北师大六年级同步奥数培优
北师大版小学数学六年级上册培优试题附答案(全册)
北师大版小学数学六年级上册周测培优卷（1）一、我会填。
(1～6题每空2分，其余每空1分，共38分)1．圆中最长的线段是()。
2．在同圆或等圆中，()是()的2倍。
3．圆是()图形，它有()条对称轴；半圆形有()条对称轴。
4．在同一个圆里，可以画()条半径，()条直径。
5．至少将圆沿直线对折()次才能找到圆心，圆心决定圆的()。
6．把硬纸片分别做成正方形、正六边形、圆形、椭圆形“车轮”，沿直尺的边滚一滚，只有()形“车轮”的中心点的痕迹是一条直线，所以车轮应该做成()形的。
7．填写下面的表格。
8.看图填一填。
二、我会选。
(每题2分，共10分)1．在长方形、等边三角形、圆、扇形中，只有一条对称轴的图形有()个。
A．1 B．2 C．3 D．42．下图中，圆的半径是()cm。
A．1 B．2 C．3 D．1.53．在一张长6 cm、宽4 cm 的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的半径是()cm；如果画一个最大的半圆形，这个半圆形的半径是()cm。
A．6 B．4 C．3 D．24．如图，蚂蚁小帅从A点经过O点爬到B点回家，大帅从C点经过O点也爬到B点回家。
它们爬的路线相比，()。
A．小帅长些B．大帅长些C．一样长D．无法比较5．0.7 mm的自动铅笔芯，这里“0.7 mm”指的是()。
A．铅笔长度B．笔芯截面的直径C．笔芯截面的半径三、动手操作。
(1题9分，2题25分，3题10分，共44分) 1．在下面每个圆中用红笔描出一条半径，用蓝笔描出一条直径。
2．画一画。
(1)画一个半径是2 cm的圆，并用字母标出圆心、半径和直径。
(2)生活中许多美丽的图案都是轴对称图形，下面的轴对称图形各有几条对称轴？写一写，并画出来。
①②()条()条③④()条()条(3)下面的图形都是由圆组成的，分别画出它们的对称轴。
3．按要求做一做。
(1)如图，作其关于虚线a的轴对称图形。
(2)如果大半圆的半径是5 cm，小半圆的直径是5 cm，作图完成后整个图形中大长方形的长是()cm，宽是()cm。
北师大版六年级上册数学培优提升卷(一二单元)(含答案)
北师大版六年级上册数学培优提升卷（一二单元）一、填空。
1．有一个直径是6厘米的半圆形铁片，这个铁片的周长是（）厘米，面积是（）平方厘米．2．____米的公路修了后还剩1500米；售价160元的商品降价后是（）元．3．要修一条长3千米的公路，已经修了全长的13，还剩（）千米没修。
4．冰融化成水后，体积减少110，是把（）看作单位“1”，你想到的等量关系式是（）。
5．15比（）少13，（）比10多32．6．25kg增加12kg是（）kg；25kg增加12是（）kg。
7．如图，边长为4厘米的正方形内画了一个最大的圆。
这个圆的半径是（）厘米，直径是（）厘米，面积是（）平方厘米。
8．一根绳子长6米，先用去它的16，再用去16米，这时还剩（）米。
9．一瓶橙汁的净含量是350m1，第一次喝了它的17，第二次喝了它的15，两次一共喝了（）mL．10．一个直径是10厘米的半圆，周长是（）厘米，面积是（）平方厘米。
11．一个圆的周长是25.12 cm，把它分成若干等份后，拼成一个近似的长方形（如图），这个长方形的周长是（）cm。
圆为弧的扇形的圆心角是（） 。
12．以14二、判断。
1．半径为2cm的圆，面积和周长数值相等，单位不同。
（）2．已知半圆的半径是r，则其周长是πr＋2r。
（），则六年级学生收3．四年级学生收集易拉罐185个，若六年级学生比四年级多收集35集296个。
（）4．同一圆中，两个端点都在圆上的线段中，直径最长。
（）5．把一个圆分成5份，每一份都是扇形。
（）三、选择。
1．如图中，直角三角形的面积是20平方厘米，圆的面积是（）平方厘米。
