《高等流体力学》第4章 理想流体运动的基本特征

v2 +i = i0 ( const ) i0对于确定的流线为常数 2 v2 γ p v2 i0 = + c pT = 对于完全气体可写为： + 2 γ −1 ρ 2
(v = 0) 1、滞止状态：
温度用 T0表示，称滞止温度或总温。
i c= = pT0
流线上实际上没有 v = 0 的点，滞止状态是假定想象的。
ρ ρ = const 均质不可压流场中：
ρ ρ
P =∫ dp
ρ
⇒ ∇P =
∇p
也与所选曲线无关。
dp 1 p P =∫ = = + const ∫ dp
p T = const 故 ρ = 等温流场中： RT dp RT dp P= = dp RT = RT ln p + const ∫ ρ ∫= ∫ p p
Π =lim ∫ p′dt
∆t → 0 0 ∆t
理想不可压缩流体的欧拉运动方程：
1 Dv 1 1 1 * ′ = f − ∇p − ∇p = ∇p − ∇p′ 名义压力 Dt ρ ρ ρ ρ 由于流体不可压，名义压力在 ∆t 时间间隔内 ( ∆t → 0 ) ： ∆t 1 lim ∫ f − ∇p dt = 0 ∆t → 0 0 ρ
由于是正压流场，故P与L无关，即P= P (p)。 又由于 v × Ω = 0 ，故伯努利积分方程可写为：
v2 v2 ∇ + P ( p ) + U = 0 ⇒ + P ( p ) + U = i0 2 2
2、在具有均匀流区域的流场中：对于从具有均匀流 区域出发或通过的流线，因为流线在均匀流处有相同 的物理量，故每条流线上的 i0 相同。
取瞬时压力开始时刻为起始时刻，在∆t 时间内积分动 量方程，得： ∆t 1 Π ∇p′dt = −∇ ρ 为常数 v′ − v = − lim ∫ 0 ∆t → 0 ρ ρ 结论： (1)瞬时压力冲量可以引起速度场的突变，反之，速度 场的突变必然有瞬时压力冲量； (2)假定瞬时压力冲量作用之前流场无旋(有势)：
f =
在运动无旋和流场正压的条件下，质量力必有势；反 之，在无旋且质量力有势的条件下，流场必定正压。
∂ϕ v 2 0 令 f = −∇U，则：∇ + +P +U = ∂t 2 2 ∂ϕ v f ( t ) 积分常数，对整个流场 于是： + +P +U = ∂t 2
ρ ( p, L )
ρ = ρ ( p, L )
dp
dl
o
曲线L一定时 仅为p的函数
于是在L曲线上，压力函数沿l的变化率为：
∂P ∂P ∂p dP ∂p 1 ∂p = = = ∂l ∂p ∂l dp ∂l ρ ∂l
一般情况下，在任意给定的曲线L上，函数关系 ρ ( p, L ) 是不知道的，只有在某些特定情况下能够确定： p = p ( ρ ) 或 ρ = ρ ( p ) 且与所选曲线无关。 1、正压流体：
∂ϕ v 2 p ∂ϕ v 2 p + + + gr cos θ = + + + gr cos θ ∂t 2 ρ ∂t 2 ρ r →∞ ,θ =π = p∞
2
ρ
（=f(t)，而
p∞
ρ
与t无关，故=const）
z
而
4 2 2 R v ∂ϕ 1 2 2 b Rb = − ( Rb Rb + 2 Rb Rb ) , = r ∂t 2 2r 4
( ) ( )
( ) ( )
v = v0 + w + ω × r ′ = ve + w ∂′ϕ + w ⋅∇′ϕ 且 ∇ϕ = ∇′ϕ ∂t ∂′ϕ − ve ⋅∇′ϕ ∂t
又因为：v = ∇ϕ
代入绝对坐标系的柯西-拉格朗日积分公式中可得：
= ρϕ + C 。 (5)若ϕ ′ = const ，则原流场必然无4-4 凯尔文定理及拉格朗日定律
一、凯尔文定理（汤姆逊定理）：在质量力有势、流 场正压条件下的理想流体中，沿任一条封闭流体线的 速度环量不随时间发生变化。
DΓ D v ⋅ dl = = 证明： ∫ Dt Dt L 由质量力有势：f = −∇U
第四章 理想流体运动的基本特征
主 讲：刘全忠 单 位：能源科学与工程学院 流体机械及工程研究所 Email：liuquanzhong@
§4-1 伯努利定理及其应用
一、压力函数 曲线L上，密度与压力表示为：
ρ ρ = p p (l, L ) (l, L )
L
l
M
