生集合为 A，第二组学生集合为 B。
我们知道：
A 有5个元素（5个学生）
B 有7个元素（7个学生），其中3个是A中的元素（3个学生是两组都有的）
所以，我们可以表示为：
A = {a1, a2, a3, a4, a5}
B = {b1, b2, b3, b4, b5, b6, b7}
其中 b1, b2, b3 是 A 和 B 的共同元素（3个学生是两组都有的）
解决重叠问题的一种常见方法是使用韦恩图。
韦恩图是一个图形表示，可以帮助我们可视化集合和它们之间的关系。
在这个例子中，我们可以画三个圈：一个代表 A，一个代表 B，还有一个代表 A 和 B 的交集（重叠部分）。
这只是解决重叠问题的一种方法。
根据具体的问题，可能需要使用其他的数学工具和技巧。
重叠问题(教案)2023-2024学年数学四年级下册
教案：重叠问题年级：四年级学科：数学教学目标：1. 让学生理解重叠问题的概念和意义。
2. 培养学生运用重叠问题的方法解决实际问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。
教学重点：1. 重叠问题的概念和意义。
2. 重叠问题的解决方法。
教学难点：1. 重叠问题的理解和应用。
2. 解决重叠问题的逻辑思维和抽象思维能力。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 重叠问题的练习题。
教学过程：一、导入1. 引入重叠问题的概念，通过图片或实物展示重叠现象。
2. 引导学生观察和思考重叠问题，提出问题并引导学生进行讨论。
二、新课导入1. 讲解重叠问题的概念和意义，通过示例进行解释和说明。
2. 讲解重叠问题的解决方法，通过示例进行解释和说明。
3. 引导学生进行练习，解决重叠问题。
三、巩固练习1. 布置练习题，让学生独立完成。
2. 引导学生进行练习，解决重叠问题。
3. 对学生的练习进行评讲和指导。
四、总结和拓展1. 对重叠问题的概念和解决方法进行总结。
2. 引导学生思考重叠问题在实际生活中的应用。
3. 提供一些拓展性的问题和练习，让学生进行思考和解决。
五、作业布置1. 布置一些重叠问题的练习题，让学生回家进行练习。
2. 要求学生在练习中运用所学的重叠问题的解决方法。
教学反思：本节课通过引入重叠问题的概念和意义，讲解重叠问题的解决方法，并进行练习和巩固，使学生能够理解和掌握重叠问题的解决方法。
在教学过程中，要注意引导学生进行观察和思考，培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。
同时，要注重练习和巩固，提高学生的实际应用能力。
在今后的教学中，可以进一步拓展重叠问题的内容和应用，提高学生的数学素养。
重点关注的细节：重叠问题的解决方法在重叠问题的教学中，解决方法是学生能否成功应用知识解决实际问题的关键。
因此，教师需要详细补充和说明重叠问题的解决方法，以便学生能够理解和掌握。
一、重叠问题的分类重叠问题主要分为两种类型：集合重叠和图形重叠。
四年级奥数第18讲-重叠问题(教)
A CB
【解析】因为 40 32 72， 72 55 ，所以必有人两项制作都完成了． 由于每个同学都至少完成了一项制作，根据包含排除法可知： 全组人数 40 32 完成了两项制作的人数， 即 55 72 完成了两项制作的人数． 所以，完成了两项制作的人数为： 72 55 17 (人)．
于是，被覆盖面积 422 22 12 (平方厘米)．
例 3、三个面积均为 50 平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10 平方厘米．三个 纸片盖住桌面的总面积是100 厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？
A
B
10
C
【解析】将图中的三个圆标上 A 、 B 、 C ．根据包含排除法， 三个纸片盖住桌面的总面积 ( A 圆面积 B 圆面积 C 圆面积）（ A 与 B 重合部分面积 A 与 C 重合部分面积 B 与 C 重合部分面积） 三个纸片共同重叠的面积， 得：100 （50 50 50）（A与 B 重合部分面积 A 与 C 重合部分面积 B 与 C 重合部分面积）10 ， 得到 A 、 B 、 C 三个圆两两重合面积之和为：160 100 60 平方厘米， 而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和， 即： 60 103 阴影部分面积， 则阴影部分面积为： 60 30 30 (平方厘米)．