A．31.4 B．62.8 C．125.6 D．无法计算2．一个圆的周长与直径的比值是（）。
A．3.14 B．πC．2πD．无法确定3．在边长是8cm的正方形彩纸中剪半径是2cm的圆，最多能剪（）个。
A．16 B．8 C．5 D．44．下面是我国珍贵的历史文化遗产《易经》中的太极图，它是数形结合的典范。
北师大版六年级上册数学 培优练习题合集(含解析)
第一单元圆【例1】在方格纸上画圆，使点A和点B都在圆上，这样的圆可以画出多少个?圆心所在的直线与线段AB有什么关系?要点提示：过两点画圆，连接这两点成一条线段：圆心一定在这条线段的垂直平分线上。
解析：在点A与点B中间的竖线L上(如右图)任取一点，以这一点到点A(或点B)的距离为半径画圆，这样的圆能画出无数个。
观察这些圆，圆心所在的直线L垂直于线段AB，且平分线段AB。
解答：这样的圆可以画出无数个，圆心所在的直线垂直于线段AB且平分线段AB。
【例2】下面是一个正方形，请在它的内部画一个最大的圆。
解析：正方形和圆都足轴对称图形，正方形对称轴的交点就是其内部最大圆的对称轴的交点，即正方形对角线的交点是圆心，最大圆的直径等于正方形的边长，半径等于边长的一半。
解答：要点提示：在正方形内画最大的圆，圆心是正方形对称轴的交点，半径是正方形边长的一半。
【例3】张师傅用铁丝把3根直径均为10cm的圆柱捆在一起(接头处忽略不计)，把3根圆柱捆一周要用多少厘米铁丝?方案一解析：如果把3根因柱并排捆在一起，排成“一”字形(如图一)，由图一可以看出，相好这3根团柱需要的铁丝的长度等于4条直径的长度十1根圆拄横截面的周长。
解答： 10×4+3.14×10＝71.4(cm) 答；把3根圆柱捆一周要用71.4cm铁丝。
方案二解析：如果把3根圆柱捆成“品”字形(如图二)，由图二可以看出，这样捆一周需要的铁丝的长度等于3条直径的长度+1根圆柱横截面的周长。
要点提示：解答此题的关键是知道等圆中半径(或直径)都相等。
解答： 10×3十3.14×10＝61.4(cm)答：把3根圆柱捆一周要用61.4cm 铁丝。
【例4】 右面是由三个等圆组成的平面图形。
依次连接三个圆心O 1、O 2和O 3围成一个三角形，这个三角形三个内角各是多少度?思路分析 三个圆半径相等，圆心相连。
三条线段都是由2条半径相连而成的，且长度相等。
【教育资料】北师大版六年级数学第一单元培优练习题学习专用
北师大版六年级数学第一单元培优练习题一、计算题。
1、直接写得数36×5/11+6/11×36=5/7+9/17+2/7=（）/（）（1/3- 1/8）×24=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128=（）/（）2、脱式计算。
98÷（1/15÷2/7）=7/8-3/10÷6/5=（）/（）（2/3+1/4）÷11/3×8/3=（）/（）5/4- 2/7÷9/14-5/9=（）/（）3、解方程6x+1.5x=30 x（1- 80%）x=15÷1/2 x=1/3x+1/4x=7/3 x=4、列式计算。
（1）一个数的3/10是1/24，这个数是多少？列式：答：这个数是（）/（）。
（2）7/15乘一个数等于3/20，这个数是多少？列式：答：这个数是（）/（）。
二、用心判一判。
（1）12 ÷1/12÷12÷1/12=1。
（√× ）（2）出勤率为99%，表示有1人缺勤。
（×√× ）（3）正方体的棱长扩大4倍，则体积扩大16倍。
（√× ）（4）7的1/8和1的7/8同样多。
（√× ）（5）一件商品先提价10%，再降价10%，价格未变。
（√× ）三、精心选一选。
（1）在8的后面加上百分号，这个数是原数的（）。
A、1倍B、100倍C、10倍D、1/100（2）已知a×150%=b×5/4=c÷5/6（a、b、c均不为0），那么（）。
A、a最大B、b最大C、c最大D、无法确定（3）图中是六（2）班一次测验成绩的扇形统计图，其中得优的有14人，则得良的有（）人。