因此在给定的L上，密度可看 做是压力的函数： 根据压力函数的定义：P = ∫ ρ dp 故：P =P ( p, L ) = ∫
上式称为柯西-拉格朗日积分（非定常伯努利方程）
v2 +U const = i* （伯努利积分） 若定常： +P = 2
二、动坐标系的柯西-拉格朗日积分 向量场不因坐标系的变化而变化：
v r , t = v r ′, t , ϕ r , t = ϕ r ′, t , ∂ϕ Dϕ D′ϕ = ϕ = = 又因为： + v ⋅∇ ∂t Dt Dt ϕ ∂′ϕ 则有： ∂ ′ϕ = − ( v − w ) ⋅∇= ∂t ∂t
方程可写为：
∂′ϕ ∂ϕ ∇ϕ − ue + +P +U = f (t ) ∂t ∂x′ 2
2
例：原静止无界不可压缩理想流体中，原点处有一强 Rb = Rb ( t ) ，已知通过球心水平面上无 度为Q(t)的点源， 穷远处的压力为p∞，流体密度为ρ ，求流场的压力分布。 解：取坐标系 ( r ,θ , ε ) 如图。 2 Q (t 4 R = = π ) 4π Rb2 ⋅ v 点源强度： b b ⋅ Rb
Q (t ) Rb2 R b = − = − ϕ 点源的速度势： 4π r r
Rb
z
θ
r
y
（只与r有关）
dϕ Rb2 R x 速度场： v= ∇ϕ = er = 2 b er dr r 质量力有势：f = g = −∇ ( gz ) = −∇ ( gr cos θ )
ε
由柯西-拉格朗日积分：
ρ
= const 代入 P ( p, L ) = ∫
dp
ρ
p
γ −1 ρ
+ const
二、沿流线和沿涡线的伯努利积分 兰姆型的理想流体运动方程： 对于定常流动、质量力有势：
1 v 2 ∂v + ∇ − v × Ω= f − ∇p 2 ∂t ρ
v2 1 ∂ v 2 1 ∂p ∂U ∇ + ∇p + ∇U = v × Ω ⇒ + + = ∂l 2 ρ ∂l ∂l 2 ρ ∂ v 2 ∴ + P ( p , L ) + U = v×Ω l ∂l 2 若所取L是流线或涡线，则： v × Ω l = 0 v2 故有： + P ( p, L ) + U = i0 ( L ) 2
所以：
2 R R p p∞ 1 2 b 2 ) − = + ( Rb Rb + 2 Rb R − gr cos θ b 4 2r ρ ρ r 4 b
Rb
θ
r
y
ε
x
§4-3 压力冲量作用和速度势的动力学解释
讨论一类特殊形式的流动：水下爆炸、液体中的物体 骤然变速、物体突然冲入水中或击打水面等。 此类运动的特点：流体及其边界在短时间间隔 ∆t 内承 受很大的压力 p′ ，但是在无限小时间间隔内的冲量， 即瞬时压力冲量是有限的。表示为：
ρ
dp
积分得：
的熵，为常数
p p s1 − s2 s1 − s2 ρ ∴ ln = ln + ⇒ = = ρ ( p, sL ) ρ ρ1 exp ρ1 cp cp p1 p1
1γ
1γ
由此可得，沿同一条流线的压力函数：
P ( p, L ) = ∫ dp
ρ
=∫
dp p s1 − s2 ρ1 exp cp p1
1γ −1 1γ
γ − 1 p1
=
s1 − s2 γ p ρ1 exp p + const cp
γ
p
γ −1 ρ
+ const
p
γ
另：若将绝热定常条件： 中，也可得：P ( p, L ) = γ
= Π const = ⇒ v′ v
(4)若原来是静止流场，则作用后的流场必然无旋。
Π ∇ϕ = − + const v= 0 ⇒ ϕ′ =
Π Π Π + C1 ⇒ Π = ρϕ + C v′ − v = −∇ ⇒ v = ∇ ϕ ′ + ⇒ ϕ = ρ ρ ρ ′ 0 ∇v = 0, ∇v= 另：对不可压缩流体： Π 2Π ′ ′ v − v = −∇ ⇒ ∇ v − v = ∇ = 0 ⇒ ∇ 2 Π =0 ρ ρ Π 是调和函数，边界给定，流场中的Π 就完全确定了。
v = ∇ϕ
受冲击以后的流场仍然是无旋(有势)的：
′ 若用 ϕ表示冲击作用后的速度势：
Π Π v′ = v − ∇ = ∇ ϕ − ρ ρ
ϕ ′ =ϕ −
Π
ρ
+ const
该常数为全流场适用的
(3)如果是理想不可压缩流体，作用的瞬时压力对各 点均相等，则流场的速度是不变的。 ( ∇Π = 0 )