由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和， 则至少采了一种的人数为： 46 6 40 (人)， 而至少采了一种的人数 只采了樱桃的人数 两种都采了的人数 只采了杏的人数， 所以，只采了杏的人数为： 40 18 7 15(人)． 例 4、育才小学画展上展出了许多幅画，其中有 16 幅画不是六年级的，有 15 幅画不是五年级的，五、六年级 共展出 25 幅画，其他年级的画共有多少幅？
重叠问题教学设计四年级重叠问题课件
重叠问题教学设计四年级重叠问题课件《重叠问题》教学设计教学目标：1、让学生经历集合图的产生过程，理解集合图的意义，体会集合图的好处，学会利用集合的思想方法来思考问题。
2、使学生会借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题，培养学生用不同的方法解决问题的意识。
3、利用生活事例让学生感受到数学与生活的密切联系，进一步树立学数学用数学的意识。
教学重点、难点：教学重点：经历集合图的产生过程，理解集合图的意义，使学生会借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题。
教学难点：经历集合图的产生过程，理解集合图的意义。
教学过程：一、导入新课出示脑筋急转弯两个妈妈和两个女儿去看电影，每人买一张票，却只买了三张票就顺利进入了电影院，为什么？（由脑筋急转弯开始，既能导入新课，又能提高学生的学习兴趣。
学生思考后，引导学生不同的身份在一个人身上重叠出现。
从而引出今天的学习内容。
） 2、探索新知（1）出示例题，ppt展示水果店两天分别购进的水果。
（以图片的形式展现水果，让学生直观清晰的了解水果种类。
）（二）教师提问一下7个问题。
1、请学生观察水果店两天购进的水果种类分别有哪些？2、请说出有哪几种水果是两天内水果店都购进了的？（前2个问题尽量的找后进生回答，题目简单，给后进生鼓励，从而提高后进生听课的积极性。
） 3、请将水果分类，使大家一目了然的看出昨天购进的水果种类，今天购进的水果种类，以及两天都购进的水果种类。
4、请把昨天购进的水果和今天购进的水果分别用椭圆圈起来，你发现了什么？（对水果种类进行分类，引导学生自己完成文氏图，从而让学生自己意识到，文氏图可以清楚直观的表示数学问题。
） 5、请说出圈内各部分的含义。
6、请计算两天内水果店共购进多少种水果？让学生尽量用多种方法，并请学生解释为什么这么做。
（以“两天购进的水果种类有多少?”这一问题冲突为线索，让学生用多种方法解答，使学生进一步理解文氏图各部分的意义。
同时让学生充分感知体验到集合图的作用。
重叠问题(教案)青岛版四年级下册数学
标题：重叠问题（教案）青岛版四年级下册数学一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握重叠问题的概念，学会用集合图和列表法表示重叠问题，并能运用这些方法解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的观察能力、操作能力和团队合作能力，提高学生解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生积极思考、勇于探究的良好习惯，使学生感受到数学与生活的紧密联系。
二、教学重点与难点1. 教学重点：掌握重叠问题的概念，学会用集合图和列表法表示重叠问题。
2. 教学难点：运用集合图和列表法解决实际问题，理解重叠问题的本质。
三、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，如参加篮球和足球兴趣小组的学生，引出重叠问题的概念。
2. 新课：讲解重叠问题的概念，引导学生用集合图和列表法表示重叠问题，并通过实例让学生了解重叠问题的应用。
3. 练习：设计不同层次的练习题，让学生独立或合作完成，巩固所学知识。
4. 小结：总结本节课的主要内容，强调重叠问题的概念和解决方法。
5. 作业：布置适当的作业，让学生回家后自主完成，巩固所学知识。
四、教学反思1. 教师在教学中要注意观察学生的反应，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够理解和掌握重叠问题的概念和解决方法。
2. 在练习环节，教师要关注学生的完成情况，对有困难的学生给予个别指导，确保每个学生都能跟上教学进度。
3. 教师要注重培养学生的团队合作能力，鼓励学生在解决问题时相互讨论、交流，共同提高。
4. 教师要关注学生的情感态度与价值观的培养，激发学生对数学学习的兴趣，使学生感受到数学与生活的紧密联系。
总之，本节课的教学要注重学生的参与和实践，通过观察、操作、交流等活动，使学生理解和掌握重叠问题的概念和解决方法，培养学生的数学素养。
重点关注的细节是“教学过程”部分，尤其是新课的讲解和练习环节。
这部分是学生理解和掌握重叠问题概念和解决方法的关键环节，需要教师精心设计和实施。