A、2B、11C、23D、46（4）一块体积为15立方分米的铁块沉入一个长为5分米，宽为2分米的长方体容器中（水未溢出），水面会上升（）。
六年级同步培优奥数
2 7
3 少2 14
8、比较大小：
结论：
32 97 57 98
32 57
32 99 57 98
32 57
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六年级同步培优 2
1、列出下列图表表示的算式
姓名：
2、简单计算
8 5 8 23 7 9 11 11
1 1 5 4 3 2
4 7 3 8 3 5 7 4 7 15 7 15
29 3 3 5 3 8 7 8 7
14
5 1 6 5 3 1 4 11 6 11 6
7 4 ，小芳答对了 ，她们各自 10 7
6、市政府修一条 2000 米长的公路，第一天修了这条路的 ，第二天修了这条路 的
3 4 ，第三天修了全部的 多 15 米，三天共修了多少米？ 20 25
1 8
7、兴旺公司有一堆煤，共 280 吨。第一天用去了 多 1 吨，第二天用去了 吨，第三天用去了
3 ，还剩多少吨？ 10
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3、小敏看一本故事书， 共有 240 页， 第一天看了全书的 ， 第二天看了全部的 ， 第三天看了全书的 ，她已经看了多少页？
1 5
1 6
1 4
4、琳琳看一本一共有 120 页的故事书，她第一天看了全书的 ，第二天看了剩 下的 ，两天一共看了多少页？
1 3
1 4
5、紫金广场搞促销， 20 道题就能奖 答对官方的 15 道题就能奖励一副乒乓球拍， 励一幅羽毛球拍，共 30 道。小雅答对了全部题的 可以获得奖品吗？
24 24 25
39
39 38
16
14 16 26 15 15
0.125 21 1.25 8.2 0.25
北师大版六年级上册数学《6 比的认识》培优专题及答案
北师大版六年级上册数学《6 比的认识》培优专题及答案一、单选题1.在一张图纸上画出甲、乙两个正方形水池，甲的边长是8厘米，乙的边长是2厘米，甲、乙两个水池周长的比是（）A. 4∶1B. 1∶4C. 16∶1D. 1∶162.男队与女队人数的比是3∶5，那么男队人数比女队人数少( )。
A. B. C. D.3.两个正方形的周长比是2∶1，这两个正方形的面积比是( )。
A. 2∶1B. 1∶2C. 4∶1D. 1∶44.若2：3的前项增加6，要使比值不变，后项要（）A. 增加6B. 增加6倍C. 扩大3倍D. 增加9二、判断题5.5千克盐溶解在100千克水中，盐和盐水的比是1 ：10.6.6︰0.3的最简比是20︰1。
7.2：3可以写成，也可以读成：三分之二．8.判断对错．甲、乙、丙三地编绘在同一幅地图上，由于甲乙之间的距离小于乙丙之间的距离，所以图上甲乙间的距离和甲乙间实际距离的比也小三、填空题9.甲数是乙数的，甲数与乙数的比是________，乙数与甲数的比是________．10.把10g的糖放入100g的水中，糖占水的________，糖和糖水的质量比是________。
11.六(1)班有男生21人，女生25人．则：男生与女生人数的比是________∶________女生与男生人数的比是________∶________男生与全班人数的比是________∶________女生与全班人数的比是________∶________12.一个三角形，三个内角的度数的比是2：3：5，最小的内角是________度，最大的内角是________度，这个三角形是________三角形．13.一个长方形花圃，周长150米，长和宽的比是3：2，这个花圃的面积是________平方米．四、解答题14.杨利伟在太空中展示的联合国国旗和中华人民共和国国旗都是长15cm、宽10cm，怎样用算式表示长和宽的关系？15.桃子和李子分别要种多大面积？五、综合题16.合理搭配早餐：淘气今天的早餐表（1）淘气今天的早餐是按怎样的比搭配的？（2）如果淘气的妈妈按同样的比准备420g早餐，算算各种食物分别需要多少克？六、应用题17.客车和货车同时从甲乙两地的中点向相反方向行驶，4小时后客车达甲地，货车离乙地还有50千米，已知货车速度与客车的比为3：4，甲乙两地相距多少千米？18.某厂男女职工的比是4：3，全厂有职工364人，男女职工各多少人？参考答案一、单选题1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】C4.【答案】D二、判断题5.【答案】错误6.【答案】正确7.【答案】错误8.【答案】错误三、填空题9.【答案】7:8；8:710.【答案】；1：1111.【答案】21；25；25；21；21；46；25；4612.【答案】36；90；直角13.【答案】1350四、解答题14.【答案】解：长与宽的比是15:10=15÷10=3:2。
北师大版六年级数学解决问题培优解答应用题专项专题训练(精编版)带答案解析
北师大版六年级数学解决问题培优解答应用题专项专题训练(精编版)带答案解析一、北师大小学数学解决问题六年级下册应用题1．小雨每天上学都带一满壶水，如下图。
如果小雨想在学校一天喝水1.5L，这壶水够喝吗？（水壶厚度忽略不计，计算时π取3）2．下面是一个小区的平面图。
请根据图中信息完成以下问题（列比例式解答）。
（1）如果小区中设计一条480m长的公路，在图上应该画多长？（2）一个长方形住宅区在图上长1cm，宽0.5cm，它的实际占地面积是多少平方米？3．一个卷筒纸（如下图），内芯需要多大面积的硬纸壳？这卷纸的实际体积是多少？4．新民小区有个圆柱形喷泉池，喷泉池底面半径10米，深0.8米。
（1）这个喷泉池的容积是多少立方米?（2）喷泉池的侧面与底面粉刷了水泥，粉刷水泥的面积是多少平方米?5．如下图，圆柱形钢柱有多高？（单位：cm，结果保留整数）6．做一个底面周长是18.84分米、高10分米的圆柱形无盖铁皮水桶，（1）水桶的占地面积多大？（2）水桶可以容纳多少升水？7．求下列立体图形的体积。
8．修建一个圆柱形的沼气池，底面直径是3m，深2m．在池的内壁与下底面抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？9．圆柱形的无盖水桶，底面直径30厘米，高50厘米。
（1）做这个水桶至少需要用多少平方分米的铁皮？（得数保留两位小数）（2）如果在这个水桶中先倒入14.13升的水，再把几条鱼放入水中，这时量的桶内的水深是21厘米，这几条鱼的体积一共是多少？10．按要求作图或填空。
（1）请你自己选定一个比，把图形A缩小后得到图形B，并画出来。
（2）你选定的比是________，缩小后的三角形面积是________。
11．以小强家为观测点，量一量，填一填，画一画。
（1）新城大桥在小强家________方向上________m处。
（2）火车站在小强家________偏________（________）°方向上________m处。
北师版六年级数学上册第七单元培优测试卷含答案
北师版六年级数学上册第七单元培优测试卷一、认真审题，填一填。
(每小题2分，共20分)1．右图中反映的数量关系式是：()×40%＝()。
2．一种大豆的出油率是30%，300 kg这样的大豆可以榨油()kg；要榨出300 kg油，需要这样的大豆()kg。
3．在180 g水中加入20 g盐，这杯盐水的含盐率是()；若再加入含盐率5%的盐水，那么这杯盐水的含盐率()(填“变高”“变低”或“不变”)。
4．为了在冬季运动会中取得好成绩，同同每天跑2.1 km，比梦梦每天少跑20%。
梦梦每天跑多少千米？某同学在解题时，列出了错误的算式：2.1×(1－20%)。
(1)这名同学列式错误的原因是()。
(2)如果用“2.1×(1－20%)”这个式子解决问题，那么上面的题目应该怎样改变？请写出来：()。
5．奶奶家今年的草莓比去年增产二成，表示今年的草莓产量是去年的()%。
6．如图，一件衣服，按标价打六折后出售仍可获利52元。
这件衣服标价为()元。
7．王阿姨给在外地的儿子手机转账2000元，根据规定，提现超出1000元的部分要收取0.1%的手续费，王阿姨的儿子想提现，要交手续费()元。
8．修建一座房子，用了34万元，比计划节约了15%，节约了()万元。
9．华华将2000元存入银行，定期两年，若年利率是2.25%，则到期后她可以从银行取出本金和利息共()元。
10．刘师傅和李师傅共同生产一批零件，刘师傅生产了52%，李师傅生产了44%，还剩144个零件，这批零件共()个。
二、仔细推敲，选一选。
(将正确答案的字母填在括号里)(每小题2分，共12分)1．比较下面两幅图，在分析数量关系的过程中，下列说法正确的是()。
A．男生人数不同B．单位“1”不同C．女生人数不同D．男生人数是女生人数的几分之几不同2．下面是三名同学用自己所画的图来表示“甲比乙少20%”，有()名同学的理解是正确的。
3．聪聪将自己的3000元压岁钱存了五年期的定期，年利率是2.75%，五年后聪聪可以得到多少利息？列式正确的是()。
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北师大六年级同步奥数培优第一讲圆的周长与面积（一）【知识概述】圆是由曲线围成的平面图形。
在日常生活和学习中我们经常会遇到与圆的周长和面积有关的问题。
圆的周长除以它的直径的商是一个固定不变的数，这个结果被称为“圆周率”。
圆周率是一个无限不循环的小数，用字母“π”表示，圆的周长=圆周率x直径，即C=πd或C=2πr。
圆的面积等于圆周率与半径平方的乘积，即S=2r 。
下图圆的阴影部分是一个扇形，它的面积是一个圆的面积的四分之一，它的周长是圆周长的四分之一再加上两条半径的长。
【例题精学】例1：把4个啤酒瓶扎在一起（如图所示）捆4圈至少用绳子多少厘米？(接头部分用去15厘米）思路点拨：用绳子捆4圈的长度就是指周长的4倍。
这个图形的周长可分为两类：线段的长度和弧的长度。
而这四条弧正好可以拼成一个圆，每条线段的长正好是圆的直径的长。
所以绳子捆1圈的长度就是图中一个圆的周长加上4条直径的长度之和。
【同步精炼】1、计算下雨中阴影部分的周长。
（单位：厘米）2、一个街心花园如下图的形状,中间正方形的边长是 20 米,四周为半圆形,这个街心花园的周长是多少米?3、在学校200米的跑道中,每条跑道宽1.2米.由于有弯道,为了公平,外道和内道选手的起跑线不在同一地点.如：A点处是小明的起跑线,B是小强的起跑线,AB两点的距离是?例2：如下图，从点A到点B沿着大圆走和沿着中,小圆周走的路程相同吗?思路点拨：从点A到点B有两种走法：第一种是大圆的周长的一半；第二种是由A到C 的中圆周长的一半与C到B的小圆周长的一半的和。
设小圆的直径为a，中原的直径为b，则大圆的直径为a+b。
那么第一种走法的路程为C1=πa÷2+πb÷2；第二种走法的路程为C2=πa÷2+πb÷2，所以C1=C2.【同步精炼】1、下图中，从A点到B点沿着大圆周走和沿着小圆周走，路程相同吗？2、已知AB=50cm，求圆中各圆的周长总和。
3、已知一个大圆中紧紧的排列着三个半径不同的小圆（如图），并且这四个圆的圆心恰好在同一条直线上。
如果大圆的周长是30cm，那么三个小圆的周长之和是多少？例3：将半径分别是3厘米和2厘米的两个半圆按下图形状放置，求阴影部分的周长。
思路点拨：阴影部分的周长为小半圆的弧长加上大半圆的弧长，再加上两条线段的长。
两个半圆的弧长是2×2×3.14÷2+2×3×3.14÷2=15.7（厘米）两条线段的长是3+（2×2-3）=4（厘米）这样就求出阴影部分的周长了。
【同步精炼】1、一个半圆的周长是20.56厘米，这个半圆的直径是多少厘米？2、以B与C为圆心的两个半圆的直径都是4分米，求阴影部分的周长。
3、下图中圆的面积等于长方形的面积，已知圆的周长是36厘米，那么图中的阴影部分的周长是多少厘米？例3：下图是由正方形和半圆组成的图形，其中P点为半圆的中点，Q点为正方形一边上的中点，那么阴影部分的面积是多少？（单位：厘米）思路点拨：求阴影部分的面积最常用的方法叫做“排空法”。
所谓排空法就是指用图形外围的面积减去空白部分的面积就是阴影部分的面积。
此题中图形外围的面积应该是正方形和半圆面积之和，比较好求。
空白部分是个不规则的四边形，我们可以用分割的方法把它分成几块基本图形再求面积。
连接BP，则图中阴影部分面积可以用正方形与半圆面积的和减去三角形ABP与三角形BPQ的面积之和。
【同步精炼】1、下图小半圆的半径为4厘米，求阴影部分的面积。
2、下图中三角形的面积是12平方厘米，求阴影部分的面积。
第二讲圆的周长与面积（二）【知识概述】在上一讲中，我们知道了求阴影部分面积常用的方法是“排空法”。
除此之外，还经常用到“二次求差法”、“平移旋转法”。
所谓“二次求差法”就是利用“排空法”求图中阴影部分的面积，而空白部分的面积也要通过两个图形面积相减求得。
有些不规律的组合图形（或阴影部分）的面积计算，无法直接或较难直接求得，但是通过将这些图形分割，或将这些图形平移、旋转后重新组成一个面积大小不变的新图形，这时面积很容易求得。
这种方法就是“平移旋转法”。
【例题精学】例1：在长方形ABCD中，AB=6厘米，BC=4厘米，扇形ABE的半径AE=6厘米，扇形CBF的半径CF=4厘米，求图中阴影部分的面积。
思路点拨：观察图形，不难看出图中的阴影部分面积可以用扇形ABE的面积减去空白部分ABFD的面积，而空白部分ABFD的面积又可以用长方形ABCD的面积减去扇形BCF 的面积，这就是“二次求差法”的利用。
【同步精炼】1、如下图，扇形AFB恰为一个圆的四分之一，BCDE是正方形，AFBG是正方形，则图中阴影部分的面积是多少？（单位：厘米）2、求下图中阴影部分的面积。
（单位：厘米）3、下图正方形的边长是4厘米，求阴影部分的面积。
例2：如下图，OA,OB分别是小半圆的直径，且OA=OB=6厘米，∠BOA=90°，阴影部分的面积是多少平方厘米？思路点拨：连接AB与CO(如右图)，经过观察可以发现：阴影部分a的面积与空白部分b的面积相等，阴影部分c的面积与空白面积d的面积相等。
这样a和c就可以移至b和d的位置。
原图的阴影部分的面积就可以转化为三角形ABO的面积。
【同步精炼】1、求下图中阴影部分的面积。
（单位：厘米）2、2、求下图中阴影部分的面积。
（单位：厘米）3、如下图，半径分别为2,3,4厘米的同心圆被八等分，求阴影部分的面积。
例3：已知正方形的边长为10厘米，以两条边长为直径作两个半圆（如下图），求阴影部分的面积。
思路点拨：有些学生面临这道题时可能会想到“排空法”，即用正方形的面积减去空白部分的面积，但解题时就会发现求空白部分的面积是比较麻烦的。
我们利用正方形的对称性连接正方形的对角线，把其中一块阴影部分分割成Ⅰ和Ⅱ两个部分。
（如下图）而Ⅰ可以逆时针旋转90°移至Ⅰ’处，Ⅱ顺时针旋转90°移至Ⅱ’处。
这样，通过分割和旋转的方法，可以把原图中的阴影部分拼成一个三角形，再求这个三角形的面积就简单多了。
【同步精炼】1、求下图中阴影部分的面积。
（单位：厘米）2、求下图中阴影部分的面积。
（单位：厘米）3、求下图中阴影部分的面积。
（单位：厘米）例4：下图中两块阴影部分的面积相等，三角形ABC是直角三角形，BC是直径，长40厘米，求AB的长度。
思路点拨：由图中两块阴影部分的面积相等可知：三角形ABC的面积=阴影部分面积（Ⅰ）+空白部分面积（Ⅲ）；半圆的面积=阴影部分面积（Ⅱ）+空白部分面积（Ⅲ）。
这说明三角形ABC的面积等于半圆的面积。
求出半圆的面积也就知道了三角形ABC的面积。
再根据“高=三角形面积×2÷底”就可以求出AB的长了。
【同步精炼】1、下图中三角形ABC是直角三角形，阴影（Ⅰ）比阴影（Ⅱ）的面积小23平方米，BC的长度是多少米？2、在下图中，直角三角形ABC的直角边AB是圆的直径，且AB=20厘米，如果阴影（Ⅰ）比阴影（Ⅱ）的面积大7厘米，求BC的长。
3、在下图中，长方形的宽为1厘米，以B点喝C点为圆心，以宽为半径的扇形相较于点G，形成两个阴影部分。
已知两个阴影部分的面积相等，求长方形的长。
第三讲 分数混合运算【知识概述】在进行分数计算时，不仅要熟练地掌握四则运算的法则和运算定律，而且还常常要根据算式中数的特点和算式结构，运用一些运算技巧，灵活选择计算方法，使一些较复杂的分数计算化难为易、化繁为简。
【例题精学】例1： (1) 3332×17 (2) 28×2713 思路点拨：观察这两道题中数的特点，第(1)中的3332比1少331，把3332写成1减331的差与17相乘，在运用乘法分配律使计算简便；同样，第(2) 中的28与2713中的分母相差1，把28分成27加1的和与2713相乘，在运用乘法分配律使计算简便。
【同步精炼】1、2423×192、 36×35113、253×1264、 8×1514例2： 1998÷199819991998思路点拨：这道题先把带分数化成假分数：199819991998 ＝1999199819991998+⨯，先不要急着算出分子，观察数的特点，1999199819991998+⨯＝19991)(19991998+⨯＝199900021998⨯，再去除1998算出最后结果。
【同步精炼】1、 238÷2382392382、 1999÷199920001999例3：120001999199800021999-⨯⨯+思路点拨：仔细观察分子、分母中各数的特点，我们就会发现，分子1999+2000×1998=1999+2000×（1999－1）=1999+2000×1999－2000=2000×1999－1，这样就把分子转化成与分母完全相同的式子，结果为1.【同步精炼】1、186548362361548362-⨯⨯+ 2、119891988198719891988-⨯⨯+例3：211⨯+321⨯+431⨯+541⨯+651⨯思路点拨：在这道题中，每个分数的分子都是1，分母是两个连续自然数的积。
211⨯=1－21， 321⨯=21－31， 431⨯=31－41， 541⨯=41－51， 651⨯=51－61，…… )1(1+⨯n n =n 1－)1(1+n把每个分数都写成两个分数的差，使部分分数相互抵消，使计算简便。
【同步精炼】1、211⨯+321⨯+431⨯+……+100991⨯3、1+21+61+121+201+301+421+561+721+9012、21+61+121+201+301第四讲 分数混合运算稍复杂的分数应用题【知识概述】有些稍微复杂的分数应用题中的两个或两个以上单位“1”的量，这时一般先用转换法统一单位“1”，有时还要根据解题需要，把分率转化成比，然后才能进行解答。
【例题精学】例1：甲、乙、丙、丁四人向希望工程捐款，结果甲捐了另外三人总数的一半，乙捐了另外三人总数的31，丙捐了另外三人总数的41，丁捐了91元。
甲、乙、丙、丁四人共捐了多少元？思路点拨：根据题意可知，甲、乙、丙、丁四人捐款的总数是一定的，把四人的总数看成单位“1”。
“甲捐了另外三人总数的一半”，则甲的捐款是四人捐款总数的211+，同理，乙的捐款是四人捐款总数的311+，而丙的捐款是四人捐款总数的411+。
那么我们就可以求出丁捐的91元所对应的分率，在求出四人的捐款总数。
【同步精炼】1、甲、乙、丙、丁四个数，甲数是其他三个数之和的21，乙数是其他三个数之和的31，丙数是其他三个数之和的41，已知丁数是260，则四个数的和是多少？甲数是多少？2、三个小朋友合买一枚价值24元的2012年奥运会纪念章，第一个孩子付的钱是其他孩子付的总钱数的一半，第二个孩子付的钱是其他孩子付的总钱数的31。